2024-2025學年江蘇省淮安市洪澤區(qū)高一下學期3月月考數(shù)學檢測試題一、單選題（5?8=40分）1（）A. B. C. D.1【正確答案】A【分析】利用兩角和的正弦公式可求答案.【詳解】.故選：A2.已知向量，滿足，，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】解法1，由，得，化簡后結(jié)合數(shù)量積的定義可求得結(jié)果；解法2，由已知條件可得，，，則，，從而可求得結(jié)果.【詳解】解法1：因為，，，所以，所以，因為，所以.解法2：由，，，，可知，令，，則，，，因為，所以.故選：D3.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由條件，利用二倍角余弦公式可求，再利用誘導公式求結(jié)論.【詳解】由知，.所以.故選：D.4.記為的內(nèi)角的對邊，則“為直角三角形”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦化簡確定三角形形狀，再利用充分條件、必要條件的定義判斷.【詳解】在中，由及正弦定理，得，則，而，則，兩邊平方整理得，而，于是，，因此為直角三角形；反之，為直角三角形，或或，所以“為直角三角形”是“”的必要不充分條件，B正確.故選：B5.已知點為的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量為，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)判斷出，，三點共線，再結(jié)合外心的性質(zhì)得到的形狀，最后根據(jù)投影向量的定義求出的值.【詳解】已知，將其變形可得，即.根據(jù)向量共線定理，可知與共線，所以，，三點共線.因為點為的外心，外心是三角形三邊垂直平分線的交點，且，，三點共線，所以為外接圓的直徑，那么，即是直角三角形.根據(jù)投影向量的定義求的值，，可得，即，又因為，所以，因為，所以.的值為.故選：D.6.已知中，，若的平分線交于點，則的長為（）A.或 B.或 C. D.【正確答案】C【分析】利用余弦定理求解出再利用角平分線定理結(jié)合斯臺沃特定理求解即可.【詳解】因為所以即又所以則，又所以，又因為為的平分線，所以又因為，在中，由余弦定理知：所以，由角平分線定理知：，所以使用斯臺沃特定理求BD的長度：代入數(shù)值：化簡得到：解得：故選：C.7.已知，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】通過把拆解成與的關(guān)系式可求得的值，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，利用兩角和、差的正弦公式可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，∵，∴，故，∴，∴故選：A.8.在邊長為2的正方形中作出.直角頂點為的中點.其他兩頂點分別在邊上運動.則的周長的取值范圍（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)，進而得到的周長，再應用換元法及三角函數(shù)的性質(zhì)，令則，即可求范圍.【詳解】如題圖，設(shè)，由題意，所以，則，所以的周長，注意，且，令，則，所以，又，所以，解得，即周長的取值范圍為.故選：A二、多選題（3?6=18分）9.下列命題正確的是（）A.若，則存在唯一實數(shù)使得B.已知非零向量、和實數(shù)k，則“”是“”必要而不充分條件C.若且，則三角形為等腰直角三角形D.若平面向量，，兩兩夾角相等，且，，，則【正確答案】BC【分析】由共線向量概念可判斷A，取，可判斷B，由，可得的平分線垂直于BC，由，平方可得，即可判斷C，由夾角可能為或，即可判斷D.【詳解】解：對于A、若，時，不存在實數(shù)使得，所以選項A錯誤；對于B、因為非零向量、，若，則與方向相反，則，若，取，則，而，故“”是“”的必要而不充分條件，故B正確；對于C、因為，對等式兩邊同時平方可得，化簡整理可得，所以，即又因為，和分別是和方向上的單位向量，設(shè)，，則以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，是菱形的對角線，，說明的平分線垂直于BC，所以，綜上，三角形為等腰直角三角形，選項C正確；對于D、平面向量，，兩兩夾角相等，則夾角可能為或，當夾角為時，，

選項D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)，則（）A.的最大值是 B.的最小正周期是C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【正確答案】ABD【分析】由三角恒等變換可得，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求其最值、最小正周期，即可判斷A、B的正誤；通過代入驗證法結(jié)合余弦函數(shù)的對稱軸、單調(diào)減區(qū)間可判斷C、D的正誤.【詳解】，因，故的最大值為，最小正周期為，故A，B正確；當時，，故C不正確；由得，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.11.三角形的布洛卡點是法國數(shù)學家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，當內(nèi)一點滿足條件：時，則稱點為的布洛卡點，角為布洛卡角.如圖，在中，角所對的邊分別為，記的面積為，點是的布洛卡點，布洛卡角為，則（）A.當時，B.當且時，C.當時，D.當時，【正確答案】ABC【分析】由兩角相等得到三角形相似，再由邊對應成比例可得A選項；設(shè)，由三角形相似表示出，在中由正弦定理表示出，在中由余弦定理得到與的關(guān)系，結(jié)合求出；C選項，由，在結(jié)合余弦定理即可證明；D選項，通過取特殊值舉反例即可判斷錯誤.