第=page11頁，共=sectionpages11頁安徽省池州市2025年普通高中高考數學質檢試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知(1?i)z=3+i，則z?=(

)A.1+2i B.1?2i C.?1+2i D.?1?2i2.已知集合A={x|y=x?1}，B={x∈z|(x+1)(x?3)<0}，則A∩B=A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}3.春季是流感的高發季節，某醫院對8名甲型流感患者展開臨床觀察，記錄了從開始服藥到痊愈所需的天數，具體數據如下(單位：天)：7，4，6，5，8，5，6，4.則下列說法正確的是(

)A.這組數據的眾數為5 B.這組數據的平均數為5

C.這組數據的第60百分位數為6 D.這組數據的極差為54.已知向量a,b滿足|a|=1,aA.?12 B.?32 C.5.已知sinα+2cosα=0，則1?cos2α1+cos2α=(

)A.4 B.2 C.12 D.6.已知函數f(x)=ex+2,x≤0x+1x,x>0，若f2A.(2,3) B.(2,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞)7.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，M是C的右支上一點，M在y軸上的射影為H，O為坐標原點.A.2 B.3 C.58.已知直線l：xcosθ+ysinθ+1=0(θ∈R)，圓C：(x?3)2+(y?4)2=4，過l上一點P作C的兩條切線，切點分別為M，N，使四邊形PMCN的面積為82A.3x+4y?20=0 B.9x+12y?65=0

C.11x+17y?81=0 D.19x+23y?129=0二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某彈簧振子(簡稱振子)在完成一次簡諧運動的過程中，時間x(單位：秒)與位移y(單位：毫米)之間滿足函數關系為y=2sin(3x?π6),x∈[0,+∞)，下列敘述中正確的是A.當時間x=π時，該簡諧運動的位移y=1

B.該簡諧運動的初相為?π6

C.該函數的一個極值點為π18

D.10.定義：既有對稱中心又有對稱軸的曲線稱為“和美曲線”，“和美曲線”與其對稱軸的交點叫做“和美曲線”的頂點.已知曲線C：2x2+3yA.曲線C是“和美曲線”

B.點(2,0)是曲線C的一個頂點

C.曲線C所圍成的封閉圖形的面積S>46

D.當點11.在三棱錐A?BCD中，給定下列四個條件：

①AB?AC=AC?AD=AD?AB；

②AB?BCA.①② B.①③ C.②④ D.③④三、填空題：本題共3小題，共15分。12.在等差數列{an}中，若a1=2，a313.在學校三月文明禮儀月中，學生會4位干事各自匿名填寫一張《校園設施改進建議卡》，老師將建議卡打亂順序后，要求每人隨機抽取一張進行互評審核，則恰好有2位干事抽到自己所寫建議卡的概率為______．14.定義在R上的函數f(x)滿足(x?8)?f(x)≥0.若?t∈N?，對?x，y∈R，f(x?|f(y)|)?f(x+四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C=π3，且2sin(A?C)=sinB．

(1)求sinB；

(2)在三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求AB邊上高線的長．

①a=321；②a=2b；16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=AD=2，CB=CD=23．

(1)證明：BD⊥平面PAC；

(2)若PC=2PA=417.(本小題15分)

已知橢圓C的長軸長是短軸長的2倍，且左、右焦點分別為F1(?3,0)，F2(3,0)．

(1)求C的方程；

(2)已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足Q18.(本小題17分)

已知f(x)=lnx?ax?bx．

(1)若a=2，b=0，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；

(2)設ba=k，是否存在k，使得曲線y=f(x)與y=f(?1x)關于原點對稱？若存在，求k；若不存在，說明理由；

(3)證明：對任意19.(本小題17分)

設正項數列A：a1，a2，…，aN(N≥2)，如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數k都有ak<λan，則稱n是數列A的一個“λ時刻”.記A(λ)是數列A的所有“λ時刻”組成的集合(其中0<λ<1)．

