廣東省汕頭市潮陽區2024—2025學年度下九年級第一次模擬考數學試題本試卷共五大題，滿分120分，時間120分鐘．一、選擇題（每小題3分，共30分）1.由開發的人工智能助手在全球范圍內掀起了一股熱潮，據國內產品榜統計數據，這款推理型AI聊天機器人在上線僅20天后，其日活躍用戶數達22150000．將數據22150000用科學記數法表示為（）A. B. C. D.2.下列計算正確的是（）A. B. C. D.3.小華想了解某地某天的天氣情況，在某氣象網站查詢到該地這天的最低氣溫為，最高氣溫為，則該地這天的最高氣溫與最低氣溫的差為（）A. B. C. D.4.要說明命題“兩個數相加，和一定大于其中一個加數”是假命題，能夠作為反例的是（）A. B. C. D.5.如圖，菱形中，過點C作交于點E，若，則（）A. B. C. D.6.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：A）與電阻（單位：）是反比例函數關系．下列反映電流與電阻之間函數關系的圖象大致是（）A. B. C. D.7.在平面直角坐標系中，已知點，以原點O為位似中心，相似比為，把縮小，則點E的對應點的坐標是（

）A. B.C.或 D.或8.如圖，大正方形面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積是（

）A B. C. D.9.正方形內接于，P劣弧上任意一點，則等于（）A. B. C. D.10.如圖所示，將形狀和大小完全相同“”按一定規律擺成下列圖形．第1幅圖中“”的個數為3，第2幅圖中“”的個數為8，第3幅圖中“”的個數為15，…，以此類推，第7幅圖中“”的個數為（）A.35 B.48 C.56 D.63二、填空題（每小題3分，共15分）11.已知，則________．12.若點關于軸的對稱點在第二象限，則的取值范圍是________．13.不等式組整數解的和為________．14.如圖，，兩點在反比例函數的圖象上．若將橫、縱坐標都是整數的點稱為整點，則線段，及反比例函數圖象上，兩點之間的部分圍成的區域（不含邊界）中，整點的坐標為_________．15.如圖，D是中上中點，連接，是的中線，的延長線與交于點，則________．三、解答題（每小題7分，共21分）16.計算：．17.先化簡，再從，0，1四個數字中選擇一個你喜歡的數代入上式求值．18.如圖，四邊形是矩形，連接．（1）實踐操作∶利用尺規作的平分線，交于點M．(要求∶尺規作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母)（2）猜想證明：在所作的圖中，猜想線段與的數量關系，并證明你的猜想．四、解答題（每小題9分，共27分）19.如圖，是的直徑，C為外一點，連接，交于點D，連接并延長，交線段于點E，．（1）求證：．（2）判斷與的位置關系，并證明你的結論．20.中秋節是我國的傳統節日．月餅是中秋節的一種美食之一，月餅寓意著團圓和完美．“豆沙餅”是某地的特色月餅，深受當地人們的喜愛．某商店在中秋節來臨之前，去當地的玉貓餅家訂購普通豆沙月餅和蛋黃豆沙月餅兩種進行試銷．已知蛋黃豆沙月餅的單價是普通豆沙餅單價的倍，用元購進蛋黃豆沙餅的數量比用元購進普通豆沙月餅的數量多個．（1）普通豆沙月餅和蛋黃豆沙月餅的單價分別是多少？（2）若某商店把蛋黃豆沙月餅以元銷售時，那么半個月可以售出個．根據銷售經驗，把這個蛋黃豆沙月餅的單價每提高元，銷量會相應減少個．將售價定為多少元時，才能使半個月獲得的利潤最大？最大利潤是多少？21.在學習了勾股定理后，小品對他家附近的一個公園里的音樂噴泉池產生了測量興趣，如圖，音樂噴泉池為四邊形，在連線上有一地方性標志物，據了解，修建該噴泉池時要求，四邊形為人行觀賞步道，小品通過儀器測量得到，在的正西方，在的東北方向，且，在的正南方150米處，恰好又在的南偏東方向，由此他腦海里產生了以下數學問題，請你幫他解決一下．（參考數據：，，，）（1）求、之間的距離（結果保留根號）；（2）小品和姐姐同時從點出發，沿著不同的方向到點匯合，其中小品沿著①：的方向步行，姐姐沿著②的方向步行，通過計算說明哪一條路更近？（結果精確到個位）五、解答題（第22題13分，第23題14分，共27分）22.【問題情境】如圖，在中，，，點在邊上將線段繞點順時針旋轉得到線段（旋轉角小于），連接，、以為底邊在其上方作等腰三角形，使，連接．【嘗試探究】（1）如圖，當時，易知；如圖，當時，則與的數量關系為______；（2）如圖，請判斷與的數量關系，并說明理由；【拓展應用】（3）如圖，當且點，、三點共線時若，，請求出的長．23.如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，．拋物線的對稱軸與經過點的直線交于點，與軸交于點．（1）求拋物線的表達式；（2）若在拋物線上存在點，使得是以為直角邊的直角三角形，求出所有點的坐標；（3）以點為圓心，畫半徑為的圓，為上一個動點，請求出的最小值．參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1.選：B．2.選A3.選：D．4.選：．5.選：A．6.選：D．7.選D．8.選：C．9.選：C．10.選D．二、填空題（每小題3分，共15分）11.答案為：1812.答案為：．13.答案為：．14.答案為：和．15.答案為：三、解答題（每小題7分，共21分）16.解：．17.解：，，，，；根據分式有意義的條件，x不能為，0，當時，原式．18.（1）解：如圖，即為所求，（2）解：猜想，證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∵．∴，，∵，∴∵的平分線，交于點M．∴，∴，∴四、解答題（每小題9分，共27分）19.（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：與相切，理由如下：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴與相切．20.（1）解：設普通豆沙餅的單價是元，則蛋黃豆沙餅的單價是元，依題意，得：，解得：，經檢驗：是所列方程的解且符合題意，∴（元），答：普通豆沙餅的單價是元，蛋黃豆沙餅的單價是元；（2）設售價定為元，利潤為元，依題意，得：，∵∴二次函數的圖像開口向下，函數有最大值，∴當時，有最大值，最大值為元，答：當售價定為元時，才能使半個月獲得的利潤最大，最大利潤是元．21.（1）解：連接，由題意得，，米，在中，，由勾股定理得，即，解得，，∵，∴，∴米；（2）解：∵在的東北方向，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得，∴，∴米，在中，，∴米，∵，∴路線②更近．五、解答題（第22題13分，第23題14分，共27分）22.解：（1）當時，和是等腰直角三角形，，，，，，故答案為：；（2）．理由：如圖，過點作于點，，，，，，同理可得：，，，，，；（3）如圖，過點作于點，過點作，交延長線于點，．．線段繞點順時針旋轉得到線段，．．是以為底邊的等腰三角形，，，．．．．，．設，則，，，．．，，，，，，，，．23.（1）解：∵拋物線的對稱軸，，∴，．∴將代入，得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：存在點，理由如下：直線的解析式為，將代入得解得：∴直線的解析式為：∵拋物線對稱軸與軸交于點，∴當時，，∴，①當時，設直線交對稱軸于點，∵，，二次函數對稱軸為，∴，，軸，∴等腰直角三角形，，∵，∴，且，∴，∴，∴點坐標為，設直線的解析式為，將點坐標代入，得，解得，直線的解析式為，解方程組，得或，∴點的坐標為；②∵，，∴∴∴是直角三角形