動點軌跡問題專題講解

一.專題內容：

求動點P(x,y)的軌跡方程實質上是建立動點的坐標x,y之間的關系式，首先要分析形成軌跡

的點和己知條件的內在聯系，選擇最便于反映這種聯系的坐標形式，尋求適當關系建立等式，常

用方法有：

(1)等量關系法：依據題意，列出限制動點的條件等式，這種求軌跡的方法叫做等量關系法，

利用這種方法時，要求對平面幾何中常用的定理和解析幾何中的有關基本公式很熟識.

(2)定義港：假如動點滿意的條件符合某種已知曲線(如圓錐曲線)的定義，可依據其定義用

待定系數法求出軌跡方程.

(3)轉移代入法：假如所求軌跡上的點P(x,y)是隨另一個在己知曲線C：F(x,y)=0上的動

點M(Xo,%)的改變而改變，且不，%能用x,y表示，即/=/(x,y),%=g(x,y),則將工,%

代入已知曲線P(x,y)=0,化簡后即為所求的軌跡方程.

(4)拳裂港：選取適當的參數(如直線斜率Z等)，分別求出動點坐標x,y及參數的關系式，得

出所求軌跡的參數方程，消去參數即可.

(5)金釉港：即求兩動直線交點的軌跡，可選取同一個參數，建立兩動直線的方程，然后消去

參數，即可(有時還可以由三點共線，斜率相等找尋關系).

留意：軌跡的完備性和純粹性！肯定要檢驗特別點和線！

二.相關試題訓練

(-)選擇、填空題

1.()己知￡、F?是定點，|￡g|=8,動點M滿意IMI+|"KI=8,則動點M的軌跡是

(A)橢圓(B)直線(C)圓(D)線段

2.()設〃(0,5),N(0,-5),AM/VP的周長為36,則AMNP的頂點P的軌跡方程是

(A)(xwO)(B)(x#0)

(C)(ywO)(D)("0)

3.及圓1+丁-4工=0外切，又及y軸相切的圓的圓心軌跡方程是；

4.P在以片、工為焦點的雙曲線上運動，則△￡入2的重心G的軌跡方程是；

5.已知圓C：(x+J5)2+y2=16內一點0),圓C上一動點Q,AQ的垂直平

分線交CQ于P點，則P點的軌跡方程為.

6.△ABC的頂點為A(-5,0)、B(5,0),△ABC的內切圓圓心在直線*=3上，則頂

點C的軌跡方程是；(x>3)

變式：若點P為雙曲線的右支上一點，F「F2分別是左、右焦點，KU鳥的內切圓圓心的軌

跡方程是；

推廣：若點P為橢圓上任一點，月、分別是左、右焦點，圓M及線段KP的延長線、線段P鳥

及X軸分別相切，則圓心M的軌跡是；

7.已知動點M到定點43,0)的距離比到直線x+4=0的距離少1,則點M的軌跡方程是

.(/=12x)

8.拋物線y=2x2的一組斜率為&的平行弦的中點的軌跡方程是.

(())

9.過拋物線丁=4尤的焦點F作直線及拋物線交于P、Q兩點，當此直線繞焦點F旋轉時，

弦PQ中點的軌跡方程為.

PP1

解法分析：解法1當直線尸。的斜率存在時，Sr

設PQ所在直線方程為y=Z(x-l)及拋物線方程聯立，/.

消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2^0.'M

設P(Xi，M)，以小必)，P。中點為M(x,y)，則有°y/"X

消&得V=2(x—1).仁、

當直線PQ的斜率不存在時，易得弦PQ的中點為尸(1,0),也'、一、

滿意所求方程.

故所求軌跡方程為產=2(x7).

解法2設尸(5，必)，Q(x2,y2),

由得(X-%)(%+%)=4(內一x2),設尸。中點為M(x,y),

當X]w々時，有，又，

所以，，即丁=2(犬_1).

當占=々時，易得弦PQ的中點為尸(1,0)，也滿意所求方程.

故所求軌跡方程為產=2(x-1).

10.過定點尸(1,4)作直線交拋物線C:y=2/于A、B兩點，過A、B分別作拋物線C的切線交

于點M,則點M的軌跡方程為.y=4x-4

(二)解答題

1.一動圓過點P(0,3),且及圓/+(了+3)2=100相內切，求該動圓圓心C的軌跡方程.

(定義法)

2.過橢圓的左頂點A|作隨意弦AH并延長到F，使IEFRAEI，3為橢圓另一頂點，連

結OF交4E于點P,

求動點P的軌跡方程.

