2022-2023學年度春學期四校期中聯考試卷高一數學命題人：顏金復核人：王慧考生注意：客觀題請用2B鉛筆填涂在答題卡上，主觀題用黑色的水筆書寫在答題卷上。一、單選題（本大題共8小題，每小題只有一個正確選項，每題5分，共40分）1．已知復數，則（

）A．1 B． C．2 D．2．一個水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（

）B．C．8 D．3．一質點在力，的共同作用下，由點移動到，則，的合力對該質點所做的功為（

）A．16 B． C．110 D．4．在中，，則一定是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形5．中國古代數學家劉徽在《九章算術注》中，稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”，如圖（1）（2），劉徽未能求得牟合方蓋的體積，直言“欲陋形措意，懼失正理”，不得不說“敢不闕疑，以俟能言者”.約200年后，祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”，后世稱為祖暅原理，即：兩等高立體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等.如圖（3）（4），祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的幾何體與長寬高皆為八分之一正方體的邊長的倒四棱錐“等冪等積”，計算出牟合方蓋的體積，據此可知，牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為（

） B． C． D．6．已知，，則的值為（

）A．0 B．C．D．7．設、、、為平面直角坐標系中兩兩不同的點，若，，且，則稱點、和諧分割點、.已知平面上兩兩不同的點A、B、C、D，若C、D和諧分割點A、B.則下面說法正確的是（

）A．點C可能是線段AB的中點B．點可能是靠近點A的線段AB的三等分點C．點C、D可能同時在線段AB上D．點C、D可能同時在線段AB的延長線上8．已知的內角A，B，C滿足，的面積S滿足，記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，則下列不等式一定成立的是（

）A．B．C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題有多個正確選項，錯選得0分，漏選得2分，每題5分，共20分）9．下列結論正確的是（

）A．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線BD1與B1C是異面直線B．不共面的四點可以確定4個平面C．圓錐的側面展開圖是個半圓，則圓錐的母線是底面半徑的2倍D．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱10．在復平面內，下列說法正確的是（

）A．若復數z滿足，則B．若復數、滿足，則C．若，且，則D．若，則的最大值為11．下列選項中正確的是（

）A．設向量，，若，共線，則B．已知點，向量，點是線段的三等分點，則點的坐標是C．若，，則在方向上的投影向量的坐標為D．若平面向量，滿足，則的最大值是512．下列結論正確的是（

）A．若，∠ABC為銳角，則實數m的取值范圍是B．點O在△ABC所在的平面內，若，則點O為△ABC的重心C．點O在△ABC所在的平面內，若，，分別表示△AOC，△ABC的面積，則D．點O在△ABC所在的平面內，滿足，且，則點O是△ABC的外心三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．已知是關于的方程的一個根，則的值是.14．某校研究性學習小組想要測量某塔的高度，現選取與塔底在同一個水平面內的兩個測量基點A與，現測得，，米，在點A處測得塔頂的仰角為，則塔高為米.15．已知正四棱臺中，，若該四棱臺的體積為，則這個四棱臺的表面積為．16．在平面內，定點，滿足，且，則__________；平面內的動點滿足，，則的最大值是__________．四、解答題（本大題共6小題，作答各題時須有必要的計算和推理過程，共70分）17．（本題10分）根據要求完成下列問題：(1)已知復數在復平面內對應的點在第四象限，，求；(2)復數為純虛數，求實數的值．18．（本題12分）已知向量，滿足，，且.(1)若，求實數的值；(2)求與的夾角的余弦值.19．（本題12分）從①；②；③的外接圓的半徑為2，且，這三個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并解答.已知的內角的對邊分別為，且，__________.(1)求角的大小；(2)若，求的面積.注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.20．（本題12分）如圖，直三棱柱的高為，底面三角形的邊長分別為，，.(1)以上、下底面的內切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積；(2)求該三棱柱的外接球的表面積與內切球的體積.21．（本題12分）如圖，在中，在線段BC上，滿足，是線段的中點．(1)延長交于點Q（圖1），求的值；(2)過點的直線與邊，分別交于點E，F（圖2），設，．（i）求證為定值；（ii）設的面積為，的面積為，求的最小值．22．（本題12分）如圖，某公園改建一個三角形池塘，，百米，百米，現準備養一批觀賞魚供游客觀賞.(1)若在△ABC內部取一點P，建造連廊供游客觀賞，方案一如圖①，使得點P是等腰三角形PBC的頂點，且，求連廊的長（單位為百米）；(2)若分別在AB，BC，CA上取