一.總知識點

（-）幾何知識點

廠1.等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡單敘述為：等邊對等

角）

2.等腰三角形性質定理的推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底

邊上的高互相重合.（也稱：三線合一）

三角向3.等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形,簡單敘述為：

等角對等邊.

4.等邊三角形的判定定理：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

3.判定一個三角形是等邊三角形的方法有三種：分別是

證明三角形的三條邊相等；

證明三角形的三個內角相等；

證明三角形是等腰三角形，其中有一個角是60°.

廠6.直角三角形的定理:在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°,那么它

所對的直角邊等于斜邊的一半.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半。

直角37.直角三角形勾股定理：直角三角形兩條直角邊（a,b）的平方和等于斜邊

三角形C的平方.即a2+b2=c2.

（8.勾股定理的逆定理：如果三角形兩直角邊的平方和等于第三邊的平方，那

么這個三角形是直角三角形.

9.線段垂直平分線的定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。

10.中垂線的逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

11.三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離

相等，此點為三角形的外心。

12三角形的內心：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。

13.三角形的重心：三條中線的交點。性質：⑴重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距

離之比為2：lo⑵重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。⑶重心到三

角形3個頂點距離平方的和最小。⑷在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的

算術平均數。⑸三角形內到三邊距離之積最大的點

14.角平分線保理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

Y逆定理：在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線

一上。

15.證明三角形全等的方法：（1）三邊對應相等的兩個三角形全等；（SSS）（2）兩邊及其夾

角對應相等的兩個三角形全等；（SAS）（3）兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等；（ASA）

