高二數學選修2—1學問點

第一章常用邏輯用語

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以推斷真假的陳述句.

真命題：推斷為真的語句.

假命題：推斷為假的語句.

2、“若夕,則形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結論.

3、對于兩個命題，假如一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件,

則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆

命題.

若原命題為“若p,則q"，它的逆命題為“若q,則p”.

4、對于兩個命題，假如一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否認

和結論的否認，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱

為原命題的否命題.

若原命題為“若p,則q"，則它的否命題為“若「p,則「q”.

5、對于兩個命題，假如一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否認

和條件的否認，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另

一個稱為原命題的逆否命題.

若原命題為“若p,則q"，則它的否命題為''若「鄉，則力”.

6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真

真假假真

假真真真

假假假假

四種命題的真假性之間的關系：

⑴兩個命題互為逆否命題，它們有一樣的真假性；

（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系.

7、若〃則p是q的充分條件，q是〃的必要條件.

若poq,則。是q的充要條件（充分必要條件）.

8、用聯結詞“且”把命題p和命題q聯結起來，得到一個新命題，記作

當〃、（7都是真命題時，是真命題；當〃、q兩個命題中有一個命題是假命

題時，是假命題.

用聯結詞“或”把命題〃和命題q聯結起來，得到一個新命題，記作“V小

當p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，"vq是真命題；當夕、鄉兩個命

題都是假命題時，pvq是假命題.

對一個命題〃全盤否認，得到一個新命題，記作

若p是真命題，則「p必是假命題；若p是假命題，則「2必是真命題.

9、短語“對全部的”、“對隨意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“V”表

示.

含有全稱量詞的命題稱為全稱命題.

全稱命題“對M中隨意一個x,有p(x)成立"，記作“VxeM,p(x)”.

短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“三”表示.

含有存在量詞的命題稱為特稱命題.

特稱命題“存在M中的一個x,使p(x)成立”，記作“3XGM,

10、全稱命題p：VxwM,p(x),它的否認「p：士wM,」p(x).全稱命題

的否認是特稱命題.

第二章圓錐曲線與方程

11、平面內與兩個定點耳，尸2的間隔之和等于常數(大于|百尼|)的點的軌

跡稱為橢圓.這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的間隔稱為橢圓的焦距.

12、橢圓的幾何性質：

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

y

*

圖形!v

2222

標準方程$+方=1(。">°)/+*(a”>0)

范圍-a<x<aSL-b<y<b—b<x<bSi-a<y<a

A4-。,。)、A(a,O)Aj(O,-a)>A(0,a)

頂點22

B,(O,-^)>B2(O,Z?)B4-0)、B2(b,0)

軸長短軸的長=力長軸的長=為

焦點耳(-G())、E(c,O)6((),-c)、月(O,c)

恒用一切

焦距=2*2=/

對稱性關于x軸、y軸、原點對稱

離心率e=-=Al-^-(O<e<l)

a\a

x=±《-v=4

準線方程

c

13、設M是橢圓上任一點，點M到6對應準線的間隔為4，點M到F?對應準

線的間隔為則回目=回回=

4d?

14、平面內與兩個定點用，入的間隔之差的肯定值等于常數(小于|月乃|)

的點的軌跡稱為雙曲線.這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的間隔稱為雙

曲線的焦距.

15、雙曲線的幾何性質：

焦點的位置焦點在無軸上焦點在y軸上

圖形TfV，一［八］?

2222

標準方程A*-p-=l(a>0,/?>0)

范圍x<—a^x>a,y￡Ry<一。或”。，XELR

頂點A1(-a,O)>A2(a,0)A|(0,-a)、A2(o,6f)

軸長虛軸的長=2。實軸的長=為

焦點耳(—0,0)、6(c,0)6(0,-c)、8(0,c)

=2c(c。=/+02)

焦距\F}F^

對稱性關于X軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

e=rf?(e>1)

離心率

一a2

準線方程

C

,b,a

漸近線方程y=±-xy-±—x

ab

16、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線.

17、設M是雙曲線上任一點，點M到"對應準線的間隔為4，點M到居對應

準線的間隔為為,則岫=四=6.

4d2

18、平面內與一個定點戶和一條定直線/的間隔相等的點的軌跡稱為拋物

線.定點廠稱為拋物線的焦點，定直線/稱為拋物線的準線.

19、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于A、B兩點的線段AB,稱為

拋物線的“通徑”，即網=2p.

20、焦半徑公式：

若點P(%,yo)在拋物線y2=2“x(P>0)上，焦點為F，則|P月=%+5；

若點P(Xo，y0)在拋物線丁=—2px(p>0)上，焦點為尸，則|P可=-%+個

若點PG。,%)在拋物線犬=2刀(〃>0)上，焦點為F，則呼|=%+5；

若點PG，%）在拋物線f=-2抄（p〉0）上，焦點為尸，則|PE|=-%+勺

21、拋物線的幾何性質：

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

標準方程

(p>°)(">。)(p>0)(夕>0)

fea

圖形

頂點(0,0)

對稱軸x軸y軸

y,。as

焦點FLF

y

準線方程X--P-x_p.T

_______2_________2

離心率￡=i

范圍x>0x<0y>0y<0

第三章空間向量與立體幾何

22、空間向量的概念：

（1）在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量.

（2）向量可用一條有向線段來表示.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指

的方向表示向量的方向.

（3）向量AEi的大小稱為向量的模（或長度），記作,耳.

（4）模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量.

（5）與向量M長度相等且方向相反的向量稱為萬的相反向量，記作-鼠

（6）方向一樣且模相等的向量稱為相等向量.

