2024-2025學年五年級數學下冊典型例題系列第四單元：長方體和正方體綜合應用“Ultra版”一、填空題。1．用絲帶捆扎一種禮品盒（如下圖），結頭處長15cm，要捆扎這種禮品盒至少需準備()cm的長絲帶。

2．將個相同的小正方體拼成一個體積為立方厘米的長方體，將表面涂上紅漆，然后分開，其中有個面涂紅的小正方體有個，則有個面涂紅的小正方體有()個。3．一個長方體的表面積為52平方厘米，底面積為12平方厘米，寬為3厘米，高為()厘米。4．一個棱長是3米的正方體木塊，如果把它鋸成體積相等的8個小正方體，表面積增加()平方米。5．如圖所示，將一個長方體分割成兩個小長方體，如果按下面三種不同的方式分割，表面積分別增加了14平方厘米、32平方厘米、22平方厘米，原來這個長方體的表面積是()平方厘米。6．用8個棱長1cm的小正方體可以拼成一個大正方體，大正方體的表面積是()cm2；也可以拼成一個長方體，長方體的表面積可能是()cm2。7．一個長方體（如圖），如果高增加4cm，就變成了棱長是12cm的正方體。表面積增加了()cm2，體積增加了()cm3。

8．從三個方向看一個空心零件，三種視圖如圖所示。算一算，這個空心零件的體積是()cm3，表面積是()。（單位：cm）

9．用一根鐵絲圍一個長12cm、寬10cm、高5cm的長方體框架，至少需要鐵絲()cm，這個長方體的體積是()cm3。如果將這根鐵絲改圍成一個正方體框架，這個正方體框架的表面積是()cm2。10．有兩杯飲料，第一杯比第一杯多85毫升，兩杯同時倒掉30毫升后，第一杯剩下的是第二杯的2倍，則原來兩杯中共有()毫升飲料。二、解答題。11．下圖是從長方體紙箱上撕下的一部分，這個紙箱的棱長和是多少？12．一款硅膠手機外殼的形狀近似于長方體，尺寸如圖，做一個這樣的手機外殼（5個面）大約需要多少平方厘米的硅膠？（手機殼上的孔窗大小忽略不計）

13．五（2）班要粉刷教室的屋頂和四壁。已知教室的長是8米，寬是6米，高是3米，門窗和黑板的面積一共是12平方米，如果每平方米需要花6元涂料費，粉刷這間教室需要多少元錢？14．從一個長15厘米、寬和高都是4厘米的長方體木料上截下一個最大的正方體，剩下的長方體的表面積是多少平方厘米？15．一個長方體（如下圖），如果高增加4厘米，就變成了棱長是10厘米的正方體，這個長方體的體積是多少？16．一個長方體魚缸，從里面量底面長40厘米，寬3分米，水面與魚缸口的距離是1.5分米，媽媽買了一塊盆景假山（完全浸沒）放入后，水面與魚缸口的距離是0.7分米。這塊盆景假山的體積是多少？（可以試著先畫圖，再解答）17．一個長方體水箱，長為6分米，寬為4分米，水深5分米，當把一個鐵塊放入水箱后（鐵塊完全浸沒），水位上升到5.5分米。這個鐵塊的體積是多少立方分米？18．一個有蓋油箱長1米，寬6分米，高5分米，做這樣一個油箱至少用鐵皮多少平方分米？如果1升柴油重0.82千克，那么這個油箱可裝這樣的柴油多少千克？19．一個長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個長方體的長、寬、高都是以厘米為單位的質數，這個長方體的體積是多少？20．一個長方體的無蓋水族箱，長是6m，寬是60cm，高是1.5m。

（1）這個水族箱占地面積有多大？（2）現在要在水族箱的各邊安上角鐵，至少需要多少米的角鐵？（3）需要用多少平方米的玻璃？（4）它的體積是多少？2024-2025學年五年級數學下冊典型例題系列第四單元：長方體和正方體綜合應用“Ultra版”一、填空題。1．用絲帶捆扎一種禮品盒（如下圖），結頭處長15cm，要捆扎這種禮品盒至少需準備()cm的長絲帶。

