專題13.3等邊三角形的判定與性質【十大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1利用等邊三角形的性質求值】.............................................................1

【題型2利用等邊三角形的性質證明線段或角度相等】..............................................7

【題型3等邊三角形的證明】....................................................................12

【題型4等邊三角形在坐標系中的運用】..........................................................17

【題型5等邊三角形中的折疊問題】.............................................................24

【題型6與等邊三角形有關的規律問題】.........................................................28

【題型7等邊三角形中的動態問題】.............................................................33

【題型8等邊三角形中求最值】.................................................................39

【題型9等邊三角形中的多結論問題】...........................................................44

【題型10確定等邊三角形中的線段之間的關系】...................................................51

，舉一反三

【知識點等邊三角形】

（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60。.

（3）等邊三角形的判定；

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形.

【題型1利用等邊三角形的性質求值】

【例1】（2023春?福建廈門?八年級廈門市湖濱中學校考期末）如圖，已知等邊三角形力中，BD=CE,AD

與BE交于點P,則乙APE=

【答案】60

【分析】由等邊三角形的性質可得N/1BC=4。=60。，AB=BC,由SAS證明△力8D三aBCE得到48/10=

乙CBE,再由三角形外角的性質可■得N/1PE=Z-BAP+Z.ABP=Z.CBP+Z.ABP=Z.ABC=60°,即可得解.

【詳解】解：???△力女?是等邊三角形，

:.Z.ABC=Z.C=60°,AB=BC,

在A力BD和aBCE中，

(AB=BC

(￡ABD=￡BCE,

(BD=CE

BD三△BCE(SAS),

二/.BAD=乙CBE,

:.Z.APE=乙BAP+Z.ABP=乙CBP+Z.ABP=Z-ABC=60°,

故答案為：60.

t點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、三角形全等的判定與性質、三角形外角的性質，熟練掌握以上

知識點是解題的關鍵.

【變式1-1】(2023春?四川成都?八年級成都實外校考期末)已知：如圖，點E是等邊三角形A8C內一點，且

EA=EB,△ABC外一點。滿足BD=AC,BE平分/DBC.

(1)求證：&DBEmCBE；

⑵求乙BDE的度數.

(3)若N4BE=45。，試判斷BD與4c的位置關系，并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)30°

(3MC1BD,理由見解析

【分析】(1)由三角形48C是等邊三角形和8。=力。可得8D=SC,由角平分線的性質可得"8E="BE,

rirSAS”即可證明^DBE=△CBE；

(2)由三角形ABC是等邊三角形和80=4C可得=Z.ACB=60°,由“SSS”證明△C8E三△C4E,從

=LACE=-Z.ACB=30°,再由△CBE三△08E,LBDE=LBCE=30°；

2

(3)由全等三角形的性質可得4CAE=乙。創?，由等腰三角形的性質可得4/5￡=乙笈4￡=45。，令4?、BD

交干點F,通過計算得出ZABF+LBAF=90。，最后由三角形內角和定理可得出=90°,從而得到答

案.

【詳解】(1)證明：???三角形A8C是等邊三角形，

:.AC=BC,

???BD=AC,

:.BD=BC,

???BE平分乙DBC,

:.Z.CBE=Z-DBE,

在ACBE和ADBE中，

(BD=BC

1/.CBE=乙DBE,

(BE=BE

:小CBE=ADSE(SAS)；

(2)解：???三角形4BC是等邊三角形，

AC=BC,Z-ACB=60°,

在AUBE和△(?{￡?中，

(AC=BC

ICE=CE,

(BE=AE

??.△CBEwaCAE(SSS),

???乙BCE=Z-ACE,

vZ.BCE+Z-ACE=Z-ACB=60°,

：?乙BCE=Z-ACE=-/.ACB=30°,

2

由(1)得，ACBEaDBE,

:，乙BDE=乙BCE=30°；

(3)解：AC1BD,

理由如下：

A

【答案】2

【分析】連接力0,等積法進行求解即可.

【詳解】解：:△ABC為等邊三角形，

=AC=BC,

連接力D，

A

則：S&ABC=S?ADB+SMDC，

?；BC邊上的高線AM=2,DEJ.AB于點E,DhAC于點F.

A2-x2BC-2-AB-DE+2-AC-DF,

即：2BC=BC-（DE+DF）,

：,DE+DF=2；

故答案為2.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質.解題的關鍵是熟練掌握等積法求三角形的面積.

【變式1-3]（2023春?新疆烏魯木齊?八年級烏魯木齊市第70中校考期末）如圖，已知等邊三角形ABC的邊

長為m,過力B邊上一點P作PE_L4C于點E,Q為BC延長線上一點，取P4="，連接PQ,交4c于M,則EM

的長為.

【分析】延長4C,過點。作QFJ.HC于點F,先證明△4PE三△CQF(AAS),得出PE=QF,AE=CF,再證

明ZiPME三△QMF(AAS),得出EM=FM,即可求解.