⑷兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個二角形全等。

16.全等三角形的性質定理：全等三角形的對應邊、對應角相等。

線段：有兩個端點

17.，射線：將線段向一個方向無限延長就形成了射線，有一個端點。

、直線：將線段向兩個方向無限延長就形成了直線，沒有端點。

18.基本定理：⑴兩點之間的所有連線中，線段最短。⑵經過兩點有且只有一條直線。

⑶同角或等角的補角相等⑷同角或等角的余角相等。⑸過一點有且只有一條直線和

已知直線垂直。⑹直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。⑺三

角形兩邊的和大于第三邊；三角形兩邊的差小于第三邊。⑻三角形的一個外角等于和

它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。⑼兩

點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

19.平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線

上截得的線段也相等。

推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

20.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半/=色土2，S=lh

2

21.平行定理1：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

平行定理2：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

平行判定方法1：同位角相等，兩直線平行。

平行判定方法2：內錯角相等，兩直線平行。

平行判定方法3：同旁內角互補，兩直線平行。

22.平行線性質定理1：兩直線平行，同位角相等。

平行線性質定理2：兩直線平行，內錯角相等。

平行線性質定理3：兩直線平行，同旁內角互補。

23.三角形的三邊大小關系：在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

24.平行四邊形

⑴定義：兩組對邊分別平行的四邊形。

⑵性質：①平行四邊形的對邊相等；②對角相等；③對角線互相平分。

25.平行四邊形的判定方法：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊

分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（4）一

組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

26.菱形

⑴定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

⑵性質：①菱形的四條邊都相等；②兩條對角線互相垂直平分；③每一條對角線平分一組對

角。④面積公式：s=絲即對角線乘積的一半。

2

27.菱形的判定方法：（1）一組鄰邊相等的平行四邊是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四

邊形是菱形；（3）四條邊都相等的四邊形是菱形。

28.矩形的定義及其性質：有一個內角是直角的平行四邊形是矩形。矩形的對角線相等，四

個角都是直角。

29.矩形的判定方法：對角線相等的平行四邊形是矩形。

30.正方形定義及其性質：一組鄰邊相等的矩形是正方形。（1）正方形的四條邊都相等；（2）

正方形的四個內角都相等切都等于90度；（3）正方形的對角線相等且互相垂直平分；（4）

正方形的每一條對角線平分一組對角；（5）正方形的每組對邊互相平行。（6）既是中心對稱

圖形又是軸對稱圖形。

31.正方形的判定方法：

r（1）對角線相等的菱形是正方形；

先證明菱形j（2）四邊均相等，對角線相等的四邊形是正方形；

〔（3）有一個角為直角的菱形是正方形；

「（4）一組鄰邊相等的矩形是正方形；

（5）對角線互相垂直的矩形是正方形；

先證明矩形（6）一組鄰邊相等，有三個角是直角的四邊形是正方；

1（7）一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方；

（8）對角線互相垂直，平分且相等的四邊形是正方形。

32.梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。

33.等腰梯形⑴定義兩條腰相等的梯形是等腰梯形。⑵性質：①等腰梯形同一底上的

兩個內角相等；②對角線相等。

34.等腰梯形的判定方法：⑴同一底上的兩個底角相等的梯形是等腰梯形。⑵對角線相等的

梯形是等腰梯形。

35.直角梯形的定義：一條腰和底垂直的梯形是直角梯形。

36.多邊形的定義及其性質：①在平面內，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相

連組成的封閉圖形稱為多邊形。②在平面內，內角和邊都相等的多邊形為正多邊形。③外角：

多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角。④n邊形的內

角和等于［-2）180°,外角和為360度。⑤n邊形的對角線公式：從n邊形的一個頂點可以

引出（〃-3）條對角線；n邊形共有“〃；,）條對角線。

37.圓

⑴定義：在平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點叫做圓心，定長

叫做半徑。

⑵與圓相關的概念：

①圓弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧。②弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓

心的弦稱為直徑。③弦心距：圓心到弦的距離。

⑶與圓有關的角

①圓心角：頂點在圓心的角。圓心角的度數等于它所對的弧的度數。

同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等.

②圓周角：頂點在圓上，兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角.

圓周角的性質：I在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓

中相等圓周角所對的弧也相等.

II半圓或直徑所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑.

III一條弧所對的圓周角的度數等于這條弧度數的一半.

③弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

弦切角的性質：I弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角，等于它所夾的弧所對的圓心

角的一半。

II兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。

④圓心角與圓周角的關系：在同圓或等圓中，同弧或同弦所對的圓周角等于二分之

一的圓心角。

⑷圓的切線

①定義：平面幾何中，將和圓只有一個公共交點的直線叫做圓的切線。

②性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑.

推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.

推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.

③判定定理：I經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。II與圓

有惟一公共點的直線是圓的切線；III若圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，則該直線是圓

的切線；

④切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分

兩條切線的夾角。

⑤相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引

兩條弦，各弦被這點所分成的兩段的積相等）。

A

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

⑥切割弦定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長

的比例中項

幾何語言：如圖，PT切圓O于點T,PBA是圓O的割線，則有：7

=PA?PB

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積

相等。

幾何語言：PBAPDC是圓。的割線，貝U有：PD?PC=PB?PA.

⑸與圓有關性質

①垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧

推論一:平分弦（不是直徑）的直徑垂直與這條弦,并且平分這條弦所對的兩段弧

推論二:弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的弧

推論三:平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,并且平分這條弦所對的另一條弧

推論四:在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等。

②圓心角、弧、弦心距、弦之間的關系：

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弧、兩條弦心距中有一組量相等，那

么它們所對應的其余各組量分別相等。

⑹與圓有關的三種位置關系

①點與圓的位置關系：

點和圓的位置關系是由這個點到圓心的距離d與半徑r的數量大小關系決定的，

即：I點在圓外二三：>d>r

II點在圓上三二亍d=r

Ill點在圓內F>d<r

②直線與圓的位置關系：

r相交

直線和圓的位置關系1相切

I相離

判斷直線和圓的位置關系的方法：

方法1:從公共點的個數來判斷

當直線和圓有兩個公共點時直線和圓相交；

當直線和圓有且只有一個公共點時，直線和圓相切；

當直線和圓沒有公共點時，直線和圓相離.

方法2:比較圓心到直線的距離d與半徑r的大小

當d<r時，直線和圓相交；

當d=i■時，直線和圓相切；

當d>r時，直線和圓相離.