（干脆法、定義法；突出轉化思想）

3.已知4、&是橢圓的長軸端點，P、。是橢圓上關于長軸A4對稱的兩點，求直線尸4和Q4

的交點M的軌跡.（交軌法）

4.已知點G是△ABC的重心，A（O,-1）,2?（0,1）,在x軸上有一點M,滿意

|MAHMCI，GM=ZAB（Ae/?）.

（1）求點C的軌跡方程；（2）若斜率為左的直線/及點C的軌跡交于不同兩點P、Q,且滿意

\AP\=\AQ\,試求女的取值范圍.

解：（1）設C（x,y），則由重心坐標公式可得.

GM=AAB,點M在x軸上，，

V\MA\AMC\,A(0,—1)，二椅2+1=—/+)，，即.

故點C的軌跡方程為（yw±l）.（干脆法）

(2)設直線/的方程為y=Ax+b(b^±l),P(x”,)、Q(x2,y2),PQ的中點為N.

22

由消y,得(1+3/)x+6kbx+3(Z>-l)=0.

A=36k2b2-12(1+3k2)(b2-1)>0,gp1+3A:2-fe2>0.①

p.,z、CL-6k2b2b

又，..y+y2=g+X2)+2以w+2b=同

V\AP\=\AQ\,：.ANYPQ,：.,即，

1+3/=26,又由①式可得2b-及>0,：.0<b<2且bwl.

0<l+3左2<4且1+3二/2,解得一1<A<1且.

故上的取值范圍是一1<女<1且.

5.己知平面上兩定點M（0,—2）、N（0,2）,尸為一動點，滿意用白仰曰川川“必.

(I)求動點P的軌跡C的方程；(干脆法)

(II)若A、B是軌跡C上的兩動點，且AN=4NB.過A、B兩點分別作軌跡C的切線，設其

交點為Q,證明NQ-AB為定值.

解：(I)設P(x,y).由已知MP=(x,y+2),MN=(0,4),PN=(-x,2-y),

MPMN=4y+8.

|PN\?|MA?|=47x2+(y-2)2,..............................3分

MP-MN=\PN\-\MN\,

：.4y+8=4々+(廣2)2.

整理，得x2=8y.

即動點P的軌跡C為拋物線，其方程為x2=8y.

6.已知O為坐標原點，點E(—1,0)、戶(1,0),動點A、M、N滿意|尸|(帆＞1),

MN-AF=0,,AMIIME.求點M的軌跡W的方程.

解：?:MNAF=。，,

MN垂直平分AF.

又AMHME,.?.點M在AE上，

\AM\+\ME|=|AE|=m\EF|=2m,\MA|=|MF\,

：.\ME\+\MF\=2m＞\EF\,

...點M的軌跡W是以E、F為焦點的橢圓，且半長軸a=加，半焦距c=l,

/.b1=a2-c2=m2-1.

...點M的軌跡W的方程為(加＞1).

7.設。/為直角坐標系內軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+(y+2)),

b=xi+(y-2)j,且|a|+|Z?|=8.

(1)求點M(x,y)的軌跡C的方程；(定義法)

(2)過點(0,3)作直線/及曲線C交于A、B兩點，設0P=0A+08,是否存在這樣的直線/,

使得四邊形。4PB是矩形？若存在，求出直線/的方程，若不存在，試說明理由.

解：⑴；

(2)因為/過y軸上的點(0,3).若直線/是y軸，則A,B兩點是橢圓的頂點.

OP=OA+OB=0,所以P及。重合，及四邊形。4正0是矩形沖突.

故直線/的斜率存在，設/方程為y=Ax+3,A(X］，M),B(X2，%)?

由消y得(4+3公)Y+18區—21=0,此時△=(18%)2-4(4+3k2)(-21)>0恒成立，且，，

OP=OA+OB,所以四邊形。4P3是平行四邊形.

若存在直線心使得四邊形Q4P8是矩形，則。4J_03,即O4-OB=0.

OA=(xl,yt),OB=(孫必)，

OAOB=玉9+y%=o.

即(1+%2)%%2+3攵(%+々)+9=0.

(1+合).(――J)+3&.(--1^)+9=().,得.

4+3//4+3公

故存在直線/：,使得四邊形CMPB是矩形.

8.如圖，平面內的定點F到定直線/的距離為2,定點E滿意：|EF|=2,且所于G,點。

是直線/上一動點，點用滿意：FM=MQ,點P滿意:PQ//EF,PMFQ=0.

(I)建立適當的直角坐標系，求動點P的軌跡方程；

(II)若經過點E的直線4及點P的軌跡交于相異兩點A、B,令NAFB3當時，求直線人的

斜率k的取值范圍.

