線段的垂直平分線與角平分線教學(xué)設(shè)計(jì)?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)生能理解線段垂直平分線和角平分線的概念，掌握其性質(zhì)定理和逆定理。能夠運(yùn)用線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)定理及逆定理解決相關(guān)的幾何證明和計(jì)算問題。2.過程與方法目標(biāo)通過觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和邏輯推理能力。經(jīng)歷線段垂直平分線和角平分線性質(zhì)定理及逆定理的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)定理及逆定理的理解和掌握。運(yùn)用線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)定理及逆定理進(jìn)行幾何證明和計(jì)算。2.教學(xué)難點(diǎn)線段垂直平分線和角平分線性質(zhì)定理及逆定理的證明思路和方法。靈活運(yùn)用性質(zhì)定理及逆定理解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力。三、教學(xué)方法1.講授法：講解線段垂直平分線和角平分線的概念、性質(zhì)定理及逆定理，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)。2.探究法：通過設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新思維。3.練習(xí)法：通過適量的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，提高運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課1.展示一些含有線段垂直平分線和角平分線的生活實(shí)例圖片，如房屋的屋頂、角平分線儀等，讓學(xué)生觀察并找出其中的幾何圖形。2.提問學(xué)生："在這些圖形中，線段垂直平分線和角平分線有什么作用？它們具有哪些特點(diǎn)？"引導(dǎo)學(xué)生思考，從而引出本節(jié)課的主題線段的垂直平分線與角平分線。（二）探究新知1.線段垂直平分線的概念和性質(zhì)概念：教師在黑板上畫出一條線段AB，然后通過折紙的方法，找出線段AB的垂直平分線。講解線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。性質(zhì)：提出問題："線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離有什么關(guān)系？"讓學(xué)生在剛才折出的垂直平分線上任取一點(diǎn)P，測(cè)量PA和PB的長(zhǎng)度，并比較它們的大小。學(xué)生通過測(cè)量、比較后，得出猜想：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理證明：已知：如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，垂足為C，點(diǎn)P在MN上。求證：PA=PB證明：因?yàn)镸N是AB的垂直平分線，所以∠PCA=∠PCB=90°，AC=BC。在△PCA和△PCB中，\(\begin{cases}AC=BC\\∠PCA=∠PCB\\PC=PC\end{cases}\)所以△PCA≌△PCB（SAS）所以PA=PB總結(jié)線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。用符號(hào)語言表示為：因?yàn)镸N是AB的垂直平分線，點(diǎn)P在MN上，所以PA=PB。2.線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理提出問題："到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上嗎？"讓學(xué)生進(jìn)行思考和討論：鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，通過測(cè)量、觀察等方法進(jìn)行探究。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明：已知：如圖，PA=PB。求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。證明：過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C。在Rt△PCA和Rt△PCB中，\(\begin{cases}PA=PB\\PC=PC\end{cases}\)所以Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）所以AC=BC即PC是線段AB的垂直平分線，所以點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。總結(jié)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。用符號(hào)語言表示為：因?yàn)镻A=PB，所以點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。3.角平分線的概念和性質(zhì)概念：教師在黑板上畫出一個(gè)角∠AOB，然后用折紙的方法，折出∠AOB的平分線OC。講解角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。性質(zhì)：提出問題："角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離有什么關(guān)系？"讓學(xué)生在角平分線OC上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，測(cè)量PD和PE的長(zhǎng)度，并比較它們的大小。學(xué)生通過測(cè)量、比較后，得出猜想：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理證明：已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E。求證：PD=PE證明：因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2。又因?yàn)镻D⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，\(\begin{cases}∠1=∠2\\∠PDO=∠PEO\\OP=OP\end{cases}\)所以△PDO≌△PEO（AAS）所以PD=PE總結(jié)角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。用符號(hào)語言表示為：因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE。4.角平分線性質(zhì)定理的逆定理提出問題："在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上嗎？"讓學(xué)生進(jìn)行思考和討論：鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，通過測(cè)量、觀察等方法進(jìn)行探究。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明：已知：如圖，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，PD=PE。求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。證明：連接OP。在Rt△PDO和Rt△PEO中，\(\begin{cases}PD=PE\\OP=OP\end{cases}\)所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）所以∠1=∠2即OP是∠AOB的平分線，所以點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。總結(jié)角平分線性質(zhì)定理的逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。用符號(hào)語言表示為：因?yàn)镻D⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，所以點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。（三）例題講解例1：如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接BD。若AC=8，BC=5，求△BCD的周長(zhǎng)。解：因?yàn)镈E是AB的垂直平分線，所以AD=BD。△BCD的周長(zhǎng)=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC。已知AC=8，BC=5，所以△BCD的周長(zhǎng)為5+8=13。例2：如圖，∠AOB=30°，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD∥OA交OB于點(diǎn)D，PE⊥OA于點(diǎn)E。若OD=4，求PE的長(zhǎng)。解：因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，∠AOB=30°，所以∠AOC=∠BOC=15°。因?yàn)镻D∥OA，所以∠DPO=∠AOP=15°。所以∠BOD=∠DPO+∠BOP=30°。又因?yàn)镻D∥OA，所以∠BDP=∠AOB=30°。所以∠BOD=∠BDP，所以BD=OD=4。過點(diǎn)P作PF⊥OB于點(diǎn)F。因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，PE⊥OA，PF⊥OB，所以PE=PF。在Rt△PDF中，∠BDP=30°，BD=4，所以PF=\(\frac{1}{2}\)BD=2。所以PE=2。（四）課堂練習(xí)1.已知線段AB，求作線段AB的垂直平分線。（保留作圖痕跡）2.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，求△ABC的周長(zhǎng)。3.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，M為OP上任意一點(diǎn)，連接CM、DM。求證：CM=DM。（五）課堂小結(jié)1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括線段垂直平分線和角平分線的概念、性質(zhì)定理及逆定理。2.讓學(xué)生說一說在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，自己有哪些收獲和體會(huì)，遇到了哪些困難和問題。3.教師對(duì)學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行總結(jié)和評(píng)價(jià)，強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)努力。（六）布置作業(yè)1.必做題：課本習(xí)題第[X]頁第[X]、[X]、[X]題。如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，求∠DBC的度數(shù)。2.選做題：如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上。如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求證：DE=DF。五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對(duì)線段垂直平分線和角平分線的概念、性質(zhì)定理及逆定理有了較為系統(tǒng)的理解和掌握，能夠運(yùn)用這些知識(shí)解決相關(guān)的幾何證明和計(jì)算問題。在教學(xué)過程中，通過設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流，培養(yǎng)了學(xué)