解三角形大題專題

知識儲備:

1.三個內角的關系：A+B+C=n.

常用三角函數關系式:

sin(A+B)=sinC；cos(A+3)=—cosC；tan(A+砂=—tanC;

.A+BCA+B.C

sin-2-=cosy：cos~~2-=siny；

2.三邊關系：兩邊之和大于第三邊。

3.邊角關系：

(1)(大邊對大角)在AABC中，A>8oa>〃osinA>sin6。

(2)正弦定理：焉=熹=爵;=2R(其中R為△A8C外接圓的半徑).

9111x1SI3111

爐+c?—flp

(3)余弦定理：a2=+c2—2bccosA,cosA=---后---，

4.△A8C的面積公式：

①5=%/(人表示a邊上的高)；

②S=%Z>sinC=：acsin8=；bcsinA；

二、思想與方法提示

1.已知條件的轉化：不是“正弦定理”，就是“余弦定理”；不是“邊化角”，就是“角化邊”。

2.“求值”問題的求解思路：解方程(組)，幾個未知量需找幾個方程；

3.“最值”、“范圍”問題的求解策略：轉化為“函數值域”或“運用基本不等式”，

微專題1:三角形中的“求值”、“最值”與“范圍”問題探求

設計意圖：解三角形題主要的問題形式有“求值”、“最值”、“范圍”問題，爭取能從思想方法上有所突破。

例.在AABC中，丸1)3分別是角A8,€：的對邊，m=(2Z?—c,cosC),n=(a,cosA),且mIIn。

(1)求角A的大小；

⑵若a=J7力=2,求邊c長

(3)求sinB+sinC的取值范圍；

分析：(1)求值問題：找關于角A的方程。

m||no(2b-c)cosA=acosC

o2sinBcosA=sinCeosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB

ocosA=-<=>A=60°

2

(2)求值問題：找關于邊c的方程.

己知4=/,〃=2,4=工(兩邊一對角，A>B,所以解唯一)

3

7=4+c2-2x2cxcos—,得c=3

3

(3)求范圍問題：轉化為sinB+sinC=f(B)的值域問題

sinB+sinC=sinB+sin(―-fi)=V3sin(B+-),fie(O,—),?

363

sinB+sinCe(—,

2

變式(1)若a==孚，求邊b,c的長

b=3或b=2

分析：找關于b,c的方程組，答案〈

c=2c=3

變式(2)若AABC為銳角三角形，求sinB+sinC的取值范圍；

分析：與(3)的區別：定義域發生變化。

sinB+sinC=sinB+sin(――5)=V3sin(B+—),Be(―,—)

3662

所以sinB+sinCe(—,V3]

2

變式(3)若。=2,求AABC周長/的取值范圍；

兀4A/3

分析：方法1：已知a=2,A=‘，/=2+^—(sinB+sinC)e(4,61

33

方法2：己知a=2,A=&，4=b2+c2—be—(b+c)2—3bc

3

S+C)2=4+3〃C>4,又S+C)2=4+30C44+2S+C)2,

4

所以3+C)2416,所以/=2+b+cG(4,6]

⑷若。=2,求AABC面積S的取值范圍

分析：方法1：已知Q=2,A=(,5=--—sinB-sin(^-B)e(O,V3]

方法2：已知。=2,A=乙，4=Z?2+c2->Z?c>0

3

S=—/>csin—e（0,V31

23

課堂練習.

（浙江理2011）在AABC中，角A6.C所對的邊分別為a,b,c.已知sinA+sinC=psin3（p€H）,

且ac=4?.

4

（I）當p=*力=1時，求a,c的值；

4

（II）若角B為銳角，求p的取值范圍；

5

a+c=—,

4

(I)解:由題設并利用正弦定理，得《

1

ac=—,

4

=1,_1

CL=—,

解得《1或彳4

c一4，［c=L

（ID解：由余弦定理，b1=a2+c2-2accosB

=（a+cP-lac-laccosB

=p2b2--b1--b2cosB,

22

231

即Hn,=—+-cosB,

3

因為

由題設知p>0,所以曰</?<V2.

思想方法提練：

1.“求值”問題的求解思路：解方程（組），幾個未知量需找幾個方程；

2.“最值”、“范圍”問題的求解策略：轉化為“函數值域”或“運用基本不等式”.

課后鞏固訓練：

7F

1.（浙江文2015）在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,0,c.已知tan（—+A）=2.

