湖北省安陸市第一中學2025年高三第一次摸底考試數學試題理試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．2．中國鐵路總公司相關負責人表示，到2018年底，全國鐵路營業里程達到13.1萬公里，其中高鐵營業里程2.9萬公里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程（單位：萬公里）的折線圖，以下結論不正確的是（）A．每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B．從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程與年價正相關C．2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D．從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程數依次成等差數列3．設，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．若雙曲線：繞其對稱中心旋轉后可得某一函數的圖象，則的離心率等于（）A． B． C．2或 D．2或5．已知向量，（其中為實數），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點，，是圓上的動點，點關于直線的對稱點為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．7．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的右焦點為，若F到直線的距離為，則E的離心率為()A． B． C． D．8．若復數（為虛數單位），則（）A． B． C． D．9．已知等差數列的前項和為，且，則（）A．45 B．42 C．25 D．3610．已知，則下列關系正確的是（）A． B． C． D．11．已知函數滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．12．不等式的解集記為，有下面四個命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的兩條漸近線斜率分別為，，若，則該雙曲線的離心率為________.14．關于函數有下列四個命題：①函數在上是增函數；②函數的圖象關于中心對稱；③不存在斜率小于且與函數的圖象相切的直線；④函數的導函數不存在極小值.其中正確的命題有______.（寫出所有正確命題的序號）15．已知函數，且，，使得，則實數m的取值范圍是______.16．如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線交曲線于兩點，為中點.（1）求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程；（2）若，求的值.18．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為（α為參數）．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為，點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．19．（12分）團購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費方式，不少商家同時加入多家團購網.現恰有三個團購網站在市開展了團購業務，市某調查公司為調查這三家團購網站在本市的開展情況，從本市已加入了團購網站的商家中隨機地抽取了50家進行調查，他們加入這三家團購網站的情況如下圖所示.（1）從所調查的50家商家中任選兩家，求他們加入團購網站的數量不相等的概率；（2）從所調查的50家商家中任取兩家，用表示這兩家商家參加的團購網站數量之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數學期望；（3）將頻率視為概率，現從市隨機抽取3家已加入團購網站的商家，記其中恰好加入了兩個團購網站的商家數為，試求事件“”的概率.20．（12分）在直角坐標系中，已知點，若以線段為直徑的圓與軸相切.（1）求點的軌跡的方程；（2）若上存在兩動點（A，B在軸異側）滿足，且的周長為，求的值.21．（12分）在如圖所示的多面體中，四邊形是矩形，梯形為直角梯形，平面平面，且，，.（1）求證：平面.（2）求二面角的大小.22．（10分）在銳角中，分別是角的對邊，，，且．（1）求角的大小；（2）求函數的值域．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由，,利用平面向量的數量積運算,先求得利用平行四邊形的性質可得結果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因為,

所以

,

，所以，故選C.【點睛】本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.2、D【解析】

由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項，顯然正確；對于，，選項正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數列，故錯.故選：D【點睛】本題考查統計的知識，考查數據處理能力和應用意識,是基礎題3、C【解析】

根據充分條件和必要條件的定義結合對數的運算進行判斷即可．【詳解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b?logab＜1，logab＜1?a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要條件，故選C．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據不等式的解法是解決本題的關鍵．4、C【解析】

由雙曲線的幾何性質與函數的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，所以或，由離心率公式即可算出結果.【詳解】由雙曲線的幾何性質與函數的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，又雙曲線的焦點既可在軸，又可在軸上，所以或，或.故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，函數的概念，考查了分類討論的數學思想.5、A【解析】

結合向量垂直的坐標表示，將兩個條件相互推導，根據能否推導的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由，則，所以；而當，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本小題考查平面向量的運算，向量垂直，充要條件等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，應用意識.6、B【解析】

根據圖象分析變化過程中在關鍵位置及部分區域，即可排除錯誤選項，得到函數圖象，即可求解.【詳解】由題意，當時，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項；當時，，由圖象可知選B.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數的圖像與性質，正確表示函數的表達式是解題的關鍵,屬于中檔題.7、A【解析】

由已知可得到直線的傾斜角為，有，再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為，得直線的傾斜角為，所以，即，解得.故選：A.【點睛】本題考查橢圓離心率的問題，一般求橢圓離心率的問題時，通常是構造關于的方程或不等式，本題是一道容易題.8、B【解析】

根據復數的除法法則計算，由共軛復數的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點睛】本題主要考查了復數的除法計算，共軛復數的概念，屬于容易題.9、D【解析】

由等差數列的性質可知,進而代入等差數列的前項和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點睛】本題考查等差數列的性質,考查等差數列的前項和.10、A【解析】