【詳解】A選項，當時，是等腰三角形，，因為，，所以，又因為，所以，所以，即，故A正確；B選項，當時，由A選項知，，因為，所以，設(shè)，則，因為，所以，所以又因為，所以，，在中，由正弦定理得，即，即，所以，在中，，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，聯(lián)立，解得，故B正確；C選項，當時，，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，相加得，即，C正確；D選項，當時，若，此時，在中，由正弦定理得，所以，所以，D錯誤.故選：ABC.三、填空題（3?5=15分）12.若向量，，與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是_________【正確答案】【分析】根據(jù)向量夾角為鈍角的條件，借助數(shù)量積公式來確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為向量，，與的夾角為鈍角，所以且，即且，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為.13.已知，且，則的值為_____________．【正確答案】【分析】由已知，求得，得，可得，進而求得，，由，利用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，因為，所以，又，則，所以，所以，，所以.故答案為.14.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則面積的最大值為________.【正確答案】【分析】利用余弦定理得，再利用基本不等式和三角形面積公式得到，最后借助輔助角公式求出最大值.【詳解】由余弦定理知，所以，即，因為，當且僅當時等號成立，所以，即，所以.設(shè)的面積為S，所以，令，可得，當且僅當時，上式等號成立，即有，解得或（舍去），則，所以，故面積的最大值為.故答案為.關(guān)鍵點點睛：利用基本不等式得到面積，通過取倒數(shù)從而設(shè)，借助于輔助角公式求出的最小值，即可得到的最大值.四、解答題（共5小題滿分77分）15.若向量，滿足：，，，求：（1）與的夾角的余弦值；（2）的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，再根據(jù)夾角公式即可得解；（2）將平方開根號結(jié)合數(shù)量積的運算律即可得解.【小問1詳解】由，得，所以，則，即與的夾角的余弦值為；【小問2詳解】.16.（1）已知且，求值；（2）已知，且，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先由，求出，再通過構(gòu)造角，利用和角的正弦公式求出即可；（2）先由誘導公式求出，再求出，再由二倍角公式求出，再由誘導公式及和角的余弦公式求即可.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，所以.（2）因為，所以，又因為，所以，所以，，所以.17.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．（1）若，求；（2）若，求．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【小問1詳解】方法1：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以【小問2詳解】方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.18.如圖，在平行四邊形中，已知，，，為線段的中點，為線段上的動點（不含端點）.記.（1）若，求線段EF的長；（2）若，設(shè)，求實數(shù)和的值；（3）若與交于點，，求向量與的夾角的余弦值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由向量的線性運算可得，兩邊平方可求解；（2）由已知可得，，可得結(jié)論；（3）利用向量的線性關(guān)系可得，，計算可得結(jié)論.【小問1詳解】若，則，，所以，兩邊平方可得，所以；【小問2詳解】若，則，所以，①，②，由①②可得；【小問3詳解】，，設(shè)，又，又，所以①，由，可得，所以，所以，所以，由，可得，所以，又三點共線，所以②，聯(lián)立①②解，所以，所以，，，所以，又，所以，同理可得，所以.關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是用基底表示向量后，求向量?；蛘邐A角就可以利用公式直接計算.19.對于一組向量，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．（1）設(shè)，且，若是向量組的“長向量”，求實數(shù)的取值范圍；（2）若且，向量組是否存在“長向量”？若存在，求出正整數(shù)；若不存在，請說明理由；（3）已知均是向量組的“長向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標系中有一點列滿足，為坐標原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與（且）關(guān)于點對稱，求的最小值．【正確答案】（1）（2）存在“長向量”，（3）4044【分析】（1）根據(jù)向量模長的不等關(guān)系，解得的范圍即可；（2）根據(jù)“長向量”的定義，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可；（3）根據(jù)向量坐標代入計算，結(jié)合向量不等式得到，再設(shè)，得到向量關(guān)系，從而求得最值.【小問1詳解】由題意可得：，，，則，解得：【小問2詳解】存在“長向量”，且“長向量