③圓與圓的位置關系：

方法1：比較兩圓的半徑與圓心距的大小

設兩圓的半徑分別為R和r,兩圓心之間的距離為d

T當d>R+r時，兩圓外離；

II當（1=口+「時，兩圓外切；

III當R—r<d<R+r時，兩圓相交；

IV當d=R—r時（R>r）兩圓內切；

V當d<R—r（R>r）時，兩圓內含。

反之也成立。

方法2：從公共點的個數，和一個圓上的點在另一個圓的外部還是內部來考慮，兩個圓的位

置關系有五種：外離、外切、相交、內切、內含。

T外離：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的每一點都在另一個圓的外部；

II外切：兩個圓有唯一公共點，除公共點外一個圓上的點都在另一個圓的外部；

III相交：兩個圓有兩個公共點，一個圓上的點有的在另一個圓的外部，有的在另一個

圓的內部；

IV內切：兩個圓有一個公共點，除公共點外，上的點在。Oi的內部；

V內含：兩個圓沒有公共點，。。2上的點都在。的內部.

⑺弧長與扇形的面積

n7vr

在半徑為R的圓中，〃。的圓心角所對的弧長公式：I二

180

njiR2

S扇形

如果扇形的半徑為R,圓心角為〃。的扇形面積公式：360

S屈^形=-cIR

或是2.a是扇形的弧長，R是扇形的半徑)

⑻圓錐的側面積:

①圓錐的側面展開圖為扇形.

②設圓錐的底面半徑為r,母線長為1,側面展開圖中扇形的圓心角度數為n,那么圓錐

的側面積為：加7或36°.

③圓錐的側面展開圖是扇形，其半徑等于母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長.設圓

錐的底面半徑為r,母線長為i,則它的側面積：Sfuritri,S全=5惻+$底=mr(i+r).

⑼確定圓的條件：不在同一直線上的三點確定一個圓。

38.相似圖形

⑴比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條

線段叫成比例線段，簡稱比例線段。

⑵比例的基本性質：如果巴n=上r，那么ad=bc,即內項積等于外項積；

bd

⑶合比性質：巴=上一巴二2=即前后項和比后項，比值不變叫合比。

bdbd

，八acm,八a+c+...+ma

⑷等比性質：—=—=...=—(b+d+...+w0)-------------=一；

bdnb+d+...+nb

⑸黃金分割：若線段AB上的一點P,把線段AB分成AP、BP兩部分，并且使一=—，則

APAB

稱線段AB被C黃金分割。

⑹相似多邊形：如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多

邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應邊的比叫做相似比。

相似多邊形的性質：

相似多邊形性質定理1：相似多邊形周長比等于相似比。

相似多邊形性質定理2：相似多邊形對應對角線的比等于相似比。

相似多邊形性質定理3：相似多邊形中的對應三角形相似，其相似比等于相似多邊形

的相似比。

相似多邊形性質定理4：相似多邊形面積的比等于相似比的平方。

相似多邊形性質定理5：若相似比為1,則全等

⑺相似三角形：三角對應相等、三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

①相似三角形的性質：

I相似三角形對應角相等，對應邊成比例；

II相似三角形的一切對應線段（對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切

圓半徑等）的比等于相似比。

III相似三角形周長的比等于相似比

IV相似三角形面積的比等于相似比的平方。

V相似三角形內，外切圓直徑比和周長比都和相似比相同，內，外切圓面積比是相似

比的平方

②相似三角形的判定方法：

T兩角對應相等的兩個三角形相似；

II三邊對應成比例的兩個三角形相似；

III兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

⑻平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。

⑼基本定理：⑴如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，

那么這條直線平行于三角形的第三邊。

⑵平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形

三邊對應成比例

⑩基本點：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

?直角三角形相似判定方法：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角

形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似

39.視圖與投影

①常見的幾何體的三視圖的畫法：

I平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線形成的投影稱為平行投影.

