第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省長春市經(jīng)開三中九年級（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.計算：?2+5的結(jié)果是(

)A.3 B.?3 C.7 D.?72.據(jù)統(tǒng)計，2025年吉林省某生態(tài)保護(hù)區(qū)越冬候鳥達(dá)3.6×104只，3.6×104A.360 B.3600 C.36000 D.3600003.如圖，由6個相同小正方體組成的幾何體，其俯視圖是(

)A.B.

C.D.4.某商場購進(jìn)一批文創(chuàng)商品，進(jìn)價為每件20元.當(dāng)售價為每件28元時，每周可賣出160件；售價每降低1元，每周銷量增加20件.設(shè)每件售價為x元，每周利潤為y元，y與x的函數(shù)關(guān)系式為(

)A.y=(x?20)[160+20(28?x)] B.y=(x?20)[160?20(28?x)]

C.y=(28?x?20)(160+20x) D.y=(28?x?20)(160?20x)5.如圖，在⊙O中，若圓周角∠ACB=130°，則圓心角∠AOB的度數(shù)為(

)A.50°

B.65°

C.70°

D.100°6.當(dāng)x≤a時，二次函數(shù)y=x2?2x+3的最小值為6，則a的值為A.?1或3 B.?1 C.?1或1 D.1二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。7.分解因式：3a2?12=

8.關(guān)于x的一元二次方程x2?4x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為

．9.如圖，在△ABC中，DE//BC，AD：DB=1：3，若DE=2，則BC的長為______．10.如圖，在扇形AOB中，點C為OA的中點，OA=6，CD⊥AO交AB于點D，則圖中陰影部分面積______.(結(jié)果保留π)11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個含30°角的直角三角板OAB的頂點A的坐標(biāo)是(2,23)，反比例函數(shù)y=kx經(jīng)過OA中點C，交OB于點D，則三、計算題：本大題共1小題，共10分。12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA、OC的邊分別在y軸、x軸正半軸上，OA=6，OC=8，點P從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，點P不與點O重合，以O(shè)P為邊在OC上方作正方形OPEF，設(shè)正方形OPEF與△AOC的重疊部分圖形的面積為S(平方單位)，點P的運動時間為t(秒)．

(1)直線AC所在直線的解析式是______；

(2)當(dāng)點E落在線段AC上時，求t的值；

(3)在點P運動的過程中，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(4)設(shè)邊OC的中點為K，點C關(guān)于點P的對稱點為C′，以KC′為邊在OC上方作正方形KC′MN，當(dāng)正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形時，直接寫出t的取值范圍．

(提示：根據(jù)P點的運動，可在草紙上畫出正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為不同圖形的臨界狀態(tài)去研究)四、解答題：本題共10小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。13.(本小題6分)

計算：化簡(1a+1?14.(本小題6分)

在桌子上有A、B兩個不透明的盒子，A盒里有兩張卡片，分別標(biāo)有“+1”和“?1”，B盒里有三張卡片，分別標(biāo)有“+2”“?2”和“+3”.這些卡片除數(shù)字外其他都相同.在B盒中任意抽出一張卡片，將卡片上數(shù)字記作一個點的橫坐標(biāo)，在A盒中任意抽出一張卡片，將卡片上數(shù)字記作這個點的縱坐標(biāo)，請用“畫樹狀圖”或“列表”的方法求這個點在第四象限的概率．15.(本小題6分)

如圖，由地面上的D點測塔頂A和塔基B，仰角分別為60°和30°，已知塔基高出地面15米，求塔身AB的高．16.(本小題7分)

為了解學(xué)生課外閱讀情況，某學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將每周課外閱讀時間x(小時)分為A：0≤x<2；B：2≤x<4；C：4≤x<6；D：x≥6四類，繪制如下不完整的統(tǒng)計圖．

(1)本次調(diào)查共抽取______名學(xué)生；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)若該校共有2000名學(xué)生，估計每周課外閱讀時間不少于4小時的學(xué)生人數(shù)．17.(本小題7分)

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．

(1)求證：DE=DF；

(2)若DE=3，AB=6，求△ABC的面積．18.(本小題7分)

