PAGEPAGE3專題1.5共點力的動態平衡與臨界極值問題【專題詮釋】1．動態平衡：“動態平衡”是指物體所受的力一部分是變力，是動態力，力的大小和方向均要發生變更，但變更過程中的每一個狀態均可視為平衡狀態，所以叫動態平衡．2．分析動態平衡問題的方法方法步驟解析法(1)列平衡方程求出未知量與已知量的關系表達式(2)依據已知量的變更狀況來確定未知量的變更狀況圖解法(1)依據已知量的變更狀況，畫出平行四邊形邊、角的變更(2)確定未知量大小、方向的變更相像三角形法(1)依據已知條件畫出兩個不同狀況對應的力的三角形和空間幾何三角形，確定對應邊，利用三角形相像學問列出比例式(2)確定未知量大小的變更狀況【高考引領】【2024·全國卷Ⅰ】如圖，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪。一細繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統處于靜止狀態。現用水平向左的拉力緩慢拉動N，直至懸掛N的細繩與豎直方向成45°。已知M始終保持靜止，則在此過程中()A．水平拉力的大小可能保持不變B．M所受細繩的拉力大小肯定始終增加C．M所受斜面的摩擦力大小肯定始終增加D．M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加【答案】BD【解析】選N為探討對象，受力狀況如圖甲所示，由圖甲可知，用水平拉力F緩慢拉動N的過程中，水平拉力F漸漸增大，細繩的拉力T漸漸增大，A錯誤，B正確。對于M，受重力GM、支持力FN、繩的拉力T以及斜面對它的摩擦力f，如圖乙所示，若起先時斜面對M的摩擦力f沿斜面對上，則T＋f＝GMsinθ，T漸漸增大，f漸漸減小，可能有當f減小到零后，再反向增大的狀況；若起先時斜面對M的摩擦力沿斜面對下，此時，T＝GMsinθ＋f，當T漸漸增大時，f漸漸增大，C錯誤，D正確。【2024·新課標全國Ⅲ卷】一根輕質彈性繩的兩端分別固定在水平天花板上相距80cm的兩點上，彈性繩的原長也為80cm。將一鉤碼掛在彈性繩的中點，平衡時彈性繩的總長度為100cm；再將彈性繩的兩端緩慢移至天花板上的同一點，則彈性繩的總長度變為（彈性繩的伸長始終處于彈性限度內）（）A．86cm B．92cm C．98cm D．104cm【答案】B【解析】設彈性繩的勁度系數為k，左、右兩半段繩的伸長量，由共點力的平衡條件可知，鉤碼的重力，將彈性繩的兩端緩慢移至天花板上同一點時，鉤碼的重力，解得，則彈性繩的總長度變為，故選B。【2024·新課標全國Ⅰ卷】如圖，松軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為（）。現將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中（）A．MN上的張力漸漸增大B．MN上的張力先增大后減小C．OM上的張力漸漸增大D．OM上的張力先增大后減小【答案】AD【解析】以重物為探討對象，受重力mg，OM繩上拉力F2，MN上拉力F1，由題意知，三個力合力始終為零，矢量三角形如圖所示，在F2轉至水平的過程中，MN上的張力F1漸漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以AD正確，BC錯誤。