2021-2022學年九年級數學上冊尖子生同步培優題典【華師大版】專題23..8中位線姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2021春?撫順期末）如圖，要測定被池塘隔開的A、B兩點的距離，可以在AB外選一點C，連接AC、BC，并分別找出它們的中點D、E，連接DE．現測得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，則A、B兩點間的距離為（）A．35m B．45m C．48m D．50m【分析】根據三角形中位線定理解答即可．【解析】∵D、E分別為AC、BC的中點，DE＝24m，∴AB＝2DE＝2×24＝48（m），故選：C．2．（2021春?邢臺期末）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的中點，若DE＝4，則BC等于（）A．2 B．4 C．8 D．10【分析】根據三角形中位線定理計算即可．【解析】∵D、E分別是AB、AC邊上的中點，DE＝4，∴BC＝2DE＝2×4＝8，故選：C．3．（2021春?驛城區期末）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的中點，且AB＝8cm，AC＝10cm，則四邊形ADEF的周長等于（）cm．A．14 B．18 C．20 D．24【分析】根據三角形中位線定理、線段中點的概念分別求出AD、DE、EF、AF，計算即可．【解析】∵點D、E、F分別是邊AB、BC、CB的中點，AB＝8cm，AC＝10cm，∴AD=12AB＝4cm，DE=12AC＝5cm，AF=12AC＝5cm，EF∴四邊形ADEF的周長＝AD+DE+EF+AF＝18cm，故選：B．4．（2021春?富拉爾基區期末）如圖，E，F是四邊形ABCD兩邊AB，CD的中點，G，H是兩條對角線AC，BD的中點，若EH＝6，且AD≠BC，則以下說法不正確的是（）A．EH∥GF B．GF＝6 C．AD＝12 D．BC＝12【分析】由三角形中位線定理可得EH∥AD，EF=12AD，GF∥AD，GF=12AD，可得EH∥GF，EF＝GF＝6，AD【解析】∵E、F是AB、CD的中點，G、H是AC、BD的中點，∴EH∥AD，EH=12AD，GF∥AD，GF=1∴EH∥GF，EH＝GF＝6，AD＝2EH＝12，故選：D．5．（2021春?鳳山縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，M，N分別是邊BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合）點E，F分別是線段DM，MN的中點，若線段EF的最大值為2.5，則AD的長為（）A．5 B．41 C．2.5 D．3【分析】根據三角形的中位線定理得出EF=12DN，從而可知DN最大時，EF的最大值為2.5，因為N與B重合時DN最大，此時根據勾股定理求得DN＝DB【解析】∵點E，F分別是線段DM，MN的中點，∴ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12DN∴DN最大時，EF最大，∵線段EF的最大值為2.5，∴DN＝2EF＝5．∵N與B重合時DN最大，此時DN＝DB=AD∴AD＝3．故選：D．6．（2020秋?江干區期末）如圖，已知△ABC，DF∥BC，DE∥AC，四邊形DECF的面積為12，若DE經過△ABC的重心，則△ABC的面積為（）A．25 B．26 C．27 D．28【分析】設重心為G，則BGGH=2，根據三角形相似的判定與性質可得，S△BCES【解析】∵DE經過△ABC的重心，∴DF∥BC，DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC，∴DEAC=∴ADAB=∴S△BCES△ABC=∴S△BDES△ADF+SDECF①②組成方程組，S△BDES解得S△BDE＝12，S△ADF＝3，∴S△ABC＝27．故選：C．7．（2020秋?泗水縣期末）如圖，CD、BE分別為△ABC的兩條中線，CD、BE相交于點O，連接DE，若△ABC的面積為12，則△ODE的面積為（）A．2 B．56 C．23 【分析】根據三角形的中位線得出DE∥BC，DE=12BC，根據平行線的性質得出成比例線段，根據△ABC的面積為12，即可求出△ODE【解析】∵△ABC的兩條中線CD、BE相交于點O，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC∴ODOC=又∵S△ABC＝12，∴S△ABE=12S△ABC∵DE是△ABE的中線，∴S△BDE=12S△ABE∵OEOB=∴OEBE=∴S△ODE=13S△BDE故選：D．8．（2020秋?文山市期末）如圖，在△ABC中，中線BE、CD相交于點O，連接DE，下列結論：①DEBC=12；②S△DOES△COB=A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】BE、CD是△ABC的中線，即D、E是AB和AC的中點，即DE是△ABC的中位線，則DE∥BC，△ODE∽△OCB，根據相似三角形的性質即可判斷．