第十一章三角形

11.1與三角形有關的線段

11.1.1三角形的邊

7學'習昌標，

1.會用符號表示三角形，了解按邊的大小關系對三角形進行分類；理解掌握三角形三

邊之間的不等關系，并會初步應用它們來解決問題.

2.進一步認識三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三邊關系.

/重1'點:舉焉》

重點：三角形的三邊之間的不等關系.

難點：應用三角形的三邊之間的不等關系判斷3條線段能否組成三角形.

（S習號等

自學1：自學課本應一3頁，掌握三角形的概念、表示方法及分類，完成填空.（5分鐘）

總結歸納：（1）由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形;

其中這三條線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內角;相鄰兩邊的公共端

點叫做三角形的頂點.

（2）三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.在

等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的

夾角叫做底角.

（3）三角形按內角大小可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.

（4）三角形按邊的大小關系可分為三邊都不相等的三角形、等腰三角形;等腰三角形可

分為底邊和腰不相等的等腰三角形、等邊三角形.

點撥精講：等邊三角形是特殊的等腰三角形.

自學2：自學課本凸一4頁“探究與例題”，掌握三角形三邊關系.（5分鐘）

總結歸納：一般地，三角形兩邊的和大于第三邊;三角形兩邊的差小于第三邊.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示、點評，教師巡視.（5分鐘）

1.如圖①，以4,B,C為頂點的三角形記作讀作"三角形如,它的邊分別

是AB,4C,比（或a,b,c）,內角是/C,頂點是點4B,C.

頂點4A.

邊/角、

%角

頂點3邊aBC

①②

點撥精講：三角形的邊也可以用邊所對頂點的小寫字母表示.

2.圖②中有殳個三角形，分別是△/應；XABC,△班T,MCDE,△83,以￡為頂點的

三角形是△/瓦；XBEC,XCDE,以/〃為角的三角形是△時,以為邊的三角形

是△/陽AABC.

3.下列長度的三條線段能組成三角形的有②：①3,4,11；②2,5,6；③3,5,8.

匕合'作那先＞

小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.（10分鐘）

探究1一個等腰三角形的周長為28cm.

（1）已知腰長是底邊長的3倍，求各邊的長；

（2）已知其中一邊的長為6cm,求其他兩邊的長.

解：⑴設底邊長為xcm,則腰長為3xcm,依題意得2X3x+x=28,解得x=4,3x

=12,三邊長分別為4cm,12cm,12cm.

（2）設另一邊長為xcm,依題意得，當6cm為底邊時，2*+6=28,.,.^=11；當6cm

為腰長時，x+2X6=28,，x=16.：6+6<16,不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以

不能圍成腰長為6cm的等腰三角形，，其他兩邊的長為11cm,11cm.

探究2某同學有兩根長度為40cm,90cm的木條，他想釘一個三角形的木框，那么

第三根應該如何選擇？（40cm,50cm,60cm,90cm,130cm）

解：設第三根木條長為xcm,依題意得90—40<x<40+90,...50VxV130,.?.第三根

應選60cm或90cm.

跟蹤薛丹f學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.（5分鐘）

1.圖中有2個三角形，以一為頂點的三角形有班；MADE,1\ACE；以/。為邊的三

角形有△/切，△/龐，XACD.

2.下列長度的三條線段能組成三角形的是。

A.3,4,8B.5,6,11C.2,4,5

3.等腰三角形一條邊等于3cm,一條邊等于6cm,則它的周長為15cm.

點撥精講：注意三角形三邊關系.

上點'撥錯蹄>（3分鐘）1.等邊三角形是特殊的等腰三角形.

2.在進行等腰三角形的相關計算時，要注意分類思想的運用，同時要注意運用三角形

三邊關系判斷所求三條線段長能否構成三角形.

3.已知三角形的兩邊長，可依據三邊關系求出第三邊的取值范圍.

（邈笠他繼一（學生總結本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

匕當'堂洌麻》（10分鐘）

2

11.1與三角形有關的線段

11.1.1三角形的邊

教學目標＜

1.結合具體的實例，進一步認識三角形的概念及其基本要素.

2.會用符號、字母表示三角形，并了解按邊的相等關系對三角形進行分類.

3.理解三角形任何兩邊之和大于第三邊與任意兩邊之差小于第三邊的性質，并會初步

運用這些性質來解決問題.