首先判斷和1的大小關系，再由換底公式和對數函數的單調性判斷的大小即可.【詳解】因為，，，所以，綜上可得.故選：A【點睛】本題考查了換底公式和對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．11、B【解析】

構造函數,利用導數研究函數的單調性，即可得到結論.【詳解】設,則函數的導數,，，即函數為減函數,,，則不等式等價為，則不等式的解集為,即的解為，，由得或，解得或,故不等式的解集為.故選:.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數單調性，根據函數的單調性解不等式，考查學生分析問題解決問題的能力,是難題.12、A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結果.【詳解】作出可行域如圖所示，當時，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

由題得,再根據求解即可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線為,可令,,則,所以,解得.故答案為：2.【點睛】本題考查雙曲線漸近線求離心率的問題.屬于基礎題.14、①②③【解析】

由單調性、對稱性概念、導數的幾何意義、導數與極值的關系進行判斷．【詳解】函數的定義域是，由于，在上遞增，∴函數在上是遞增，①正確；，∴函數的圖象關于中心對稱，②正確；，時取等號，∴③正確；，設，則，顯然是即的極小值點，④錯誤．故答案為：①②③.【點睛】本題考查函數的單調性、對稱性，考查導數的幾何意義、導數與極值，解題時按照相關概念判斷即可，屬于中檔題．15、【解析】

根據條件轉化為函數在上的值域是函數在上的值域的子集；分別求值域即可得到結論.【詳解】解：依題意，，即函數在上的值域是函數在上的值域的子集.因為在上的值域為（）或（），在上的值域為，故或，解得故答案為：.【點睛】本題考查了分段函數的值域求參數的取值范圍，屬于中檔題.16、【解析】

根據三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結合圖中數據求出它的體積．【詳解】根據三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：結合圖中數據，計算它的體積為.故答案為：.【點睛】本題考查了根據三視圖求簡單組合體的體積應用問題，是基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）或【解析】

（1）根據曲線的參數方程消去參數，可得曲線的直角坐標方程，再由，，可得點的軌跡的極坐標方程；（2）將曲線極坐標方程求，與直線極坐標方程聯立，消去，得到關于的二次方程，由的幾何意義可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.【詳解】（1）曲線的直角坐標方程為，圓的圓心為，設，所以，則由，即為點軌跡的極坐標方程.（2）曲線的極坐標方程為，將與曲線的極坐標方程聯立得，，設，所以，，由，即，令，上述方程可化為，解得.由，所以，即或.【點睛】此題考查參數方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，利用極坐標求點的軌跡方程，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于中檔題.18、（1），（2）【解析】

試題分析：利用將極坐標方程化為直角坐標方程：化簡為ρcosθ＋ρsinθ＝1，即為x＋y＝1．再利用點到直線距離公式得：設點P的坐標為（2cosα，sinα），得P到直線l的距離試題解析：解：化簡為ρcosθ＋ρsinθ＝1，則直線l的直角坐標方程為x＋y＝1．設點P的坐標為（2cosα，sinα），得P到直線l的距離，dmax＝．考點：極坐標方程化為直角坐標方程，點到直線距離公式19、（1）;（2）從而的分布列為012;（3）.【解析】

（1）運用概率的計算公式求概率分布，再運用數學期望公式進行求解；（2）借助題設條件運用貝努力公式進行分析求解：（1）記所選取額兩家商家加入團購網站的數量相等為事件，則，所以他們加入團購網站的數量不相等的概率為.（2）由題，知的可能取值分別為0，1，2，，，從而的分布列為012.（3）所調查的50家商家中加入了兩個團購網站的商家有25家，將頻率視為概率，則從市中任取一家加入團購網站的商家，他同時加入了兩個團購網站的概率為，所以，所以事件“”的概率為.20、（1）；（2）【解析】

（1）設，則由題設條件可得，化簡后可得軌跡的方程.（2）設直線，聯立直線方程和拋物線方程后利用韋達定理化簡并求得，結合焦半徑公式及弦長公式可求的值及的長.【詳解】（1）設，則圓心的坐標為，因為以線段為直徑的圓與軸相切，所以，化簡得的方程為.(2)由題意，設直線，聯立得，設（其中）所以，，且，因為，所以，，所以，故或（舍），直線，因為的周長為所以.即，因為.又，所以，解得，所以.【點睛】本題考查曲線方程以及拋物線中的弦長計算，還涉及到向量的數量積.一般地，拋物線中的弦長問題，一般可通過聯立方程組并消元得到關于或的一元二次方程，再把已知等式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有或，最后利