學業水平考試數學公式結論總結

L={x|xeAJILve8}AU8={X|xeA,^￡xe8}CuA=(xlxeL/,SlxeA]

2.奇偶性：(注：晟雌嬲窺謖副懸忠皿期±1思援)

(1)若有/(—x)=—/(x)或/?(—》)+/(x)=0,則f(x)就是奇函數。奇函數的圖象關于

原點對稱；(2)若有f(—x)=/(x),則f(x)就是偶函數。偶函數的圖象關于y軸對稱.

3.函數的最值：函數最大(小)首先應該是某一個函數值，即存在與e/,使得/(x0)=M；

函數最大(小)應該是所有函數值中最大(小)的，即對于任意的XG/,都有

4函數的單調性：如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量X,xz,當x,<x2

時，都有f(xj<(>)f(x2),那么就說f(x)在區間D上是增(減)函數，函數的單調性是

在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質。

5.有理指數幕的含義及其運算性質：

①a'；②③(")'=a'，(a>0,6>0,r,seQ)。

函數y=/(a>0且a工1)叫做指數函數。

指數函數的圖象和性質

y=ax0<4V1a>1

、i、y

y/

V

圖象-J-------

~0X0X

定義域R

值域(0,+8)

性過定點(0,1),即工=0時，y=1

定點.

質(1)a>],當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<l。

(2)0<a<1,當x>0時，0<y<l；當x<0時，y>l。

單調性在R上是減函數在R上是增函數

對稱性y=力.和y二加/關于了軸對稱

6.對數函數

(1)對數的運算性質：如果a>0,aW1,0,N>0,那么:

①log”MN=logaM+logaN；②log。—=log?M-log?N；

n

(3)logf/M="log.M(nG/?)o

(2)換底公式：108,4=鹿配(。＞0且。/1,00且。彳11＞0)

log,“

(3)對數函數的圖象和性質

y=iog“無0<a<1a>1

圖一

象Ai.o>*

定義域(0,+8)

值域R

(1)過定點(1,0),即x=1時，y=0

性(2)在R上是減函數(2)在R上是增函數

質(3)同正異負，即0<。V1,0<工<1或。>1,X>1時，log?X>0；

0<"1,；1>1或。>1,0<尢<1時，Iogax<0o

7.塞函數：函數y=x"叫做累函數(只考慮a=l,2,3,—l,g的圖象)。

8.方程的根與函數的零點：如果函數y=/(x)在區間［a,b］上的圖象是連續不斷的一

條曲線，并且有〃.)./(力＜0,那么，函數y=/(x)在區間(a,b)內有零點，即存在

ce(a,b),使得/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的根。

9.棱柱、棱錐、棱(圓)臺的本質特征

⑴棱柱：①有兩個互相平行的面(即底面平行且全等)，②其余各面(即側面)每相鄰兩個

面的公共邊都互相平行(即側棱都平行且相等)。

⑵棱錐：①一個面(即底面)是多邊形，②其余各面(即側面)是有一個公共頂點的三角形。

⑶棱臺：①每條側棱延長后交于同一點，②兩底面是平行且相似的多邊形。

⑷圓臺：①平行于底面的截面都是圓，②過軸的截面都是全等的等腰梯形，③母線長都相等,

每條母線延長后都與軸交于同一點。

11.圓柱、圓錐、圓臺的展開圖、表面積和體積的計算公式

22

⑴Smt我=nr(r+J)-S困6/=n(ri+rT+r_E?+rf1)S?|??=2nr(r+7)

r上=0ri=rT

z2

⑵V網城=一冗/h-Vn(r上：'+rT+r±rT>)h-V肉杈=nrh

(3)球其體積丫=3%/?3,表面積S=4%;?2

3

12空間中兩條直線有三種位置關系：相交、平行、異面。

13.空間直線和平面的位置關系：直線與平面相交、直線在平面內、直線與平面平行

14空間平面與平面的位置關系：平面與平面平行、平面與平面相交

15直線與平面平行的判定定理：

文字表述：如果平面外一條直線與平面內一條直線平行，那么該直線與這個平面平行。

aaa-----------

符號表示：bua?=a//a。圖形表示：

allb//

16.兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這

兩個平面平行。

auB

bu0

符號表示：ab=PPHao

alla

blla

17.直線與平面平行的性質定理：如果一條直線與一個平面平行，經過這條直線的平面與已

知平面相交，那么交線與這條直線平行。

alia10―?―

符號表示：aup="〃"圖形表示：_____b7

a'p=b%/

18兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線

平行。符號表不：aIIa\y=a,13y=h^=>a!!h

19.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么

這條直線垂直于這個平面。符號表不：aua,bua,a(b=P,l上a,l上bnl上a

20.兩個平面垂直的判定定理：一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

符號表示：I上a,lupnaip

21.直線與平面垂直的性質：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

符號表示：aallbo

bLa]

22.平面與平面垂直的性質：如果兩個平面互相垂直，那么在其中一個平面內垂直于交線的

直線垂直于另一個平面。符號表不：Iua,a(0=m,lnI上仇

23..直線的斜率：k=tan0=%-M

x2-x.