II中心投影：探照燈、手電簡、臺燈的光線可以看成是從一點發出的，像這樣的光線

形成的投影稱為中心投影。

m視點：眼睛的位置稱為視點.視線：由視點發出的線稱為視線.盲區：眼睛看不

到的地方稱為盲區.稱為中心投影。

40.軸對稱圖形

(1)軸對稱圖形的定義：在平面內，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。這時，我們也說

這個圖形關于這條直線對稱。

(2)軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能與另一個圖形重合，

那么稱這兩個圖形成軸對稱。

(3)軸對稱圖形的性質：①對稱軸是一條直線。②在軸對稱圖形中，對稱軸兩側的

對應點到對稱軸的距離相等。③在軸對稱圖形中，沿對稱軸將它對折，左右兩邊完全

重合。④如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的

垂直平分線。⑤關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。

(4)軸對稱的判定方法：如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩

個圖形關于這條直線對稱。

⑸常見的軸對稱圖形：等腰三角形、正方形、等邊三角形、等腰梯形、圓和正多邊

形、矩形、角、五角星

41.中心對稱圖形

⑴中心對稱圖形：在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180。，如果旋轉前后的圖形互

相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。

⑵中心對稱：在平面內，如果把一個圖形繞某個點旋轉180。后，能與另一個圖形重

合，那么就說這兩個圖形關于這個點成中心對稱，這個點叫做對稱中心，旋轉180°

后重合的兩個點叫做對應點。

⑶中心對稱圖形的性質：①在中心對稱的兩個圖形中，連結對稱點的線段都經過對稱

中心且被對稱中心平分。②成中心對稱的兩個圖形全等。

⑷中心對稱的判定方法：如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，

那么這兩個圖形關于這一點對稱。

⑸常見的中心對稱圖形：線段、矩形、菱形、正方形、平行四邊形、圓、邊數為偶數

的正多邊形。

42.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形：正方形、圓、矩形、菱形、邊數為偶數的正

多邊形。

43.圖形的平移

(1)定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。

(2)性質：①平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移前后新舊兩圖形全

等。②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。

44.圖形的旋轉

(1)定義：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動

稱為旋轉。這個定點稱為旋轉中心。

(2)性質：①經過旋轉，圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度；②

任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角；③對應點到旋轉中心的距離相等。

(―)實數

1.實數的分類

’正有理數：比0大的數。

廣正實數V

［正無理數：無限不循環的正的小數。

實數j零

r負有理數：在正數前面加的數；比o小的數。

負實數1負無理數：無限不循環的負的小數。

2.實數大小的比較

(1)在數軸上表示兩個數的點，右邊的點表示的數大于左邊的點表示的數。

(2)正數大于零，負數小于零；兩個正數，絕對值大的較大，兩個負數，絕對值大的較小。

3.相反數

相反數：如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另一個數的相反數。設a

與b互為相反數，則有a+b=O

4.絕對值：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。①正數的絕對值

是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.②任何數的絕對值為非負數，即

網>0(a為任意實數)

5.實數的運算法則：

(1)加法法則：①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②異號兩數相加，絕

對值相等時和為0;絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小

的絕對值。

(2)減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數。

(3)乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。

(4)除法法則：①除以一個數等于乘以這個數的倒數。(注意：0沒有倒數)②兩數相

除，同號為正，異號為負，并把絕對值相除。③0除以任何一個不等于0的數，都等于

0o

6.實數與數軸的關系：實數與數軸上的點是一一對應的，就是說所有的實數都可以用數軸

上的點來表示；反之，數軸上的每一個點都表示一個實數

7.有理數的乘方：求n個相同因數a的積的運算叫做乘方，乘方的結果稱為幕，a叫做

底數，n叫做指數

8.平方根：如果一個數x的平方等于a,即那么這個數x叫做a的平方

根。如果此x為正數，則x為a的算術平方根。一個正數有兩個平方根；0只有一個平

方根，是0本身；負數沒有平方根。

9.開平方：求一個數a的平方根的運算。開平方和平方運算是互逆運算。

a(a>0)

V?-0(a=0)

Y

-a(a<0)