【詳解】解：延長AC,過點。作QF1AC于點F,

??ZH3C為等邊二角形，

：,LA=Z.ACB=Z.QCF=60°,

\'QFLAC,PELAC,

：.LPEA=ZF=90°,

在AAPE和△(?(?/中，

(Z.PEA=Z.F

\LA=乙QCF,

(AP=CQ

A△APE三△CQF(AAS),

:,PE=QF,AE=CF,

在ZiPME和AQM尸中，

?PME="MF

"EM=ZF,

(PE=QF

.,.△PME^AQMF(AAS),

：,EM=FM,

'：AE=CF,AC=mt

.*.AC=CE+AE=CE+CF=EF=7n,

：

.EM=FM=-2.

故答案為：T

A

【點睛】本題主要號行了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握等邊三角形三個

角都是60。，正確畫出輔助線，構造全等三角形.

【題型2利用等邊三角形的性質證明線段或角度相等】

【例2】（2023春?河南周口?八年級校考期中）如圖，△48C是等邊三角形，延長8。到E,使CE=加，點D是

邊4c的中點，連接￡7）并延長交4?于點F.

（1）求證：EF1AB；

（2）連接80,求證：BD=DE.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析1（1）由等邊三角形的性質可得乙AC8=4A8C=60。，AC=BC,結合CE=^BC,點。是邊AC的中

點，可得CD=CE,即可得到再利用三角形外角的性質求得NE=30。，從而即可求得/=

90S證得結論；

（2）由等邊三角形的性質可得NDBC=/-ABD=^ABC=30°,從而得到zDBE=乙E,證得結論.

【詳解】（1）證明：???△48C是等邊三角形，

.'.AC=BC,Z,ACB=/.ABC=60°,

是"的中點，

：.AD=CD=^AC,

VCE=-BC,

:.CD=CE,

???/CDE=/E,

vzF+Z.CDE=Z-ACB=60°,

:.zE=乙CDE=30°,

???Z.ABC=6UU,LE+乙EF8+UBE=18UU,

A￡EFB=180°-/.ABC-ZE=90°,

:.EF1AB.

(2)解：ABC是等邊三角形，

.?.AB=BC,/.ABC=60°,

???D是AC的中點，

Z.DBC=乙ABD=-LABC=30°,

2

vzE=30°,

???/DBE=NE,

:.DE=BD.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形外角的性質、三角形內角和

定理等知識點，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

【變式2-1](2023春?海南省直轄縣級單位?八年級統考期末)如圖，△A8C是等邊三角形，8。是高線，延

長BC到E,使CE=AO.證明：BD=DE.

【分析】利用等邊三角形的性質得/ABO=NCBD=30。，由CE=A。得，CE=CD,從而求出NE=30。，則

NE=NCBD,可得BD=DE.

【詳解】證明：???△A8C是等邊三角形，

，ZACB=ZABC=60°,

，ZE+ZCD￡=60°,

又?「是高線，

：.AD=CD,ZCBD=^ZABC=30°,

f：CE=AD,

：.CD=CE,

：.NE=/CDE,

：.ZE=30°,

；?NE=NCBD,

：,BD=DE.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握等腰三角形“三線合

?”的性質是解題的關犍.

【變式2-2】（2023春?四川巴中?八年級統考期末）已知，將等邊△ABC和一塊含有30。角的直角三角板DEF

（NF=30。）如圖1放置，點B與點E重合，點A恰好落在三角板的斜邊DF上.

（1）利用圖證明：EF=2AC；

（2）△48C在EF所在的直線上向右平移，當AB、AC與三角板斜邊的交點為G、H時，如圖2.判斷線段

EB=AH是否成立.如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）EB二AH成立，證明見解析.

【分析】（1）根據等邊三角形得性質，得NACB=60。，AC=BC.結合三角形外角得性質得NCAF得度數,

則可證明結論.

（2）根據（I）中得證明方法，得到CH=CF,根據（1）中得結論，可推得BE+CF=AC,從而證明結論.

【詳解】證明：（I）是等邊三角形，

AZACB=60°,AC=BC.

???ZF=30°,

???ZCAF=60°-30°=30°,

AZCAF=ZF.

，CF=AC,

ACF=AC=EC,

???EF=2BC.

(2)成立.理由如下：

根據(1)中證CF=AC的方法，同理，得CH=CF.

VEF=2BC,

ABE+CF=BC.

又7AH+CH=AC,AC=BC,

AAH=BE.

【點睛】本題考杳等邊三角形的性質，等腰三角形的判定，三角形外角的性質，掌握以上知識是解題的關鍵.

【變式2-3](2023春?廣西河池?八年級統考期末)如圖，已如△/WC是等邊二角形，點。是3c邊上一點.

備用圖

(1)以AD為邊構造等邊△力(其中點。、E在直線AC兩側)，連接Q?,猜想CE與43的位置關系，并證明

你的結論；

(2)若過點。作CM||力8,在CM上取一點R連接4尸、OF,使得乙4DF=60。，試猜想△40F的形狀，直接

寫出你的結論.

