2025屆黑龍江省鐵力市第一中學下學期4月月考高三數學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，則＝（）A．{2，3，4，5} B．{2，3，4，5，6}C．{1，2，3，4，5，6} D．{1，3，4，5，6，7}2．設是虛數單位，，，則（）A． B． C．1 D．23．集合，，則（）A． B． C． D．4．已知某超市2018年12個月的收入與支出數據的折線圖如圖所示：根據該折線圖可知，下列說法錯誤的是（）A．該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元5．己知集合，，則（）A． B． C． D．6．若點x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區域內（包括邊界），則A．-3,1 B．-3,5 C．-∞,-37．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，則M∩N＝（）A．[﹣3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）8．若復數滿足，則對應的點位于復平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．復數為純虛數，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i10．已知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．11．已知函數，若，則的值等于（）A． B． C． D．12．設數列的各項均為正數，前項和為，，且，則（）A．128 B．65 C．64 D．63二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在區間內有且僅有兩個零點，則實數的取值范圍是_____.14．在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點．若該三角形的面積的最大值為，則實數a的值為_____．15．直線是曲線的一條切線為自然對數的底數)，則實數__________.16．已知不等式組所表示的平面區域為，則區域的外接圓的面積為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍.18．（12分）在四邊形中，，；如圖，將沿邊折起，連結，使，求證：（1）平面平面；（2）若為棱上一點，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小.19．（12分）某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數x與燒開一壺水所用時間y的一組數據，且作了一定的數據處理（如表），得到了散點圖（如圖）.表中，.（1）根據散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據判斷結果和表中數據，建立y關于x的回歸方程；（3）若旋轉的弧度數x與單位時間內煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數據，，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.20．（12分）如圖，在四棱柱中，底面為菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若，是等邊三角形，求二面角的余弦值.21．（12分）已知直線的參數方程為（，為參數），曲線的極坐標方程為.(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線的形狀；(2)若直線經過點，求直線被曲線截得的線段的長.22．（10分）底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據集合的并集、補集的概念，可得結果.【詳解】集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，故＝{1，4，5，6}，所以＝{1，2，3，4，5，6}.故選：C.【點睛】本題考查的是集合并集，補集的概念，屬基礎題.2．C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復數的運算，考查了復數相等的涵義.對于復數的運算類問題，易錯點是把當成進行運算.3．A【解析】

計算，再計算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，屬于簡單題.4．D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對選項逐一分析，由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項說法正確；月收益最低，B選項說法正確；月總收益萬元，月總收益萬元，所以前個月收益低于后六個月收益，C選項說法正確，后個月收益比前個月收益增長萬元，所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計算方法，屬于基礎題.5．C【解析】

先化簡，再求.【詳解】因為，又因為，所以，故選：C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算，還考查了運算求解能力，屬于基礎題.6．D【解析】

畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區域，y+1x-2表示封閉區域內的點(x,y)【詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區域內的點(x,y)和定點P(2,-1)設k=y+1x-2，結合圖形可得k≥k由題意得點A,B的坐標分別為A(3,0),B(1,2)，∴kPA∴k≥1或k≤-3，∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D．【點睛】解答本題的關鍵有兩個：一是根據數形結合的方法求解問題，即把y+1x-27．C【解析】

先化簡N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根據M＝{x|﹣1＜x＜2}，求兩集合的交集.【詳解】因為N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因為M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.8．D【解析】

利用復數模的計算、復數的除法化簡復數，再根據復數的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對應的點，對應的點位于復平面的第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數模的計算、復數的除法、復數的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎題.9．B【解析】

復數為純虛數，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數，∴，解得..故選：.【點睛】本題考查復數的分類，屬于基礎題.10．D【解析】

構造函數，利用導數求得的單調區間，由此判斷出的大小關系.【詳解】依題意，得，，.令，所以.所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導數求函數的單調區間，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查對數式比較大小，屬于中檔題.11．B【解析】

由函數的奇偶性可得，【詳解】∵其中為奇函數，也為奇函數∴也為奇函數∴故選：B【點睛】函數奇偶性的運用即得結果，小記，定義域關于原點對稱時有：①奇函數±奇函數=奇函數；②奇函數×奇函數=偶函數；③奇函數÷奇函數=偶函數；④偶函數±偶函數=偶函數；⑤偶函數×偶函數=偶函數；⑥奇函數×偶函數=奇函數；⑦奇函數÷偶函數=奇函數12．D【解析】