【2024·天津卷】如圖所示，輕質不行伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點，懸掛衣服的衣架鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止狀態。假如只人為變更一個條件，當衣架靜止時，下列說法正確的是（）A．繩的右端上移到，繩子拉力不變B．將桿N向右移一些，繩子拉力變大C．繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小D．若換掛質量更大的衣服，則衣架懸掛點右移【答案】AB【解析】設兩桿間距離為d，繩長為l，Oa、Ob段長度分別為la和lb，則，兩部分繩子與豎直方向夾角分別為α和β，受力分析如圖所示。繩子中各部分張力相等，，則。滿意，，即，，d和l均不變，則sinα為定值，α為定值，cosα為定值，繩子的拉力保持不變，衣服的位置不變，故A正確，CD錯誤；將桿N向右移一些，d增大，則sinα增大，cosα減小，繩子的拉力增大，故B正確。【2024·全國二卷】質量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上，用水平力F拉著繩的中點O，使OA段繩偏離豎直方向肯定角度，如圖所示。設繩OA段拉力的大小為T，若保持O點位置不變，則當力F的方向順時針緩慢旋轉至豎直方向的過程中()A．F先變大后變小，T漸漸變小B．F先變大后變小，T漸漸變大C．F先變小后變大，T漸漸變小D．F先變小后變大，T漸漸變大【答案】C【解析】對結點O受力分析，畫出力的平行四邊形如圖所示，保持O點位置不變，則當力F的方向順時針緩慢旋轉至豎直方向的過程中，由圖可知F先減小后增加，T始終減小，C正確。【技巧方法】處理共點力作用下平衡的方法：(1)涉及三個力的動態平衡問題解決方法：動態圖解法、相像三角形法，極個別狀況須要運用數學正弦定理解決問題。(2)涉及四個及四個以上力的動態平衡問題一般采納解析法，通過找尋變更力的函數解析式，運用數學函數學問推斷力的變更狀況【最新考向解碼】1.(2024·山東煙臺高三上學期期末)如圖所示，一質量為m、半徑為r的光滑球A用細繩懸掛于O點，另一質量為M、半徑為R的半球形物體B被夾在豎直墻壁和A球之間，B的球心到O點之間的距離為h，A、B的球心在同一水平線上，A、B處于靜止狀態，重力加速度為g。則下列說法正確的是()A．A對B的壓力大小為eq\f(R＋r,h)mgB．豎直墻壁對B的摩擦力可能為零C．當只輕輕把球B向下移動一點距離，若A、B再次保持靜止，則A對B的壓力大小保持不變，細繩拉力增大D．當只輕輕把球B向下移動一點距離，若A、B再次保持靜止，則A對B的壓力減小，細繩拉力減小【答案】AD【解析】分析A球的受力狀況，如圖1所示，B對A的支持力N與A的重力mg的合力與細繩的拉力T等大反向共線，依據兩個陰影三角形相像得：eq\f(N,R＋r)＝eq\f(mg,h)＝eq\f(T,\x\to(OA))，得N＝eq\f(R＋r,h)mg，T＝eq\f(\x\to(OA),h)mg，由牛頓第三定律知A對B的壓力大小為：N′＝N＝eq\f(R＋r,h)mg，A正確；B在豎直方向受到重力，而A、B間無摩擦，由平衡條件知豎直墻壁對B肯定有摩擦力，B錯誤；當只輕輕把球B向下移動一點距離，分析A球的受力狀況，如圖2所示，N與T的合力與mg等大反向共線，依據兩個陰影三角形相像得：eq\f(N,R＋r)＝eq\f(mg,L)＝eq\f(T,\x\to(OA))，可得：N＝eq\f(R＋r,L)mg，T＝eq\f(\x\to(OA),L)mg，由于L＞h，可知N減小，T減小，由牛頓第三定律知A對B的壓力減小，C錯誤，D正確。