【答案】(1)圖見解析，ABWCE,理由見解析

(2)A40尸為等邊三角形，理由見解析

【分析】(1)以點A和點D為圓心，長為半徑畫弧，在4c右邊相交于點E,連接4E,DE,△ADE即為

所求；根據等邊三角形的性質可得乙43C=Nn4E=60OM3="MO=4E,則匕840="4E,進而得出

△2H0三△C4E(SAS),Mz/ICE=ZF=/.BAC=60°,即可得出48||CE：

(2)根據題意畫出圖形，在48上截取AG,使力G=CO,連接。G,通過證明△8DG為等邊三角形，進而得出

△G5。三△COF(ASA),^\AD=DF,即可得出結論.

【詳解】⑴解:如圖：△洋即為所求,I律ICE,理由如下:

O8C、△40E是等邊三角形，

：.LABC=4DAE=60°,AB=AC,AD=AE,

：,LABC-LDAC=Z.DAE-LDAC,^Z-BAD=Z.CAE,

在么8力。和△CAE中，

AB=AC

乙BAD=LCAE>

AD=AE

：.△BAD三△G4E(SAS),

：,LACE=ZF=60°,

：,LACE=/-BAC,

：.AB\\CE.

(2)AADF為等邊三角形,理由如下：

如圖：在48上截取4G,使/G=CO,連接DG,

??N48。為等邊三角形，

：.AB=BC,48=60°,

*：AG=CD,

：.AB-AG=BC-CD,即8G=80,

???么8DG為等邊三角形，

J.LAGD=180°-60°=120°,

VCM||AB,

：,WCF+乙B=180%則ZOCF=120°,

VzZDC=Z.ADF+乙CDF=+^GAD,乙B=/.ADF=60°,

:.乙CDF=^.GAD,

在“AD和△CD/沖,

Z-CDF=Z.GAD

AG=CD

/.AGD=乙DCF=120°

/.AGAD三△COF(ASA),

,\AD=OF,

又,?"W=60。,

???/MDF為等邊三角形.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定及性質、三角形全等的判定及性質、平行線的判定及性質，解題的關

鍵是通過標出相應的角標找出角之間的關系，通過等量代換進行求解.，熟練掌握并靈活運用等邊三角形的

性質和判定.

【題型3等邊三角形的證明】

【例3】(2023春?河南周口?八年級校考期末)在AZIBC中，AB=BC,/.ABC=60°,8D是4C邊上的高，點

E為直線BC上點，且CE=4O.

(1)如圖1,當點E在邊BC上時，求證：ACDE為等邊三角形；

(2)如圖2,當點E在BC的延長線上時，求證：ABDE為等腰三角形.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)先證明△ABC為等邊三角形，得到乙C=60。,再由三線合一定理得到A。=CD,進而推出CD=CE,

由此即可證明結論;

（2）同理可得CO=CE,進而利用等邊對等角和三角形外角的性質得到NE=30。，再根據三線合一定理得

^UDBC=30°,則80=ED,即ABDE為等腰三角形.

【詳解】（1）證明：:AB=BC,LABC=60°,

???ZM8C為等邊三角形，

"C=60°,

是AC邊上的高，

,*.AD=CD,

\'CE=AD,

：.CD=CE,

???ACOE是等邊三角形.

（2）證明：同（1）可知CD=C￡

：.LCDE=ZE=-LACB=30°,

2

??XABC為等邊三角形，

J.WBC=-Z-ABC

2=30°,

:?乙E=4DBC,

：?BD=ED,即△8DE為等腰三隹形.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，三角形外角的性質等等，熟

知等邊三角形的性質與判定條件是解題的關鍵.

【變式3-1]（2023春?貴州銅仁?八年級統考期中）如圖，E是CD的中點，EC=E8,LCDA=120%DF||BE,

且DF平分，CDA.求證：△BEC是等邊三角形.補全下面的證明過程及理由.

證明：???/）"平分NC/Z4（已知），

:?乙FDC=之（（）.

*：LCDA=120。（已知）,

：,z.FDC=°.

VDFIIBE（已知）,

：.LFDC=z（）,

：.LBEC=60°.

XVFC=EB（已知），

【答案】ADC；角平分線的定義；60：BEC；兩直線平行，同位角相等；有一個角是60。的等腰三角形是等

邊三角形

【分析】利用角平分線的性質得出dDC的度數，再利用平行線的性質得出NBEC的度數，進而得出^BEC為

等邊三角形.

【詳解】證明：???。片F分NCO4（已知），

：.LFDC=\LADC（角平分線的定義）.

'：LCDA=120。（已知）,

LFDC=60°.

VDFIIBE（已知），

:?乙FDC=^BEC（兩直線平行，同位角相等），

：.LBEC=60°.

又＜EC=EB（已知），

???么8。￡是等邊三角形（有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形）.

故答案為：ADC；角平分線的定義：60；BEC：兩直線平行，同位角相等；有一個角是60。的等腰三角形是

等邊三角形.

【點睛】此題主要考查了等邊三角形的判定以及平行線的性質，根據已知得;l"FDC=4BEC是解題關鍵.