解：(1)以FG的中點。為原點，以所所在直線為y軸，建立平后

面直角坐標系xoy,設點P(x,y),F

則/(0,1),夙0,3),l:y=-\.

GQ

?/FM=MQ,PQHEF，:.Q(x,-1)

Y

'：PMFQ=Q,：.(--)xx+(-j)x(-2)=0,

即所求點P的軌跡方程為x2=4y.

⑵設點4(%,必),8(巧,了2)(王*X2)

設AF的斜率為占，BF的斜率為k2,直線/,的方程為y=kx+3

由.......6分Wx2-4^-12=0

7分..?以%=且?五=(2)2=9

/.x+x=4Axx=-12

]2x212444

2

yi+y2-+X2)+6=4A：+6........8分

FA.=1,兇,T),FB=(x2,y2-1)/.FAFB=x,x2+(y1-l)(y2-1)

=占％+%％-(乂+%)+1

=-12+9-48-6+1

=-4k2-8

又而|?|麗|=(必+1)"2+1)=MM+(%+必)+1=9+4產+6+1=4^2+16

AFA-TB-4k2-Sk2+2］。分

IFA|IFB|4^-+16k-+4

由丁一;.-1<cos0<一?^?即-1<-，+2<.......11分

2k2+42

：.k2>242解得％2%或&4一強.......13分

k2+42

直線4斜率k的取值范圍是｛&|k>唬，或及>-V8)

9.如圖所示，己知定點F(l,0),動點P在y軸上運動，過點P作PM交x軸于點M,并延長MP

到點N,且PM-P/7：。，|PM|=|PN|.

(1)求動點N的軌跡方程；

(2)直線/及動點N的軌跡交于A、B兩點,若。408=-4,且4指《|48區4而，求直

滿意MNMF=0,MN+MP=。.

(1)求P點軌跡E的方程；

(2)將(1)中軌跡E按向量a=(0,1)平移后得曲線E',設。是E'上任一點，過。作圓

Y+(y+l)2=i的兩條切線，分別交X軸及A、B兩點,求IABI的取值范圍.

解：⑴設加(a,0)、N(0,b)、P(x,y),則MN=(-a,b)、MF=(-a,1).

MP=(x-a,y).

141Hpi菩坦卜一“,份'(一“,D=0'..

由題意得〈

[(-a,b)+(x-a,y)=(0,0).

故動點P的軌跡方程為.

(2)

11.如圖A(孫石m)和5(〃,-6a)兩點分別在射線OS、OT上移動，且,

0為坐標原點，動點P滿意。尸=04+08.

(1)求加/的值；(2)求P點的軌跡C的方程，并說明它表示怎樣的曲線？

(3)若直線/過點E(2,0)交(2)中曲線C于M、N兩點，且ME=3EN,求/的方程.

解：(1)由已知得。=(機,力加>(〃,一百〃)=一2加〃=一4,

(2)設P點坐標為(x,y)(x>0),由OP=OA+OB得

(x,y)=(m,yfim)+(n,-g〃)=(m+n,s/3(m-〃)),

二消去加，〃可得，

又因m〃=5，二P點的軌跡方程為.

它表示以坐標原點為中心，焦點在x軸上，且實軸長為2,焦距

為4的雙曲線的右支.

(3)設直線/的方程為x=0+2,將其代入C的方程得

3（）+2）2_/=3即（3r2-l）y2+12r）'+9=0,

易知(3』-1)*0(否則，直線/的斜率為土百，它及漸近線平行，不符合題意)

又A=144產一36函-1)=36(r+1)>0,

設加(斗，凹),陽々,月)，則y+%=黃^，,%=黃7[

,//及C的兩個交點M,N在y軸的右側

中2=（3+2）（優+2）=產%為+2?y+為）+4

號+2.尚+一豺>0,

3/2-1<0,即0</<，，又由斗+々>0同理可得0〈/<，，

由ME=3EN得（2—%,一y）=3（2—%,%），

由y+%=-3%+%=-2%=-3月［得%=3/9、,

由M必=（-3%）%=-3抬=^r-［得￡=-^r-［,

消去為得考慮幾何求法！!

解之得：廣==，滿意。＜廣＜，.

故所求直線/存在，其方程為：厲x—y—2逐=0或-26=0.

12.設A,B分別是直線和上的兩個動點，并且|48|=病，動點P滿意OP=OA+OB.記動

點P的軌跡為C.

(I)求軌跡C的方程；

(II)若點D的坐標為(0,16),M、N是曲線C上的兩個動點，且DM=/ION,求實數/I的

取值范圍.