2(2024·安徽教研會高三其次次聯考)如圖，在一段平坦的地面上等間距分布著一排等高的輸電線桿，掛在線桿上的電線粗細勻稱且呈對稱性。由于熱脹冷縮，冬季兩相鄰線桿之間的導線長度會有所削減。對B線桿及兩側的電線，冬季與夏季相比()A．電線最高點處的張力變大B．電線最低點處的張力不變C．線桿對地面的壓力變小D．線桿兩側電線對線桿拉力的合力不變【答案】AD【解析】以相鄰兩線桿之間的電線為探討對象，受力分析如圖所示，可知冬季電線拉力的夾角更大，合力不變(大小等于重力，方向豎直向上)，則可得冬季電線的拉力較大，電線最高點和最低點處的張力都變大，B錯誤，A正確；把線桿和電線看做一個整體，線桿對地面的壓力大小始終等于線桿和電線整體重力之和，C錯誤；線桿兩側電線對線桿拉力的合力等于電線的重力，故線桿兩側電線對線桿拉力的合力不變，D正確。3.(2024·湖北沙市中學考試)如圖所示，不計質量的光滑小滑輪用細繩懸掛于墻上O點，跨過滑輪的細繩連接物塊A、B，A、B都處于靜止狀態，現將物塊B移至C點后，A、B仍保持靜止，下列說法中正確的()A．B與水平面間的摩擦力增大B．地面對B的彈力增大C．懸于墻上的繩所受拉力不變D．A、B靜止時，圖中α、β、θ三角始終相等【答案】ABD【解析】對物體A受力分析，受到重力和細線的拉力，依據平衡條件，拉力等于物體A的重力，當把物體B移至C點后，繩子與水平方向的夾角變小，但細線的拉力不變，對物體B受力分析，受重力、支持力、拉力和靜摩擦力，如圖所示．依據共點力平衡條件，有Tcosr＝f，Tsinr＋N＝mg，由于角r變小，故B與水平面間的靜摩擦力變大，地面對B的彈力增大，故A、B正確；對滑輪受力分析，受繩子的拉力T以及懸于墻上的繩子的拉力F，由于繩子的拉力與A的重力相等且夾角變大，故其合力變小，故墻上的繩子的拉力F也變小，故C錯誤；由于繩子的拉力相等，故合力在角平分線上，故α＝β，由幾何關系可知α＝θ，故α＝β＝θ，故D正確．【微專題精練】1.(2024·寧夏銀川育才中學月考)如圖所示，質量為M的斜面靜置在水平地面上，斜面上有一質量為m的小物塊，水平力F作用在小物塊上時，兩者均保持靜止，斜面受到水平地面的靜摩擦力為f1，小物塊受到斜面的靜摩擦力為f2.現使F漸漸增大，兩者仍處于靜止狀態，則()A．f1、f2都增大B．f1、f2都不肯定增大C．f1不肯定增大，f2肯定增大D.f1肯定增大，f2不肯定增大【答案】D【解析】對小物塊受力分析，受重力、斜面的支持力、水平力F，可能有靜摩擦力：①當mgsinθ＞Fcosθ時，靜摩擦力沿著斜面對上，大小為f2＝mgsinθ－Fcosθ，當F增大時，f2變小；②當mgsinθ＝Fcosθ時，靜摩擦力為零，當F增大時，f2變大；③當mgsinθ＜Fcosθ時，靜摩擦力沿著斜面對下，大小為f2＝Fcosθ－mgsinθ，F增大時，f2變大．由以上分析可知f2不肯定增大．對整體受力分析，受到重力、地面的支持力、地面的靜摩擦力、水平力F，則有f1＝F，則F增大，f1肯定增大．故D正確，A、B、C錯誤．2．(2024·湖北天門中學檢測)如圖所示，A、B兩物體的質量分別為mA、mB，且mA＞mB，整個系統處于靜止狀態，滑輪的質量和一切摩擦均不計．