【變式3-2]（2023春?甘肅天水?八年級校考期末）如圖，在△ABC中，LA=120°,AB=AC,D是8c邊的

中點，DELAB,DFLAC,點E、尸為垂足.求證：

⑴DE=DFx

（2）ADE尸是等邊三角形.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）利用AAS證明△BDE三三CD凡進而解答即可；

（2）由4BDE三三CDF,進而得到UE=。凡由（1）得N8=4=30°,求出4EOF=180°-乙BDE-乙CDF=

60c.所以△DEF是等邊三角形.

【詳解】（1）解：證明：-AB=AC,

:.Z.B=Z.C.

vZ71=120°,Z-A+/.B+Z.C=180°,

Z.B=Z.C=30°.

V。是3C邊的中點，

BD=CD.

DE1AB,DF1.AC,

/BED=Z-CFD=90°.

在ABDE和△CDF中，

《BED=Z-CFD

Z-B=Z-C,

（BD=CD

:小BDE=CDF（AAS）,

:.DE=DF.

（2）由（I）得ABDE三CDF,

?.DE=DF.

乙BED=乙CFD=90°,

由（1）得=ZC=30°,

:.乙BDE=乙CDF=90°-30°=60°.

ZEDF=180°-乙BDE-乙CDF=60°.

??.△DE尸是等邊三角形.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，解決本題的關鍵是熟記等腰三角形的性質以及全等三角形的

性質.

【變式3-3](2023春?山東荷澤?八年級校聯考期末)如圖，在△48C中，AB=AC,^BAC=120°,AD^BC

邊上的中線，且=C。的垂直平分線MF交AC于R交8c于M.

(1)求44〃￡的度數.

(2)證明：△40F是等邊三角形.

【答案】(1)15。

(2)見解析

【分析】(1)根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求;l"B和NC,求II/8DE,即可求出答案：

(2)求出DF=CF,根據等腰三角形的性質求出ZFDC=ZC,求;I/AFD和4ZMF,根據等邊三角形的判定

得出即可.

【詳解】(1)在△48C中，AB=AC,Z.BAC=120°,

=ZC=Ix(180°-4B4C)=30°,

?:BD=BE,

???乙BDE=乙BED=1x(180°-(B)=75°,

在中，AB=AC,力。是8C邊上的中線，

：.AD1BC,

：.^ADB=90°,

：.LADE=LADB-乙BDE=15°.

(2)???。。的垂直平分線時尸交力。于尸，交BC于M,

：,DF=CF,

VzC=30°,

：,z.FDC=zC=30°,

：.LAFD=Z,C+乙FDC=60°,

V/1D1BC,AB=AC,Z.BAC=120°,

：.^DAF=-Z-BAC=60°,

：.LADF=60°,

BPzD/lF=Z.AFD=60°,

?XDF是等邊三角形.

【點睛】本題考杳了線段垂直平分線性質，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形“三線合?”的性質等知識

點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵.

【題型4等邊三角形在坐標系中的運用】

【例4】(2023春?河南駐馬店?八年級統考期末)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1,0),以線段。4

為邊在第四象限內作等邊三角形40B,點。為x軸正半軸上一動點,連接8C,以線段BC為邊

在第四象限內作等邊三角形C8D,連接D4并延長，交)，軸于點E.

備用圖

(1)求證:OC=AD；

(2)在點C的運動過程中，4C4D的度數是否會變化？如果不變，請求出乙乙4。的度數；如果改變，請說明理

由；

(3)當點C運動到什么位置時，以A、E、。為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出點。的坐標.

【答案】(1)見解析

(2)不會發生變化，60°

(3K(3,0)

【分析】(1)先根據等邊三角形的性質得4。84=2080=60。,08=84BC=8。，則=2480,然

后可根據“SAS”可判定△OBC三△480,由全等三角形的判定與性質可得出結論；

(2)由44。8是等邊三角形知2804=WAB=60。，再由全等三角形的性質分析可得結論；

(3)先根據全等三角形的性質以及等邊三角形的性質，求得乙瓦4c=120。，進而得出以A,E,。為頂點的

三角形是等腰三角形時，力E和AC是腰，最后根據Rt△力。E中，。4=1,^OEA=30°,求得力C=4E=2,

據此得到。3,即可得出點C/J位置.

【詳解】(1)???△408,都是等邊三角形，

：.OB=AB,CB=DB,乙ABO=cDBC,

:.乙OBC=LABD,

在么08。和△48D中，

OB=AB

,/LOBC=乙ABD,

CB=DB

AAO5C=A/1FD(SAS),

：.OC=AD；

(2)點C在運動過程中，10的度數不會發生變化，理由如下：

是等邊三角形，

：.LB0A="AB=60°,

入OBC=^ABD,

：.^BAD=Z-BOC=60°,

：.LCAD=180°-Z-OAB-/-BAD=60°；

(3)解：YXOBC"ABD,

：,^BAD=Z.BOC=60°,

又.."O/IB=60°,

：,LOAE=180°-60°-60°=60°,

：.LEAC=120°,ZLOEA=30°,

???以A,E,C為頂點的三角形是等腰三角形時，AE和AC是腰，

在RtaAOE中，。4=1,WEA=30°,

??AC=AE=2,

：.0C=3,

???當點C的坐標為(3,0)時，以A,E,C為頂點的三角形是等腰三角形.