【答案】215【分析】觀察圖形可知，這條絲帶的長度等于兩條長加兩條寬，再加上4條高，最后再加上結頭處的長度。據此計算即可。【詳解】30×2＋20×2＋25×4＋15＝60＋40＋100＋15＝100＋100＋15＝200＋15＝215（cm）則要捆扎這種禮品盒至少需準備215cm的長絲帶。【點睛】本題考查長方體的棱長的應用，明確絲帶的組成是解題的關鍵。2．將個相同的小正方體拼成一個體積為立方厘米的長方體，將表面涂上紅漆，然后分開，其中有個面涂紅的小正方體有個，則有個面涂紅的小正方體有()個。【答案】0【分析】長方體的體積是32立方厘米，把32寫成3個數相乘的形式，找出長、寬、高的所有可能，然后考慮每種情況下有1個面涂紅的小正方體的個數。【詳解】長方體的尺寸有：，，，，五種情況；要使得2個面涂紅的小正方體有24個，只有尺寸為的長方體的表面染色后符合要求；而在這種情況下，有個面涂紅的小正方體有個。【點睛】對于長寬高都大于等于3的長方體的染色問題，3個面染色，從頂點處找，2個面染色，從棱的中間找，1個面染色，從面的中間找，0個面染色，從長方體的最中間找。3．一個長方體的表面積為52平方厘米，底面積為12平方厘米，寬為3厘米，高為()厘米。【答案】2【分析】長方體底面是長方形，根據長方形的長＝面積÷寬，求出長方體的長，長方體側面展開是一個大長方形，大長方形的長＝長方體底面周長，大長方形的寬＝長方體的高，表面積－底面積×2＝前后左右4個面的面積和，再除以底面周長就是長方體的高。【詳解】12÷3＝4（厘米）（4＋3）×2＝7×2＝14（厘米）（52－12×2）÷14＝（52－24）÷14＝28÷14＝2（厘米）【點睛】關鍵是熟悉長方體特征，掌握長方體表面積的求法。4．一個棱長是3米的正方體木塊，如果把它鋸成體積相等的8個小正方體，表面積增加()平方米。【答案】54【分析】把一個棱長是3米的正方體木塊鋸成體積相等的8個小正方體，要沿著長、寬、高各切1次，共3次，增加了6個面；每個面的面積是（3×3）平方米，再乘6即可求出增加的表面積。【詳解】2×3＝6（個）3×3×6＝9×6＝54（平方米）【點睛】本題考查立體圖形的切割，明確切一刀增加2個面，進而得出切3刀增加6個面。5．如圖所示，將一個長方體分割成兩個小長方體，如果按下面三種不同的方式分割，表面積分別增加了14平方厘米、32平方厘米、22平方厘米，原來這個長方體的表面積是()平方厘米。【答案】68【分析】通過觀察圖形可知，用三種不同的方式把這個長方體分割成兩個小長方體，每切割一次就增加兩個切面的面積；從左往右，圖一是平行于左右面切，增加2個寬×高的面積；圖二是平行于前后面切，增加2個長×高的面積；圖三是平行于上下面切，增加2個長×寬的面積；根據長方體的表面積＝長×寬×2＋長×高×2＋寬×高×2，三種方式切割增加的表面積之和就是原來長方體的表面積。【詳解】14＋32＋22＝46＋22＝68（平方厘米）【點睛】明確立體圖形切割時，增加的表面積是哪些面的面積。6．用8個棱長1cm的小正方體可以拼成一個大正方體，大正方體的表面積是()cm2；也可以拼成一個長方體，長方體的表面積可能是()cm2。【答案】2428或34【分析】用8個棱長1cm的小正方體可以拼成一個大正方體，大正方體的棱長為2厘米，用正方體的表面積公式求出大大正方體的表面積即可；拼成一個長方體，長方體的長寬高可能是4厘米、2厘米、1厘米，也可能是8厘米、1厘米、1厘米，再改根據長方體的表面積公式求解即可。【詳解】正方體表面積：2×2×6＝4×6＝24（平方厘米）長方體表面積：（4×2＋4×1＋2×1）×2＝14×2＝28（平方厘米）（8×1＋8×1＋1×1）×2＝17×2＝34（平方厘米）【點睛】本題考查長方體、正方體的表面積，解答本題的關鍵是掌握長方體、正方體的表面積公式。7．一個長方體（如圖），如果高增加4cm，就變成了棱長是12cm的正方體。表面積增加了()cm2，體積增加了()cm3。