重點

三角形的三邊關系.

難點

三角形的三邊關系.

教學設計

一、創設情境，引入新課

老師出示一個用硬紙板剪好的三角形，并提出問題；

小學中我們已經認識了三角形，那么你能不能給三角形下一個完整的定義？

老師出示教具，提出問題.讓學生觀察教具，然后給出三角形的定義.

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

二、探究問題，形成概念

（一）探究三角形的有關概念

1.三角形的頂點及符號表示方法.

2.三角形的內角.

3.三角形的邊.

教師繼續利用教具向學生直接指明相關的概念.

學生注意記憶相關的概念.

教師再出示另外剪好的三角形，各頂點字母與原來不同，然后通過新三角形讓學生鞏固

剛才的有關概念.

（二）探究三角形的分類

問題1：小學中已經學過，如何將三角形進行分類？

問題2：如何將三角形按邊分類？

教師提出問題，學生舉手回答.

教師提示，分類的標準是什么？

學生回答：有兩邊相等和有三邊相等，以及三條邊均不相等.

教師進一步提出新的問題，并進一步講解等邊三角形、等腰三角形的有關概念，然后給

3

出三角形按邊分類的方法:

'三邊都不相等的三角形

三角形,(底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形小斗一4『

II等邊二角形

之后師生共同歸納三角形的分類方法.按不同的標準分類，可以有不同的分法.

(三)探究三角形的三邊關系

探究：畫出一個aABC,假設有一只小蟲要從B點出發，沿三角形的邊爬到C點，它有

幾種路線可以選擇？各條路線的長一樣嗎？

教師提出問題，學生先畫圖然后進行討論，并思考問題，然后教師指定學生回答問題.

(1)小蟲從點B出發沿三角形的邊爬到點C有如下幾條路線：

a.從B—C

b.從BfA~C

(2)從B-C路線最短.

然后老師進一步提出問題：這條路線為什么是最短的？

學生舉手回答：“兩點之間，線段最短.”

然后師生共同歸納得出：

AC+BOAB①

AB+AOBC②

AB+BOAC③

即三角形兩邊的和大于第三邊.

教師提問：(1)由不等式①②③移項，你能得到怎樣的不等式？

(2)通過剛才得到的不等式，你有什么發現？

學生回答，師生共同歸納：三角形兩邊的差小于第三邊.

教師出示教材第3頁例題.

分析：(1)“用一條長18c加的細繩圍成一個等腰三角形”，這句話有什么含義？

(2)有一邊長為4cm是什么意思,哪一邊的長度是4cm?

三、練習鞏固

練習：教材第4頁練習第1,2題.

老師布置練習，學生舉手回答即可.第2題注意讓學生說明理由.

解決完以后，教師利用投影出示補充練習，學生獨立完成.

補充練習：一個三角形有兩條邊相等，周長為20頌，一條邊長是6M，求其他兩條邊

長.

四、小結與作業

小結：談談本節課的收獲.

老師引導學生主要從對三角形的分類和三邊關系的認識方面進行小結.

布置作業：習題11.1第1,2,7題.

教與反思＜：?<

三角形的三邊關系是在學生了解了三角形的一些基本特征的基礎上學習的，學生雖然知

道了三角形有三條邊，但三角形“邊”的研究卻是學生首次接觸，讓學生自己動手操作，初

步感知三條邊之間的關系，接著重點研究“能圍成三角形的三條邊之間到底有什么關系？”

通過觀察、驗證、再操作，最終發現三角形任意兩邊之和大于第三邊這一結論。這樣教學符

合學生的認知特點，既增加了興趣，又增強學生的動手能力.

4

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

11.1.3三角形的穩定性

教學目標＜

1.掌握三角形的高、中線、角平分線、重心的定義中體現出來的性質.

2.會畫三角形的高、中線、角平分線.

3.了解三角形的穩定性.

重總難總＜

重點

了解三角形的高、中線與角平分線的概念，會用工具準確畫出三角形的高、中線與角平

分線，了解三角形具有穩定性這一性質.

難點

1.三角形的角平分線與角的平分線的區別，三角形的高與垂線的區別.

2.鈍角三角形高的畫法.

3.不同的三角形三條高的位置關系.

數字設計＜

一、情境導入

生活實例演示：

人字型屋頂鋼架、風箏骨架，并從中抽象出數學圖形，引出三角形中的特殊線段.