解：(D設P(x,y),因為A、B分別為直線和上的點，故可設

*.*OP—OA+OB,

又—J20,/.(%1—x9)~+g(苔+々)~=20.

????即曲線C的方程為.

(II)設N(s,t),M(x,y),則由DM=4DN,可得(x,y-16)=A(s,t-16).

故x=,y=16+2(，-16).

-----1-----=1,

2516

???M、N在曲線C上,

22S2(九-164+16)2

、百十16-=1.

消去S得N6y)+-16)2=]

1616

由題意知4H(),且;iHl,解得.

又|t|＜4,....解得(A^l).

故實數4的取值范圍是(/IH1).

13.設雙曲線的兩個焦點分別為"、F2,離心率為2.

(1)求此雙曲線的漸近線4、4的方程；()

(2)若A、B分別為4、4上的動點，且21ABi=5|68|,求線段AB的中點M的軌跡方程,

并說明是什么曲線.()

提示：|A8|=10n,5-犬2)2+(%一%)2=10,又，,

則,.

又2》=玉+%,2y=y+當代入距離公式即可.

(3)過點N(l,0)是否存在直線/,使/及雙曲線交于P、。兩點，且OP-OQ=0,若存在，求

出直線/的方程；若不存在，說明理由.(不存在)

14.已知點尸(1,0),直線/:x=2,設動點P到直線/的距離為d,已知，且.(1)求動點

P的軌跡方程；

(2)若，求向量OP及。尸的夾角；\11

(3)如圖所示，若點G滿意GF=2FC,點M滿意

MP=3PF,且線段MG的垂直平分線經過點P,求—0/____tXJ_______

\GOF7\C7

△PGF的面積.、一一，

15.如圖，直線/:>=自+1及橢圓C:or2+y2=2I

(a>l)交于A、B兩點，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB(O為坐標原點).

(1)若％=1,且四邊形OAPB為矩形，求a的值；(a=3)

(2)若a=2,當女改變時(keR),求點P的軌跡方程.(2f+y2-2y=0()，H0))

16.雙曲線C：(a>(),b>0)的離心率為2,其中A(O,-b),B(a,0),且

|OA|2+|OB|2=||OA|2-|OB|2.(1)求雙曲線C的方程；

(2)若雙曲線C上存在關于直線/：y=Ax+4對稱的點，求實數攵的取值范圍.

解：(D依題意有：

解得：a=l,h=-y/3,c=2.

所求雙曲線的方程為.............................6分

(II)當k=0時，明顯不存在...............................7分

當k，0時，設雙曲線上兩點M、N關于直線/對稱.由/_LMN,直線MN的方程為.則M、

N兩點的坐標滿意方程組

由消去y得

(3k2-l)x2+2kbx-(b2+3)k2=0........................9分

明顯3k2-IHO,

/=(2kb)2-4(3k2-l)[-(b2+3)k2]>0.

BPk2b2+3k2-l>0.①

設線段MN中點D(Xo，y())則

VD(x0,y0)在直線/上，

A.BPk2b=3k2-l②

把②帶入①中得k2b2+bk2>0,

解得b〉0或b<—1.

，或.

即或，且k，0.

，k的取值范圍是（―8,-亭）」（一g,0）（0,1）<（y-.+°°）................14分

17.已知向量OA=（2,0）,OC=A5=（0,1）,動點M到定直線y=1的距離等于“，并且滿

意。MA”=K（CM-B"-/）,其中O為坐標原點，K為參數.

（1）求動點M的軌跡方程，并推斷曲線類型；

（II）假如動點M的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率e滿意為WeW求實數K的取值范

32

圍.

18.過拋物線V=4x的焦點作兩條弦A3、CD,若A8-C￡>=0,,.

（1）求證：直線過定點；（2）記（1）中的定點為Q,求證NAQ8為鈍角；

（3）分別以A3、CO為直徑作圓，兩圓公共弦的中點為H,求”的軌跡方程，并指出軌跡是

什么曲線.

19.（05年江西）如圖，M是拋物線上上的一點，動弦ME、MF分別交無軸于A、B兩

點，且=（1）若M為定點，證明：直線所的斜率為定值；

（2）若M為動點,且NEMF=90,求的重心G的軌跡.

思路分析：（1）由直線“（或ME）方程及拋物線方程組成的方程組解出點F和點E的坐標，

利用斜率公式來證明；（2）用M點的坐標將E、尸點的坐標表示出來，進而表示出G點坐標，

消去％即得到G的軌跡方程（參數法）.

解：（1）法一：設加⑶：，%）,直線ME的斜率為％（k>0）,

則直線MF的斜率為一%,方程為>一為=4"一尤）.

由，消x