23、空間向量的加法和減法：

⑴求兩個向量和的運算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則.即：在空間

以同一點0為起點的兩個已知向量M、6為鄰邊作平行四邊形OACB,則以0起

點的對角線0弓就是m與5的和，這種求向量和的

方法，稱為向量加法的平行四邊形法則.

（2）求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵

循三角形法則.即：在空間任取一點0,作

0A=?,OB=b,則BA=M-b.

24、實數九與空間向量M的乘積24是一個向量，稱為向量的數乘運算.當九>0

時，與2方向一樣；當;1<0時，與M方向相反；當;1=0時，為零向量,

記為。.4萬的長度是M的長度的岡倍.

25、設X,〃為實數，a,5是空間隨意兩個向量，則數乘運算滿意安排律及結

合律.

安排律：A^a+b^Aa+Ab；結合律：￡（曲）=（加）五.

26、假如表示空間的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些向量稱為共線

向量或平行向量，并規定零向量與任何向量都共線.

27、向量共線的充要條件：對于空間隨意兩個向量d,5（5w0）,M//5的充要條

件是存在實數4,使1=4.

28、平行于同一個平面的向量稱為共面對量.

29、向量共面定理:空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對x,

使麗=+或對空間任肯定點0,WOP=OA+xAB+>'AC；或

若四點P,A,B,C共面，則麗=R）A+y加+z加（x+y+z=l）.

30、已知兩個非零向量M和5,在空間任取一點O,作加=2,麗=5,則NAOB

稱為向量5的夾角，記作〈75〉.兩個向量夾角的取值范圍是：@5〉?0,句.

31、對于兩個非零向量1和5,若3出〉=],則向量a,B相互垂直，記作

32、已知兩個非零向量M和B,則同5卜05伍5〉稱為。，b的數量積，記作。即

無B=BlWcos3,5〉.零向量與任何向量的數量積為0.

33、。石等于￡的長度同與B在斤的方向上的投影忸距5而的乘積.

34、若5為非零向量，0為單位向量，則有⑴0y=MV=B|COSAG〉；

嗎If與嗣向）.巾「，止而;

（2）aLb<=>a-b=0；（3）a-b=

-同|磯1與5反向）

⑷c°s依樸曲;⑸卜年同|斗

35、向量數乘積的運算律：⑴無日=看也；（2）（布）石=4（萬石）=無（焉）；

（3）（a+b^-c-d-c+b-c.

36、若:，j,E是空間三個兩兩垂直的向量，則對空間任一向量少，存在有序

實數組{x,y,z},使得萬=x7+0+zE,稱xf，爐，zE為向量日在f,j,k±

的重量.

37、空間向量根本定理：若三個向量b,乙不共面，則對空間任一向量日，

存在實數組{x,y,z},使得萬=x〃+yB+zA.

38、若三個向量心b,［不共面，則全部空間向量組成的集合是

=xa+yb+zc,x,y,ze.這個集合可看作是由向量￡,b,^生成的，

{%反可稱為空間的一個基底，a,b,乙稱為基向量.空間隨意三個不共面的向

量都可以構成空間的一個基底.

39、設I，［為有公共起點。的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們為單位

正交基底），以錄，工,I的公共起點0為原點，分別以司,1的方向為工

軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系Oxyz.則對于空間隨意一個向量Q,

肯定可以把它平移，使它的起點與原點0重合，得到向量麗=".存在有序實

數組{x,y,z},p=xet+ye2+ze3.把x,y,z稱作向量日在單位正交基底

G，%63下的坐標，記作力=（x,y,z）.此時，向量場的坐標是點P在空間直角

坐標系OAJZ中的坐標（x,y,z）.

40、設萬=（X],y,zJ,行二小，%"?）,則⑴M+5=（X]+工2，,+%，4+Z2）.

（2）2一在=（%一%2，%-%，Z]-Z2）?

（3）Aa=（Axl,Ayl,Azl）.

（4）ab=%%2+/%+平2.

（5）若M、b為非零向量，則<=>a-b=0<^>xlx2+y[y2+z[z2=0.

（6）若5,貝UM〃6<=>5=焉OX]=Ax29yl=Ay2,zt=Az2.

（7）\a\=\/a-a=，/）+y；+z；.

（o\°C"方h\=_%%+））止乎2_

，|胭7：+y：+z：.Jx；+y；+z；'

（9）A（%,y,zJ,B=（W，%,Z2），則“=網=-Xi+（%-X1+&-zj?.

41、在空間中，取肯定點O作為基點，那么空間中隨意一點P的位置可以用向量

O下來表示.向量0日稱為點P的位置向量.

42、空間中隨意一條直線/的位置可以由/上一個定點A以及一個定方向確定.點

A是直線/上一點，向量M表示直線/的方向向量，則對于直線/上的隨意一點P,

有市=應，這樣點A和向量M不僅可以確定直線/的位置，還可以詳細表示出直

線/上的隨意一點.

43、空間中平面a的位置可以由a內的兩條相交直線來確定.設這兩條相交直線

相交于點0，它們的方向向量分別為心b.P為平面a上隨意一點，存在有序

實數對（x,y）,使得麗=S+訪，這樣點0與向量心5就確定了平面a的位置.

44、直線/垂直a,取直線/的方向向量則向量M稱為平面a的法向量.

45、若空間不重合兩條直線a,〃的方向向量分別為萬，5,則a//〃oM〃Bo

a=2^（/1e7?）,a±ba>a±hoab-0.

46、若