二、探究新知

（一）三角形的高

問題1：如何求三角形的面積？

問題2：什么是三角形的高，怎樣畫三角形的高？教師首先提出問題1,學生舉手回答,

然后教師進一步提出來問題2.引入本節課的第一個概念.

從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線,頂點和垂足之間的線段叫做三角形

的高.如圖，AD是AABC的邊BC上高.

A

BD

5

想一想，一個三角形有幾條高？

然后教師要求學生舉手畫三個不同的三角形，即銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形,

之后要求學生作出它們的高，然后同學進行交流.

觀察：每一個三角形的三條高有什么位置關系？

三條高交于一點.

教師提出問題：各種三角形的高都分別交于一點嗎？

學生討論，交流，然后歸納結果.

練習：教材第5頁練習第1題.

學生獨立觀察，然后交流，歸納.

（二）三角形的中線與角平分線的概念及畫法

1.三角形的中線及其畫法.

2.三角形的角平分線及其畫法.

教師指出三角形中線的定義及角平分線的定義，然后仿照三角形的高的教學過程，安排

學生畫一畫，并相應地提出類似的問題.

學生動手操作，然后交流，探討，師生共同歸納總結.

三角形的三條中線都在三角形的內部，且它們交于一點.三角形三條中線的交點叫做三

角形的重心.

三角形的三條角平分線都在三角形的內部，且它們交于一點.

三角形的三條高不一定在三角形的內部，它們也相交于一點.

三角形的高、中線、角平分線都是線段.

（三）三角形的穩定性

教師利用折尺讓學生先折成三角形的樣子，然后拆成四邊形的樣子，認識三角形的穩定

性.

學生認識到三角形的穩定性以后，讓學生找出幾個生活中利用三角形的穩定性的例子，

并完成教材第7頁練習.

三、練習鞏固

練習：教材第5頁練習第2題.

思考：如下圖，AD是4ABC的邊BC上的中線，AABD和AADC的面積有何關系，為什么？

教師布置練習，學生獨立完成，然后舉手回答.

教師利用投影出示思考題，學生進行討論后，再進行歸納.

歸納：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

思考：高和角平分線是否也有這樣的性質呢？

四、小結與作業

小結：談談你對三角形的高、中線、角平分線的認識.

教師引導學生歸納三角形的高、中線、角平分線的相關性質.

布置作業：習題11.1第3,4,8題，選做題：第9題.

教與反思<：?<

6

以學生為本，充分調動學生的學習興趣，主動參與到新課堂的實踐活動.例如：學生在

學習了三角形的角平分線、中線后，引導學生及時比較它們的異同點，以免混淆，建立了求

同存異的思想。學生在得到了任意三角形的三條角平分線、中線交于一點，且在三角形的內

部，這一規律后，就輕易認為三條高線也適用此規律.教師抓住學生的慣性心理，引導學生

通過動手發現新問題，從而解決它.在教學三角形的穩定性時，盡可能利用多媒體引導學生

探尋三角形穩定性的數學含義，進而用三角形的穩定性解釋“為什么不易變形”，再回歸生

活，運用三角形的穩定性解釋為什么要用上三角形和用三角形解決生活中的問題.

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

k學'習昌標

i.了解三角形的高、中線、角平分線等有關概念.

2.掌握三角形的高、中線與角平分線的畫法；了解三角形的三條高、三條中線、三條

角平分線分別交于一點.

重點：三角形的高、中線、角平分線概念的簡單運用及它們的幾何語言表達.

難點：鈍角三角形的高的畫法.

k預'習,

一、自學指導

自學1：自學課本P4頁，掌握三角形的高的畫法，完成下列填空.（4分鐘）

作出下列三角形的高：

如圖①，AD是△ABC的邊照上的高，則有NADB=NADC=90°.

總結歸納：三角形的高有2條，銳角三角形的三條高都在三角形的內部，相交于二點，

直角三角形的三條高相交于三角形的直角頂點上;鈍角三角形的三條高相交于三角形的處

部.

自學2：自學課本因一5頁，掌握三角形的中線的畫法，理解重心的概念，完成下列填

空.（5分鐘）

作出下列三角形的中線，回答下面問題：

總結歸納：三角形的中線有之條，相交于二點，且在三角形的內部,三角形三條中線的

交點叫做三角形的重心.

7

取一塊質地均勻的三角形木板，試著找出它的重心.