新能源汽車環(huán)保節(jié)能，越來越受到消費者的喜愛.各種品牌相繼投放市場，一汽貿(mào)公司經(jīng)銷某品牌新能源汽車，去年A型車的銷售總額為5000萬元，今年每輛車的售價比去年減少2萬元，若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將比去年減少1000萬元.求今年每輛A型車的售價．19.(本小題8分)

圖①、圖②、圖③均是8x8的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C均在格點上，只用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作圖，保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡．

(1)在圖①中作△ABC的中線CD．

(2)在圖②中作△ABC的高線CE．

(3)在圖③中作△ABC的角平分線CF．

20.(本小題8分)

如圖1，已知學(xué)校在小明家和新華書店之間，小明步行從家出發(fā)經(jīng)過學(xué)校勻速前往新華書店.圖2是小明步行時離學(xué)校的路程y(米)與行走時間x(分)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象．

(1)小明家到學(xué)校的距離為______米，圖中a的值是______；

(2)求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

(3)經(jīng)過多少分時，小明距離學(xué)校100米？21.(本小題10分)

【問題背景】

如圖①，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE．

【特例研究】

(1)當(dāng)點D在AB上，DE/?/BC時，BD與CE的數(shù)量關(guān)系為______；

【拓展探究】

(2)將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)至圖②位置，(1)中結(jié)論是否成立？說明理由；

【遷移應(yīng)用】

(3)將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BD⊥DE時，若AB=23，AD=2，CE=22.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(?1,0)，B(0,?4)．

(1)拋物線的解析式為______；

(2)拋物線的頂點坐標(biāo)為______；

(3)若此拋物線上有3個點到直線y=n的距離等于18，求此3個點坐標(biāo)；

(4)以M(a,0)，N(a+3,0)，P(a+3,?7)，Q(a,?7)四個點為頂點作矩形MNPQ，將此拋物線在矩形MNPQ內(nèi)部(含邊界)的部分最高點與最低點縱坐標(biāo)之差記為d，當(dāng)d=3時，直接寫出a參考答案1.A

2.C

3.D

4.A

5.D

6.B

7.3(a+2)(a?2)

8.4

9.8

10.6π?9

11.1

12.解：(1)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0)，

如圖1所示：

∵OA=6，OC=8，

∴點A、C的坐標(biāo)分別為(0,6)，(8,0)，

將點A、C兩點的坐標(biāo)代入直線AC的解析式中得

b=68k+b=0，解得：k=?34b=6，

∴l(xiāng)AC：y=?34x+6；

(2)當(dāng)點E落在線段AC上時，如圖2所示：

∵OC=8，P從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點C運動，

∴0<t≤4，

∵EP/?/AO，

∴△CPE∽△COA，

∴EPAO=PCOC，即2t6=8?2t8，

解得：t=127；

(3)點P運動過程中正方形OPEF與△ABC的重疊部分圖形的形狀不同

分3種情況考慮，

①當(dāng)0<t≤127時，如圖3(a)所示，

S=(OP)2=(2t)2=4t2；

②當(dāng)127<t≤3時，如圖3(b)所示，

∵OP=OF=2t，PC=8?2t，AF=6?2t，

∴NP/?/AB，F(xiàn)M/?/BC，

∴△CNP∽△CAO∽△MAF，

∴PCNP=OCAO=FMAF，

∴NP=34PC=6?32t，F(xiàn)M=43AF=8?83t；

S=12BC?AB?12PC?NP?12FM?AF

=12×6×8?12(8?2t)(6?32t)?12(8?83t)(6?2t)

=?256t2+28t?24，

③當(dāng)3<t≤4時，如圖3(c)所示，

∵PQ//AO，

∴△CPQ∽△COA，

∴PQPC=AOCO，

∴PQ=34PC=6?32t，

S=12OC?OA?12PC?PQ

=12×8×6?12(8?2t)(6?32t)

=?32t2+12t，

(4)根據(jù)點P的運動，畫出正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為

三角形時的臨界點，

①當(dāng)P點開始向右移動時，正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為

三角形，達(dá)到圖4(a)所示情況不再為三角形，KC′=KN，

∵點13.解：原式=(1a+1?1a?1)?(a+1)(a?1)

