數學八年級上冊（教案）

北京師范大學出版社

2016年7月

第一章勾股定理

§1.1探索勾股定理（一）

教學目標：

經歷用數格子的辦法探索勾股定理的過程，進一步發展學生的合情推力意識，主動探究的習慣，進

一步體會數學與現實生活的緊密聯系。

探索并理解直角三角形的三邊之間的數量關系，進一步發展學生的說理和簡單的推理的意識及能力。

重點難點：

重點：了解勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡單的問題。

難點：勾股定理的發現

教學過程

創設問題的情境，激發學生的學習熱情，導入課題

出示投影1（章前的圖文pl）教師道白：介紹我國古代在勾股定理研究方面的貢獻，并結合課本

p5談一談，講述我國是最早了解勾股定理的國家之一，介紹商高（三千多年前周期的數學家）在勾股定

理方面的貢獻。

出示投影2（書中的P2圖1—2）并回答：

觀察圖1-2,正方形A中有個小方格，即A的面積為個單位。

正方形B中有個小方格，即A的面積為個單位。

正方形C中有個小方格，即A的面積為個單位。

你是怎樣得出上面的結果的？在學生交流回答的基礎上教師直接發問：

圖1—2中，A,B,C之間的面積之間有什么關系？

學生交流后形成共識，教師板書，A+B=C,接著提出圖1—1中的A.B,C的關系呢？

做一做

出示投影3（書中P3圖1—4）提問：

1、圖1—3中，A,B,C之間有什么關系？

2、圖1—4中，A,B,C之間有什么關系？

從圖1—1,1—2,1—3,1|一4中你發現什么？

學生討論、交流形成共識后，教師總結：

以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊的正方形面積。

議一議

圖1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？

你能發現直角三角形三邊長度之間的關系嗎？

在同學的交流基礎上，老師板書：

直角三角形邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理”

也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c

那么a+b=C

我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來。

分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個直角三角形，并測量斜邊的長度（學生測量后回答斜邊長

為13）請大家想一想（2）中的規律，對這個三角形仍然成立嗎？（回答是肯定的：成立）

想一想

這里的29英寸（74厘米）的電視機，指的是屏幕的長嗎？只的是屏幕的款嗎？那他指什么呢？

鞏固練習

錯例辨析：

△ABC的兩邊為3和4,求第三邊

解：由于三角形的兩邊為3、4

所以它的第三邊的c應滿足〃=3?+4?=25

即：c=5

辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應具備直角三角形這個必不可少的條件，可本題

ABC并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據。

（2）若告訴AABC是直角三角形，第三邊C也不一定是滿足。=。2,題目中并為交待C是

斜邊

綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得。

練習P7§1.11

作業

課本P7§1.12、3、4

§1.1探索勾股定理（二）

教學目標：

經歷運用拼圖的方法說明勾股定理是正確的過程，在數學活動中發展學生的探究意識和合作交流的

習慣。

掌握勾股定理和他的簡單應用

重點難點：

重點：能熟練運用拼圖的方法證明勾股定理

難點：用面積證勾股定理

教學過程

創設問題的情境，激發學生的學習熱情，導入課題

我們已經通過數格子的方法發現了直角三角形三邊的關系，究竟是幾個實例，是否具有普遍的意義,

還需加以論證，下面就是今天所要研究的內容，下邊請大家畫四個全等的直角三角形，并把它剪下

來，用這四個直角三角形，拼一拼、擺一擺，看看能否得到一個含有以斜邊c為邊長的正方形，并與

同學交流。在同學操作的過程中，教師展示投影1（書中p7圖1—7）接著提問：大正方形的面積可

表示為什么？

2

,2,2\—tzZ?,4+c

（同學們回答有這幾種可能：（1））（2）2）

在同學交流形成共識之后，教師把這兩種表示大正方形面積的式子用等號連接起來。

ab.4+c2

/+〃=2請同學們對上面的式子進行化簡，得到：

a2+2ab+b2=2ab+c2即a2+b2=c2

這就可以從理論上說明勾股定理存在。請同學們去用別的拼圖方法說明勾股定理。

講例

飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛機飛到一個男孩頭頂正上方4000多米處，過20秒，飛機距

離這個男孩頭頂5000米，飛機每時飛行多少千米？

分析：根據題意：可以先畫出符合題意的圖形。如右圖，圖中AABC的=90°,AC=4000米，

AB=5000米，欲求飛機每小時飛行多少千米，就要知道飛機在20秒的時間里的飛行路程，即圖中的

CB的長，由于直角4ABC的斜邊AB=5000米，AC=4000米，這樣的CB就可以通過勾股定理得出。

這里一定要注意單位的換算。

解：由勾股定理得一AC?=52-42=9（千米）

即BC=3千米飛機20秒飛行3千米，那么它1小時飛行的距離為：

卷匕3=540（千米/小時）

答：飛機每個小時飛行540千米。

議一議

展示投影2（書中的圖1—9）

觀察上圖，應用數格子的方法判斷圖中的三角形的三邊長是否滿足/+〃=T

同學在議論交流形成共識之后，老師總結。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。

作業

1、課文P11§1.21、2

選用作業。

§1.2一定是直角三角形嗎

教學目標：

知識與技能

1.掌握直角三角形的判別條件，并能進行簡單應用；

2.進一步發展數感，增加對勾股數的直觀體驗，培養從實際問題抽象出數學問題的能力，建立數學模

型.