4

qinA7T

（1）求------------『的值；（2）若B=—,a=3,求AABC的面積.

sin2A+cos~A4

2

答案⑴二（2）答案9

2.在AABC中，角A,B,C所對的邊長分別為。，。，c,C=M,b=5,AABC的面積為lojj

3

7T

(1)求a,c的值;(2)求sin(A+^)的值

6

c13

答案(1)a=8,c=7⑵R

3.（測試卷文2016）在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2acosC+c=26.

(I)求角4的大小;

(II)若層=3匕c,求tanB的值.

答案(1)由題意及正弦定理得

2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2(sinAcosC+cosAsinC),

即sinC(2cosA-1)=0.

因為sinC/0,所以cosA=,，從而得4=色.

23

（II）由及余弦定理得

122

tr+c—bc=a=3bcf即^+^—4Z?c=0,所以=2±6.

c

當2=2+6時,

C

又sinC=sin(--B)=—cosB+—sinB,

322

,,bsinBtanB

故一==2+6,

csin。立+5

22

所以tanB=-2—百.

當2=2一有時，同理得tan8=2一石.

C

綜上所述，tanB=2+后或2一百.

2

2乃

（2）另解:找關于B的方程:=sinBsin(^-B)

4.設△ABC的三內角A、B、C的對邊長分別為“、b、c,已知a、b、c成等比數列，且sinAsinC=3.

4

（I）求角B的大小；（H）若xe[0/）,求函數/。）=5皿工-8）+$泣,丫的值域.

（2）[-今石

生4.71

答案：（1）—，

32

5..在AABC中，角A,B,。所對的邊長分別為。，。，c,sinA=----，且A為銳角.

4

⑴求sin之0tG—cos2A的值；(2)若a=6,求be的最大值.

2

3

答案：⑴-(2)2

2

6.(浙江文2010)在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設S為4ABC的面積，滿足

222

S=^-(a+b-c).

(I)求角C的大小；

(II)求sinA+sin6的最大值。

]x/3

答案：(I)由題意可知一absinC二——,2abcosC.

24

所以tanC=JL因為0<。<兀，所以C二四.

3

.—,,2兀

(TITI)由已知sinA+sinB=sin>4+sin(7t-C-A)=sirL4+sin(--A)

=sinA+cosA+—sinA=A/3sin(A+—)<A/3.

226

當AABC為正三角形時取等號，所以sinA+sinB的最大值是G.

7.已知根=(2cosx+2j§sinx,1),n—(cosx,一y)滿足加?〃=().

(I)將y表示為x的函數/(x),并求/(x)的最小正周期；/(x)=2sin(2x+-)+l,T=7r

6

(II)已知"c分別為AABC的三個內角A,3,C對應的邊長，若./?(%)</(^)對所有xeR恒成立，且

a=2,求人+c的取值范圍.

答案：⑴f(x)=2sin(2x+生)+1,1=兀(2)(2,4]

微專題2：解三角形問題中信息的解讀與轉化

設計意圖：解三角形題的難點是已知條件的合理轉化。轉化的主要手段：往“代數角度”轉化（正、余弦

定理的運用）；往“幾何角度”轉化（幾何性質的靈活運用）。

一、往“代數角度”轉化（正、余弦定理的運用）

jr1

例1.（浙江理2015）在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知A=—,b2-a2=-c2.

42

（1）求tanC的值：

（2）若AA3C的面積為3,求b的值。

（要求用多種方法求解）

冗

A4=—

4

分析：（1）解法一（邊化角）：《

sin2B-sin2A=—sin2C

2

所以sin2.(二37r—0=上1(1+$畝,2。)，

42

所以2cosc=sinC,所以tanC=2

a2=/+/一行be正b

3

解法二（角化邊）：,所以《

b2-a2^-c2_V5

2Cl=—c

3

所以cosC=[^

所以tanC=2

275

(2)tanC=2,cosC=—,sinC=

5"I-

所以sin8=sin(A+C)=￥"c=嗎,

3

因為A=工，L》csinA=3.所以從?=6拒，所以匕=3。

42

二、往“幾何角度”轉化（幾何性質的運用）

例1.2.SAABC中，己知AB=2AC。

（I）若/A=60。，BC=2,求aABC的面積；

（II）若AD是A的角平分線，且AZ）=AAC,求2的取值范圍

（要求用多種方法求解）

分析：方法1（利用角平分線性質定理）

設AB=2AC=2a,ZBAD=ZCAD=0

B

DC

__2——?1—?444

IAD|=|-AC+-AB|=J-?2+-a2+-a-2acos26?