24.直線的五種方程：

(1)點斜式y-yt=k(x-xl)(直線/過點[a，%),且斜率為Z).

（2）斜截式y=H+6（b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點式口一^-=--土（了戶必）（6（X|，x）、P,（x2,y2）（%1））.

為一y々一花

（4）截距式2+2=1（。、匕分別為直線的橫、縱截距，a、b^O）

ab

（5）一般式Ax+￡y+C=0（其中A、B不同時為0）.

25.兩條直線的平行和垂直

（1）若4:y=k}x+h］,l2:y=k2x+b2

①<=>k}=k?,b\手b,:②4_L/9<=>k［h=—1.

（2）若4：4彳+與>+。］=0,4：AzX+BzV+C2=0,且A］、A2>BI、B2都不為零,

①/也09="工三；②4u=44+4坊=0

2A2B?C?

26.兩點Pi（Xi,yD、P2（X2,y2）的距離公式IPR|二J（Z—工）+（為一切尸

27兩點P.（X1,%）、P2（x2,y2）的中點坐標公式M（土5,21±匹）

22

28.點P（x。，y。）到直線Ax+By+C=0的距離公式

7A2+B2

29.平行直線Ax+By+C=0、Ax+By+Ck0的距離公式5=隹一。」

^A2+B2

30.圓的方程：（1）圓的標準方程（無一。）2+。一與2=產

（2）圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+￡2-4F>0）.

31.點與圓的位置關系

點P（x。,%）與圓與一。）2+（y一（）2=戶的位置關系有三種:

若°={（。_3）2+（。_%）2,則

d>廠0點尸在圓外；d=r。點P在圓上；d<r=點P在圓內.

32.直線與圓的位置關系

直線Ax+3y+C=0與圓（x—a/+（y—人尸=戶的位置關系有三種:

d>r=相離<=>A<0;d=ro相切。△=0;

?.\Aa+Bb+C\

d<ro相交0A>0.其中d=??.

A/A2+B2

33.兩圓位置關系的判定方法

設兩圓圓心分別為Oi,0”半徑分別為n,R,|0］。2|=。

〃>4+弓=外離o4條公切線；d=八+弓o外切o3條公切線；

\r{-r2\<d<r1+r2=相交o2條公切線;d=卜-勿=內切ol條公切線;

0cde,一引o內含<=>無公切線.

34.空間直角坐標系，兩點之間的距離公式

⑴xoy平面上的點的坐標的特征A(x,y,0)：豎坐標z=0

xoz平面上的點的坐標的特征B(x,0,z)：縱坐標y=0

yoz平面上的點的坐標的特征C(0,y,z)：橫坐標x=0

x軸上的點的坐標的特征D(x,0,0)：縱、豎坐標y=z=0

y軸上的點的坐標的特征E(0,y,0)：橫、豎坐標x=z=0

z軸上的點的坐標的特征E(0,0,z)：橫、縱坐標x=y=0

222

(2)IPF?I=A/(X2-X1)+(y2-y,)+CZ2-Z1)

35.標準差：

s=—X)?+(“2—.)2++--V)2]

36.方差：——[(X]—+—x)?+-+一X)-]

fl

37.(1)若AAB為不可能事件，即AnB=(t),那么稱事件A與事件B互斥；

(2)若ACB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

(3)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事

件，則AUB為必然事件,所以P(AUB)=P(A)+P(B)=L于是有P(A)=1—P(B).

38.古典概型：1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；2)每個基本事件出現的可

A包含的基本事件個數

能性相等；古典概型的概率計算公式：P(A)=.金瑞,或二

息的基本事件個數k

構成事件A的區域長度(面積或體積)

39.幾何概型的概率公式:P(A)=

試驗的全部結果所構成的區域長度(面積或體積)

幾何概型的特點：1)試驗中所有可能出現的結果(基本事件)有無限多個；2)每個基本事

件出現的可能性相等.