3.會通過邊長判斷一個三角形是否是直角三角形，并會辨析哪些問題應用哪個結論.

情感態度與價值觀

敢于面對數學學習中的困難，并有獨立克服困難和運用知識解決問題的成功經驗，進一步體會數學

的應用價值，發展運用數學的信心和能力，初步形成積極參與數學活動的意識.

教學重點

運用身邊熟悉的事物，從多種角度發展數感，會通過邊長判斷一個三角形是否是直角三角形，并會

辨析哪些問題應用哪個結論.

教學難點

會辨析哪些問題應用哪個結論.

課前準備

標有單位長度的細繩、三角板、量角器、題篇

教學過程：

復習引入：

請學生復述勾股定理；使用勾股定理的前提條件是什么？

已知AABC的兩邊AB=5,AC=12,貝ljBC=13對嗎？

創設問題情景：由課前準備好的一組學生以小品的形式演示教材第9頁古埃及造直角的方法.

這樣做得到的是一個直角三角形嗎？

提出課題：能得到直角三角形嗎

講授新課：

1.如何來判斷？(用直角三角板檢驗)

這個三角形的三邊分別是多少？(一份視為1)它們之間存在著怎樣的關系？

就是說，如果三角形的三邊為。，6,0,請猜想在什么條件下，以這三邊組成的三角形是直角三角

形？(當滿足較小兩邊的平方和等于較大邊的平方時)

2.繼續嘗試：下面的三組數分別是一個三角形的三邊長a,b,c：

5,12,13；6,8,10；8,15,17.

(1)這三組數都滿足a2+b2=c2嗎?

(2)分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？

3.直角三角形判定定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角

形.

滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.

4.例1一個零件的形狀如左圖所示，按規定這個零件中/A和/DBC都應為直角.工人師傅量

得這個零件各邊尺寸如右圖所示，這個零件符合要求嗎？

隨堂練習：

1.下列幾組數能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由.

(1)9,12,15；(2)15,36,39；

⑶12,35,36；(4)12,18,22.

2.已知AABC中BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為三角形，是最大角.

3.四邊形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且/ABC=900,求這個四邊形的面積.

4.習題1.3

課堂小結：

1.直角三角形判定定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角

形.

2.滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.勾股數擴大相同倍數后，仍為勾股數.

§1.3.勾股定理的應用

教學目標

教學知識點：能運用勾股定理及直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）解決簡單的實際問題.

能力訓練要求：1.學會觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養學生的空間觀念.

2.在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想.

情感與價值觀要求：1.通過有趣的問題提高學習數學的興趣.

2.在解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性，體現人人都學有用的數學.

教學重點難點：

重點：探索、發現給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題.

難點：利用數學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題.

教學過程

1、創設問題情境，引入新課：

前幾節課我們學習了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？

例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長的梯子？

根據題意，（如圖）AC是建筑物，則AC=12米，BC=5米，AB是梯子的長度.所以在Rt^ABC中,

AB2=AC2+BC2=122+52=132：AB=13米.

所以至少需13米長的梯子.

2、講授新課：①、螞蟻怎么走最近

出示問題：有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓行柱的底面A點有一只螞

蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的的最短路程是多少？（口的值取3）.

（1）同學們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側面畫出幾條路線，你覺得哪條路線最

短呢？（小組討論）

（2）如圖，將圓柱側面剪開展開成一個長方形，從A點到B點的最短路線是什么?你畫對了嗎？

（3）螞蟻從A點出發，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？（學生分組討

論，公布結果）

我們知道，圓柱的側面展開圖是一長方形.好了，現在咱們就用剪刀沿母線AA'將圓柱的側面展開（如

下圖).

我們不難發現，剛才幾位同學的走法：

(l)A-A'-B；⑵A—B'一B；

(3)A-DfB；(4)A?B.

哪條路線是最短呢？你畫對了嗎？

第(4)條路線最短.因為“兩點之間的連線中線段最短”.

②、做一做：教材14頁。李叔叔隨身只帶卷尺檢測AD,BC是否與底邊AB垂直，也就是要檢測Z

DAB=90°,ZCBA=90°.連結BD或AC,也就是要檢測^DAB和4CBA是否為直角三角形彳艮顯

然，這是一個需用勾股定理的逆定理來解決的實際問題.

③、隨堂練習

出示投影片

1.甲、乙兩位探險者，到沙漠進行探險.某日早晨8：00甲先出發，他以6千米/時的速度向東

行走.1時后乙出發，他以5千米/時的速度向北行進.上午10：00,甲、乙兩人相距多遠？

2.如圖，有一個高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入

一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問這根鐵棒應有多長？

1.分析：首先我們需要根據題意將實際問題轉化成數學模型.

解：(如圖)根據題意，可知A是甲、乙的出發點，10：00時甲到達B點，則AB=2X6=12(千米)；乙

到達C點，則AC=1X5=5(千米).

在Rt^ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.即甲、乙兩人相距13千米.

