PAGE1-過關練(二)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．(2024·全國卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，則z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i解析：由z(1＋i)＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝i(1－i)＝1＋i.答案：D2．(2024·天津卷)設全集為R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，則A∩(?RB)＝()A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}解析：因為B＝{x|x≥1}，所以?RB＝{x|x＜1}．又A＝{x|0＜x＜2}，所以A∩(?RB)＝{x|0＜x＜1}．答案：B3．下列函數，在定義域內單調遞增且圖象關于原點對稱的是()A．f(x)＝sinx－xB．f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1)C．f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)D．f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)解析：A中，f′(x)＝cosx－1＜0，f(x)是減函數；B中，f(x)的定義域(1，＋∞)，是非奇非偶函數；C中，f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)是偶函數，圖象不關于原點對稱；D中，f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)是增函數，且圖象關于原點對稱．答案：D4．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線相互垂直，焦距為8，則C的離心率為()A．2eq\r(2) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：由2c＝8，得c＝4.又兩條漸近線垂直，知eq\f(b,a)＝1，則a＝b.因為a2＋b2＝c2＝16，所以a＝2eq\r(2).因此離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,2\r(2))＝eq\r(2).答案：D5.如圖，半徑為R的圓O內有四個半徑相等的小圓，其圓心分別為A，B，C，D，這四個小圓都與圓O內切，且相鄰兩小圓外切，則在圓O內任取一點，該點恰好取自陰影部分的概率為()A．3－2eq\r(2) B．6－4eq\r(2)C．9－6eq\r(2) D．12－8eq\r(2)解析：由題意，A，O，C三點共線，且AB⊥BC.設四個小圓的半徑為r，則AC＝eq\r(AB2＋BC2)，所以2R－2r＝2eq\r(2)r，所以R＝(eq\r(2)＋1)r.所以，該點恰好取自陰影部分的概率P＝eq\f(4πr2,πR2)＝eq\f(4,（\r(2)＋1）2)＝12－8eq\r(2).答案：D6．若a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題：①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若a?α，b?β，α∥β，則a∥b.真命題的個數是()A．1 B．2C．3 D．4解析：易知①正確．②中a∥α或a?α.③中a∥b，a與b相交或異面．④中a∥b或a與b異面．所以只有命題①正確．答案：A7．已知等比數列{an}中，a1＝2，數列{bn}滿意bn＝log2an，且b2＋b3＋b4＝9，則a5＝()A．8 B．16C．32 D．64解析：由{an}是等比數列，且bn＝log2an，所以{bn}是等差數列．又b2＋b3＋b4＝9，所以b3＝3.由b1＝log2a1＝1，知公差d＝1，從而bn＝n.因此an＝2n，于是a5＝25＝32.答案：C8.如圖所示的△ABC中，點D，E分別在邊AB，CD上，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BD＝2AD，CE＝2ED，則向量eq\o(BE,\s\up14(→))·eq\o(AB,\s\up14(→))＝()A．9B．4C．－3D．－6解析：因為eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))，所以eq\o(CE,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，所以eq\o(BE,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CE,\s\up14(→))＝(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＋eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\f(7,9)eq\o(AB,\s\up14(→)).又AB＝3，AC＝2，且∠BAC＝60°所以eq\o(BE,\s\up14(→))·eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))·eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(7,9)eq\o(AB,\s\up14(→))2＝eq\f(1,3)|eq\o(AC,\s\up14(→))|·|eq\o(AB,\s\up14(→))|·cos60°－eq\f(7,9)|eq\o(AB,\s\up14(→))|2＝eq\f(2,3)×3×eq\f(1,2)－eq\f(7,9)×32＝－6.答案：D9.(2024·全國卷Ⅲ)執行如圖所示的程序框圖，假如輸入的ε為0.01，則輸出s的值等于()A．2－eq\f(1,24) B．2－eq\f(1,25)C．2－eq\f(1,26) D．