【解析】∵BE、CD是△ABC的中線，即D、E是AB和AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12BC，即DEDE∥BC，∴△DOE∽△COB，ADAB=∴S△DOES△COB=（DEBC）2故①正確，②錯誤，③正確；設△DOE的面積為x，則△BOC的面積為4x，∵DE∥BC，∴DEBC=∴S△BODS∴△BOD的面積為2x，∴△BCD的面積為6x，∴AD＝BD，∴S△ACD＝S△BCD＝6x，∴S△DOES△ADC=故選：C．9．（2021春?東港區校級月考）如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，分別取AC，BC邊的中點D，E，連接DE，作EF∥AC得到四邊形EDAF，它的周長記作C1；分別取EF，BE的中點D1，E1，連接D1E1，作E1F1∥EF，得到四邊形E1D1FF1，它的周長記作C2．照此規律作下去，則C2021等于（）A．122017 B．122018 C．1【分析】根據三角形中位線定理得到DE=12AB，DE∥AB，進而證明四邊形ADEF為菱形，求出菱形ADEF的周長C1【解析】∵點D，E分別為AC，BC邊的中點，∴DE=12AB=12，DE∥AB，AD=∴AD＝DE，∵EF∥AC，∴四邊形ADEF為菱形，∴四邊形ADEF的周長C1＝4×12同理：四邊形E1D1FF1的周長記作C2＝4×14……C2021=12故選：C．10．（2021春?靖遠縣期末）如圖，順次連接△ABC三邊的中點D，E，F得到的三角形面積為S1，順次連接△CEF三邊的中點M，G，H得到的三角形面積為S2，順次連接△CGH三邊的中點得到的三角形面積為S3，設△ABC的面積為64，則S1+S2+S3＝（）A．21 B．24 C．27 D．32【分析】由三角形中位線定理得到AD＝DB，DF=12BC＝BE，DE=12AC＝AF，再證△ADF≌△DBE（SSS），同理△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC（SSS），則S1＝S△FEC=14S△ABC＝16，同理S2=14S1【解析】∵點D，E，F分別是△ABC三邊的中點，∴AD＝DB，DF=12BC＝BE，DE=12AC在△ADF和△DBE中，AD=DBAF=DEDF=BE∴△ADF≌△DBE（SSS），同理可證，△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC（SSS），∴S1＝S△FEC=14S△ABC同理可得，S2=14S1＝4，S3=14∴S1+S2+S3＝16+4+1＝21，故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2021春?武漢期中）如圖，點D為△ABC的邊AC的中點，點E為AB上一點，若∠AED＝150°，∠ABC＝120°，則DEBC的值為32【分析】取AB中點F，連接DF，作FG⊥DE于G．由三角形中位線定理得出DF∥BC，DF=12BC，根據平行線的性質得出∠EFD＝∠ABC＝120°，再證明∠DEF＝∠EDF＝30°，那么DF＝EF，根據等腰三角形三線合一的性質得出DG=12DE．然后解Rt△DGF，得出DG=3【解析】如圖，取AB中點F，連接DF，作FG⊥DE于G．∵點D為△ABC的邊AC的中點，F為AB中點，∴DF是△ABC的中位線，∴DF∥BC，DF=12BC∴∠EFD＝∠ABC＝120°，∵∠AED＝150°，∴∠DEF＝180°﹣∠AED＝30°，∠EDF＝∠AED﹣EFD＝30°，∴∠DEF＝∠EDF＝30°，∴DF＝EF，∵FG⊥DE，∴DG=12DE在Rt△DGF中，∵∠DGF＝90°，∠GDF＝30°，∴GF=12DF，DG=3GF=∴DEBC=故答案為：32．12．（2021春?洛陽期末）如圖，D是△ABC的邊BC的中點，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點E，且AB＝10cm，DE＝2cm，則AC的長為6cm．【分析】延長AC、BE交于點F，證明△AEB≌△AEF，根據全等三角形的性質得到AF＝AB＝10cm，BE＝EF，根據三角形中位線定理計算即可．【解析】延長AC、BE交于點F，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，在△AEB和△AEF中，∠BAE=∠FAEAE=AE∠AEB=∠AEF=90°∴△AEB≌△AEF（ASA），∴AF＝AB＝10（cm），BE＝EF，∵BD＝DC，DE＝2cm，∴CF＝2DE＝4（cm），∴AC＝AF﹣CF＝6（cm），故答案為：6．13．（2021春?九龍坡區期中）如圖，DE是△ABC的中位線，且AB＝AC，∠ABC的角平分線交DE的延長線于點F，若EF＝1，△ABC的周長為16，則BC＝4．【分析】根據三角形中位線定理得到DE∥BC，DE=12BC，根據平行線的性質、角平分線的定義得出BD＝DF【解析】∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC∴DF=12BC∴∠FBC＝∠BFD，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠FBC＝∠ABF，∴∠ABF＝∠BFD，∴BD＝DF=12BC∴AB＝2BD＝BC+2，∵△ABC的周長為16，AB＝AC，∴BC+2+BC+2+BC＝16，解得：BC＝4，故答案為：4．