2.分析：從題意可知，沒有告訴鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長是一個取值范圍而不是固定的

長度，所以鐵棒最長時，是插入至底部的A點處，鐵棒最短時是垂直于底面時.

解：設伸入油桶中的長度為x米，則應求最長時和最短時的值.

(1)x2=1.52+22,x2=6.25,x=2.5

所以最長是2.5+0.5=3(米).

(2)x=1.5,最短是1.5+0.5=2(米).

答：這根鐵棒的長應在2?3米之間(包含2米、3米).

3.試一試(課本P15)

在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水

面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦

垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各為多少？

我們可以將這個實際問題轉化成數學模型.

解：如圖，設水深為x尺，則蘆葦長為(x+1)尺，由勾股定理可求得5

(x+l)2=x2+52,x2+2x+l=x2+25k/

解得x=12/

則水池的深度為12尺，蘆葦長13尺.xZ-1

④、課時小結/

這節課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的幾個實際問題.我們從中可y

以發現用數學知識解決這些實際問題，更為重要的是將它們轉化成數學模型.

⑤、課后作業

課本P25、習題1.52

第二章實數

§2.1認識無理數（一）

教學目標

（一）知識目標：

1.通過拼圖活動，讓學生感受無理數產生的實際背景和引入的必要性.

2.能判斷給出的數是否為有理數；并能說出現由.

（二）能力訓練目標：

1.讓學生親自動手做拼圖活動，感受無理數存在的必要性和合理性，培養大家的動手能力和合作精神.

2.通過回顧有理數的有關知識，能正確地進行推理和判斷，識別某些數是否為有理數，訓練他們的思

維判斷能力.

（三汁青感與價值觀目標：

1.激勵學生積極參與教學活動，提高大家學習數學的熱情.

2.引導學生充分進行交流，討論與探索等教學活動，培養他們的合作與鉆研精神.

3.了解有關無理數發現的知識，鼓勵學生大膽質疑，培養他們為真理而奮斗的精神.

教學重點

1.讓學生經歷無理數發現的過程.感知生活中確實存在著不同于有理數的數.

2.會判斷一個數是否為有理數.

教學難點

1.把兩個邊長為1的正方形拼成一個大正方形的動手操作過程.

2.判斷一個數是否為有理數.

教學方法

教師引導，主要由學生分組討論得出結果.

教學過程

一、創設問題情境，引入新課

［師］同學們，我們學過不計其數的數，概括起來我們都學過哪些數呢？

［生］在小學我們學過自然數、小數、分數.

［生］在初一我們還學過負數.

［師］對，我們在小學學了非負數，在初一發現數不夠用了，引入了負數，即把從小學學過的正數、

零擴充到有理數范圍，有理數包括整數和分數，那么有理數范圍是否就能滿足我們實際生活的需要

呢？下面我們就來共同研究這個問題.

二、講授新課

1.問題的提出

［師］請大家四個人為一組，拿出自己準備好的兩個邊長為1的正方形和剪刀，認真討論之后，動

手剪一剪，拼一拼，設法得到一個大的正方形，好嗎？

［生］好.（學生非常高興地投入活動中）.

［師］經過大家的共同努力，每個小組都完成了任務，請各組把拼的圖展示一下.

同學們非常踴躍地呈現自己的作品給老師.

［師］現在我們一齊把大家的做法總結一下：

下面請大家思考一個問題，假設拼成大正方形的邊長為a,則a應滿足什么條件呢？

［生甲］a是正方形的邊長，所以a肯定是正數.

［生乙］因為兩個小正方形面積之和等于大正方形面積，所以根據正方形面積公式可知a2=2.

［生丙］由a2=2可判斷a應是1點幾.

［師］大家說得都有道理，前面我們已經總結了有理數包括整數和分數，那么a是整數嗎？a是分數

嗎？請大家分組討論后回答.

［生甲］我們組的結論是：因為12=1,22=4,32=9,…整數的平方越來越大，所以a應在1和2之

間，故a不可能是整數.

111224111

_x_—___x_=____x_=__

［生乙］因為224'339'339,…兩個相同因數的乘積都為分數，所以a不可能是

分數.

［師］經過大家的討論可知，在等式a2=2中，a既不是整數，也不是分數，所以a不是有理數，但

在現實生活中確實存在像a這樣的數，由此看來，數又不夠用了.

2.做一做

投影片§2.1.1A

(1)在下圖中，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？

(2)設該正方形的邊長為b,則b應滿足什么條件？b是有理數嗎？

［師］請大家先回憶一下勾股定理的內容.

［生］在直角三角形中，若兩條直角邊長為a,b,斜邊為c,則有a2+b2=c2.

［師］在這題中，兩條直角邊分別為1和2,斜邊為b,根據勾股定理得b2=12+22,即b2=5,貝ijb

是有理數嗎？請舉手回答.

［生甲］因為22=4,32=9,4<5<9,所以b不可能是整數.

［生乙］沒有兩個相同的分數相乘得5,故b不可能是分數.

［生丙］因為沒有一個整數或分數的平方為5,所以5不是有理數.