自學3：自學課本P5頁，掌握三角形的角平分線的畫法，理解三角形的角平分線與角

的平分線的區別，完成下列填空.（3分鐘）

作出下列三角形的角平分線，回答下列問題：

如圖①，AD是AABC的角平分線，則有/BAD=NDAC=g/BAC；

總結歸納：三角形的角平分線有2條，相交于二點，且在三角形的內部.三角形的角平

分線是線段,而角的角平分線是射線.

點撥精講：三角形的高、中線和角平分線都是線段.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示、點評，教師巡視.（5分鐘）

完成課本P5頁的練習題1,2.

k合作繇意，

小組討論交流解題思路，小組活動后選代表展示活動成果.（10分鐘）

探究1如圖，在aABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，貝打

⑴???AE是AABC的中線，土醫

（2）VAD是4ABC的角平分線，ZBAD=ZDAC=|zBAC；

（3）：AF是AABC的高，/.ZAFB=ZAFC=90°；

⑷,.?AE是△ABC的中線,；.BE=CE,又△砒=<BE?AF,S△祝=|cE?AF,，S△樨=S

z------z------

AACE.

點撥精講：三角形的高、中線和角平分線的概念既是性質，也可以做為判定定理用.

A

探究2如圖，AABC中，AB=2,BC=4,AABC的高AD與CE的比是多少？

解：v|AB?CE=|BC?AD,AB=2,BC=4,ACE=2AD,AAD：CE=1：2.

跟蹤練4一學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.（5分鐘）

1.三角形的三條中線、三條角平分線、三條高都是（。

A.直線B.射線

8

C.線段D.射線或線段

2.一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（0

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不能確定

3.能把三角形的面積分成兩個相等的三角形的線段是（〃）

A.中線B.高

C.角平分線D.以上都正確

4.如圖，D,E是邊AC的三等分點：

（1）圖中有立個三角形，BD是三角形ABE中型邊上的中線，BE是三角形DBC中里邊上

12

的中線，AD=DE=EC=~AC,AE=DC=-AC；

JJ

___1

(2)SAABD=SZ\DBE=SZSEBC='^&\BC；

(3)SAABE=(△呱=^SAABC?

k點/撥錯畤＞（i分鐘）

i.三角形的高、中線和角平分線都是線段.

2.三角形的高、中線和角平分線的概念既可得到角與線段的數量關系，也可做為判定

三角形高、中線和角平分線的判定定理.

「課受小金_?（學生總結本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

電能如二（10分鐘）

11.1.3三角形的穩定性

卜學'習3標、

通過觀察和操作得到三角形具有穩定性，四邊形沒有穩定性，了解穩定性與沒有穩定性

在生產、生活中的應用.

hr點碓」,

重、難點：了解三角形穩定性在生產、生活中的實際應用.

k-'習■&?一）

一、自學指導

自學：自學課本P6-7頁，掌握三角形的穩定性及應用，完成下列填空.（5分鐘）

將準備好的木條做成的三角形木架、四邊形木架取出進行操作并觀察：

9

(D如圖①，扭動三角形木架，它的形狀會改變嗎？

⑵如圖②，扭動四邊形木架，它的形狀會改變嗎？

總結歸納：由上面的操作我們發現，三角形木架的形狀不會改變,而四邊形木架的形狀

會改變.

(3)如圖③，斜釘一根木條的四邊形木架的形狀不會改變.想一想其中的道理是什么？

總結歸納：三角形是具有穩定性的圖形，而四邊形沒有穩定性.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示、點評，教師巡視.(5分鐘)

1.課本P7頁練習題第1題.

2.請例舉生活中關于三角形的穩定性與四邊形的不穩定性的應用實例.

卜合，作誘先,

小組討論交流解題思路，小組活動后選代表展示活動成果.(10分鐘)

探究1要使四邊形不變形，最少需要加L條線段，五邊形最少需要加工條線段，六邊

形最少需要加2條線段……n邊形(n>3)最少需要加包二立條線段才具有穩定性.

點撥精講：過一點把一個多邊形分成若干個三角形最少需要幾條線段.

探究2等腰三角形一腰上的中線將此等腰三角形分成9c",15M兩部分，求此等腰

三角形的周長是多少？

|x+^x=15,

解：設等腰三角形的腰長為xcm,底邊長為ycm,依題意得，當x>y時，11

y+gx=9,

x+Jx=9,,_

2Ix—6,

解得c：6+6=12,不符合三角形的三邊關

,1一u〔y=12,

y?之x15,

系，故舍去....此三角形的周長為10+10+4=24(CR).