14．（2021春?南海區期末）如圖，AF和BE是△ABC的中線，則以下結論①AE＝CE；②O是△ABC的重心；③△ACF與△ABE面積相等；④過點C、點O的直線平分線段AB．其中正確的是①②③④（填序號）．【分析】利用三角形中線的定義可對①進行判斷；根據三角形重心的定義可對②進行判斷；利用三角形面積公式可對③進行判斷；根據重心的定義可對④進行判斷．【解析】∵AF和BE是△ABC的中線，∴AE＝CE，CF＝BF，所以①正確；點O為△ABC的重心，所以②正確；∵S△ACF=12S△ABC，S△ABE=12S∴S△ACF＝S△ABE，所以③正確；∵O點為△ABC的重心，∴過點C、點O的直線平分線段AB，所以④正確．故答案為①②③④．15．（2021春?岳陽縣期末）如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足為N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，則△ABC的周長是25．【分析】延長線段BN交AC于E，從而構造出全等三角形（△ABN≌△AEN），進而證明MN是中位線，從而求出CE，AE的長．【解析】延長線段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠EAN，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠ANE＝90°，在△ABN和△AEN中，∠BAN=∠EANAN=AN∠ANB=∠ANE∴△ABN≌△AEN（ASA），∴AE＝AB＝6，BN＝NE，又∵M是△ABC的邊BC的中點，∴CE＝2MN＝2×1.5＝3，∴△ABC的周長是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25，故答案為：25．16．（2021春?城陽區期末）三角形各邊長分別是6cm，8cm，10cm，則以各邊中點為頂點的三角形面積是6cm2．【分析】根據三角形中位線定理分別求出DE、DF、EF，根據勾股定理的逆定理得到以各邊中點為頂點的三角形是直角三角形，根據三角形的面積公式計算，得到答案．【解析】∵D、E分別為AB、BC的中點，AC＝8cm，∴DE=12AC＝4（cm同理可得：DF＝5cm，EF＝3cm，∵32+42＝9+16＝25＝52，∴以各邊中點為頂點的三角形是直角三角形，∴以各邊中點為頂點的三角形面積=12×3×4＝6（cm故答案為：6．17．（2021春?徐匯區期末）我們把聯結四邊形對邊中點的線段稱為“中對線”．凸四邊形ABCD的對角線AC＝BD＝12，且這兩條對角線的夾角為60°，那么該四邊形較長的“中對線”的長度為63．【分析】連接EF、FG、GH、HE，根據三角形中位線定理得到EF∥BD，EF＝6，GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，證明四邊形EFGH為菱形，根據菱形的性質和勾股定理計算，得到答案．【解析】設四邊形ABCD的“中對線”交于點O，連接EF、FG、GH、HE，∵E，F分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD，EF=12BD=同理可得：GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，∴四邊形EFGH為菱形，∠EFG＝60°，∴∠EFO＝30°，∴OE=12EF在Rt△OEF中，OF=EF2?O∴FH＝63，即該四邊形較長的“中對線”的長度為63，故答案為：63．18．（2021春?婁星區校級期中）如圖，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．點A2，B2，C2分別是邊B1C1，A1C1，A1B1的中點；點A3，B3，C3分別是邊B2C2，A2C2，A2B2的中點；…以此類推，則△A2021B2021C2021的周長是122021?5=【分析】由三角形的中位線定理得：B2C2，A2C2，A2B2分別等于A1B1、B1C1、C1A1的12，所以△A2B2C2的周長等于△A1B1C1的周長的一半，以此類推可求出結論．【解析】∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7，∴△A1B1C1的周長是16，∵A2，B2，C2分別是邊B1C1，A1C1，A1B1的中點，∴B2C2，A2C2，A2B2分別等于A1B1、B1C1、C1A1的12，∴△A2B2C2的周長是12×同理，△A3B3C3的周長是12×12…，以此類推，△AnBn?n的周長是12n?1×16∴△A2021B2021C2021的周長是122021?5故答案是：122021?5三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2021春?崇川區校級月考）已知：如圖，在△ABC中，中線BE，CD交于點O，F，G分別是OB，OC的中點．