假如繩一端由Q點緩慢地向左移到P點，PQ距離為L，整個系統重新平衡后，物體的高度和兩滑輪間的繩與水平方向的夾角θ變更狀況是()A．物體A上升，上升的高度為eq\f(L,cosθ)，θ角不變B．物體A下降，下降的高度為eq\f(L,2cosθ)，θ角不變C．物體A上升，上升的高度為eq\f(2L,cosθ)，θ角不變D．物體A的高度不變，θ角變小【答案】A【解析】將繩一端由Q點緩慢向右移到P點時，繩子的拉力大小不變，分析動滑輪的受力狀況，如圖所示，設繩子的拉力大小為F，兩繩子的夾角為2α＝π－2θ，由于動滑輪兩側繩子的拉力關于豎直方向有對稱性，則有2Fcosα＝mBg，由于F＝mAg，保持不變，則知，α角保持不變，由幾何學問得知，α＋θ＝90°，則θ保持不變，當繩一端的固定點Q緩慢向左移到P點，動滑輪將下降，則物體A的高度上升．結合幾何關系，動滑輪與天花板間的2段繩子的長度增加量為ΔL＝eq\f(\f(L,2),cosθ)×2＝eq\f(L,cosθ)，故A上升的高度為h＝eq\f(L,cosθ)，故A正確，B、C、D錯誤．4．(2024·山東外國語學校高三月考)如圖所示，小車內固定著一個傾角為60°的斜面OA，擋板OB與水平面的夾角θ＝60°.可繞轉軸O在豎直平面內轉動．現將一質量為m的光滑圓球放在斜面與擋板之間，下列說法正確的是()A．當小車與擋板均靜止時，球對斜面OA的壓力小于mgB．保持θ＝60°不變，使小車水平向右運動，則球對斜面OA的壓力可能為零C.保持小車靜止，在θ由60°緩慢減小至15°的過程中，球對擋板OB的壓力先減小再增大D．保持小車靜止，在θ由60°緩慢減小至15°的過程中，球對擋板OB的壓力漸漸增大【答案】BC【解析】球處于靜止狀態，受力平衡，對球進行受力分析，如圖所示，FA、FB以及G之間的夾角兩兩都為120°，依據幾何關系可知，FA＝FB＝mg，故A錯誤；若保持θ＝60°不變，使小車水平向右做勻加速直線運動，當FB和重力G的合力正好供應加速度時，球對斜面OA的壓力為零，故B正確；保持小車靜止，在θ由60°緩慢減小至15°的過程中，依據圖象可知，FA不斷減小，FB先減小后增大，依據牛頓第三定律可知，球對擋板OB的壓力先減小后增大，對斜面的壓力不斷減小，故C正確，D錯誤．5．(2024·甘肅武威第六中學段考)如圖所示，橫截面為直角三角形的斜劈A，靠在粗糙的豎直墻面上，力F通過球心水平作用在光滑球B上，系統處于靜止狀態．當力F增大時，系統仍保持靜止，下列說法正確的是()A．斜劈A所受合外力增大B．斜劈A對豎直墻壁的壓力增大C．球B對地面的壓力增大D．墻面對斜劈A的摩擦力增大【答案】BC【解析】斜劈A始終處于靜止狀態，所受合外力始終為零不變，故A錯誤；對AB整體分析可知，水平方向受到F和墻壁的彈力作用，當F增大時，A對豎直墻壁的壓力變大，故B正確；對B受力分析，如圖所示，依據平衡條件有F＝FN′sinθ，FN″＝mBg＋FN′cosθ，可見F增大時FN′增大，FN″增大，依據牛頓第三定律知球B對地面的壓力增大，故C正確；對A分析，球B對斜劈A的支持力大小等于FN′，若A所受摩擦力向上，則豎直方向FN′cosθ＋Ff＝mAg，則當FN′增大時，墻面對斜劈A的摩擦力減小，選項D錯誤．6.(2024·湖北四校質檢)如圖所示，兩塊相互垂直的光滑擋板OP、OQ，OP豎直放置，小球a、b固定在輕彈簧的兩端．水平力F作用于b時，a、b緊靠擋板處于靜止狀態．現保證b球不動，使擋板OP向右緩慢平移一小段距離，則()A．彈簧變長B．彈簧變短C．力F變大D．