2024-2025學(xué)年海南省三亞市高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一?單選題（本題共8小題，每一題5分，共40分）1.高二某班4名同學(xué)分別從3處不同風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處進(jìn)行旅游觀光，則共有多少種選擇方案（）A.種 B.種 C.種 D.種【正確答案】D【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.【詳解】由題意知每位同學(xué)都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學(xué)選擇，故共有種選擇方法.故選：D.2.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（）A.1 B.2 C. D.3【正確答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可得解.【詳解】由依題意，知，則.故選：C.3.已知函數(shù)滿足，則的值為（）A B. C. D.【正確答案】A【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，代入，即可得出答案.詳解】由已知可得，，則，所以，.故選：A.4.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求導(dǎo)，代入得切線斜率，利用點(diǎn)斜式，寫出切線方程.【詳解】依題意，，因?yàn)椋裕郧芯€方程為，即，故選：D.5.一個(gè)口袋里裝有大小不同的2個(gè)紅球和4個(gè)白球，從中取3個(gè)球，則至少含有1個(gè)紅球和1個(gè)白球的取法有（）A.35種 B.32種 C.16種 D.14種【正確答案】C【分析】求出從裝有大小不同的2個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋里取3個(gè)球的取法，求出其中全部為白球的取法即可求解.【詳解】從裝有大小不同的2個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋里取3個(gè)球有種取法，其中全部為白球有種取法，則至少含有1個(gè)紅球和1個(gè)白球的取法有種.故選：C.6.某市的5個(gè)區(qū)縣，，，，地理位置如圖所示，給這五個(gè)區(qū)域染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.72種【正確答案】D【分析】先對(duì)A，B，C三個(gè)區(qū)域染色，再討論B，E是否同色【詳解】當(dāng)B，E同色時(shí)，共有種不同的染色方案，當(dāng)B，E不同色時(shí)，共有種不同的染色方案，所以共有72種不同的染色方案.故選：D7.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)后結(jié)合已知可得在上單調(diào)遞減，再由可得到時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再利用為奇函數(shù)，可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕谑钱?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.又為上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以的解集為.故選：A.8.的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】D【分析】先把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求解單調(diào)性及極值最后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，及時(shí)，的圖像如圖，得到有3個(gè)解.故選：D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知函數(shù)的極小值點(diǎn)為1，極小值為.則（）A.B.C.有3個(gè)零點(diǎn)D.直線與的圖像僅有1個(gè)公共點(diǎn)【正確答案】ACD【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極小值點(diǎn)以及極小值求參數(shù)，判斷AB，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的圖象，即可判斷CD.【詳解】由題意得則，解得，故A正確.由，解得，故B錯(cuò)誤.，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，畫出草圖，所以有3個(gè)零點(diǎn)，故C正確；直線與的圖像僅有1個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.可表示為B.若把英文“hero”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有23種C.10個(gè)朋友聚會(huì)，見面后每兩個(gè)人握手一次，一共握手45次D.學(xué)校有5個(gè)“市三好學(xué)生”名額，現(xiàn)分給3個(gè)年級(jí)，每個(gè)年級(jí)至少一個(gè)名額，則有6種分法【正確答案】BCD【分析】利用排列數(shù)公式判斷A；利用排除法列式計(jì)算判斷B；利用組合計(jì)數(shù)判斷C；分類計(jì)算判斷D.詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，四個(gè)字母全排列共有種，而正確的只有1種，可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有種，B正確；對(duì)于C，10個(gè)朋友聚會(huì)，見面后每兩個(gè)人握手一次，共有次，C正確；對(duì)于D，5個(gè)名額，按分有種，按分有種，共有種，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)（）A.若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.若在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C.當(dāng)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.若的單調(diào)遞減區(qū)間為，則.【正確答案】AD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，分離出參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求出實(shí)數(shù)的范圍；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)橛稍谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，可得在上有解，分離出參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求出實(shí)數(shù)的范圍；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，得出，根據(jù)在區(qū)間上不單調(diào)，列出關(guān)于的不等式組，求出實(shí)數(shù)的范圍；對(duì)于選項(xiàng)D，由的單調(diào)遞減區(qū)間為，可知是的一個(gè)根，即可求出.【詳解】由函數(shù)可知：函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)數(shù).對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，分離出參數(shù)，可得在上恒成立.又因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，所以，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)樵谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，即在上有解，分離出參數(shù)，可得在上有解.