2－eq\f(1,27)解析：ε＝0.01，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝eq\f(1,2)，x＜ε不成立；s＝1＋eq\f(1,2)，x＝eq\f(1,4)，x＜ε不成立；s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)，x＝eq\f(1,8)，x＜ε不成立；s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)，x＝eq\f(1,16)，x＜ε不成立；s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)，x＝eq\f(1,32)，x＜ε不成立；s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,32)，x＝eq\f(1,64)，x＜ε不成立；s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,64)，x＝eq\f(1,128)，x＜ε成立，此時輸出s＝2－eq\f(1,26).答案：C10．我國南北朝時期的數學家、天文學家——祖暅，提出了聞名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”“冪”是面積，“勢”即是高，意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的隨意平面所截，假如截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知某不規則幾何體與如圖所示三視圖對應的幾何體滿意“冪勢同”，則該不規則幾何體的體積為()A．8－eq\f(4π,3) B．8－πC．8－eq\f(2π,3) D．4－eq\f(π,2)解析：由三視圖知幾何體是棱長為2的正方體挖去一個底面半徑為1，高為2的半圓柱后的剩余部分，所以三視圖對應幾何體的體積V＝23－eq\f(1,2)(π×12×2)＝8－π.依據祖暅原理，不規則幾何體的體積為8－π.答案：B11．已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(0＜φ＜π)圖象的一條對稱軸與相鄰的一個對稱中心的距離為eq\f(π,4)，將其向右平移eq\f(π,6)個單位后得到函數g(x)的圖象，若函數f(x)＋g(x)圖象的一條對稱軸方程為x＝eq\f(π,6)，則φ的值為()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,6)解析：由題意，eq\f(T,4)＝eq\f(π,4)，所以T＝π.又T＝eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.因此f(x)＝sin(2x＋φ)，從而g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ－\f(π,3)))，所以f(x)＋g(x)＝eq\f(3,2)sin(2x＋φ)－eq\f(\r(3),2)cos(2x＋φ)＝eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin（2x＋φ）－\f(1,2)cos（2x＋φ）))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ－\f(π,6))).又f(x)＋g(x)圖象的一條對稱軸方程為x＝eq\f(π,6)，所以2×eq\f(π,6)＋φ－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，即φ＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.由0＜φ＜π，取k＝0，得φ＝eq\f(π,3).答案：C12．已知函數g(x)＝(ex－e－x)x2，若實數m滿意g(log5m)－g(logeq\s\do9(\f(1,5))m)≤2g(2)，則實數m的取值范圍是()A．(0，25] B．[5，25]C．[25，＋∞) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，5))解析：易知g(x)＝(ex－e－x)x2是奇函數，且是增函數．由g(log5m)－g(logeq\s\do9(\f(1,5))m)≤2g(2)，得2g(log5m)≤2g(2)，則log5m≤2，所以實數m的取值范圍是(0，25]．答案：A二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分．請把正確的答案填寫在各小題的橫線上．)13．設曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線x＋2y－6＝0垂直，則a＝________．解析：由題意，得y′＝2ax，所以斜率k＝2a.因此2a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，所以a＝1.答案：114．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x2))eq\s\up12(n)的綻開式的各項系數和為64，則綻開式中x3的系數為________．解析：令x＝1，則2n＝64，所以n＝6.則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x2))eq\s\up12(6)的綻開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(6－r)x2r＝Ceq\o\al(r,6)x3r－6.依題設，令3r－6＝3，得r＝3，所以綻開式中x3的系數為Ceq\o\al(3,6)＝20.答案：2015．小明想約甲、乙、丙、丁四位好摯友一同去看《戰狼2》，并把標識分別為A，B，C，D的四張電影票放在編號分別為1，2，3，4的四個不同盒子里，讓四位好摯友進行揣測：甲說：第1個盒子里面放的是B，第3個盒子里面放的是C；乙說：第2個盒子里面放的是B，第3個盒子里面放的是D；丙說：第4個盒子里面放的是D，第2個盒子里面放的是C；丁說：第4個盒子里面放的是A，第3個盒子里面放的是C.小說明：“四位摯友，你們都只說對了一半．”可以推想，第4個盒子里面放的電影票為________．解析：甲說：“第1個盒子里放的是B，第3個盒子里放的是C”．(1)若第1個盒子里放的是B正確，則第3個盒子里放C錯誤，由乙知，第3個盒子里放D正確，結合丙知第2個盒子里放C，結合丁，第4個盒子里面放的是A正確．(2)若第1個盒子放的是B錯，則第3個盒子里放C正確，同理推斷第4個盒子里面放的是D，故可以推想，第4個盒子里放的電影票為A或D.答案：A或D16．(2024·衡水聯考)已知拋物線C：y2＝2px(