b對地面的壓力不變【答案】AD【解析】選a球為探討對象，受力分析如圖所示，由畫出的平行四邊形可知，擋板的彈力FN變小，彈力F彈漸漸減小，即彈簧的壓縮量變短，彈簧變長，選項A正確，B錯誤；選a球、b球整體為探討對象，由平衡條件可知，F變小，b對地面的壓力不變，選項C錯誤，D正確．7．(2024·湖南長沙模擬)如圖所示，傾角為θ的斜面體c置于水平地面上，小盒b置于斜面上，通過跨過光滑定滑輪的細繩與物體a連接，連接b的一段細繩與斜面平行，連接a的一段細繩豎直，a連接在豎直固定于地面的彈簧上．現向b盒內緩慢加入適量砂粒，a、b、c始終處于靜止狀態，下列說法中正確的是()A．b對c的摩擦力可能先減小后增大B．地面對c的支持力可能不變C．c對地面的摩擦力方向始終向左D．彈簧的彈力可能增大【答案】A【解析】向b盒內緩慢加入砂粒的過程中，a、b、c始終處于靜止狀態，對a分析，彈簧彈力不變，a的重力不變，則細繩拉力不變；對b、c整體分析知，其受方向始終向左的摩擦力，故c對地面的摩擦力方向始終向右，由于b、c整體質量增大，則地面對c的支持力增大，B、C、D錯誤；假如起先時，b所受c的摩擦力沿斜面對下，則對b分析可知，隨著砂粒的加入，b對c的摩擦力可能先減小后增大，A正確．8.如圖所示，固定在豎直平面內的半徑為R的光滑圓環的最高點C處有一個光滑的小孔，一質量為m的小球套在圓環上，一根細線的一端拴著這個小球，細線的另一端穿過小孔C，手拉細線使小球從A處沿圓環向上移動．在移動過程中手對細線的拉力F和軌道對小球的彈力FN的大小變更狀況是()A．緩慢上移時，F減小，FN不變B．緩慢上移時，F不變，FN減小C．緩慢上移跟勻速圓周運動相比，在同一位置B點的拉力相同D．緩慢上移跟勻速圓周運動相比，在同一位置B點的彈力相同【答案】AC【解析】小球在緩慢上移時可認為每一瞬間都受力平衡，分析小球受力，其受到重力、軌道賜予的彈力和細線的拉力作用，作出力的矢量三角形(圖略)，無論小球運動到哪個位置，總有力的矢量三角形與幾何三角形相像，可得彈力FN＝mg，而F的大小正比于小球與頂端小孔間的細線長，細線變短，F減小，A正確，B錯誤．無論是緩慢上移還是做勻速圓周運動，在同一位置其在切線方向的合力為零，但在半徑方向的合力大小與速度大小有關，故彈力的大小與速度的大小有關，但細線的拉力相等，且F＝2mgsineq\f(α,2)，C正確，D錯誤．9.如圖所示，3根輕繩懸掛著兩個質量相同的小球并保持靜止，繩AD與AC垂直．現對B球施加一個水平向右的力F，使B緩慢移動到圖中虛線位置，此過程中AD、AC兩繩張力TAC、TAD的變更狀況是()A．TAC變大，TAD減小 B．TAC變大，TAD不變C．TAC減小，TAD變大 D．TAC不變，TAD變大【答案】C【解析】以B為探討對象，受力分析如圖甲所示．將B緩緩拉到圖中虛線位置的過程，繩子與豎直方向夾角θ變大，由B球受力平衡得TABcosθ＝mg，TABsinθ＝F，所以繩子AB的張力TAB漸漸變大，F漸漸變大．再以A、B整體為探討對象受力分析，如圖乙所示，設AD繩與水平方向夾角為α，AC繩與水平方向夾角為β(α＋β＝90°)，并以AC、AD為坐標軸正方向，可得TAD＝2mgsinα＋Fsinβ，TAC＝2mg·cosα－Fcosβ，α、β不變，而F漸漸變大，故TAD漸漸變大，TAC漸漸減小，C正確．10.