答：此等腰三角形的周長為24cm.

點撥精講：此題用到分類思想，同時要考慮三角形的三邊關系.

跟蹤薛4f學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(10分鐘)

1.課本P9頁第10題.

2.下列圖形具有穩定性的有(。

A.梯形B.長方形

C.三角形D.正方形

3.體育館屋頂的橫梁用鋼筋焊出了無數個三角形，是因為：三角形具有穩定性.

4.已知AD,AE分別是aABC的中線、高，且AB=5cm,AC=3cm,則△ABD與△ADC

10

的周長之差為2cm-,AABD與的面積關系是相等.

5.如圖，D是AABC中BC邊上的一點，DE〃AC交AB邊于E,DF〃AB交AC邊于F,且

/ADE=NADF.求證：AD是aABC的角平分線.

BDC

證明：VDE/7AC,DF〃AB,；.NADE=/DAC,/ADF=NDAB,又：/ADE=NADF,AZ

DAC=ZDAB,AAD是AABC的角平分線.

?一'撥錯班》（1分鐘）

三角形的穩定性與四邊形的不穩定性在日常生活中非常常用.

，課堂少些_〉（學生總結本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

上當'學冽豫＞（12分鐘）

11.2與三角形有關的角

11.2.1三角形的內角（1）

k學'習昌標,

1.會用不同的方法證明三角形的內角和定理.

2.能應用三角形內角和定理解決一些簡單的問題.

重點：三角形內角和定理的應用.

難點：三角形內角和定理的證明.

k預，習與專

自學1：自學課本P11—12頁“探究”，掌握三角形內角和定理的證明方法，完成下列

填空.（5分鐘）

歸納總結：三角形內角和定理一一三角形三個內角的和等于180°.

已知：AABC.求證：/A+/B+/C=18（T.

/E

表2-……

BD

點撥精講：為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.作輔助線是幾何證

明過程中常用到的方法，輔助線通常畫成虛線.

證明：延長區_到點D,過點B作BE〃AC,：BE〃AC,，N1=/A,N2=NC,VZ1

+Z2+ZABC^180°,.,./A+/ABC+/C=180°.

自學2：自學課本P12—13“例1、例2"，掌握三角形內角和的應用.（5分鐘）

你可以用其他方法解決例2的問題嗎？

11

點撥精講：可過點C作CF〃AD,可證得CF〃BE,同時將NACB分成NACF與NBCF,求

出這兩個角的度數，就能求出/ACB.

解：過點C作CF〃AD,VAD/7BE,，CF〃BE,VCF/7AD,CF〃BE,AZACF=ZDAC=

50°,/FCB=/CBE=40°,/ACB=NACF+/FCB=50°+40°=90°,VZCAB=ZDAB

-ZDAC=80°-50°=30°,AZABC=1800-ZCAB-ZACB=180°-30°-90°=

60°.

答:從B島看A,C兩島的視角NABC是60°,從C島看A,B兩島的視角/ACB是90°.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示、點評，教師巡視.（5分鐘）

完成課本P13頁的練習題1,2.

點撥精講：仰角是當視線在視平線上方時視線與視平線所夾的角.

k合'作探帝》

小組討論交流解題思路，小組活動后選代表展示活動成果.（7分鐘）

探究1①一個三角形中最多有L個直角；②一個三角形中最多有L個鈍角；③一個三

角形中至少有2個銳角；④任意一個三角形中，最大的一個角的度數至少為K二.為什么？

點撥精講：三角形的內角和為180°.

探究2如圖，在AABC中，EF與AC交于點G,與BC的延長線交于點F,NB=45°,

ZF=30°,ZCGF=70°,求NA的度數.

解：在aCGF中，/GCF=180°-/CGF-NF=180°-70°-30°=80°,，/ACB=

180°-ZGCF=180°-80°=100°，在aABC中，NA=180°-ZB-ZACB=180°-45°

-100°=35°.

f跟里叁學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.（8分鐘）

1.課本P16頁復習鞏固第1題.

2.在AABC中，NA=35°,/B=43°,則/C=102°.

3.在4ABC中，ZA：ZB：ZC=2：3：4,則ZB=60°,ZC=80°.