［師］大家分析得很準確，像上面討論的數a,b都不是有理數，而是另一類數一無理數.關于無理

數的發現是付出了昂貴的代價的.早在公元前，古希臘數學家畢達哥拉斯認為萬物皆“數"，即''宇宙

間的一切現象都能歸結為整數或整數之比”，也就是一切現象都可用有理數去描述.后來，這個學派中

的一個叫希伯索斯的成員發現邊長為1的正方形的對角線的長不能用整數或整數之比來表示，這個

發現動搖了畢達哥拉斯學派的信條，據說為此希伯索斯被投進了大海，他為真理而獻出了寶貴的生

命，但真理是不可戰勝的，后來古希臘人終于正視了希伯索斯的發現.也就是我們前面談過的a2=2中

的a不是有理數.

我們現在所學的知識都是前人給我們總結出來的，我們一方面應積極地學習這些經驗，另一方面我

們也不能死搬教條，要大膽質疑，如不這樣科學就會永遠停留在某處而不前進，要向古希臘的希伯

索斯學習，學習他為捍衛真理而勇于獻身的精神.

三、課堂練習

（一）課本P35隨堂練習

如圖，正三角形ABC的邊長為2,高為h,h可能是整數嗎？可能是分數嗎？

解：由正三角形的性質可知BD=1,在Rt^ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整數，也不可能

是分數.

（二）補充練習

為了加固一個高2米、寬1米的大門，需要在對角線位置加固一條木板，設木板長為a米，則由勾股

定理得a2=12+22,即a2=5,a的值大約是多少？這個值可能是分數嗎？

解：a的值大約是2.2,這個值不可能是分數.

四、課堂小結

1.通過拼圖活動，經歷無理數產生的實際背景，讓學生感受有理數又不夠用了.

2.能判斷一個數是否為有理數.

五、課后作業：見作業本。

§2.1認識無理數（二）

教學目標

（-）知識目標：

1.借助計算器探索無理數是無限不循環小數，并從中體會無限逼近的思想.

2.會判斷一個數是有理數還是無理數.

（二）能力訓練目標：

1.借助計算器進行估算，培養學生的估算能力，發展學生的抽象概括能力，并在活動中進一步發展學

生獨立思考、合作交流的意識和能力.

2.探索無理數的定義，以及無理數與有理數的區別，并能辨別出一個數是無理數還是有理數，訓練大

家的思維判斷能力.

（三汁青感與價值觀目標：

1.讓學生理解估算的意義，掌握估算的方法，發展學生的數感和估算能力.

2.充分調動學生的積極性，培養他們的合作精神，提高他們的辨識能力.

教學重點

1.無理數概念的探索過程.

2.用計算器進行無理數的估算.

3.了解無理數與有理數的區別，并能正確地進行判斷.

教學難點

1.無理數概念的建立及估算.

2.用所學定義正確判斷所給數的屬性.

教學方法

老師指導學生探索法

教學過程

一、創設問題情境，引入新課

［師］同學們，我們在上節課了解到有理數又不夠用了，并且我們還發現了一些數，如a2=2,b2=5中

的a,b既不是整數，也不是分數，那么它們究竟是什么數呢？本節課我們就來揭示它的真面目.

二、講授新課

1.導入：［師］請看圖

大家判斷一下3個正方形的邊長之間有怎樣的大小關系？說說你的理由.

［生］因為3個正方形的面積分別為1,2,4,而面積又等于邊長的平方，所以面積大的正方形邊長

就大.

［師］大家能不能判斷一下面積為2的正方形的邊長a的大致范圍呢？

［生］因為a2大于1且a2小于4,所以a大致為1點幾.

［師］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示為l<a<2.那么a究竟是1點幾呢？請大家用計算器進

行探索，首先確定十分位，十分位究竟是幾呢？如1.12=1.21,1.22=1.44,1.32=1.69,1.42=1.96,

1.52=2.25,而a2=2,故a應比1.4大且比1.5小，可以寫成1.4<a<1.5,所以a是1點4幾，即十分

位上是4,請大家用同樣的方法確定百分位、千分位上的數字.

［生］因為1.412=1.9881,1.422=2.0164,所以a應比1.41大且比1.42小，所以百分位上數字為1.

［生］因為1.4112=1.990921,1.4122=1.993744,1.4132=1.996569,1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,

所以a應比1.414大而比1.415小，即千分位上的數字為4.

［生］因為1.41422=1.99996164,1.41432=2.00024449,所以a應比1.4142大且比1.4143小，即萬分

位上的數字為2.

［師］大家非常聰明，請一位同學把自己的探索過程整理一下，用表格的形式反映出來.

［生］我的探索過程如下.

邊長a面積s

l<a<21<S<4

1.4<a<1.51.96<S<2.25

1.41<a<1.421.9881<S<2,0164

1.414<a<1.4151.999396<S<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449

［師］還可以繼續下去嗎？

［生］可以.

［師］請大家繼續探索，并判斷a是有限小數嗎？

［生］a=1.41421356…，還可以再繼續進行，且a是一個無限不循環小數.

［師］請大家用上面的方法估計面積為5的正方形的邊長b的值.邊長b會不會算到某一位時，它的

平方恰好等于5?請大家分組合作后回答.（約4分鐘）

［生］b=2.236067978…，還可以再繼續進行，b也是一個無限不循環小數.