【答案】192576【分析】根據題意，長方體的高增加4cm，就變成了棱長是12cm的正方體，那么原來長方體的長、寬都是12cm；增加的表面積是高為4cm的小長方體的4個側面積之和，每個面是長為12cm、寬為4cm的長方形，求出一個面的面積，再乘4，即可求出增加的表面積；增加的體積是高為4cm的小長方體的體積，根據長方體的體積＝長×寬×高，即可求出增加的體積。【詳解】12×4×4＝48×4＝192（cm2）12×12×4＝144×4＝576（cm3）表面積增加了192cm2，體積增加了576cm3。【點睛】本題考查長方體表面積、體積公式的運用，關鍵是根據正方體的特征得出長方體的長、寬，分析出增加的表面積是哪些面的面積是解題的關鍵。8．從三個方向看一個空心零件，三種視圖如圖所示。算一算，這個空心零件的體積是()cm3，表面積是()。（單位：cm）

【答案】220005800【分析】通過觀察三種視圖可知：這個空心零件是從一個長40cm，寬30cm，高20cm的長方體里挖去了一個長10cm，寬10cm，高20cm的長方體（如下圖）。

根據“長方體的體積＝長×寬×高”分別求出外面大長方體的體積及里面小長方體的體積，再相減即可求出這個空心零件的體積。先求出外面大長方體的表面積，再求出邊長10cm的正方形的面積，再求出里面小長方體的4個側面的面積和，最后用大長方體的表面積－2個邊長10cm的正方形的面積＋里面小長方體的4個側面的面積和，即可求出這個零件的表面積。【詳解】40×30×20－10×10×20＝24000－2000＝22000（cm3）（40×30＋40×20＋30×20）×2－10×10×2＋10×20×4＝（1200＋800＋600）×2－200＋800＝2600×2－200＋800＝5200－200＋800＝5000＋800＝5800（cm2）所以這個空心零件的體積是22000cm3，表面積是5800cm2。【點睛】解決此題關鍵是根據三視圖確定幾何體的形狀。9．用一根鐵絲圍一個長12cm、寬10cm、高5cm的長方體框架，至少需要鐵絲()cm，這個長方體的體積是()cm3。如果將這根鐵絲改圍成一個正方體框架，這個正方體框架的表面積是()cm2。【答案】108600486【分析】根據題意，用一根鐵絲圍成一個長方體框架，那么鐵絲的長度等于長方體的棱長總和；根據長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，即可求出這個鐵絲的長度；根據長方體的體積＝長×寬×高，求出這個長方體的體積。如果將這根鐵絲改圍成一個正方體框架，那么鐵絲的長度等于正方體的棱長總和；根據正方體的棱長總和＝棱長×12可知，正方體的棱長＝棱長總和÷12，求出這個正方體的棱長；再根據正方體的表面積＝棱長×棱長×6，求出這個正方體框架的表面積。【詳解】長方體的棱長總和：（12＋10＋5）×4＝27×4＝108（cm）長方體的體積：12×10×5＝120×5＝600（cm3）正方體的棱長：108÷12＝9（cm）正方體的表面積：9×9×6＝81×6＝486（cm2）至少需要鐵絲108cm，這個長方體的體積是600cm3，這個正方體框架的表面積是486cm2。【點睛】本題考查長方體棱長總和、正方體棱長總和、長方體體積、正方體表面積公式的靈活運用，明確用同一根鐵絲圍成長方體或正方體框架，那么鐵絲的長度等于長方體或正方體的棱長總和。10．有兩杯飲料，第一杯比第一杯多85毫升，兩杯同時倒掉30毫升后，第一杯剩下的是第二杯的2倍，則原來兩杯中共有()毫升飲料。【答案】315【分析】觀察題意可知，第一杯比第一杯多85毫升，兩杯同時倒掉30毫升后，兩杯剩下的差不變，已知第一杯剩下的是第二杯的2倍，則第一杯剩下的比第二杯多1倍，用85÷（2－1）即可求出第二杯剩下的量，再乘2即可求出第一杯剩下的量，然后將兩杯剩下的量分別加上30毫升，即可求出兩杯原來各自的量，最后相加即可。【詳解】第二杯剩下的量：85÷（2－1）＝85÷1＝85（毫升）第一杯剩下的量：85×2＝170（毫升）第一杯原來的量：170＋30＝200（毫升）第二杯原來的量：85＋30＝115（毫升）總共：200＋115＝315（毫升）原來兩杯中共有315毫升飲料。【點睛】本題主要考查了差倍問題的應用，關鍵是抓出差不變。二、解答題。11．下圖是從長方體紙箱上撕下的一部分，這個紙箱的棱長和是多少？【答案】52（分米）【分析】通過圖中數據，可以得到3中不同長度得棱長，分別時3分米、4分米、6分米，就說明它們就是長、寬、高。利用長方體棱長和公式：（長＋寬＋高）×4，進行代入即可【詳解】（3＋4＋6）×4＝＝13×4＝52（分米）答：這個紙箱的棱長和時52分米。【點睛】此題主要考查長方體棱長和公式：（長＋寬＋高）×4。12．一款硅膠手機外殼的形狀近似于長方體，尺寸如圖，做一個這樣的手機外殼（5個面）大約需要多少平方厘米的硅膠？（手機殼上的孔窗大小忽略不計）