4.在aABC中，如果NA=J/B=；NC,那么AABC是什么三角形？

乙O

解：VZA=|zB=1zC,.*.ZB=2ZA,ZC=3ZA,VZA+ZB+ZC=180°,AZA

+2ZA+3ZA=180°,/.ZA-300,/.ZB=60°,NC=90°,/XABC是直角三角形.

國”型J（3分鐘）為了說明三角形的內角和為180。，轉化為一個平角或同旁內角

互補，這種轉化思想是數學中的常用方法.

（課堂小些_（學生總結本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

12

上當‘贖洌彝》（10分鐘）

13

11.2.1三角形的內角⑵

k學'習閏q1

1.掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性質與判定.

2.能運用直角三角形的性質與判定解決實際問題.

》重，點庫熱,

重、難點：理解和運用直角三角形的性質與判定.

k預'習）

一、自學指導

自學：自學課本P13—14頁，掌握直角三角形的表示方法及其性質，完成下列填空.（5

分鐘）

總結歸納：（1）直角三角形可以用符號“一△”表示，直角三角形ABC可以寫成應△ABC.

（2）直角三角形的兩個銳角互余.

（3）有兩個角互余的三角形是直角三角形.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示、點評，教師巡視.（10分鐘）

1.在以△ABC中，ZC=90°,ZA=2ZB,求出NA,NB的度數.

解：應aABC中，NA+/B=90°（直角三角形的兩個銳角互余）.

VZA=2ZB,.,.2ZB+ZB=90°，AZB=30°,ZA=60°.

2.如圖，ZACB=90°,CD±AB,垂足為D,/ACD與/B有什么關系？為什么？

解：結論：ZACD=ZB.

理由如下：在股Z\ACB中，ZA+ZB=90°,在以ZXACD中，ZA+ZACD=90°,AZ

ACD=/B.

點撥精講：利用同角的余角相等可以方便地證出兩角的相等關系.

3.如圖，NC=90°,ZAED-ZB,4ADE是直角三角形嗎？為什么？

解：結論：4ADE是直角三角形.

理由如下：在aAABC中，ZA+ZB=9O0（直角三角形的兩個銳角相等）.

14

VZAED=ZB,.,.ZA+ZAED=90°,.-.AADE是直角三角形（有兩個角互余的三角形

是直角三角形）.

k合'作，添帝,

小組討論交流解題思路，小組活動后選代表展示活動成果.（10分鐘）

探究1如圖，AB〃CD,AE,CE分別平分NBAC,NACD.求證：4ACE是燈△.

證明：VAB/7CD,.".ZBAC+ZACD=180°,VAE,CE分別平分NBAC,ZACD,/.ZEAC

=|zBAC,ZACE=|zACD,AZEAC+ZACE=1zBAC+|zACD=90°,ZXACE是服△（有

兩個角互余的三角形是直角三角形）.

探究2如圖，在位/XABC中，/C=90°,AD,BD是/CAB,/CBA的角平分線，求ND

的度數.

解：在燈AABC中，ZCAB+ZCBA=90°,

VAD,BD是/CAB,ZCBA的角平分線，/.ZDAB=|zCAB,ZDBA=|zCBA,AZDAB

+ZDBA=1zCAB+|zCBA=45°,在AADB中，ND=180°-（ZDAB+ZDBA）=180°-

45°=135°.

跟蹤練4f學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.（5分鐘）

1.在AABC中，ZA：ZB：/C=l：2：3,則此三角形是直角三角形.

C

ADB

2.如圖，在aABC中，ZACB=90°,ZACD=ZB.

求證：AACD是服△.

證明：在^aABC中，ZA+ZB=90°（直角三角形的兩個銳角互余）.

VZACD-ZB,AZA+ZACD=900,;.△ACD是以△（有兩個角互余的三角形是直角

三角形）.

區控皿_＞（3分鐘）1.直角三角形的性質：兩個銳角互余.

2.直角三角形的判定：①有一個角是直角；②兩邊互相垂直；③有兩個角互余；

（邈堂R途一（學生總結本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

卜當'堂，叫薛》（10分鐘）

15

11.2與三角形有關的角

11.2.1三角形的內角

教學目標＜

1.理解三角形內角和定理的內容，能應用三角形內角和定理解決一些簡單的實際問題.