［生］邊長b不會算到某一位時，它的平方恰好等于5,但我不知道為什么.

［師］好.這位同學很坦誠，不會就要大膽地提出來，而不要冒充會，這樣才能把知識學扎實，學透,

大家應該向這位同學學習.這個問題我來回答.如果b算到某一位時，它的平方恰好等于5,即b是一

個有限小數，那么它的平方一定是一個有限小數，而不可能是5,所以b不可能是有限小數.

2.無理數的定義

請大家把下列各數表示成小數.

452_

3,M'3'45'11,并看它們是有限小數還是無限小數，是循環小數還是不循環小數.大家可以每個小

組計算一個數，這樣可以節省時間.

-4--5-?

［生］3=3.0,5=0.8,9=0.5,

—8=0.17?'2=1.81?8?

45,11

452_

［生］3,M是有限小數，3'45'11是無限循環小數.

［師］上面這些數都是有理數，所以有理數總可以用有限小數或無限循環小數表示.反過來，任何有

限小數或無限循環小數都是有理數.

像上面研究過的a2=2,b2=5中的a,b是無限不循環小數.

無限不循環小數叫無理數（irrationalnumber）.

除上面的a,b夕卜，圓周率"=3.14159265…也是一個無限不循環小數，0.5858858885…（相鄰兩個5之

間8的個數逐次加1）也是一個無限不循環小數，它們都是無理數.

3.有理數與無理數的主要區別

（1）無理數是無限不循環小數，有理數是有限小數或無限循環小數.

（2）任何一個有理數都可以化為分數的形式，而無理數則不能.

4.例題講解

下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？

—4??

3.14,-3,0.57,0.1010010001…（相鄰兩個1之間0的個數逐次加1）.

—4??

解:有理數有3.14,—3,0,57無理數有0.1010010001….

三、課堂練習

（一）隨堂練習

下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？

*—1

0.4583,3.7,一“，-7,區

1?_

解：有理數有0.4583,3.7,—7,18.無理數有一m.

(二)補充練習

投影片(§2.1.2A)

判斷題

(1)有理數與無理數的差都是有理數.

(2)無限小數都是無理數.

(3)無理數都是無限小數.

(4)兩個無理數的和不一定是無理數.

解：(1)錯.例兀—1是無理數.

*

⑵錯.例是有理數.

(3)對.因為無理數就是無限不循環小數，所以是無限小數.

(4)對.因為兩個符號相反的無理數之和是有理數.例Ji-=0.

投影片(§2.1.2B)

下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數?

2??

一,4.96

0.351,—3,3.14159,—5.2323332…，123456789101112…(由相繼的正整數組成).

2??

—,4.96

解：有理數有0.351,-3,3.14159,

無理數有一5.2323332…，123456789101112-.

投影片（§2.1.2C）

5

［生］有理數集合填0,11,-3.

3

無理數集合填一口，一2JI,0.323323332-.

四、課時小結

本節課我們學習了以下內容.

1.用計算器進行無理數的估算.

2.無理數的定義.

3.判斷一個數是無理數或有理數.

五、課后作業：見作業本。

§2.2平方根（一）

教學目標：

1、了解算術平方根的概念，會用根號表示一個數的算術平方根。

2、會求一個正數的算術平方根。

3、了解算術平方根的性質。

教學重點：算術平方根的概念、性質，會用根號表示一個正數的算術平方根。

教學難點：算術平方根的概念、性質。

教學過程：

一、問題引入

1.教師活動：回顧上節課的拼圖活動及探索無理數的過程，提出問題：面積為13的正方形的邊長究

竟是多少？

學生活動：

（1）完成課本P32的填空：

a2=b2=,

c2=d2=

e2=,f2=

（2）a,b,c,d,e,f中哪些是有理數，哪些是無理數？你能表示它們

嗎？

2.師生互動

集體交流后，說明無理數也需要一種表示方法。

二、講授新課：

算術平方根的概念：一般地，如果一個正數1的平方等于。，即/=。，那么，這個正數了就叫做。

的算術平方根。記為：讀做根號特別地，0的算術平方根是0。

那么。=2,貝=b2=3,貝Llb=8；.......

