第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省濟南市萊蕪區九年級（下）質檢數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.2024年全國普通高校畢業生規模預計達到1179萬人，將1179萬用科學記數法表示為(

)A.1.179×107 B.1.179×108 C.2.下列命題正確的是(

)A.方差越小則數據波動越大 B.等邊三角形是中心對稱圖形

C.對角線相等的四邊形是矩形 D.正多邊形的外角和為360°3.下列運算正確的是(

)A.3a2?a=2a B.(a+b)2=4.某幾何體是由四個大小相同的小立方塊搭成，其俯視圖如圖所示，圖中數字表示該位置上的小立方塊個數，則這個幾何體的主視圖是(

)A. B. C. D.5.實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是(

)A.ab>0 B.a+b<0 C.|a|>|b| D.a?b<06.小剛同學一周的跳繩訓練成績(單位：次/分鐘)如下：156，158，158，160，162，165，169.這組數據的眾數和中位數分別是(

)A.160，162 B.158，162 C.160，160 D.158，1607.已知點A(?3,y1)，B(?2,3)，C(?1,y2)，D(2,y3)都在反比例函數y=kA.y2<y1<y3 B.8.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足為E，F，則PE+PF的值為(

)A.125B.245C.59.如圖，在?ABCD中，AB=2，AD=3，∠ABC=60°，在AB和AD上分別截取AE(AE<AB)，AF，使AE=AF，分別以E，F為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在∠DAB內交于點G，作射線AG交BC于點H，連接DH，分別以D，H為圓心，以大于12DH的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN交CD于點K，則CK的長為(

)A.34 B.23 C.3510.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4，動點D從點A開始沿AB邊以每秒0.5個單位長度的速度運動，同時，動點E從點B開始沿BC邊以相同速度運動，當其中一點停止運動時，另一點同時停止運動，連接DE，F為DE中點，連接AF，CF，設時間為t(s)，DE2為y，y關于t的函數圖象如圖2所示，則下列說法正確的是(

)

①當t=1時，DE=2.5；②AB=2；③DE有最小值，最小值為2；④AF+CF有最小值，最小值為26．①②③ B.①③④ C.②③ D.②④二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。11.在平面直角坐標系中有五個點，分別是A(1,3)，B(?1,3)，C(?1,?3)，D(4,3)，E(3,?5)，從中任選一個點，選到的這個點恰好在第一象限的概率是______．12.如圖，紙片的邊緣AB，CD互相平行，將紙片沿EF折疊，使得點B，D分別落在點B′，D′處.若∠1=80°，則∠2的度數是______．13.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，△ABC的周長為14，則AB邊上的高為______．14.小明周六從家出發沿一條路勻速步行去圖書館查閱資料，資料查閱完畢后沿原路勻速返回，速度與來時相同，途中遇到同學小亮，交談一段時間后以相同速度繼續行進，直至返回家中，如圖是小明離家距離y(km)與時間x(?)的關系，則小明與小亮交談的時間為______?.15.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=6，E為AD中點，F為邊CD上一點，連接EF，將△DEF沿EF翻折，點D的對應點為D′，G為邊BC上一點，連接AG，將△ABG沿AG翻折，點B的對應點恰好也為D′，則BG=______．三、計算題：本大題共1小題，共7分。16.計算：(?1)四、解答題：本題共9小題，共83分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題7分)

解不等式組：2x?1<3x,x?22?x?1318.(本小題7分)

如圖，在?ABCD中，點E，F分別是AD，BC上的點，且DE=BF，連結BE，DF.求證：BE=DF．19.(本小題8分)

根據以下素材，探索完成任務．探究車牌識別系統的識別角度素材1某小區為解決“停車難”這個問題，改造一個地下停車庫.圖1是該地下停車庫坡道出入口的側面示意圖.地下停車庫高BC=4.5mBC⊥AC，出入口斜坡AB長20.5m．素材2圖2是地下停車庫門口安裝的車牌識別設備，攝像頭D點位于B點正上方DB=1.5m，D，B，C三點共線.攝像頭在斜坡上的有效識別區域為EB，車輛進入識別區域無需停留，閘門3秒即會自動打開，車輛通過后，閘門才會自動關閉.(參考數據sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43素材3汽車從地下車庫駛出，在斜坡上保持勻速行駛，車庫限速5km/?．問題解決任務一確定斜坡坡比：如圖1，求BCAC任務二判斷車輛是否順利通過：如圖3，當∠EDB=53°時，請判斷此時車輛以最高限速行駛到達B點時，閘門是否已經打開，請通過計算說明．20.(本小題8分)

如圖，在⊙O中，AB是直徑，點C是⊙O上一點，AC=9，BC=3，點E在AB上，AE=2BE，連接CE并延長交⊙O于點D，連接AD，AF⊥CD，垂足為F．

(1)求證：△ADF∽△ABC；

(2)求DF的長．21.(本小題9分)