【答案】112平方厘米【分析】觀察這個近似長方體的硅膠手機外殼，長為60毫米，寬為10毫米，高為125毫米，這個長方體缺少一個正面，根據長方體的表面積公式：S＝a×b×2＋a×h＋b×h×2，先統一單位，再代入到公式中，即可得解。【詳解】60毫米＝6厘米10毫米＝1厘米125毫米＝12.5厘米6×1×2＋6×12.5＋1×12.5×2＝12＋75＋25＝112（平方厘米）答：大約需要112平方厘米的硅膠。【點睛】此題的解題關鍵是靈活運用長方體的表面積公式求解。13．五（2）班要粉刷教室的屋頂和四壁。已知教室的長是8米，寬是6米，高是3米，門窗和黑板的面積一共是12平方米，如果每平方米需要花6元涂料費，粉刷這間教室需要多少元錢？【答案】720元【分析】粉刷面積＝長×寬＋長×高×2＋寬×高×2－門窗和黑板面積，粉刷面積×每平方米費用即可。【詳解】（8×6＋8×3×2＋6×3×2－12）×6＝（48＋48＋36－12）×6＝120×6＝720（元）答：粉刷這間教室需要720元錢。【點睛】關鍵是掌握并靈活運用長方體表面積公式。14．從一個長15厘米、寬和高都是4厘米的長方體木料上截下一個最大的正方體，剩下的長方體的表面積是多少平方厘米？【答案】208平方厘米【分析】由題意可知，從一個長15厘米、寬和高都是4厘米的長方體木料上截下一個最大的正方體，則正方體的棱長相當于長方體的寬，則剩下的長方體的表面積＝原來長方體的表面積－正方體的四個面的面積，根據長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，據此進行計算即可。【詳解】（15×4＋15×4＋4×4）×2－4×4×4＝（60＋60＋16）×2－64＝136×2－64＝272－64＝208（平方厘米）答：剩下的長方體的表面積是208平方厘米。【點睛】本題考查長方體和正方體的表面積，明確正方體的棱長相當于長方體的寬是解題的關鍵。15．一個長方體（如下圖），如果高增加4厘米，就變成了棱長是10厘米的正方體，這個長方體的體積是多少？【答案】600立方厘米【分析】由題意可知，原長方體的長為10厘米，寬為10厘米，高為10－4＝6（厘米），由長方體的體積公式：V＝abh，代入數據即可解答。【詳解】10－4＝6（厘米）10×10×6＝600（立方厘米）答：這個長方體的體積是600立方厘米。【點睛】此題的解題關鍵是利用長方體和正方體的特征，靈活運用長方體的體積公式求解。16．一個長方體魚缸，從里面量底面長40厘米，寬3分米，水面與魚缸口的距離是1.5分米，媽媽買了一塊盆景假山（完全浸沒）放入后，水面與魚缸口的距離是0.7分米。這塊盆景假山的體積是多少？（可以試著先畫圖，再解答）【答案】畫圖見詳解；9600立方厘米【分析】由題意可知：水面上升的那部分水的體積就是放入的盆景假山的體積。先用原來水面與魚缸口的距離減去放入假山后水面與魚缸口的距離，求出水面上升的高度；再用容器的長×寬×水面上升的高度即可求出這塊盆景假山的體積。