歷城一中高64級高一下學期第一次階段性測試數學試題一、單選題1.已知一組數據的平均數為16，則這組數據的第60百分位數為（）A.17 B.16.5 C.16 D.15.52.若復數是純虛數，則z的共軛復數（）A.－1 B.－i C.i D.13.如圖所示，在中，點是線段上靠近A的三等分點，點是線段的中點，則（）A. B.C. D.4.已知非零向量，滿足，，若，則實數（）A. B. C. D.5.已知在△ABC中，，若三角形有兩解，則x的取值范圍是()A. B.C D.6.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，則△ABC的形狀為（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內，歷經1400多年風雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國現存最早的磚塔.如圖，為測量塔的總高度，選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得，，，在點測得塔頂的仰角為，則塔的總高度為（）A. B. C. D.8.中，，，是外接圓圓心，是的最大值為（）A.1 B. C.3 D.5二、多選題9.某高中有學生500人，其中男生300人，女生200人，為獲得該校學生的身高（單位：cm）信息，按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本量為50的樣本.經計算得到樣本中男生身高的平均數為170，方差為17；女生身高的平均數力160，方差30.下列說法中正確的是（）A.樣本中男生的人數為30B.每個女生入樣的概率均為C.樣本的平均數為166D.樣本的方差為22.210.設，是復數，則下列說法正確的是（）A.若是純虛數，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11.對于△，其外心為，重心為，垂心為，則下列結論正確是（）A.B.C向量與共線D.過點直線分別與、交于、兩點，若，，則三、填空題12.將容量為的樣本中的數據分成6組，繪制頻率分布直方圖.若第一組至第六組數據的頻率之比為，且后三組數據的頻數之和等于66，則__________.13.在中，角所對的邊分別為，且.若，則周長的最大值為______.14.在中，，為的中點，，為上一點，且，則______．四、解答題15.在復平面內，復數對應的點的坐標為，且為純虛數（是的共軛復數）．（1）求m的值；（2）復數在復平面對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．16.在2025年八省聯考結束后，某學校為了解高三學生的聯考情況，隨機抽取了100名學生的聯考數學成績作為樣本，并按照分數段分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出圖中a的值并估計本次考試及格率（“及格率”指得分為90分及以上的學生所占比例）；（2）估計該校學生聯考數學成績的第80百分位數；（3）估計該校學生聯考數學成績的眾數、平均數.17.已知的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，的面積為，.（1）求的值；（2）若，求周長.18.如圖，在直角梯形中，，，，是的中點.（1）求；（2）連接，交于點，求；（3）若，，，…，為邊上的等分點，當時，求的值.19.在中，對應的邊分別為.（1）求；（2）奧古斯丁?路易斯?柯西，法國著名數學家.柯西在數學領域有非常高的造詣.很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用.①用向量證明二維柯西不等式：；②已知三維分式型柯西不等式：，當且僅當時等號成立.若是內一點，過作的垂線，垂足分別為，求的最小值.

歷城一中高64級高一下學期第一次階段性測試數學試題一、單選題1.已知一組數據的平均數為16，則這組數據的第60百分位數為（）A.17 B.16.5 C.16 D.15.5【答案】B【解析】【分析】由給定的平均數求出，再由第60百分位數的定義求解即可.【詳解】由數據的平均數為16，得，解得，由，得數據的第60百分位數為.故選：B2.若復數是純虛數，則z的共軛復數（）A.－1 B.－i C.i D.1【答案】C【解析】【分析】由復數的乘、除法運算化簡復數z，再由共軛復數的定義即可得出答案.【詳解】，因為復數是純虛數，所以，則，所以.故選：C.3.如圖所示，在中，點是線段上靠近A的三等分點，點是線段的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量線性運算的幾何意義即可計算【詳解】.故選：B4.已知非零向量，滿足，，若，則實數（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量數量積公式計算即可.【詳解】由題意知，由知.故選：D5.已知在△ABC中，，若三角形有兩解，則x的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意判斷出三角形有兩解時，滿足不等關系求解即可．【詳解】因為，要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為2的圓與BA有兩個交點，所以只需滿足，即，解得.故選：C6.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，則△ABC的形狀為（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】用正弦定理化邊為角，再由誘導公式和兩角和的正弦公式化簡變形可得．【詳解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故選：D.【點睛】本題考查正弦定理，考查三角形形狀的判斷．解題關鍵是誘導公式的應用．7.嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內，歷經1400多年風雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國現存最早的磚塔.如圖，為測量塔的總高度，選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得，，，在點測得塔頂的仰角為，則塔的總高度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，在中，根據正切用表示，中，正弦定理建立與的等量關系，可求解，從而確定選項.【詳解】設，則，在中，，在中由正弦定理＝，即，解得.故選：B.8.中，，，是外接圓圓心，是的最大值為（）A.1 B. C.3 D.5【答案】C【解析】【分析】先利用正余弦定理和向量的數量積求得的代數式，進而求得其最大值.【詳解】過點作、，垂足分別為、，如圖，因為是外接圓圓心，則、分別為、的中點，在中，，所以，即，即，，同理，則，由正弦定理得，當且僅當時取“=”，所以的最大值為.