這樣的話，一個非負數的算術平方根就可以表示為3。

例1分別寫出下列各數的算術平方根

4

81,—,0.09,1,23,-5,0

（要求一個數的算術平方根，一般的方法是先按平方的概念來找哪個數的平方等于這個數。）

例2自由下落物體的高度h（米）與下落時間t（秒）的關系為h=4.9t2.有一鐵球從19.6米高的建筑物

上自由下落，到達地面需要多長時間？

學生活動：一個同學在黑板上板演，其他同學在練習本上做，然后交流。

師生互動：完成引例中的1=13,則

%=工,以后我們可以利用計算器求出這個數的近似值。

三、隨堂練習：P391

四、小結：

（1）內容總結：

①算術平方根的定義、表示；

②&的雙重非負性。

（2）方法歸納：

轉化的數學方法：即將陌生的問題轉化為熟悉的問題解決。

五、作業：

P40習題2.312

§2.2平方根（二）

教學目標：

1、了解平方根的概念，會用根號表示一個數的平方根。

2、會求一個正數的平方根。

3、了解平方根和算術平方根的性質。

4、了解乘方和開方是互逆運算，會利用這個互逆運算求某些非負數的算術平方根和平方

根。

教學重點：了解平方根和開平方的概念、性質，會用根號表示一個正數的算術平方根和平方根。

教學難點：平方根和算術平方根的區別。負數沒有平方根，即負數不能進行開平方運算。

教學過程：

一、復習提問

1、算術平方根的概念，任何一個有理數都有算術平方根嗎？算術平方根有什么性質。

2、9的算術平方根是，3的平方是，

還有其他的數的平方是9嗎？

二、講授新課：

1.想一想

4

平方等于25的數有幾個？平方等于0.64的數呢？

學生活動：學生思考，然后交流，得出平方根的定義。

2.教師活動：

一般地，如果一個數%的平方等于。，即爐=。，那么，這個數％就叫做。的平方根。也叫做二次

方根。

3和一3的平方都是9,即9的平方根有兩個3和一3；9的算術平方根只有一個，是3。

3.學生活動：

求出下列各數的平方根。

4

9-

6,o,

三、議一議：

(1)一個正數的有幾個平方根？

(2)0有幾個平方根？

(3)負數呢？

★教師活動：

一個正數有兩個平方根，0只有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根。

☆學生活動：

正數的兩個平方根有什么關系嗎？

討論，交流得出：

一個正數。有兩個平方根，一個是。的算術平方根，“血”，另一個是“一后”，它們互為相反數。

這兩個平方根合起來，可以記做“土而"，讀作“正、負根號

開平方：求一個數。的平方根的運算，叫做開平方。其中。叫做被開方數。(已知指數和募，求底

數的運算是開方運算)

★教師活動

開平方和平方互為逆運算，我們可以利用平方運算來求平方根。

四、例題精析：

例1求下列各數的平方根：

49

(1)64,(2)⑵,(3)0.0004,

(4)(-25)2,(5)11

注意書寫格式。

五、隨堂練習：P361、2

例2若尤？+40~=41~,求x；

★教師活動：

通過例2,要學生進一步明白平方根與算術平方根在應用上的區別。

六、想一想

⑴(鬧尸等于多少等于多少?

(2)(J7E)2等于多少?

(3)對于正數a,(J1『等于多少?

師生互動，討論交流得出：(向2=aNO)

七、小結：

1.平方根的定義、表示方法、求法、性質。平方根和算術平方根的區別和聯系。

2.使學生學到由特殊到一般的歸納法。

八、作業：

P36習題2.4和試一試P533

§2.3立方根

教學目標

1.使學生了解一個數的立方根概念，并會用根號表示一個數的立方根；

2.理解開立方的概念；

3.明確立方根個數的性質，分清一個數的立方根與平方根的區別.

教學重點和難點

重點：立方根的概念及求法.

難點：立方根與平方根的區別.

教學過程設計

一、復習：請同學回答下列問題：

(1)什么叫一個數a的平方根?如何用符號表示數a(K))的平方根？

(2)正數有幾個平方根?它們之間的關系是什么?負數有沒有平方根?0平方根是什么？

(3)當吟0時，式子a,—a,±a,的意義各是什么？

答：(1)如果一個數x的平方等于a,即x2=a,那么x叫做a的平方根，表示為x=±a.

(2)正數有兩個平方根，它們互為相反數，負數沒有平方根，0的平方根是0.

(3)aK),a表示a的算術平方根，一a表示a的負平方根，士a表示a的平方根.

二、引入新課

1.計算下列各題：

(1)⑵(-2)；⑶03.

答:(1)0-13=0.001；(2)(-2)-827；(3)°3=0.

指出：上面各題是已知底數和乘方指數求三次塞的運算，也叫乘方運算.

怎樣求下列括號內的數?各題中已知什么?求什么？

(1)()3=18;(2)()3=-27125;(3)()3=0.

答：已知乘方指數和3次幕，求底數，也就是“已知某數的立方，求某數”.

33

設某數為X,貝11(1)式為X=18,求X；⑵式為X=-27125,求X；(3)式為x3=0求X。

2.立方根的概念.

一般地，如果一個數的立方等于a,這個數就叫做a的立方根(也叫做三次方根).

用式子表示，就是，如果d=a,那么x叫做a的立方根.數a的立方根用符號“表示，讀作“三

次根號a,其中a是被開方數，3是根指數.(注意：根指數3不能省略).

3.開立方.

求一個數的立方根的運算，叫做開立方.開立方與立方也是互為逆運算，因此求一個數的立方根

可以通過立方運算來求.

三、講解例題：

例1求下列各數的立方根：

(1)8；(2)-8；(3)0.125；(4)-27125；(5)0.

分析：求一個數的立方根，我們可以通過立方運算來求.

解(1)因為23=8,所以8的立方根是2,即我=2.

問：除2以外，還有什么數的立方等于8?也就是說，正數8還有別的立方根嗎？

答：除2以外，沒有其它的數的立方等于8,也就是說，正數8的立方根只有一個.

(2)因為(一2了=8,所以一8的立方根是一2即口=—2

問：除一2以外，還有什么數的立方等于8?,也就是說，負數一8還有別的立方根嗎？

答：除一2以外，沒有其他的數的立方等于一8,也就是說，一8的立方根只有1個.