(1)若A：2，6，6，36，48，求A(12)；

(2)若A(λ)={2,4,6,8,10}，且a10≤32a1，證明：答案解析1.【答案】B

【解析】解：(1?i)z=3+i，

則z=3+i1?i=(3+i)(1+i)(1?i)(1+i)=1+2i，

故z?=1?2i．2.【答案】C

【解析】解：集合A={x|y=x?1}={x|x≥1}，B={x∈z|(x+1)(x?3)<0}={0,1,2}，

故A∩B={1,2}．

故選：C．

3.【答案】C

【解析】解：將這組數據從小到大排列為：4，4，5，5，6，6，7，8，

這組數據的眾數為4，5，6，A錯誤；

這組數據的平均數為4+4+5+5+6+6+7+88=458，B錯誤；

因為8×0.6=4.8，所以這組數據的第60百分位數為6，C正確；

這組數據的極差為8?4=4，D錯誤．

故選：C．4.【答案】A

【解析】解：已知向量a,b滿足|a|=1,a?(a?2b)=2，

則a2?2a?b5.【答案】A

【解析】解：因為sinα+2cosα=0，

所以sinα=?2cosα，

則1?cos2α1+cos2α=2sin2α2cos26.【答案】B

【解析】解：令t=f(x)，

則方程f2(x)?(a+2)f(x)+2a=0可轉化為t2?(a+2)t+2a=0，

對t2?(a+2)t+2a=0進行因式分解，

可得(t?2)(t?a)=0，

則t1=2，t2=a，

所以f(x)=2或f(x)=a．

當x≤0時，f(x)=ex+2，

因為指數函數y=ex在(?∞,0]上單調遞增，

所以f(x)=ex+2在(?∞,0]上單調遞增，

且f(x)∈(2,3]．

當x>0時，f(x)=x+1x，

對其求導，f′(x)=1?1x2=x2?1x2=(x+1)(x?1)x2．

令f′(x)=0，

即(x+1)(x?1)x2=0，解得x=1(x>0)．

當0<x<1時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x>1時，f′(x)>0，f(x)單調遞增．