【詳解】畫圖如下：3分米＝30厘米1.5分米＝15厘米0.7分米＝7厘米40×30×（15－7）＝40×30×8＝1200×8＝9600（立方厘米）答：這塊盆景假山的體積是9600立方厘米。【點睛】用排水法求不規則物體的體積時，將物體放入水中后（物體完全浸沒在水中），明確水上升的高度是解題的關鍵。17．一個長方體水箱，長為6分米，寬為4分米，水深5分米，當把一個鐵塊放入水箱后（鐵塊完全浸沒），水位上升到5.5分米。這個鐵塊的體積是多少立方分米？【答案】12立方分米【分析】鐵塊完全浸沒在水里后，鐵塊的體積＝水面上升的體積，水面上升的體積可看作長為6分米，寬為4分米，高為（5.5－5）分米的長方體的體積，根據長方體的體積公式，把數據代入即可得解。【詳解】6×4×（5.5－5）＝24×0.5＝12（立方分米）答：這個鐵塊的體積是12立方分米。【點睛】此題的解題關鍵是掌握不規則物體的體積的計算方法，通過轉化的數學思想，靈活運用長方體的體積公式，解決問題。18．一個有蓋油箱長1米，寬6分米，高5分米，做這樣一個油箱至少用鐵皮多少平方分米？如果1升柴油重0.82千克，那么這個油箱可裝這樣的柴油多少千克？【答案】（1）280平方分米；（2）246千克【分析】（1）長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，把長方體油箱的長、寬、高的數據代入長方體表面積公式計算，可求出做這樣一個油箱所用鐵皮的面積。（2）長方體的體積（容積）＝長×寬×高，把長方體油箱長、寬、高的數據代入公式計算，先求出這個油箱的容積；再用油箱的容積乘1升柴油的質量，求出這個油箱可裝柴油的質量。【詳解】1米＝10分米（1）（10×6＋10×5＋6×5）×2＝（60＋50＋30）×2＝140×2＝280（平方分米）答：做這樣一個油箱至少用鐵皮280平方分米。（2）10×6×5＝60×5＝300（立方分米）300立方分米＝300升300×0.82＝246（千克）答：這個油箱可裝這樣的柴油246千克。【點睛】此題考查了長方體的表面積、容積計算公式。19．一個長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個長方體的長、寬、高都是以厘米為單位的質數，這個長方體的體積是多少？【答案】立方厘米【分析】根據題意，前面和上面兩個面面積和為209，就是長×高＋長×寬＝209，長、寬、高都是以厘米為單位的數，且都是質數，據此確定這個長方形的長、寬、高各是多少厘米，然后根據長方體體積的計算方法進行計算即可。【詳解】由分析可知，長×高＋長×寬＝209，長×（高＋寬）＝209，209＝19×11，要么寬＋高＝11，要么寬＋高＝1911＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，不管怎么組合都有合數，所以，寬＋高＝19符合要求，19＝2＋17＝3＋16＝4＋15＝5＋14＝6＋13＝7＋12＝8＋11＝9＋10，