2.掌握直角三角形的兩個銳角互余，能用有兩個角互余的三角形是直角三角形對三角

形進行判定.

重點

三角形內角和定理

難點

三角形內角和定理的推理過程.

教學設計〈

一、情境導入

我們知道，任意一個三角形的內角和等于180°,怎樣證明這個結論的正確性呢？小學

中我們通過測量的方法進行過驗證，但我們不可能對所有的三角形進行驗證，有沒有一種能

證明任意三角形的內角和等于180°的方法呢？

二、探究新知

（一）探究三角形的內角和

1.在所準備的三角形硬紙上標出三個內角的編碼.

出/BCD的度數，可得到NA+NB+NACB=180°.

3.把/B和/C剪下按下圖拼在一起，用量角器量一量NMAN的度數，會得到什么結果？

（3）

教師在學生完成后，提出問題：

在圖⑵中直線CM與AB是什么關系？

在圖⑶中直線MN與BC是什么關系？

你能從中找到三角形內角和定理的證明方法嗎？

（二）證明三角形內角和定理

三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180。.

16

已知：△ABC,如圖.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

教師引導學生從上面的操作中得到證明三角形內角和定理的方法,然后規范地寫出證明

過程.注意向學生提示輔助線要用虛線.

這一過程中教師應當注意，必須要寫出規范的證明過程.教師可以采用示范一個，練習

一個的方式.用如上圖的方法進行教師示范，用如下圖的方法讓學生進行練習.

想一想，還有沒有其他的方法？（利用同旁內角互補）

三、舉例分析

教師用多媒體出示例1,要求學生獨立完成.

學生說出解題過程，教師講評，規范格式.

老師利用多媒體出示例2,學生先讀題，弄懂題意，然后師生共同分析解題.

之后教師可進一步向學生提問：“還有沒有其他的方法來解決.”

教師指導學生嘗試探究直角三角形的兩個銳角之間的關系，要求寫出推理過程.

學生匯報結果，師生總結得到“直角三角形的兩個銳角互余”.

教師多媒體出示例3,指名板演，集體講評，注重講題說理.接著讓學生思考：有兩個

角互余的三角形是否是直角三角形？（簡單說明理由）

四、課堂練習

練習：教材練習.

補充練習：

1.三角形中最大的角是70°,那么這個三角形是銳角三角形.（）

2.一個三角形中最多只有一個鈍角或直角.（）

3.一個等腰三角形一定是銳角三角形.（）

4.一個三角形最少有一個角不大于60°.（）

5.一個三角形中有兩個角分別是40°,50°,則這個三角形是直角三角形.（）

五、小結與作業

小結：談談本節課的收獲.

教師引導學生從定理的證明過程和對例題中解題的思路方法的角度進行小結.

布置作業：習題11.2第1,2,3,7題，選做題：第9題.

教學反思＜

在教學中，當引出課題后，先引導學生積極討論交流探究三角形內角和的方法，再引導

學生通過探究活動來得出結論.當學生有困難時，教師也參與學生的研究，適當進行點撥,

并充分進行交流反饋，給學生創造了一個寬松和諧的探究氛圍.

11.2.2三角形的外角

17

?學'習昌彝:

1.探索并了解三角形的外角的兩條性質，利用學過的定理證明這些性質.

2.能利用三角形的外角性質解決實際問題.

/箕，點庫■焉>

重點：三角形外角的性質.

難點：運用三角形外角的性質解決有關角的計算及證明問題.

?預'習號號,

一、自學指導

自學1：自學課本P14頁，掌握三角形外角的定義，完成下列填空.（3分鐘）

如圖1,把AABC的邊BC延長到D,我們把/ACD叫做三角形的處魚.

思考：①在aABC中，除了NACD外，還有那些外角？請在圖2中分別畫出來；②以點

C為頂點的外角有2個，所以AABC共有殳個外角；③外角/ACD與內角NACB的關系是：互

為鄰補角.

總結歸納：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角；每一個三角

形都有9個外角；每一個頂點相對應的外角都有2個;每個外角與它相鄰的內角互為鄰補角.