所以f(x)在x=1處取得極小值，也是最小值，f(1)=1+11=2．

對于f(x)=2，

當x>0時，x+1x=2，即x2?2x+1=0，(x?1)2=0，解得x=1，有1個根．

因為f2(x)?(a+2)f(x)+2a=0有4個互不相同的根，

f(x)=2有1個根，

7.【答案】D

【解析】解：如圖，

設MF1與HF2交于點Q，因為HN=3NF2，所以HN=3F2N，

因為ON//F1M，所以N為F2Q中點，即QN=NF2，所以HQ=2F2N=F2Q，

所以Q為HF2中點，又因為HM//F1F2，所以△F1F2Q≌△MHQ，MH=2F1F2=2c，

則設點M(2c,y)，則H(0,y)，N(34c,y4)，所以MN=(?5c4,?3y4)，HF2=(c,?y)8.【答案】B

【解析】解：如圖，SPMCN=2×12×2×|PM|=82.解得|PM|=42．

所以|PC|=|PM|2+|CM|2=32+4=6，因這樣的點P有且僅有一個，

由圖知此時CP⊥l，則圓心C(3.4)到直線l：xcosθ+ysinθ+1=0的距離為6，

即6=|3cosθ+4sinθ+1|cos2θ+sin2θ，化簡得|5sin(θ+φ)+1|=6，其中sinφ=35,cosφ=45，

∴sin(θ+φ)=1，則θ+φ=π2+2kπ(k∈Z)，

∴cosθ=cos(π2?φ)=35sinθ=sin(π2?φ)=45，

所以l：35x+45y+1=0，即3x+4y+5=0，則直線CP的斜率為43，

所以直線CP：y?4=43(x?3)，即4x?3y=0，

聯立4x?3y=03x+4y+5=0，解得x=?39.【答案】ABD

【解析】解：對于A，f(π)=2sin(3π?π6)=2sinπ6=2×12=1，故正確；

對于B，由題意可知該簡諧運動的初相為?π6，故正確；

對于C，f(π18)=2sin(3×π18?π6)=2sin0=0≠±2，故錯誤；

對于D，由x∈[0,π6]，可得3x?π6∈[?π6,π3]，

令10.【答案】AD

【解析】解：對于A，將(?x,?y)代入曲線方程，易知成立，故曲線關于原點對稱，

將(?x,y)，(x,?y)代入，易知成立，故曲線關于坐標軸對稱，故A正確；

對于B，令y=0可得：x2=3，即x=±3，故B錯；

對于C，2x2+3y2=6?x2y2≤6，

所以曲線C所圍成的封閉圖形在橢圓x23+y22=1內部，

而橢圓面積為：π×3×2=11.【答案】ACD

【解析】解：由①?②得AB2=AC2=AD2，即|AB|=|AC|=|AD|，

所以cos∠BAC=cos∠CAD=cos∠DAB，所以|BC|=|CD|=|DB|，

所以由①②一定能斷定三棱錐A?BCD是正三棱錐，選項A正確；

由①得AD?AB?AB?AC=AB?AC?AC?AD=AC?AD?AD?AB，

化簡即為③，所以由12.【答案】16

【解析】解：因為等差數列{an}中，a1=2，a3=6，

所以d=2，

則a2+a613.【答案】14【解析】解：恰好有2位干事抽到自己所寫建議卡，相當于從4人中選兩人交換自己的卡，有C42=6種可能，

而每人隨機抽取一張有A44=24種可能性，

則相應概率為P=C42A44=14.【答案】4

f(x)=2,x>8【解析】解：由(x?8)?f(x)≥0得：當x≥8時，f(x)≥0；當x≤8時，f(x)≤0．

假設?x0∈R，使得f(x0)=0，則題意得f(x?|f(x0))?f(x+|f(x0)|)=t，即f(0)?f(x)=t，

取x≥8時，有f(0)?f(x)≤0，即t<0這與t∈N?矛盾．

所以不?x0∈R，使得f(x0)=0．

綜上，當x≥8時，f(x)>0；當x<8時，f(x)<0①．

當x>8時，f(x)>0；當x≤8時，f(x)<0②．

對于①而言：

當x?|f(y)|≥8時，即x≥8|f(y)，則f(x?|f(y))>0，所以f(x+f2(y))>0，所以x+f2(y)≥8，

注意到x的任意性，所以8|f(y)|+f2(y)≥8，

當x?|f(y)|<8時，即x<8|f(y)，則f(x?|f(y))<0，所以f(x+f2(y))<0，所以x+f2(y)<8，注意到x的任意性，所以8|f(y)|+15.【答案】217；

選①或③，AB邊上高線的長為9；選②，△ABC【解析】解：(1)由題意知2sin(A?π3)=sinB，又A+B=2π3，

所以2sin(π3?B)=sinB，所以2(sinπ3cosB?cosπ3sinB)=sinB，

化簡得3cosB=2sinB，所以tanB=32，

所以sinB=37=217；

(2)由(1)知A，B，C為定值，

若選①：a=321，

由正弦定理可知，△ABC存在且唯一確定，

記AB邊上高為?，則?=asinB=321×217=9，

所以AB邊上高線的長為9；

若選②：a=2b，

由(1)知sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=217×12+277×32=32114，

由正弦定理知sinAsinB=32≠ba，所以△ABC不存在；

若選③：△ABC的周長為7316.【答案】證明見解析；

155【解析】解：(1)證明：取BD的中點E，

由AB=AD得AE⊥BD，

由CB=CD，得CE⊥BD，又AE，CE?平面ABCD，

所以A，E，C三點共線，

所以AC⊥BD，

由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，

又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，

所以BD⊥平面PAC．

(2)由PC=2PA=42，得AC=4，

又AD=2，CD=23，所以AD⊥CD，

如圖，以D為坐標原點，以直線DC為x軸，直線DA為y軸，過D作z軸/?/PA，建立直角坐標系，

則D(0,0,0)，A(0,2,0)，B(3,3,0),C(23,0,0),P(0,2,4)，

記平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，

則有n⊥DCn⊥DP，則n?DC=0n?DP=0，即23x=02y+4z=0，

則x=0，令z=?1，得y=2，

所以取平面PCD的一個法向量為n=(0,2,?1)，

記平面PAC的法向量為m=13DB=(1,3,0)，

所以cos<m，17.【答案】x218+y29=1；【解析】解：(1)由題意可設橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，且2a=22b，c=3，

所以a=2ba2=b2+9，解得a2=18，b2=9，

所以C的方程為x218+y29=1．

(2)設點Q(x,y)，P(x0,y0)，所以QF2=(3?x,?y)，PQ=(x?x0,y?y0)，

由QF2=2PQ得3?x=2(x?x0)?y=2(y?y0)，解得x0=3x?32y0=3y2，

又18.【答案】x+y+1=0；

存在，k=?1；

證明見解析．

【解析】解：(1)函數f(x)=lnx?2x，求導得f′(x)=1x?2，則f′(1)=?1，而f(1)=?2，

所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y+2=?(x?1)，即x+y+1=0．

(2)若存在k，則b