(2024·吉林一模)如圖所示，在一絕緣斜面C上有一帶正電的小物體A處于靜止狀態，現將一帶正電的小球B沿以A為圓心的圓弧緩慢地從P點轉至A正上方的Q點處，已知P、A在同一水平線上，且在此過程中物體A和C始終保持靜止不動，A、B可視為質點．關于此過程，下列說法正確的是()A．物體A受到斜面的支持力先增大后減小B．物體A受到斜面的支持力始終增大C．地面對斜面C的摩擦力先增大后減小D．地面對斜面C的摩擦力漸漸減小【答案】AD【解析】以小物塊A為探討對象，受力分析如圖1所示，重力mg、斜面的支持力Nx、斜面給A的摩擦力fx(大小方向都變更)、沿BA方向的庫侖力F，沿斜面和垂直斜面建立坐標系，物體受到斜面的支持力Nx＝mgy＋Fy，其中重力沿y方向的分力mgy不變，F沿y方向的分力Fy漸漸增大，當F與y軸重合時最大，再向重力方向轉動過程中分力又起先減小，故A選項正確，B選項錯誤；以小物塊和斜面體整體為探討對象，受力分析如圖2所示，受到重力(M＋m)g、地面的支持力ND、地面的摩擦力fD和沿BA方向的庫侖力F，沿x方向有fD＝Fx，分解即得出地面對斜面C的摩擦力始終減小，C選項錯誤，D選項正確．11.(2024·江西上饒模擬)如圖所示，頂端附有光滑定滑輪的斜面體靜止在粗糙水平地面上，三條輕繩結于O點．一條繩跨過定滑輪連接物塊P(PB段輕繩平行于斜面)，一條繩連接小球Q，一條繩OA在外力F的作用下處于水平位置．現緩慢變更繩OA的方向，減小θ至θ<90°，且保持結點O位置不變，整個裝置始終處于靜止狀態．下列說法正確的是()A．繩OA的拉力先減小后增大B．繩OB的拉力始終增大C．地面對斜面體有向右的摩擦力D．地面對斜面體的支持力始終減小【答案】AD【解析】對結點O進行受力分析，在緩慢減小θ至θ<90°的過程中，繩OA拉力的方向變更如圖所示，從方向1到方向2再到方向3，可見繩OA的拉力先減小后增大，繩OB的拉力始終減小，選項A正確，B錯誤；對P、Q和斜面體整體受力分析，依據平衡條件知，斜面體受地面的摩擦力與繩OA拉力的水平分力(方向向右)等大反向，摩擦力方向向左，選項C錯誤；對斜面體、繩PB和P整體受力分析，若繩OB的方向與水平方向的夾角為β，由豎直方向受力平衡得地面對斜面體的支持力N＝Tsinβ＋G斜＋GP，式中T為繩OB的拉力，因緩慢減小θ至θ<90°的過程中，β不變而T始終減小，故N始終減小，選項D正確．12.(2024·濰坊期中)如圖所示為內壁光滑的半球形凹槽M，O為球心，∠AOB＝60°，OA水平，小物塊在與水平方向成45°角的斜向上的推力F作用下靜止于B處．在將推力F沿逆時針緩慢轉到水平方向的過程中裝置始終靜止，則 ()A．M槽對小物塊的支持力漸漸減小B．M槽對小物塊的支持力漸漸增大C．推力F先減小后增大D．推力F漸漸增大【答案】BC【解析】以小物塊為探討對象，分析受力狀況，如圖所示，物塊受到重力G、支持力FN和推力F三個力作用，依據平衡條件可知，FN與F的合力與G大小相等，方向相反．將推力F沿逆時針緩慢轉到水平方向的過程中(F由位置1→3)，依據作圖可知，M槽對小物塊的支持力FN漸漸增大，推力F先減小后增大，當F與FN垂直時，F最小．故A、D錯誤，B、C正確．13.如圖所示，質量為m的小球用細線拴住放在光滑斜面上，斜面足夠長，傾角為α的斜面體置于光滑水平面上，用水平力F推斜面體使斜面體緩慢地向左移動，小球沿斜面緩慢上升(細繩尚未到達平行于斜面的位置)．在此過程中 ()A．繩對小球的拉力減小B．斜面體對小球的支持力減小C．水平推力F減小D．地面對斜面體的支持力不變【答案】A【解析】對小球受力分析，如圖甲所示，斜面體