(3)因為653=0.125,所以0.125的立方根是0.5,即正后=0.5.

327_I_273

(4)因為(-5)3=-125,所以一27125的立方根是一35,即、125=-5.

⑸因為03=0,所以。的立方根是0,即桁=0.

問：一個正數有幾個立方根?一個負數有幾個立方根?零的立方根是什么？

答：正數有一個正的立方根；負數有一個負的立方根；零的立方根仍舊是零.

指出：立方根的個數的性質可以概括為立方根的唯一性，即一個數的立方根是唯一的.

例2求下列各式的值：

27

(1)場⑵V-64

⑶VlOOO

271

解(1)327=3；(2)手―64=-4

⑶i1000=.10

四、隨堂練習

1.判斷題:

(1)4的平方根是2；()(2)8的立方根是2；()

(3)—0.064的立方根是一0.4；()(4)127的立方根是±13()

1

(5)—16的平方根是±4；()；(6)—12是144的平方根.()

2.選擇題：

(1)數0.000125的立方根是().

A.0.5B.±0.5C.0.05D.0.005

(2)下列判斷中錯誤的是(

A.一個數的立方根與這個數的乘積為非負數

B.一個數的兩個平方根之積負數

C.一個數的立方根未必小于這個數

D.零的平方根等于零的立方根

3.求下列各數的立方根：

(1)27；(2)-38；(3)1；(4)0.

4.求下列各式的值：

11000I125

(1)100；⑵而；⑶1而；⑷『瓦；(5)VI；

五、小結

請思考下面的問題：

1.什么叫一個數的立方根?怎樣用符號表示數a的立方根?a的取值范圍是什么？

2.數的立方根與數的平方根有什么區別？

答：1.如果一個數的立方等于a,這個數就叫做a的立方根，用符號3a表示，a為任意數.

2.正數只有一個正的立方根，但有兩個互為相反數的平方根；負數有一個負的立

方根，但沒有平方根.

3.求一個數的立方根，可以通過立方運算來求.

六、作業：見作業本。

§2.4估算

教學目標

(一)教學知識點

1.能通過估算檢驗計算結果的合理性，能估計一個無理數的大致范圍，并能通過估算比較兩個數的大

小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意識，發展學生的數感.

(二)能力訓練要求

1.能估計一個無理數的大致范圍，培養學生估算的意識.

2.讓學生掌握估算的方法，訓練他們的估算能力.

教學重點

1.讓學生理解估算的意義，發展學生的數感.

2.掌握估算的方法，提高學生的估算能力.

教學難點

掌握估算的方法，并能通過估算比較兩個數的大小.

教學過程

一.導入新課

同學們，請大家說出咱們班男生和女生的平均身高.你又是怎樣得出結果的呢？

(我猜的.)

“猜”字的意思就是根據自己的判斷而估計得出的結果，它并不是準確值，但也不是無中生有，是

有一定的理論根據的，本節課我們就來學習有關估算的方法.

二.講授新課

問題：某地開辟了一塊長方形的荒地，新建一個以環保為主題的公園，已知這塊荒地的長是寬的2

倍，它的面積為400000米2.

(1)公園的寬大約是多少？它有1000米嗎？

(2)如果要求誤差小于10米，它的寬大約是多少？

(3)該公園中心有一個圓形花圃，它的面積是800米2,你能估計它的半徑嗎？(誤差小于1米)

提示：要想知道公園的寬大約是多少，首先應根據已知條件求出已知量與未知量的關系式，那么它

們之間有怎樣的聯系呢？

(因為已知長方形的長是寬的2倍，且它的面積為40000米2,根據面積公式就能找到它們的關系式.

可設公園的寬為x米，則公園的長為2x米，由面積公式得：

2x2=400000x2=200000?所以公園的寬x就是面積200000的算術平方根).

在估算時我們首先要大致確定數的范圍，因此有必要做一些準備工作.請大家先計算出20以內正整數

的平方和10以內正整數的立方.并加以記憶，對我們的估算很有幫助.

12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121；122=144；

132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=381；202=400.

13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000.

下面我們可以進行估算，請同學們分組討論而后回答.

(1)公園的寬沒有1000米，因為1000的平方是1000000,而200000小于1000000,所以它沒有1000

米寬.

大家能不能具體確定一下公園的寬是幾位數呢？

因為100的平方是10000,1000的平方是1000000,而200000大于10000小于1000000,所以公園

的寬比100大而比1000小，是三位數.

大家在估算時就可用這樣的方法大致估算一下是幾位數，這樣使范圍縮小，為下一步的估算作準備.

由此看來公園的寬大約是幾百米，下面請大家繼續討論做(2)題.

因為400的平方等于160000,500的平方為250000,所以公園的寬x應比400大比500小.

所以x應為400多，再繼續估算，估計十位上的數字是幾.

因為440的平方為193600,450的平方為202500,所以x應比440大比450小，故十位上的數為4.

因為題目要求誤差小于10米，好應精確到十位，所以我們估算出十位上的數就行了，即公園的寬x

應為440米，現在我們可以根據剛才的估算來總結一下步驟.