【點睛】本題是三角形的綜合問題，主要考杳了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，等腰三角形

的性質和判定等知識，解決本題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

【變式4-1](2023春?遼寧鐵嶺?八年級校考期末)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1,0),以線

段。力為邊在第四象限內作等邊三角形力。8,點C為工軸正半軸上一動點(0C>1),連接4C,以線段BC為

邊在第四象限內作等邊三角形C8D,連接。力并延長，交)，軸于點￡

備用圖

⑴求證:OC=AD；

(2)在點C的運動過程中，4C4D的度數是否會變化？如果不變，請求出乙口10的度數；如果改變，請說明理

由；

(3)當點C運動到什么位置時，以A、E、。為頂點的二角形是等腰二角形？

【答案】(1)見解析

(2)不變，Z.CAD=60°

(3)當點C的坐標為(3,0)時，以4,E,C為頂點的三角形是等腰三角形

【分析】(1)根據“SAS”可判定△OBC三△480,由全等三角形的性質可得出結論；

(2)由△4。8是等邊三角形得4804=^OAB=60°,再由△OBC=△ABD^^BAD=乙BOC=60°,根據

乙C4。=180°-乙OAB-4BAD可得結論；

(3)先求得4氏4c=120。，進而得出以4,E,C為頂點的三角形是等腰三角形時，AE和力C是腰，最后根據

RtA力QE中，。力=1,40區4=30。，求得AC=4E=2,據此得到OC=3,即可得出點C的位置.

【詳解】(I)?「△AOB,ZiCBD都是等邊三角形，

：,OB=AB,CB=DB,乙ABO=^DBC,

C.LOBC=Z-ABD,

在AOBC和△480中，

(OB=AB

VjzOSC=Z.ABD,

(CB=DB

???△08C"/WD(SAS),

：,0C=ADx

(2)點。在運動過程中，乙SD的度數不會發生變化，理由如下：

??N408是等邊三角形，

：.LBOA=乙OAB=60°,

?:△OBCWAABD,

?"BAD=480C=60。，

：.LCAD=180°-Z.OAB-Z-BAD=60°：

(3):△OBC三△ABD,

：.LBOC=/-BAD=60。，

*：LOAB=60°,

：.LOAE=180°-60°-60°=60°,

：.LEAC=120°,AOEA=30°,

???以A,E,C為頂點的二角形是等腰二角形時，AC和是腰，

在RtZkAQE中，0A=l,WEA=30°,

.*.AE=20A=2,

?\AC=AE=2,

A0C=1+2=3,

???當點C的坐標為(3,0)時，以A,E,C為頂點的三角形是等腰三角形.

【點睛】本題考杳了坐標與圖形的性質，等邊三角形的性質，以及全等三角形的判定與性質，解決本題的關

鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質.

【變式4-2](2023春?北京?八年級北京市廣渠門中學校考期中)如圖，在平面直角坐標系中，△NOP為等邊

三角形，4(0,2),點B為y軸上一動點，以8P為邊作等邊APBC,延長C4交x軸于點E.

著用網

(1)求證：OB=4C；

（2）NC4P的度數是」（直接寫出答案，不需要說明理由.）

（3）當B點運動時，猜想4E的長度是否發生變化？如不變，請求出4E的長度；若改變，請說明理由.

【答案】（1）見詳解；（2）60°；（3）不變，AE=S

【分析】（1）由題意易得△OPBgaAPC,然后根據三角形全等的性質可求證；

（2）由（1）可直接進行求解；

（3）由題意易得NEAO=60。，則有NAEO=30。，進而根據直角三角形的性質可求解.

【詳解】（1）證明：???△AOP為等邊三角形，

AAP=OP,ZAPO=60°,

VAPBC是等邊三角形，

APB=PC,ZBPC=60°,

VZAPB是公共角，

/.ZOPB=ZAPC,

AAOPB^AAPC（SAS）,

/.OB=AC：

（2）解：由（1）可得△OPBgzYAPC,

AZBOP=ZCAP,

?IZBOP=60°,

/.ZCAP=60°,

故答案為600；

（3）解：不變，AE=8,理由如下:

由（2）得:ZCAP=60°,

*/ZOAP=60°,

???NEAO=60。，

???ZAEO=30°,

V/l（0,2）,

A0A=4,

AAE=2OA=8.

【點睛】本題主要考查平面直角坐標系與圖形的綜合、等邊三角形的性質及含30。角的直角三角形的性質，

熟練掌握平面直角坐標系與圖形的綜合、等邊三角形的性質及含30。角的直角三角形的性質是解題的關鍵.

【變式4-3](2023春?湖北黃石?八年級校考期末)如圖，平面直角坐標系中.A點在y軸上，B(b,0),

C(c,0)在x軸上，^BAC=603,且尻c滿足等式/+2bc+c2=0.