10.最簡二次根式：⑴被開方數的因數是整數，因式是整式；⑵被開方數中不含有能

開的盡的因式；⑶被開方數不含分母。

分母有理化的方法：⑴如果分母是單項式，則分子分母同時乘以此分母；⑵如果分

母是多項式，則采用平方差公式。

11.立方根：如果一個數的立方等于a,即犬=。，那么這個數x叫做a的立方根。正

數的立方根是正數；0的立方根是0；負數的立方根是負數。

12.開立方：求一個數a的立方根的運算。開立方與立方運算是互逆運算。

13.科學計數法和有效數字

①科學計數法：將較大的正數寫成axlO"的形式，其中指數n為原數的

整數位數減1;將小于1的正數表示為axlO"的形式，其中＜10,指數n為第一

位有效數字前零的個數的相反數。

②有效數字：對于一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到精確到的數為止，

所有的數字都叫這個數的有效數字。

(三)代數式

1.單項式：①數與字母的積稱為單項式。單獨的數或字母也是單項式。②所有字母的

指數和叫做單項式的次數。③單項式中的數字因數稱為單項式的系數

2.多項式：幾個單項式的和。次數最高項的次數為此多項式的次數。

3.同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項。

4.合并同類項：把同類項合并成一項為合并同類項。在合并同類項時，我們把同類項

的系數相加，字母和字母的指數不變(用于整式的加減運算)。

5.代數式在運算時去括號的法則：①括號前是“+”號，把括號和它前面的“+”號去

掉后，原括號里各項的符號都不改變；②括號前是“一”號，把括號和它前面的

號去掉后，原括號里各項的符號都要改變。

6.同底數幕的乘除法法則：①同底數幕相乘，底數不變，指數相加：a"二產②

同底數幕相除，底數不變，指數相減：am^an=am-n

褰的乘方和積的乘方：①募的乘方：底數不變，指數相乘=屋""②積的乘方：各

因式分別乘方③分式乘方：分子分母分別乘方：f-1=—

\a)an

7.募函數和指數函數

(1)基函數：底數是變量，指數是常數；如：x2

(2)指數函數：底數是常數，指數是變量。如：2工

(3)負指數幕：底數是常數，指數是負整數。如：2”

注意：任何不為零的數的-n(n為正整數)次幕等于這個數n次塞的倒數

即a-n=—((7^0)

an

8.整式的乘法法則：①單項式乘以單項式法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相

同字母的事分別相乘,其余字母連同它的指數不變，作為積的因式.

②單項式乘以多項式法則：單項式與多項式相乘,就是根據分配律用單項式去乘多項式的每

一項,再把所得的積相加.

③多項式乘以多項式法則：多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘另一個多項式

每一項,再把所的積相加.

9.整式的除法法則：①單項式相除，把系數、同底數塞分別相除后，作為商的因式；對于

只在被除式里含有的字母,則連同它的指數一起作為商的一個因式.

②多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項分別除以單項式,再把所得的商相加

10.平方差公式：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差。^(a+bla-b)=a2-b-

11.完全平方公式：兩數和或差平方，展開式它共三項。首平方與尾平方，首尾二倍中間放。

即(。土爐=a2+2ab+b2

12.立方和公式：a3+Z?3=(a+Z?)(tz2-(ZZJ+ZJ2)；

立方差公式：a3-b3=(a-b^a~+ab+Z?2)