40.任意角的三角函數

設P(x,y)是角a終邊上任一點(與原點不重合)，記yOP|=Jx2+y2,貝lj

VXV

sina=—,cosa=—,tana=J

rrx

41.同角三角函數的基本關系式

sinty

(1)平方關系：sin2a+cos2a=l(2)商數關系：把t=tana

cosa

42.三角函數的誘導公式

利用三角函數定義，可以得到誘導公式：即a+“萬與a之間函數值的關系(kcz),

2

其規律是“奇變偶不變，符號看象限”。

43.三角函數的圖象與性質

函數y=sinxy=cosxy=tanx

圖象

Z4\L

?i金一4t49.../、^4孔.n7\/r\

-11..-2AJS-IazCQ.一辦

定義RR

域71

{x\x^k7V-GZ}

值域R

[-1,1][-U1

奇偶奇函數偶函數奇函數

性

周期2兀2兀71

性

在［2k7r—兀,2kG(keZ)在

在12k兀---,2k兀4—](/GZ)

22上是增函數

(krt--,kn+(keZ)

上是增函數在［2k九,2k冗+冗］(keZ)22

單調

在上是減函數上是增函數

性

JT34

[2Z7+—,2krd---](keZ)

上是減函數

當x=2k7r,keZ時，

當x=—4-2k7r,kEZ時，

2

>max=1

無

Vmax=1

當x=(2左+1)萬,keZ時，

最值

當x=——+2k/r,keZ時，Xnin=T

2

)，min=T

冗

對稱中心(Qr,O),kGZ對稱中心(ATTH---,0)，對稱中心/7,0),keZ

2

對稱

TTksZ對稱軸：無

性對稱軸：x=k/u+5(%￡Z)

對稱軸：x=k兀*eZ)

44.函數y=Asin(<ztr+的圖象

(1)用“圖象變換法”作圖

由函數丁=$出》的圖象通過變換得到丁=Asin(@r+°)的圖象，有兩種主要途徑:“先

平移后伸縮”與“先伸縮后平移”。

法一：先平移后伸縮

橫坐標變為原來的，倍利用人H赤%而乖的4位

縱坐標不變0>…山出+。)小惠算產信>y=Asin3+0)

法二：先伸縮后平移

橫坐標變為原來的‘倍

y=sinx22c*八“向左">0)或向右回<0)

-------縱--坐---標--不--變----——>)y=olllCZZA-■?y=sin(oir+*)

平移幽個單位

縱坐黑黑的jfsinU。)

當函數丁=Asin(5+0)(A>0)。>0,xe[0,+8))表示一個振動量時，A就

表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常把它叫做這個振動的振幅；往復振動一次

所需要的時間T=絲27r，它叫做振動的周期；單位時間內往1復振27動r的次數/=▲=把，它

coTco

叫做振動的頻率；3+夕叫做相位，。叫做初相(即當x=0時的相位)。

45.實數與向量的積的運算律：設入、口為實數，那么

(1)結合律：入(口a)=(入P)a;⑵第一分配律：(A+u)a=Aa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

46.向量的數量積的運算律：(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(Aa),b=A(a*b)=Aa,b=a,(2b);(3)(a+b),c=a,c+b,c.

47.平面向量基本定理：

如果當、ez是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且

只有一對實數L、X2,使得a=入間+a*2.

不共線的向量①、會叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.

48.向量平行的坐標表示

設a=(X]，x),b=(X2，%)，且b/0,則ab(b^0)<=>xty2-x2yx=0.

49.a與b的數量積(或內積)：a?b=abcos0.

50.a,b的幾何意義：

數量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos9的乘積.

51.平面向量的坐標運算

⑴設2=(石，>])5=(%2，%)，則a+b=a+%,必+%)?

⑵設a=(X|,y),b=(X2，y2)，則a-b=a-工2，凹一%)?

⑶設A(X1,y),B(/,%)，則48=。8-。4=(工2-玉，坊一、)

(4)設a=(x,y),2eR,則4a=(Ar,4y).

⑸設a=(X|,y),b=(X2，y2)，則a?b=(x1x2+j1y2).

52.兩向量的夾角公式

cose=華+花二(a=a,X),b=(超,必)).

53.平面兩點間的距離公式dAB=\AB\=>]ABAB=-獷+(%-yj

54.?向量的平行與垂直：設a=(x，y),1)=(工2，%)，且b±0,則

a|b<=>b=Xaox1％一%2》[=aJLb(aW0)Oa?b=0<=>x]x2+y]y2=0.

55.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下:

sin(a±^)=sincrcos/7±coscrsi