求證：（1）DE∥FG；（2）DG和EF互相平分．【分析】（1）利用三角形中位線定理即可得出FG＝DE且FG∥DE；（2）由（1）中結論可推出四邊形DFGE為平行四邊形，即可根據平行四邊形性質得DG和EF互相平分．【解析】證明：（1）由題意可知，在△ABC中，BE、CD為中線，∴AD＝BD，AE＝CE，∴DE=12BC且DE∥在△OBC中，F，G分別是OB，OC的中點，∴FG=12BC且FG∥∴DE∥FG；（2）由（1）得DE∥FG且DE＝FG=12∴四邊形DFGE為平行四邊形，∴DG和EF互相平分．20．（2020秋?東西湖區期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，中線BE和CD交于點O．（1）求證BE＝CD；（2）若∠A＝60°，求證OC＝2OD．【分析】（1）利用等腰三角形的性質得到∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，然后證明△BCD≌△CBE，從而得到CD＝BE；（2）證明△ABC為等邊三角形，則BE、CD為△ABC的角平分線和高，∠ABC＝∠ACB＝60°，再證明OB＝OC，接著利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OB＝2OD，從而得到OC＝2OD．【解析】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BE和CD為△ABC的中線，∴BD=12AB，CE=1∴BD＝CE，在△BCD和△CBE中，BD=CE∠DBC=∠ECBBC=CB∴△BCD≌△CBE（SAS），∴CD＝BE；（2）∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵BE和CD為△ABC的中線∴BE、CD為△ABC的角平分線和高，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠BCD＝30°，CD⊥AB，∴OB＝OC，在Rt△BOD中，∵∠BDO＝90°，∠DBO＝30°，∴OB＝2OD，∴OC＝2OD．21．（2020?蔡甸區模擬）如圖，△ABC中，D是邊BC的中點，E是AB邊上一點，且AD⊥CE于O，AD＝AC＝CE．（1）求證：∠B＝45°；（2）求OEOC的值；（3）直接寫出BEEO的值．【分析】（1）作AF⊥BC于F，由等腰三角形的性質得出DF＝CF，∠ADC＝∠ACD，∠CEA＝∠EAC，證出∠1＝∠2，∠B＝∠EAF，即可得出結論；（2）設DF＝CF＝m，則BC＝4m，AF＝BF＝3m，由勾股定理得：CE＝AD=10m，由三角形嗎結果先得出AD×OC＝CD×AF，求出OC=610m，得出OE＝CE﹣OC=（3）作EG⊥BC于G，則△BEG是等腰直角三角形，得出EG＝BG，設EG＝BG＝x，則CG＝4m﹣x，在Rt△CEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出EG＝m，BE=2m，即可得出結果．【解析】（1）證明：作AF⊥BC于F，如圖1所示：∵AD＝AC＝CE，∴DF＝CF，∠ADC＝∠ACD，∠CEA＝∠EAC，∵∠1+∠ADC＝90°，∠ACD+∠2＝90°，∴∠1＝∠2，∵∠B+∠1＝∠CEA＝∠EAC＝∠EAF+∠2，∴∠B＝∠EAF，∵∠B+∠EAF＝90°，∴∠B＝∠EAF＝45°；（2）解：設DF＝CF＝m，則BC＝4m，AF＝BF＝3m，由勾股定理得：CE＝AD=10m，∵△ACD的面積=12AD×OC=12CD∴AD×OC＝CD×AF，即OC×10m＝2m×3m，∴OC=610m∴OE＝CE﹣OC=10m?610m=∴OEOC=（3）解：作EG⊥BC于G，如圖2所示：則△BEG是等腰直角三角形，∴EG＝BG，設EG＝BG＝x，則CG＝4m﹣x，在Rt△CEG中，由勾股定理得：x2+（4m﹣x）2＝（10m）2，解得：x＝m，或x＝3m（舍去），∴EG＝m，∴BE=2m，∴BEEO=22．（2019秋?德惠市期中）如圖，△ABC的中線BD、CE相交于點O，F、G分別是BO、CO的中點，連接DE、EF、FG、GD．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．（2）若△ADE的面積為6，則四邊形DEFG的面積為8．【分析】（1）由題意可知DE和FG分別是△ABC和△BCO的中位線，從而DE∥BC，且DE=12BC；FG∥BC，且FG=1（2）由平行四邊形及等底同高三角形可求得答案．【解析】（1）證明：∵BD，CE是△ABC的中線，∴DE是△ABC的中位線．∴DE∥BC，且DE=12BC∵F、G分別是BO、CO的中點，∴FG是△BCO的中位線．∴FG∥BC，且FG=12BC∴DE∥FG且DE＝FG．∴四邊形DEFG是平行四邊形．（2）∵CE為△ABC的中線，△ADE的面積為6∴S△BED＝6∵四邊形DEFG是平行四邊形，F是BO的中點，∴OD＝OF＝BF，OE＝OG∴S△BEF＝S△FOE＝S△ODE=13∴S△FOE＝S△ODE＝S△FOG＝S△ODG＝2∴四邊形DEFG的面積為8．故答案為：8．23．（2019秋?中原區