故選：C.二、多選題9.某高中有學生500人，其中男生300人，女生200人，為獲得該校學生的身高（單位：cm）信息，按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本量為50的樣本.經計算得到樣本中男生身高的平均數為170，方差為17；女生身高的平均數力160，方差30.下列說法中正確的是（）A.樣本中男生的人數為30B.每個女生入樣的概率均為C.樣本的平均數為166D.樣本的方差為22.2【答案】AC【解析】【分析】由分層抽樣可判斷A；計算女生入樣的概率可判斷B；計算樣本的均值可判斷C；計算樣本的方差可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：抽樣比為，所以樣本中男生有人，故選項A正確；對于B：每個女生入樣的概率等于抽樣比，故選項B不正確；對于C：由分層抽樣知，樣本中男生有人，男生有人，所有樣本均值為：，故選項C正確；對于D：設男生分別為，，，，平均數，，女生分別為，，，，平均數，，樣本的平均數為，方差為，因為，而，所以，同理可得，所以，故選項D不正確；故選：AC10.設，是復數，則下列說法正確的是（）A.若是純虛數，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A代入即可判斷正誤，對于B取特殊值驗證即可，對于C設，求得即可判斷正誤，對于D設，代入驗證即可求得.【詳解】對于A選項，，則，故A正確；對于B選項，取，，則，但且，所以B錯誤；對于C選項，設，則，所以，C正確；對于D選項，設，則由得，又，，故成立，D正確．故選：ACD．11.對于△，其外心為，重心為，垂心為，則下列結論正確的是（）A.B.C.向量與共線D.過點直線分別與、交于、兩點，若，，則【答案】BCD【解析】【分析】A：由外心的性質，結合向量數量積的幾何意義判斷；B：根據的幾何意義即可判斷正誤；C：應用向量數量積的運算律及定義化簡，再根據判斷正誤；D：根據平面向量基本定理可得，再由三點共線即可證.【詳解】A：為外心，則，僅當時才有，錯誤；B：由，又，故，正確；C：，即與垂直，又，所以與共線，正確；D：，又三點共線，則，故，正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：綜合應用外心、垂心、重心的性質，結合平面向量數量積的運算律、幾何含義以及平面向量基本定理判斷各選項正誤.三、填空題12.將容量為的樣本中的數據分成6組，繪制頻率分布直方圖.若第一組至第六組數據的頻率之比為，且后三組數據的頻數之和等于66，則__________.【答案】120【解析】【分析】運用頻率的概念結合條件列式子即得.【詳解】根據題意，頻率＝頻數比總數，知道頻率之比為頻數之比，后三組頻數之比.頻數分別設為，則總數為，則，解得，則.故答案為：120.13.在中，角所對的邊分別為，且.若，則周長的最大值為______.【答案】21【解析】【分析】將已知等式利用正弦定理統一成角的形式，化簡后求得，由余弦定理結合基本不等式，可求得，即可得出三角形周長最大值.【詳解】解：因為，所以由正弦定理得，因為，所以，所以，因為，所以，由余弦定理得，即，因為，所以，得，當且僅當時取等號，所以，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以，所以周長的最大值為21.故答案為：21.14.在中，，為的中點，，為上一點，且，則______．【答案】【解析】【分析】取中點，連接，從而可得為中點，，再根據，可得，再由余弦定理及數量積的運算律求解即可.【詳解】解：取中點，連接，如圖所示：則有，又因為，所以，所以∥，又因為為中點，所以為中點，所以，所以，又因為為的中點，，所以，平方，得，即，解得，在中，由余弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得：，將兩邊平方，得，所以.故答案為：四、解答題15.在復平面內，復數對應的點的坐標為，且為純虛數（是的共軛復數）．（1）求m的值；（2）復數在復平面對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）結合復數的幾何意義，再利用復數的乘法化簡復數，由已知條件可求得實數m的值.（2）利用復數的除法求，再結合復數的幾何意義求解.【小問1詳解】復數，且為純虛數是的共軛復數），則，解得．【小問2詳解】，復數在復平面對應的點在第一象限，，解得．實數的取值范圍是．16.在2025年八省聯考結束后，某學校為了解高三學生的聯考情況，隨機抽取了100名學生的聯考數學成績作為樣本，并按照分數段分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出圖中a的值并估計本次考試及格率（“及格率”指得分為90分及以上的學生所占比例）；（2）估計該校學生聯考數學成績的第80百分位數；（3）估計該校學生聯考數學成績的眾數、平均數.【答案】（1），（2）120分（3）眾數估計值為100分，平均數估計值為分【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質列出方程，求得，進而得到及格率；（2）分別求得在110以下和130以下的學生所在比例，結合百分數的計算方法，即可求解；（3）結合頻率分布直方圖的眾數和平均數的計算方法，即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖的性質，可得，解得.所以及格率為.【小問2詳解】得分在110分以下的學生所占比例為，得分在130分以下的學生所占比例為，所以第80百分位數位于內，由，估計第80百分位數為120分.【小問3詳解】由圖可得，眾數估計值為100分.平均數估計值為（分）.17.已知的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，的面積為，.（1）求的值；（2）若，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據余弦定理角化邊得，進而可求；（2）由面積公式可得，由正弦定理角化邊得，代入，從而可求，進而可求，從而可求.【小問1詳解】根據余弦定理可得，，則，所以；【小問2詳解】因為，所以，又的面積為，所以，即，因為，結合正弦定理可得，又，所以，解得，所以，所以，即，所以的周長為.18.如圖，在直角梯形中，，，，是的中點.（1）求；（2）連接，交于點，求；（3）若，，，…，為邊上的等分點，當時，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）建立合適的直角坐標系，再求出相關向量，根據向量數量積的坐標公式即可；（2）設，，根據向量坐標運算得到方程組，解出，最后利用向量模坐標公式即可；（3）首先證明，最后轉化為求解即可.【小問1詳解】因為，所以以為坐標原點，為軸，為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則，，所以.【小問2詳解】設，，，所以，所以，所以，解得，所以.【小問3詳解