又因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，.令，解得.因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則，解得：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間為，所以是的一個(gè)根，即，解得：，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.求的值為__________.【正確答案】18【分析】利用排列數(shù)公式計(jì)算.【詳解】故1813.用“實(shí)”?“驗(yàn)”?“中”?“學(xué)”?“頂”?“呱”?“呱”這七個(gè)字可以組成__________種不同的七字短語.（不考慮短語的含義）【正確答案】【分析】在這七個(gè)文字的排列中，由于有相同元素，需要優(yōu)先用組合來計(jì)數(shù)，然后用分步計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】由于這七個(gè)字中有兩個(gè)重復(fù)文字，故第一步優(yōu)先擺放，共有種；第二步擺放剩下五個(gè)文字，共有種；根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理得它們可以組成種不同的七字短語.故答案為.14.過原點(diǎn)與曲線相切的切線方程為______．【正確答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得，列出方程，求得，得到，即可求得切線的方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，由，則，則，則，即，即，解得，所以，所以原點(diǎn)與曲線相切的切線方程為．故本題主要考查了過點(diǎn)出的切線方程的求解，其中解答中熟記到導(dǎo)數(shù)點(diǎn)幾何意義，以及過點(diǎn)處的切線方程的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.四?解答題（本題共5小題，共77分）15.已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間與極值；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值．【正確答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為和，極大值為，極小值為（2）最大值為1，最小值為【分析】（1）根據(jù)已知條件及導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，再利用函數(shù)的極值的定義，即可求解；（2）根據(jù)的單調(diào)區(qū)間，極值，區(qū)間端點(diǎn)值即可確定在區(qū)間上的最大值與最小值．【小問1詳解】，令，得或，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，所以單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以的極大值為，極小值為．【小問2詳解】由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，所以在區(qū)間上的最大值為1，最小值為．16.求下列問題的排列數(shù)：（1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相鄰；（2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相鄰；（3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在兩端.【正確答案】（1）720(種)（2）1440(種)（3）1440(種)【分析】（1）利用捆綁法進(jìn)行排列計(jì)算可得結(jié)果；（2）利用插空法先排男生，再將女生插空排列計(jì)算可得結(jié)果；（3）根據(jù)特殊元素排法將兩端排上男生再進(jìn)行全排列即可得結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)相鄰問題捆綁法得，先將3名女生全排列，并作為一個(gè)元素，再和其余4名男生一起排列，共有(種)不同的安排方法.【小問2詳解】根據(jù)不相鄰問題插空法得，先將4名男生進(jìn)行全排列，再將3名女生插在5個(gè)空位上，共有(種)不同的排列方法.【小問3詳解】先從4名男生中取2人排在兩端，再將其余5人排在中間5個(gè)位置上，共有(種)不同的排列方法.17.由0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字．（1）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？（3）組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個(gè)？【正確答案】（1）96（2）60（3）65【分析】（1）先排數(shù)字0，再排其它4個(gè)數(shù)字即可計(jì)算得解；（2）選偶數(shù)先排個(gè)位數(shù)，分個(gè)位數(shù)字為0和個(gè)位數(shù)字為2或4兩種情況，再排其它數(shù)位；（3）按最高位上的數(shù)字比2大和2兩類分類計(jì)算作答.【小問1詳解】先排數(shù)字0，0只能占除最高位外的其余四個(gè)數(shù)位，有種排法，再排四個(gè)非0數(shù)字有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，所以能組成96個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；【小問2詳解】當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，則可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，

當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2或4時(shí)，則可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，

即可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)；【小問3詳解】計(jì)算比21034大的五位數(shù)的個(gè)數(shù)分兩類：萬位比2大的五位數(shù)個(gè)數(shù)是，萬位是2的五位數(shù)中，千位比1大的有個(gè)，千位是1，百位比0大的有個(gè)，千位是1，百位是0，十位比3大的有1個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理得，所以組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有65個(gè).18.設(shè)函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．【正確答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）由給定的恒成立的不等式分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可.（2）利用導(dǎo)數(shù)按分類討論函數(shù)在上單調(diào)性，并求出最小值即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋坏仁剑睿李}意，恒成立，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【小問2詳解】由函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，無解；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，符合題意，所以存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2，.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）答案見解析