A

13.分式的定義和性質：⑴整式A除以整式B,可以表示成二形式，如果除式B中含有字母,

B

那么伊。0)稱為分式。⑵當分母的值等于零時，分式無意義；當分子為零，分母不為零

時，分式的值為零。(3)分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不

等于零的整式，分式的值不變。

14.(1)分式通分時最簡公分母的確定方法：①算式中只有一項是分式，最簡公分母就是

這個分式的分母。②算式中有幾個分式相加減，分母互為相反數，最簡公分母可取其中任何

一個分母③當算式中的幾個分母都是單項式時，最簡公分母則取系數的最小公倍數與所有字

母的最高次幕的乘積。④當算式中分式的幾個分母都是多項式時，則先把所有分母進行因式

分解，最簡公分母則是每個因式的最高次幕的乘積。⑤當算式中分式的分子與分母都有公因

式時，可以先把這個分式約分，再根據情況確定最簡公分母。

(2)分式約分時分子、分母公因式的判斷方法：①當分子、分母都是單項式時，找出

分子、分母系數的最大公約數和相同字母的最低次累，把系數的最大公約數和相同字母的最

低次累的積作為分子、分母的公因式。②當分子、分母含有多項式，找公因式時，首先將各

多項式分解因式，然后找分子、分母系數的最大公約數和相同因式的最低次累，把系數的最

大公約數和相同因式的最低次惠的積作為分子、分母的公因式。

15.分式的加減法則：（1）同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；（2）異分母的

分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進行計算。

16.分式的乘除法則：（1）兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的

積作為積的分母（2）兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。

（四）函數

1.直角坐標系中點的位置

在直角坐標系中，點A（x,y）,則有：

（1）x>0,y〉0=點A在第■象限；

⑵x<0,y〉0o點A在第二象限；

（3）x<0,y<0點A在第三象限；

⑷x〉0,y<0點A在第四象限。

2..一次函數

（1）定義：把形如y=fcr+b（左。0）,這樣的函數稱為y是x的一次函數。當b=0時，一

次函數y=fcr也叫做正比例函數。

⑵性質：⑴廠質+匕必經過點（0,b）和[g,o],

⑵在一次函數）；=依+5中，當上〉0時，丫的值隨x值的增大而增大；當女<0

時，y的值隨x值的增大而減小。

（3）圖像：⑴一次函數的圖像是過（0,b）和兩點的一條直線；

⑵函數圖像與k、b的符號關系

①左〉0時，圖像經過一三象限；

②左<0時，圖像經過二四象限；

③b〉0時，圖像是經過y軸的上半軸；

④匕<0時，圖像是經過y軸的下半軸。

3.反比例函數

(1)定義：把形如y=8(kwO)這樣的函數稱為y是關于x的反比例函數。反比例函數

X

的另一種形式：y=kx-[(k^O)o

(2)性質：當女〉0時，y的值隨x值的增大而減??；當左＜0時，y的隨x值的增大而增

大。

(3)圖像：反比例函數的圖像是兩條雙曲線，當左〉0時，圖像經過一、三象限；當女＜0

時，圖像經過二、四象限。

圖象在坐

k的符

標系中的圖象圖象特征增減性

號

位置

y.

反比例函數圖像位置在每個象限

在每個象限內從

kk>0一、三象內，y隨x增

y=~x左到右下降

X(kWO)限r大而減小

在每個象限

二、四象在每個象限內從

k<0內y隨x增大

限0rx左到右上升

r而增大

(4)反比例函數中悶的幾何意義：

如果過反比例函數y=~圖象上任意一點P分別作x軸和y軸的垂線，那么它們與兩

X

條坐標軸所圍成的矩形的面積就是加.

(5)反比例函數與一次函數的比較：

一次函數反比例函數

解析式y=kx+b(kWO)k

y=-

X

自變量取值范圍全體實數xWO的實數

函數值取值范圍全體實數yWO的實數

函數圖象直線雙曲線

解析式的確定兩個點的坐標一個點的坐標

k>0y隨x增大而增大同一象限內y隨x增大而減小

增減性

K<0y隨x增大而減小同一象限內y隨x增大而增大

圖象分k>0必過一、三象限分布在一、三象限

布情況K<0必過二、四象限分布在二、四象限

4..二次函數

(1)定義：形如y=以2+bx+c(a。0)的函數稱為二次函數。

(2)圖像與性質：

①二次函數的圖像是對稱軸平行于y軸(或與y軸重合)的一條拋物線：對稱軸是

X--，頂點坐標歲,與y軸的交點坐標(0,c)。

2a(2a4a?

②當a〉0時，拋物線開口向上，當x=-2時，函數值能取到最小值為處二絲，

2a4a

在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大。當時,

拋物線開口向下，當x=-=時，函數值能取到最大值為，在對稱軸的左側y隨

2a4〃

x的增大而增大，在對稱軸的右側y隨x的增大而減小。

③拋物線y=ax2+bx+c(a。0)與x軸有兩個交點，則一元二次方程

ax2+bx+c=0(a0)有兩個不等的實根；拋物線y=ax2+bx+c(aw0)與x軸只有一

個公共點，則一元二次方程以2+bx+c=0(awo)有兩個相等的實根；拋物線

y=ax~+bx+c(aw0)與x軸無交點，則一元二次方程ax?+bx+c=Q(aw0)無實根

(3)二次函數的其他3種形式：

①y=ax2

I.二次函數y=a/的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是y軸，頂點在原點，頂點坐標

(0,0).