(1)判斷448。的形狀，并說明理由；

(2)如圖1,F為48延長線上一點，連FC,若NGFC+々4CG=60。.求證：FG平分41戶C；

(3)如圖2,ABDE中,DB=DE,LBDE=120°,M為力￡中點，試確定。M與CM的位置關系.

【答案】(1公工3。是等邊二角形，理由見解析；

(2)見解析:

(3)DM1CM.

【分析】(1)由〃+2bc+c2=0得B與。關于y軸對稱，推出48=AC,△48C是等邊三角形.

(2)連接6G,知△4GB三△4GC,得GB=GC,在FC的延長線上取點。，使GP=G凡證明△GBF三△GCP,

乙BFG=AP,則結論得證.

(3)延長OM至凡使OM=MF,連接CD,iiEADBC=△FAC,得CD=CF,則結論得證.

【詳解】(1)解.：△ABC是等邊三角形，理由如下：

Vb2+2bc+c2=0

?\b+c=0,

???8與C關于)，軸對稱，

???/1。是8c的中垂線，

：.AB=AC,

'：LBAC=60°,

???△/IBC是等邊三角形.

(2)解：連接8G,

:?GB=GC.

在FC的延長線上取點P,使GP=

設，GFC=a,乙ACG=B，

乙ABG=LACG=0,

：,ABGC=600+2/?=180°-2a,

<GF=GP,

*.LGFC=Z.P=a,

：.LFGP=180°-2a,

，乙BGC=乙FGP,

/.△GBF^△GCP(SAS),

：,LBFG=乙P,

：.z.AFG=乙GFC,

即FG平分“FC.

連接CD.

：.AM=EM,

"：DM=MF,

AADME^AFM/1(SAS),

：,AF=DE,/.DEA=Z.FAE,

：.AF=DE=BD,AF\\DEf

'：LBDE=120%

：.￡BGF=^BDE=120°,

工乙4G8=/.ACB=60°,

：.AFAC=乙DBC,

???A08C三△尸4c(SAS),

：.CD=CF,

：.DM1CM.

【點睛】本題考杳了完全平方公式、等邊三角形的性質與判定、線段垂直平分線的性質、全等三角形的性質

與判定等知識點，添加輔助線、構造全等三角形是解題關鍵.

【題型5等邊三角形中的折疊問題】

【例5】（2023春?四川成都?八年級笈考期末）如圖，已知等邊ZM8C中，點。，E分別在邊力B,8c上，把ABDE

沿直線DE翻折，使點8落在點B'處，09，EB'分別交邊4c于點F,G.若N4DF=80。，則乙GEC的度數為一

度.

【答案】40

【分析】根據等邊三角形的性質，折疊的性質，得到44=N8'=NC=60。，結合41DF=80。，根據三角形

內角和定理，對頂角的性質得44PO=，GF8'=40。，根據4EGC=4FG夕得乙GEC=4GF8'=40。，計算

即可.

【詳解】???等邊△48C,MDE沿直線DE翻折,使點8落在點夕處,

：.LA=4夕=ZC=60°,

??ZOF=80。,

根據三角形內角和定理，對頂角的性質得

：.LAFD=乙GFB'=40%

■:乙EGC=CFGB',

?"GEC="F8'=40。，

故答案為：40.

【點睛】本題考查了折疊的性質，等邊三角形的性質，三角形內角和定理，對頂角的性質，熟練掌握性質是

解題的關鍵.

【變式5-1］（2023春?湖北省直轄縣級單位?八年級校考期中）如圖，等邊△ABC的邊長為1cm,D、E分別

AB、AC是上的點，將^ADE沿直線DE折疊，點A落在點A，處，且點人，在仆ABC外部，則陰影部分的

周長為（）cm

4

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由題意得到。4=D4,EAf=EA,經分析判斷得到陰影部分的周長等于△ABC的周長即可解決問題.

【詳解】

如圖，由題意得:

，陰影部分的周長=D4'+E4'+Z)8+CE+3G+GF+Cr

=(DA+80+(8G+G/+CF)+(AE+CE)

=AB+BC+AC

=1+1+1=3（cm）

故選C.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質以及折疊的問題，折疊問題的實質是“軸對稱”，解題關鍵是找出經軸

對稱變換所得的等量關系.

【變式5-2］（2023春?四川成都?八年級統考期末）如圖，將等邊三角形48。紙片折疊，使得點A的對應點。

落在8。邊上，其中折痕分別交邊于點E,F,連接OE,OF.若。尸18C,則N4EF的度數是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】根據等邊三角形折疊的性質及垂直的定義得出4FDB=90。/尸DE=60。，結合圖形及三角形外角的

性質得出Z4EO=90。，利用折疊得出N4EF="ED即可求解.