為了增強青少年的法律意識，呵護未成年人健康成長，某學校展開了法律知識競賽活動，并從七、八年級分別隨機抽取了40名參賽學生，對他們的成績進行了整理、描述和分析．

①抽取七、八年級參賽學生的成績統計圖如圖(不完整)：

說明：A：0≤x<60；B：60≤x<70；C：70≤x<85；D：85≤x≤100；

②抽取八年級參賽學生的成績等級為“C”的分數為：70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84．

③抽取七、八年級參賽學生成績的平均數、中位數、眾數如表：年級平均數中位數眾數七73.57484八73.5______85根據以上信息，解答下列問題：

(1)請將條形統計圖補充完整；

(2)八年級這40名學生成績的中位數是______；

(3)在這次競賽中，小明和小亮均得了75分，但小明的成績在其所在年級排名更靠前，可知小明是______(填“七”或“八”)年級的學生；

(4)該校七年級有720名學生，八年級有800名學生，若該校決定對于競賽成績不低于85分的學生授予“法治先鋒”稱號，則請估計七、八年級獲得“法治先鋒”稱號的學生共有多少人？22.(本小題10分)

某超市銷售A，B兩種品牌的牛奶，購買3箱A種品牌的牛奶和2箱B種品牌的牛奶共需285元；購買2箱A種品牌的牛奶和5箱B種品牌的牛奶共需410元．

(1)求A種品牌的牛奶，B種品牌的牛奶每箱價格分別是多少元？

(2)若某公司購買A，B兩種品牌的牛奶共20箱，且A種品牌牛奶的數量至少比B種品牌牛奶的數量多6箱，又不超過B種品牌牛奶的3倍，購買A，B兩種品牌的牛奶各多少箱才能使總費用最少？最少總費用為多少元？23.(本小題10分)

如圖，直線y=32x與雙曲線y=kx(k≠0)交于A，B兩點，點A的坐標為(m,?3)，點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點D，且BC=2CD．

(1)求k的值并寫出點B的坐標；

(2)線段EF=1在x軸上運動，且F點在右側，求四邊形BEFC周長的最小時點E的坐標；

(3)P是坐標軸上的點，Q是平面內一點，是否存在點P，Q，使得四邊形ABPQ是矩形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點24.(本小題12分)

閱讀材料并完成問題．材料：直線y=kx+b(k≠0)上任意兩點M(x1,y1)，N(x2,y2)，x1≠x2，線段MN的中點P(x3,y3)，P點坐標及k可用公式：x3已知拋物線y=mx2?2mx?3(m>0)，根據以上材料解答下列問題：

(1)若該拋物線經過點A(3,0)，求m的值；

(2)在(1)的條件下，B，C為該拋物線上兩點，線段BC的中點為D，若點D(2,1)，求直線BC的表達式；

以下是解決問題的一種思路，僅供大家參考：

設直線BC的表達式為：y=kx+b，B(xB,yB)，C(xC,yC)，則有yB=mxB2?2mxB?3①，yC=mxC2?2mxC?3②.①?②得：yB?yC=m(xB2?xC225.(本小題12分)

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°．

(1)如圖1，在△ACE中，∠CAE=120°，AE=2AC，F是AE中點，連接BF.若BC=1，求線段BF的長；

(2)如圖2，在△BCD中，∠BDC=120°，BD=2CD，F是AB中點，連接DF，求BFDF的值；

(3)如圖3，在△CDE中，∠CDE=120°，DE=2CD，E是AB中點，F是AE中點，連接BD，DF，求DFBD的值．

參考答案1.A

2.D

3.D

4.A

5.D

6.D

7.B

8.B

9.C

10.D

11.2512.50°

13.7314.0.4

15.6?216.解：原式=1×8+1+|317.解：2x?1<3x①x?22?x?13≤0②，

解不等式①得：x>?1，

解不等式②得：x≤4，

∴不等式組的解集為：?1<x≤418.證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴DE//BF.又DE=BF，

∴四邊形BEDF為平行四邊形，

∴BE=DF．

19.解：任務一：∵BC=4.5m，BC⊥AC，AB=20.5m，

∴AC=AB2?BC2=20m，

∴BCAC=4.520=940；

任務二：閘門沒有打開，理由如下：

如圖，過點E作EF⊥BC于F，

∵∠EDB=53°，tan53°≈43=EFDF，

∴設EF=4x?m，則DF=3x?m，

∵EF⊥BC，BC⊥AC，

∴EF//AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴BFEF=BCAC=94020.(1)證明：∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，∵AF⊥CD，