II.拋物線的開口方向由a的符號決定，當a>0時，開口向上，拋物線在x軸上方(頂點

在x軸上)，并向上無限延伸；當a<0時，開口向下，拋物線在x軸下方(頂點在x軸上)

并向下無限延伸。

開口頂點對稱最大(小)

函數函數變化

方向坐標軸值

a>(0,0x>0時，y隨x增大而增大當x=0時,

y=ax2向上y軸

04)x<0時，y隨x增大而減小y最大二0

a<(0,0x>0時，y隨x增大而減小當x=0時

y=ax2向下y軸

0▼)x<0時，y隨x增大而增大y最大二0

②y=ax2+k

二次函數y+上的圖象是由函數y=ax?的圖象上、下平移得到的，當k>0時，拋物

線y=ad向上平移|k|個單位得到y=ax?+k的圖象；當k<0時，拋物絲y=ax?向下平移Ik

I個單位得到y=ax2+k的圖象.

注意：拋物線y=ax'+k與拋物絲丫=2(形狀完全相同，開口方向相同，對稱軸都是y軸，

但頂點位置不同，y=ax?的頂點是(0,0),y=ax?+k的頂點是(0,k),,頂點在y軸上.

③y=a(x-h)~

二次函數y=a(x-h)②的圖象可由拋物線y=ax?向左(或向右)平移而得到，當h>0時，

拋物線y=ax?向右平稱|h|個單位，得到y=a(x-h)2的圖象；當h<0時，拋物線y=ax?

向左平移Ih|個單位得到y=a(x-h)2的圖象.

注意：拋物線y=a(x—h)2與拋物線丫=2*2的形狀完全相同，開口相同只是在坐標系中

的位置不同，拋物線y=a(X—h)2的對稱軸是x=h,頂點是(h,0),頂點在x軸上.

④y=C7(x-/?)2+k

I.二次函數y=a(x-/z)2+k(aWO)與二次函數y=ax?(a=0)的圖象都是拋物線，在

a相等的情況下，形狀相同，只是位置不同。拋物線y=a(x—h)?+k可由拋物線y=aY向

上(k>0)或向下(k〈O)平移|k|個單位得到拋物線y=ax2+k,再把拋物線y=ax'+k向

左(h<0)或向右(h>0)平移|h|個單位，就得到拋物線y=a(x—h)2+k.

II.拋物線y=a(x—h)2+k(aWO)的特點：

i.a>0時開口向上，a<0的開口向下；

ii.對稱軸是直線x=h；

iii.頂點坐標是(h,k).

(五)方程(組)與不等式(組)

1.一元一次方程

(1)定義：在一個方程中，只含有一個未知數(元)，并且未知數的指數是1(次)的整式

方程為一元一次方程。

(2)解一元一次方程的步驟：

①去分母：方程兩邊的每一項都要乘以各分母的最小公倍數，注意事項：不要漏乘不含分母

的項；去分母后，若分子是多項式，分數線有括號的作用，應該將分子添上括號；

②去括號：如果括號外的因數是負數時，去括號后，原括號內各項的符號要改變符號；如果

括號外的因數是正數時，去括號后，原括號內各項的符號不變號；乘數與括號內多項式相乘

時，乘數應乘括號內的每一項，不要漏乘。

③移項：把含有未知數的項移到等號的一邊，常數項移到等號的另一邊。注意事項：移項時

所要移的項要變號，不移的項不變號；不要漏項

④合并同類項：同類項的系數相加，字母和字母的指數不變。

⑤系數化為1：方程的兩邊都除以未知數系數。

2.二元一次方程(組)

(1)二元一次方程

①定義：含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的整式方程為二元一次

方程。

②二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的一組值，叫做二

元一次方程的解。注意：一般地，二元一次方程的解有無數個，且每一個解都是指一對數值,

而不是指單獨的一個未知數的值;二元一次方程的一個解是指使方程左右兩邊相等的一對未

知數的值；反過來，如果一組數值能使二元一次方程左右兩邊相等，那么這一組數值就是方

程的解；

(2)二元一次方程組

①定義：由兩個二元一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。其實，

只要兩個結合在一起的共含有兩個未知數的一次方程也可稱為二元一次方程。

②二元一次方程組的解：二元一次方程組中兩個方程的公共解，叫做二元一次方程

組的解。

(3)二元一次方程組的解法

①代入消元法：將方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出

來，代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程，最后求得方程組的解.這

種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

代入法解二元一次方程組的步驟：

I選取一個系數較簡單的二元一次方程變形，用含有一個未知數的代數式表示另一個

未知數；

II將變形后的方程代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程(在

代入時，要注意不能代入原方程，只能代入另一個沒有變形的方程中，以達到消元的目的.);

m解這個一元一次方程，求出未知數的值；

IV將求得的未知數的值代入①中變形后的方程中，求出另一個未知數的值；

v用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解；

VI最后檢驗求得的結果是否正確(代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊=右

邊).