【詳解】解：???OF_L8C,將等邊三角形48。紙片折疊，使得點A的對應點。落在8C邊上，

/.2.FDB=90°,ZFDF=60°,

:.乙EDB=30°,

???等邊三角形ABC,

:?乙B=60°,

?ZED=90。，

???將等邊三角形4BC紙片折疊，使得點A的對應點D落在BC邊上，

/.LAEF=乙FED=45°,

故選：C.

【點睛】題目主要考查等邊三角形的性質、三角形外角的定義及折疊的性質，結合圖形找準各角之間的關系

是解題關鍵.

【變式5-31（2023春?河北張家口?八年級統考期末）在^ABC中/B=60。,0是邊力8上的動點，過點。作DEII8C

交AC于點E,將△力。￡沿。￡折疊，點4的對應點為點F.

(2)如圖2,若點尸落在△4BC內，且DF的延長線恰好經過點C,CF=EF,求NA的度數;

(3)若45=9,當△8DF是直角三角形時，亶摟寫出力0的長.

【答案】(l)ABDF是等邊三角形;見解析

(2)LA=40°；

⑶AD的長是3或6

【分析】(1)根據平行線的性質即可求出相等的角，再根據等邊三角形的判定即可得到結論;

(2)根據折疊的性質可知角相等，再根據三角形的內角和定理即可得到結果；

(3)根據題意分兩種情況，再根據圖形以及折疊的性質得到4。的長度.

【詳解】(1)解：△EC尸是等邊三角形，理由如下：

VZB=60°,DEIIBC,

：,LADE=LB=60°,

由折疊可得，FDE=LADE=60。，

:?乙BDF=60°,

；?￡DFB=^B=^BDF=600,

?MBDF是等邊三角形；

(2)解：由折疊可得N4=乙DFE,

?:乙FDE=Z.ADE=60°,

：.AADC=120°,

VCF=EF,

:.乙FEC=乙FCE,

設/FEC=乙FCE=x,則=乙DFE=乙FEC+乙FCE=2%,

在44。。中，44+乙4C。+乙AOC=180。，GP2x+x+120°=180°,

解得％=20°,

：.LA=2X=40°；

（3）解：49的長是3或6,理由如下：

當，BFD=90。時，點F在△48C內（如圖所示）

:.乙DBF=30°,

：?BD=2DF

由折檢得DF=4。，

???BD=2AD,

：,3AD=9,

：,AD=3；

當乙DBF=90。時，點尸在448c外,

：.AD=6.

【點睛】本題考杳了折疊的性質，等邊三角形的性質，含30。角的直角三角形的性質，平行線的性質，根據

題意畫出圖形是解題的關鍵.

【題型6與等邊三角形有關的規律問題】

【例6】（2023春?安徽蕪湖?八年級蕪湖市第二十九中學校考期末）如圖，等邊△為。］。2的周長為1，作6。】■1

力也2于。1，在。傳2的延長線上取點C3,使。1。3=5G，連接。也3,以0。3為邊作等邊△/。2。3；作。2。21力2c3

于。2,在C2c3的延長線上取點C4,使D2c4=D2c2,連接。2c4,以。3。4為邊作等邊△&。3。4：…且點力1，力2,

外，…都在直線。停2同側，如此下去，則△&GC2,△4。2c3,3c3c4'…，△/CnCn+1的周長和為.

【分析】根據等邊三角形的性質分別求出△41。1。2，△4。2。3，AA3。3c4,…，△41cnCn+i的周長，再求周

長和即可.

【詳解】如下圖，

由得，乙。］。3。2=4。16。2=30。，

???“也。3=1200,

：.LC3DXC2=120°-90°=30°,

?3c2=4C301c2，

于是。1。2=C2c3,

:。c2c3=3A1。2

/.△/12。2。3的周長=|△的周長=g

Ai41C1C2>△力2c2c3,△A3C3c4，…，△AnCnCn+1的周長分別為1?3&…，二,

???公/11。］。2的周長為1=U

X4

△4。停2，△①。2。3的周長和為1='=U

△AGG，△A2c2c3,△為c3c4的周長和為1+：+/=：=袈

△4GQ，△力2。2。3，3c4,…，△AnCnCn+1的周長和為1+：+,+…+備=盜,

故所有等邊三角形的周長和為：U

【點睛】本題考查等邊三角形的性質、數字類規律探究，理解題意，找出變化規律是解答的關鍵.

【變式6-1］（2023春?山東濟寧?八年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系％0y中，已知點A坐標是（0,4）,

以為邊在右側作等邊三角形。44「過點4作x軸的垂線，垂足為點。1，以34為邊在右側作等邊三角形

。逆遇2,再過點占作X軸的垂線，垂足為點。2,以。2公為邊在右側作等邊三角形。2力2人3,……，按此規律

繼續作下去，得到等邊二角形。2022402242023，則點出023的縱坐標為（）

【答案】A

【分析】利用含30。的直角三角形的最短邊是斜邊的?半解題即可.

【詳解】解：???三角形0441為等邊三角形,。出1）軸,

：,LAOA1=60°,Z.AlOOl=30°,44］0］。=90°,

」.0H=4x；,

23

同理得：02%=4XG）,O3/13=1O2/12=4XQ）,

/i、2D232O21

綜上可得：。202342023=4X（a）=（Z鼻1）X

故選A.