1.估計是幾位數.

2.確定最高位上的數字(如百位).

3.確定下一位上的數字.(如十位)

4.依次類推，直到確定出個位上的數，或者按要求精確到小數點后的某一位.

在以后的估算中我們就可按這樣的步驟進行.再看(3)題，先列出關系式.

800800

(設半徑為X米，貝IJ有xx2=800；.x2=n314打255.即x2處255

因為102=100,1002=10000,所以x應是兩位數，又因為152=255,162=256,所以x就比15大比

16小，應為15點幾，所以應為15米.)

在題目中要求誤差小于1,而不是精確到1,所以15米和16米都滿足要求，即x應為15米或16米.

二、議一議

⑴下列計算結果正確嗎？你是怎樣判斷的？與同伴交流.

J0.43心0,066；莎麗心96；,2536Q60.4

(2)你能估算莎麗的大小嗎？(誤差小于1).

解：(1)因為0.652=0.4225,0.662=0.4356,而0.43大于0.4225小于0.4356,所以，0?43應大于0.65

小于0.66,所以估算錯誤.

(2)第2個錯.因為10的立方是1000,900比1000小，所以900的立方根應比1000的立方根小，

即小于10,所以估算錯誤.

(3)第3個錯.因為60的平方是3600,而2536小于3600,所以后后應比60小，所以估算錯誤.

第(2)小題請大家按總結的步驟進行.

(1)先確定位數

因為1的立方為1,10的立方為1000,900大于1小于1000,所以應是一位數.

(2)確定個位上數字.

因為9的立方為729,所以個位上的數字應為9.

三、例題講解

［例1］(課本40頁例1)

正11與工

［例2］通過估算，比較22的大小

分析：因為這兩個數的分母相同，所以只需比較分子即可.

_V5-1>2-1V5-l^1

解：因為5>4,即(、6)2>22,所以百>2,所以22.即22.

a+2b

［補例3］已知6+1的整數部分為a,小數部分為b.求2a+b的值.

〃一1

［補例4］已知5+2遙的整數部分和小數部分分別為。和。，求人的值

四、課堂練習

(一)隨堂練習

(二)補充練習：比較巫■與3.4的大小.

解：因為3.4的平方為11.56,所以12大于11.56,即?歷>3.4.

五.課堂小結

本節課主要是讓學生掌握估算的方法，形成估算的意識，發展學生的數感，并能用估算來比較大小.

六.課后作業：習題2.6

§2.5用計算器開方

教學目標

（一）知識目標

1.會用計算器求平方根和立方根.

2.經歷運用計算器探求數學規律的活動，發展合情推理的能力.

（二）能力訓練目標

1.鼓勵學生能積極參與數學學習活動，對數學有好奇心與求知欲.

2.鼓勵學生自己探索計算器的用法，并能熟悉用法.

3.能用計算器探索有關規律的問題，體驗數學活動充滿著探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結

論的確定性.

（三H青感與價值觀目標

讓學生經歷運用計算器的活動，培養學生探索規律的能力，發展學生合理推理的能力.

教學重點

1.探索計算器的用法.

2.用計算器探求數學規律.

教學難點

1.探索計算器的用法.

2.用計算器探求數學規律.

教學方法

學生探索法.

教學過程

一、新課導入

我們在前幾節課分別學習了平方根和立方根的定義，還知道乘方與開方是互為逆運算.比如23=8,2

叫8的立方根，8叫2的立方，有時可以根據逆運算來求方根或平方、立方.對于10以內數的立方，

20以內數的平方要求大家牢記在心，這樣可以根據逆運算快速地求出這些特殊數的平方根或立方根,

那么對于不特殊的數我們應怎么求其方根呢？可以根據估算的方法來求，但是這樣求方根的速度太

慢，這節課我們就學習一種快速求方根的方法，用計算器開方.

二、新課講解

［師］請大家互相看一下計算器，拿類型相同的計算器的同學請坐到一起.這樣便于大家互相討論問

題.如果你的計算器的類型與書中的計算器的類型相同，請你按照書中的步驟熟悉一下程序，若你的

計算器的類型不同于書中的計算器，請拿相同類型計算器的同學先要探索一下如何求平方根、立方

根的步驟，把程序記下來，好嗎？給大家8分鐘時間進行探索.

［師］好，時間到，大家的程序掌握了嗎？

［生］掌握了.

~1285,

［師］現在根據自己掌握的程序計算6而，\7^V5+1）癡萬一口，然后和書中的數

據相對照，檢查自己做的是否正確.

［生］正確.

三、做一做

利用計算器，求下列各式的值（結果保留4個有效數字）：

3匡

(1)A/800.(2)V5.⑶J0.58；⑷V-0.432

［師］哪一位同學能用計算器快速計算出上面各式的值呢?

［生］能.

O.7616；J0,432-一0.7560.

(1)仁28.28；⑵F.639；(3)J0.58、(4)

［例題］利用計算器比較我和上的大小.

解：正=1.44224957,、歷=1.414213562

V3>72

［師］請大家用計算器求下列各式的值(結果保留4個有效數字)

投影片：(§2.5A)⑴歷；⑵J0.81.

⑶J1369；(4)J1.5376.⑸百；