=1a+1+1?1+2(+2,+1)(+2,?1)?2(?2,+1)(?2,?1)+3(+3,+1)(+3,?1)共有6種等可能的結(jié)果，其中這個點在第四象限的結(jié)果有：(+2,?1)，(+3,?1)，共2種，

∴這個點在第四象限的概率為2615.解：∵∠ADC=60°，∠BDC=30°，∠ACD=90°，BC=15米，

∴∠ADB=∠A=30°，

∴AB=BD=2BC=2×15=30(米)，

答：塔身AB的高為30米．

16.解：(1)本次調(diào)查共抽取的學(xué)生有：13÷26%=50(名)；

故答案為：50；

(2)C等級的人數(shù)有：50?4?13?15=18(名)，

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下：

(3)根據(jù)題意得：2000×18+1550=1320(名)，

答：估計每周課外閱讀時間不少于4小時的學(xué)生有17.(1)證明：∵AB=AC，D是BC的中點，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，

∴DE=DF．

(2)解：在△BAD和△CAD中，

AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，

∴△BAD≌△CAD(SAS)，

∵AB=6，DE=3，DE⊥AB于點E，

∴S△BAD=S△CAD=12×6×3=9，

∴S△ABC=2S△BAD=2×9=18，

∴△ABC的面積為18．

18.解：設(shè)今年每輛車的銷售價格為x萬元，

根據(jù)題意，得5000x+2=5000?1000x19.解：(1)如圖①所示：CD即為所求；

(2)如圖②所示：CE即為所求；

(3)如圖③所示：CF即為所求．

20.解：(1)小明家到學(xué)校的距離為240米；

小明步行的速度是240÷6=40(米/分)，

小明家到新華書店的距離為240+480=720(米)，

則小明從家到新華書店所用時間為720÷40=18(分)，

∴a=18．

故答案為：240，18．

(2)設(shè)線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k、b為常數(shù)，且k≠0)．

將坐標(biāo)B(6,0)和C(18,480)分別代入y=kx+b，

得6k+b=018k+b=480，

解得k=40b=?240，

∴線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=40x?240(6≤x≤18)．

(3)當(dāng)0≤x<6時，240?40x=100，

解得x=3.5；

當(dāng)6≤x≤18時，40x?240=100，

解得x=8.5．

答：經(jīng)過3.5分或8.5分時，小明距離學(xué)校100米．

21.解：(1)∵∠BAC=∠DAE，點D在AB上，

∴點E在AC上，

∵AB=AC，AD=AE，DE//BC，

∴AB?AD=AC?AE，即BD=CE，

故答案為：BD=CE；

(2)(1)中結(jié)論成立，理由如下：

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD=CE；

(3)如圖③，過點A作AH⊥BD于H，

∵AD=AE，∠DAE=90°，

∴∠ADE=45°，

∵BD⊥DE，

∴∠ADB=90°?45°=45°，

在Rt△ADH中，AD=2，∠ADB=45°，

則AH=DH=22AD=2，

由勾股定理得：BH=AB2?A22.解：(1)將點A(?1,0)，B(0,?4)代入拋物線表達(dá)式得：

c=?41?b+c=0，解得b=?3c=?4，

故拋物線的表達(dá)式為y=x2?3x?4；

故答案為：y=x2?3x?4；

(2)∵拋物線y=x2?3x?4=(x?32)2?254，

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(32,?254)，

故答案為：(32,?254)；

(3)拋物線上有3個點距離為18，

∴頂點坐標(biāo)到直線y=n的距離為18，

∴n=?254+18=?498，

∴另外兩個點的縱坐標(biāo)為?498+18=?6，

∴x2?3x?4=?6，解得x=1或2，

∴另外兩點的坐標(biāo)為(1,?6)，(2,?6)，

∴此3個點坐標(biāo)為(32,?254)，(1,?6)，(2,?6)；

(4)由(2)知，拋物線的頂點坐標(biāo)為(32,?254)，

以M(a,0)，N(a+3,0)，P(a+3,?7)，Q(a,?7)四個點為頂點作矩形MN