【點睛】本題主要考查含30。的直角三角形的性質，能夠熟記性質并能夠熟練進行指數計算是解題關鍵.

【變式6-2］（2023?四川?八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形A/8/G。/（記為

第I個正方形）的頂點4與原點重合，點助在），軸上，點。/在X軸上，點。在第一象限內，以。為頂點

作等邊△。①①，使得點4落在X軸上，A2&_Lx軸，再以A2比為邊向右側作正方形A2&C2S（記為第2

個正方形），點在x軸匕以C2為頂點作等邊△C2A383,使得點A落在上軸上，A3&_LY軸，若按照上

述的規律繼續作正方形，則第2021個正方形的邊長為—.

［答案］22。2。

【分析】通過正方形和等邊三角形的性質和直角三角形的性質，依次求得第2個正方形、第3個正方形、第

4個正方形的邊長，再總結規律求得第2021個正方形的邊長.

【詳解】解：??,正方形ABIGDI（稱為第1個正方形）的邊長為1，

/.GD/=1,

???GA2B2為等邊三角形，

■:ZB2A2C/=60°,

??Y2B2_LX軸，

ZC1A2D/=3（）°f

2-1

：.A2B2=Ci42=2。1。1=2=2,

同理得公&=4=23-1,

A4B4=8=24-1,

由上可知第〃個正方形的邊長為：2'一】，

???第2021個正方形的邊長為：22）21I=22020

故答案為:22020.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形，直角三角形的性質，熟練掌握等邊三角形以及直角三角形的性質是解

答此題的關鍵.

【變式6-3］（2023春?廣西柳州?八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線I與x軸交于點/，與y軸

交點于。，且0%=1/008］=60。，以OB1為邊長作等邊三角形為。8】，過點兒作A】為平行于T軸，交直線

1于點4，以A1“為邊長作等邊三角形&力道2,過點必作4%平行于％軸，交直線1于點/，以冬名為邊長

作等邊三角形&&/，…，按此規律進行下去，則點人的橫坐標是.

【答案】31.5

【分析】過4作A/A_LO8/于A,過A?作A2BL4/&于8,過4作AQ_LA283于C,根據等邊三角形的性質

以及含30。角的直角三角形的性質，分別求得4的橫坐標為一，，上的橫坐標為一，As的橫坐標為?，

進而得到4?的橫坐標為右二，據此可得點。的橫坐標.

【詳解】解：如圖所示，過4/作A/A_LO8/于A,則04=；。8尸3

??"。。%=60%

???/0/力。=30。，

???4/a/氏軸,

，NA山23/=NOBlD=30。,N82A山尸/4SO=60。,

???NA/B/B2=90。,

AJB2=2AIBI=2t

過A2作于8,則A山二：A山產1,

即A2的橫坐標為＞1二?，

過A3作A3CJLA2B3于C,

同理可得A及尸2A2&=4工2。=328產2,

即A3的橫坐標為91+2二個，

同理可得的橫坐標為*I+2+4=?，

由此可得,A”的橫坐標為F，

:.點4的橫坐標是亭=v=31.5,

故答案為31.5.

【點睛】本題是一道找規律問題，涉及到等邊三角形的性質、含30度角的直角三角形，解題佗關鍵要利用

等邊三角形的性質總結出關于點八的系列點的規律.

【題型7等邊三角形中的動態問題】

【例7】(2023春?河南濮陽?八年級統考階段練習)如圖，在△ABC中，ZC=90°,4力=30。，AB=4cm,

動點P,Q同時從A、8兩點出發，分別在AB、8c邊上勻速移動，它們的速度分別為%=2cm/s,%=lcm/s,

當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為ts.

(1)當t為何值時，△尸BQ為等邊三角形？

(2)當t為何值時，△PBQ為直角三角形？

【答案】(1)1=：

0

(2)1或3

【分析】（1）先表示出BP,8Q,根據APB。為等邊三角形，由等邊三角形的性質得到BP=BQ,由此建立方

程4-2t=t進行求解;

（2）當4PBQ為直角三角形可分當乙BQP=90。時和當NBPQ=90。時兩種情況進行求解即可.

【詳解】（1）解：..?在△718（；中，ZC=9UU,Z.A=3UU,48=4cm,

AzF=60o,

VVp=2cm/s,VQ=Icm/s,

.\AP=2tcm,BQ=￡cm,點P運動的總時間為4+2=2s；

：,BP=AB-AP=（4-2t）cm,

當以P8Q為等邊三角形時，BP=BQ,

.*.4-2t=t,

解得￡=/

（2）當NBQP=90。時，則zBPQ=30。，

：.BP=2BQ,

.*.4-2t=23

解得t=L

當，BPQ=90。時，則NBQP=30%

：?BP/BQ,

則4-2t=

解得￡=I；

綜上：/的值為1或，

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，含30度的直角三角形的性質，靈活運用所學知識是解

題的關鍵.

【變式7-1