自學2：自學課本P15頁“探究與例4”，理解三角形外角的性質并學會運用.（7分鐘）

BCD

如圖，aABC中，NA=70°,/B=60°,/ACD是AABC的一個外角.能由內角/A,

NB求出外角NACD嗎？如果能，外角NACD與內角NA,NB有什么關系？認真思考，完成

下面的填空：

（1）ZACB=50°,ZACD=130°,ZA+ZB=130°,ZACD^ZA+ZB；（iX

或“=”）

（2）ZACD>ZA,NACD④NB.（填“>”或“=”）

總結歸納：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內更的和；三角形的一個外角大于

任何一個與它不相鄰的內角.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示、點評，教師巡視.（5分鐘）

1.如圖，是Z\BFD的外角有NCDA,NBFC,NDFE,以NAEB為外角的三角形是絲生

ACEB.

2.如圖，Zl,Z2,N3是aABC不同的三個外角，求/1+N2+/3.

18

解：VZ1=ZABC+ZACB,Z2=ZBAC+ZACB,Z3=ZABC+ZCAB,AZ1+Z2+

Z3=2（ZABC+ZACB+ZBAC）,VZABC+ZACB+ZBAC=180°,/l+/2+/3=2X

180°=360°.

3.課本P15頁練習題.

小組討論交流解題思路，小組活動后選代表展示活動成果.（10分鐘）

探究1如圖，在aABC中，ZA=a,△ABC的內角平分線或外角平分線交于點P,且

/P=B,試探求下列各圖中a與B的關系，并選一個結論加以證明.

證明：（略）

探究2如圖，ZA=50°,ZB=40°,ZC=30°,求/BPC的度數.

解：連接AP并延長到點E,：/BPE=/B+/BAP,ZCPE=ZC+ZCAP,又?.?/BPC=

ZBPE+ZCPE,AZBPC=ZB+ZBAP+ZC+ZCAP=ZBAC+ZB+ZC=50°+40°+30°

=120°.

f跟壁桀&一學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.（5分鐘）

1.若三角形的一個外角小于與它相鄰的內角，則這個三角形是（。

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.無法確定

2.已知三角形的三個外角的度數比為2：3：4,則它的最大內角的度數為（。

A.90°B.110°C.100°D.120°

3.如圖，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6^360°.

錯誤!

4.如圖，BE〃CF,ZB=500,/C=75°,求NA的度數.

19

解：VBE/7CF,.,.ZADE=ZC,VZADE=ZB+ZA,.\50°+ZA=75°,AZA=25°.

上點券希蹄》（3分鐘）1.三角形的每個頂點處都有2個外角，這兩個外角互為對頂角，

外角與它相鄰的內角互為鄰補角.

2.在三角形的每個頂點處各取一個外角，這三個外角的和為360°.

3.三角形外角的性質是三角形有關角的計算與證明的常用依據.

（課堂小續一（學生總結本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

匕當'堂冽味》（10分鐘）

11.2.2三角形的外角

教學目標＜

1.了解三角形的外角.

2.知道三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

3.學會運用簡單的說理來計算三角形相關的角.

重總難后＜

重點

三角形外角的性質.

難點

運用三角形外角性質進行有關計算時能準確地推理.

一、復習引入

什么是三角形的內角？它是由什么組成的？

三角形內角和定理的內容是什么？

教師提出問題，學生舉手回答問題.

二、探究新知

1.探究三角形外角的概念.

教師布置學生自學教材第14頁最后一段話的內容，然后完成以下問題:

（1）舉例說明什么是三角形的外角.（上黑板畫圖說明）

（2）如圖，ZADB,ZBPC,ZBDC,NDPC分別是哪個三角形的外角?

A

/

BC

2.探究三角形外角的性質.

老師布置學生自學教材第15頁思考的內容，然后同學間進行交流、討論，歸納三角形

的外角有什么性質，并提出以下問題：

你能否用證明的方法說明你所歸納的性質？

學生歸納得出三角形外角的性質：

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和

三、舉例分析

20

例1如圖，ZBAE,ZCBF,/ACD是aABC的三個外角，它們的和是多少？

教師出示教材例4,先讓學生進行分析，教師可以適當加以引導學生，將三角形的外角

轉化為三角形的內角，然后師生共同寫出規范的解答過程.

解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得NBAE=N2+N3,ZCBF

=N1+N3,ZACD-Z1+Z2.

所以NBAE+NCBF+NACD=2(N1+/2+N3).

由/1+N2+/3=18O°,得/BAE+/CBF+NACD=2X180°=360°.

四、練習與小結

練習：教材練習.

教師布置練習，學生舉手回答.

小結：談