②加減消元法：當方程組中兩個方程的某一未知數的系數相等或互為相反數時，把這兩

個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后

求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法.

加減法解二元一次方程組的步驟：

I利用等式的基本性質，將原方程組中某個未知數的系數化成相等或相反數的形式(就

是先找各個系數的最小公倍數，一定要將方程的兩邊都乘以同一個數，切忌只乘以一邊)；

II再利用等式的基本性質將變形后的兩個方程相加或相減，消去一個未知數，得到一

個一元一次方程(若未知數系數相等則用減法，若未知數系數互為相反數，則用加法)；

m解這個一元一次方程，求出未知數的值；

IV將求得的未知數的值代入原方程組中的任何一個方程中，求出另一個未知數的值；

v用聯立兩個未知數的值，就是方程組的解；

VI最后檢驗求得的結果是否正確(代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊=右

邊).

3.一元二次方程

(1)定義：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2次的整式方程叫做一元二次

方程。一■般形式：ax2+bx+c=0(c/^0)

(2)一元二次方程的解法：

①直接開平方法：形如：(x-m)2=M(M>0)

②配方法解a/+bx+c=o(awo)的步驟：i先將常數項c移到方程的兩邊，即

ax2+bx=-c；ii將二次項系數化為1即iii方程兩邊分別加上一次項

aa

A

系數的一半的平方即X2+-%+iv方程左邊成為一個完全平方式

a

i-4ac-b2

即K~~4a-

③公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后判斷A=》2-4ac的值，當

4ac20時，就可以用/=―匕士

2a

④因式分解法：把方程變形為一邊是零，另一邊的二次三項式可以采用十字相乘

法(或完全平方式)分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，

得到兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。

十字相乘法：十字左邊相乘等于二次項系數，右邊相乘等于常數項，交叉相乘再相加

等于一次項系數。

(3)根與系數的關系(韋達定理)：一元二次方程a/+bx+c=O(awO),設網,超是方

hr

程的兩根，則有X1+X,=-上，xtx2=-

aa

⑷一元二次方程根的情況

△=b2-4ac

當△>()時，一元二次方程有2個不相等的實數根；

當△=()時，一元二次方程有2個相同的實數根；

當△<()時，一元二次方程沒有實數根

4.分式方程

(1)定義：分母中含有未知數的方程為分式方程。

⑵解分式方程的步驟

①去分母：

方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程;若遇到互為相反數時.不要忘了改

變符號。

②按解整式方程的步驟：

I.去分母；ii.去括號；ni.移項；w.合并同類項；v.系數化為1

③驗根：

求出未知數的值后必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數的取

值范圍,可能產生增根.

驗根時把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0,這個根就是增根。否則這

個根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，則原方程無解。

⑶解分式方程的方法：

1.一般法：去分母，將分式方程轉化為整式方程，然后解整式方程。如

4x.2%

-------+-------=1-^——

x+3x—3x"-9

2

2.換兀法：x~+x+1=------

『+x

3.分組結合法：x+—=c+—

XC

x2+3x+2_2x2+3x+l

4.因式分解法:

—3x+22%2—3x+1

5.配方法：先把分式方程中的常數項移到方程的右邊，再把左邊配成一個完全平方式，進而

可以用直接開平方法求解

%2+三-26=0

x

5.不等式（組）

⑴不等式

①定義：用不等號連接的式子叫做不等式。不等號有：“W,2,7,〈,>”

②基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變；

基本性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；

基本性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

③不等式的解：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。

⑵一元一次不等式

①定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1的不等式稱為一元一次不等式。

②一元一次不等式的解法:與解一元一次方程類似,但要特別注意當不等式的兩邊乘以（或

除以）同一個負數時，不等號的方向改變。

⑶一元一