[Q4

J-a2（l+cos2^）￡（0,鏟）

8/goeos劃----------

k=-----------------=J—（1+cos2^）G

QV9

方法2(利用幾何性質)

14

A￡>=acos。+-（2〃cos。-acos。）=—acos。,0e

k=-cos0e

3

H

課堂練習(測試卷理2016)在AABC中，內角A,3,C所對的邊分別是a",c.已知acos8=8cosA,邊8C

上的中線長為4.

(I)若A=四，求c;

6

(II)求AABC面積的最大值.

(I)方法1(邊化角):由acos8=bcosA及正弦定理得

sin>4cosB=sinBcosA,所以sin(A-3)=0,

故8=A=二所以。=由余弦定理得16=/+（3y—2c.3cos3,

6226

解.得c=曲.

7

222222

、,+缶/si?a+c-bb+c-a,

方法2（角化邊）:由acosB=hcosA得----------=-----------，所以/?=a

方法3:（幾何法）acos3=bcosA,所以B、A為銳角。

作DCLAB,則有BD=AD,

所以匕=a

（II）由A=3知c=2?cosA,及16=c?+（@）2-2c-3cosA,解得/=---―

22l+8cos2A

所以"的面積SC*『得女匕

由基本不等式得S4工，

3

當且僅當sinA=3cosA時，等號成立.所以AABC面積的最大值為必.

3

課后鞏固訓練：

1.在AABC中，已知AB=4,cosB=-,角B的平分線BD交AC于點D,且8。=痛，則sin4=

3

V3V6Vlo

AA.----B.—CD.——答案A

33-16

2.(浙江理2014)在AABC中，內角AB,C所對的邊分別為a,仇c.已知a/b,c=G,

cos2A-cos2Z?=V3sinAcosA-A/3sinBcosB.

(I)求角C的大小；

4

(II)若sinA=—,求AABC的面積.

5

……f1+cos2Al+cos2B6.…

(/TIX)由題意得，---------------------=——sin2A------sin25,

2222

即—sin2A--cos2A=—sin2B--cos2B,

2222

汽71rr-IT

sin(2A----)=sin(2B----),由awb得，AwB,又A+3￡(0,〃)，得2A——+23——=冗，即

6666

A+B^—,所以。=工；

33

I-4ac4口8

(II)由c=j3,sinA=—,-----=-----得Q=一,

5sinA--sinC--------5

34+36

由avc,得AvC,從而cosA故sinZ?=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

510

所以A43C的面積為S=-acsinB=拽土生

225

3.(浙江文2014)

在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,"c,已知4sii？A二O+4sinAsinB=2+0

2

(1)求角。的大小；

(2)已知8=4,AABC的面積為6,求邊長c的值.

答案：(1)由已知得2[l-cos(A-8)]+4sinAsinB=2+應,

化簡得一2cos4cos5+2sinAsin5=&，

37r

故cos(A+3)=---所以A+3="

4

n

因為A+B+C=?,所以C=-.

3

(2)因為&=；a〃sinC,由S?BC=6，b=4,C=y,所以。=3上，

由余弦定理得。2=/+02—2〃加05。，所以c=J15\

4.在銳角三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，"c,且"\"J.=cos(4+C)

acsinAcosA

(1)求角A；(2)若。=&,求be的取值范圍.

答案：⑴((2)(272,2+72]

9

5.(浙江理2012)在AA8C中，內角A,B,C的對邊分別為mb,c.已知cosA=§,sinB=75cosC.

(I)求tanC的值；

(II)若。=及，求AABC的面積.

2

答案?.?cos4=—>0,.*.sinA=一,

33

又&cosC=sin8=sin(A+0=sin4cosC+sinCcosA

一6?2)

-------cose?—sine.整理得：tanC=店.

33

(II)sinC=J|.

又由正弦定理知：—,故C=G.(1)

sinAsinC

d,b2+C2-a22e

又cosA=--------------=-.(2)

2bc3

解⑴⑵得：入=6或(舍去).

AA8C的面積為：S=—.

2

7Tn

6.(浙江文2011)已知函數/(x)=Asin