根據，得到，即，由等比數列的定義知數列是等比數列，然后再利用前n項和公式求.【詳解】因為，所以，所以，所以數列是等比數列，又因為，所以，.故選：D【點睛】本題主要考查等比數列的定義及等比數列的前n項和公式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

對函數零點問題等價轉化，分離參數討論交點個數，數形結合求解.【詳解】由題：函數在區間內有且僅有兩個零點，，等價于函數恰有兩個公共點，作出大致圖象：要有兩個交點，即，所以.故答案為：【點睛】此題考查函數零點問題，根據函數零點個數求參數的取值范圍，關鍵在于對函數零點問題恰當變形，等價轉化，數形結合求解.14．3【解析】

設直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設為yx+1，（k≠0），聯立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【詳解】設直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設為yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐標（0，1），∴B的坐標為（，k?1），即B（，），因此AB?，同理可得：AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t，得S.∵t2，∴S△ABC.當且僅當，即t時，△ABC的面積S有最大值為.解之得a＝3或a.∵a時，t2不符合題意，∴a＝3.故答案為：3.【點睛】本題考查了橢圓內三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.15．【解析】

根據切線的斜率為，利用導數列方程，由此求得切點的坐標，進而求得切線方程，通過對比系數求得的值.【詳解】，則，所以切點為，故切線為，即，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導數求解曲線的切線方程有關問題，屬于基礎題.16．【解析】

先作可行域，根據解三角形得外接圓半徑，最后根據圓面積公式得結果.【詳解】由題意作出區域，如圖中陰影部分所示，易知，故，又，設的外接圓的半徑為，則由正弦定理得，即，故所求外接圓的面積為.【點睛】線性規劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等，最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域范圍.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）按絕對值的定義分類討論去絕對值符號后解不等式；（2）不等式轉化為，求出在上的最小值即可，利用絕對值定義分類討論去絕對值符號后可求得函數最小值．【詳解】解：（1）或或解得或或無解綜上不等式的解集為．（2）時，，即所以只需在時恒成立即可令，由解析式得在上是增函數，∴當時，即【點睛】本題考查解絕對值不等式，考查不等式恒成立問題，解決絕對值不等式的問題，分類討論是常用方法．掌握分類討論思想是解題關鍵．18．（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）由題可知，等腰直角三角形與等邊三角形，在其公共邊AC上取中點O，連接、，可得，可求出.在中，由勾股定理可證得，結合，可證明平面.再根據面面垂直的判定定理，可證平面平面.（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由點F在線段上，設，得出的坐標，進而求出平面的一個法向量.用向量法表示出與平面所成角的正弦值，由其等于，解得.再結合為平面的一個法向量，用向量法即可求出與的夾角，結合圖形，寫出二面角的大小.【詳解】證明：（1）在中，為正三角形，且在中，為等腰直角三角形，且取的中點，連接，，，平面平面平面..平面平面（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設.則設平面的一個法向量為.則，令，解得與平面所成角的正弦值為，整理得解得或(含去)又為平面的一個法向量，二面角的大小為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解決線面角、二面角的問題，屬于中檔題.19．（1）更適宜（2）（3）x為2時，燒開一壺水最省煤氣【解析】

（1）根據散點圖是否按直線型分布作答；（2）根據回歸系數公式得出y關于的線性回歸方程，再得出y關于x的回歸方程；（3）利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】（1）更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型.（2）由公式可得：，，所以所求回歸方程為.（3）設，則煤氣用量，當且僅當時取“”，即時，煤氣用量最小.故x為2時，燒開一壺水最省煤氣.【點睛】本題考查擬合模型的選擇，回歸方程的求解，涉及均值不等式的使用，屬綜合中檔題.20．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據面面垂直的判定定理可知，只需證明平面即可．由為菱形可得，連接和與的交點，由等腰三角形性質可得，即能證得平面；（2）由題意知，平面，可建立空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，再分別求出平面的法向量，平面的法向量，即可根據向量法求出二面角的余弦值．【詳解】（1）如圖，設與相交于點，連接，又為菱形，故，為的中點.又，故.又平面，平面，且，故平面，又平面，所以平面平面.（2）由是等邊三角形，可得，故平面，所以，，兩兩垂直.如圖以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.不妨設，則，，則，，，，，，設為平面的法向量，則即可取，設為平面的法向量，則即可取，所以.所以二面角的余弦值為0.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的應用，以及利用向量法求二面角，意在考查學生的直