∴∠AFD=∠ACB=90°，

∵∠ADF=∠B，

∴△ADF∽△ABC；

(2)解：如圖，過點C作CH⊥AB于點H．

∵AC=9，BC=3，∠ACB=90°，

∴AB=BC2+AC2=32+92=310，

∵AE=2BE，

∴BE=10，AE=210，

∵12?AC?BC=12?AB?CH，

∴CH=91010，

∴BH=BC2?CH2=32?(91010)2=31010，

∴EH=BE?BH=71010，

∴EC=CH2+EH2=(91010)2+(71010)2=13，

∵∠CHE=∠AFE=90°，∠AEF=∠CEH，22.解：(1)設A種品牌的牛奶每箱價格是a元，B種品牌的牛奶每箱價格是b元．

根據題意，得3a+2b=2852a+5b=410，

解得a=55b=60．

答：A種品牌的牛奶每箱價格是55元，B種品牌的牛奶每箱價格是60元．

(2)設購買A品牌的牛奶x箱，則購買B品牌的牛奶(20?x)箱．

根據題意，得x?(20?x)≥6x≤3(20?x)，

解得13≤x≤15，

設總費用為W元，則W=55x+60(20?x)=?5x+1200，

∵?5<0，

∴W隨x的增大而減小，

∵13≤x≤15，

∴當x=15時，W值最小，W最小=?5×15+1200=1125，20?15=5(箱)．

答：購買A品牌的牛奶15箱、B品牌的牛奶5箱才能使總費用最少，最少總費用為1125元．

23.解：(1)∵直線y=32x與雙曲線y=kx(k≠0)交于A，B兩點，點A(m,?3)，

∴?3=32mk=?3m，

解得：m=?2k=6，

∴點A(?2,?3)，反比例函數的表達式為：y=6x，

∵直線y=32x與雙曲線y=6x都關于原點O對稱，

∴點A，B關于原點O對稱，

∴點B的坐標為(2,3)；

(2)過點B作BH⊥x軸于點H，過點C作CK⊥x軸于點K，如圖1所示：

∵點B(2,3)，

∴BH=3，

∵BC=2CD，

∴BD=3CD，

∵BH⊥x軸，CK⊥x軸，

∴BH//CK，

∴△BCK∽△DBH，

∴CKBH=CDBD，

∴CK3=CD3CD，

∴CK=1，

∴點C的縱坐標為1，

對于y=6x，當y=1時，x=6，

∴點C的坐標為(6,1)，

∴BC=(2?6)2+(3?1)2=25，

當線段EF=1在x軸上運動時，四邊形BEFC的周長為：BC+EF+BE+CF，

∴當BE+CF為最小時，四邊形BEFC的周長為最小，

作點B關于x軸對稱點P，過點P作PQ/?/x軸，且PQ=1(點Q在點P的右側)，連接PE，QF，QC，如圖2所示：

∴BE=PE，

∵線段EF在x上移動，且EF=1，

∴PQ//EF，PQ=EF=1，

∴四邊形AEFQ是平行四邊形，

∴PE=QF=BE，

∴BE+CF=QF+CF，

根據“兩點之間線段最短”得：QF+CF≤QC，

∴點Q，F，C在同一條直線上時，QF+CF為最小，即BE+CF為最小，如圖3所示：

∵點B(2,3)，點B與點P關于x軸對稱，

∴點P(2,?3)，

∵AQ=1，

∴點Q(3,?3)，

設直線CQ的表達式為：y=kx+b，

將點C(6,1)，點Q(3,?3)代入y=kx+b，

得：6k+b=13k+b=?3，

解得：k=43b=?7，

∴直線QC的表達式為：y=43x?7，

對于y=43x?7，當y=0時，x=214，

∴點F的坐標為(214,0)，

∴OF=214，

∵EF=1，

∴OE=OF?EF=214?1=174，

此時點E的坐標為(174,0)；

(3)存在，理由如下：

①當點P在x軸上上時，過點B作BM⊥x軸于點M，如圖4所示：

則∠OMB=90°，

∵點B(2,3)，

∴OM=2，BM=3，

在Rt△OBM中，由勾股定理得：OB=OM2+BM2=13，

∵四邊形ABPQ是矩形，

∴∠OMB=∠OBP=90°，

又∵BOM=∠POB，

∴△OBM24.解：(1)把點A坐標代入拋物線y=mx2?2mx?3得：9m?6m?3=0，解得m=1．

(2)當m=1時，拋物線解析式為：y=x2?2x?3．

由于點D是線段BC中點，根據材料可知：xB+xC2=2，yB+yC2=1．

B、C兩點在拋物線上，則yB=xB2?2xB?3，yC=xC2?2xC?3．

兩式相減得：yB?yC=xB2?xC2?2xB+2xC=(xB?xC)(xB+xC?2)．

yB?yCxB?xC=(xB+xC?2)=2．

設直線BC的解析式為y=kx+b，由材料可得k=2，則y=2x+b．

把點D坐標代入得：1=2×2+b，b=?3．

故直線BC的表達式為y=2x?3．

(3)Ⅰ.根據(2)題干思路，對于直線EF，k=(52?2)m，b=n．

則k=m(xE+xF)?2m．

結合直線EF和拋物線解析式可得：mx2?2mx?3=(52?2)mx+n，

整理得：mx2?52mx?3?n=0，

由根與系數的關系得：xE+xF=52，

則EF中點的橫坐標為：xE+xF2=522，

∴EF中點在定直線x=522上．

Ⅱ.如圖，直線l2的與坐標軸相交于AB兩點，過原點O作l2的垂線，點C為垂足，拋物線交y軸負半軸于點25.解：(1)如圖1中，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠AB