專題19圓的基本性質

I.理解圓、弧、弦、圓心角的概念，了解等圓、等弧的概念，象索并了解點與圓的位置關系;

2.探索并證明垂徑定理；

3.探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，了解并證明圓周角定理及其推論：

考點1：圓的定義

(1)線段0A繞著它的一個端點0旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

考點2：圓的性質

(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱

中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所

對應的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

注：

在垂經定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優弧、平分弦所對的劣弧，在這

五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.(注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦

不能是直徑)

考點3：兩圓的性質

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點.

考點4：與圓有關的角

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數.

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90°的圓周角所對的弦為直徑：半圓或直徑所對的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角.

V酬1弟領

【題型1:圓的基本認識】

【典例I】下列命題中，真命題的個數是（）

①長度相等的弧是等弧；②相等的圓心角所對的弦相等；③等邊三角形的外心與內心重合；④任意三點

可以確定一個圓；⑤三角形有且只有一個外接圓.

A.0B.1C.2D,3

【答案】C

【分析】本題考查的是等弧的概念，弧，弦，圓心角的關系，止多邊形的性質，圓的確定，三角形的外接

圓的含義，根據基本概念與基本性質逐一分析即可，熟記基本性質是解本題的關鍵.

【詳解】解：能夠完全重合的弧是等弧，故①假命題；

在同圓與等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，故②是假命題，

等邊三角形的外心與內心重合；故③是真命題，

不在同一直線上的三點可以確定一個圓，故④是假命題，

三角形有且只有一個外接圓，故⑤是真命題；

故選C

1.如圖，4。是。。的直徑，四邊形A8CO內接于C。，若AB=BC=CD=4,則。的直徑為（）

A.4B.6C.8D.9

【答案】C

【分析】本題考杳了園與全等三角形的綜合,連接03、OC訐VAO8或80c緋C8即可求解.

【詳解】解：連接08、0C,如圖所示：

^OA=OB=OC=OD,AB=BC=CD=4,

0NAOB^/BOC^/COD

0NAOB=NBOC=ZCOD=-乙4。。=60°

3

圉短08是等邊三角形，

（3QA=A8=4

回。的直徑為：4x2=8

故選：C

2.如圖，在矩形48C。中，AB=IO,4）=12,。為矩形內一點，ZAPB=90°,連接尸￡）,則PO的最小

值為.

【答案】8

【分析】本題主要考查矩形的性質，勾股定理，點與圓的位置關系，以為直徑作：O,連接0。在矩形

4J3CD內部交。于點P,則此時尸。有最小值，由矩形的性質及圓的概念可求解0P的長，利用勾股定理

可求解。。的長，進而可求解.

【詳解】解：如圖，以A4為直徑作連接。。在矩形A8CD內部交一。于點P,則此時P。有最小值,

矩形A8c。中，AB=10,AD=\2,

0。=A。=5,N8AD=90°,

.?.OD=V52+122=13>

/.PD=OD-OP=13-5=8,

即PO的最小值為8.

故答案為：8.

3.如圖，AB是半的直徑，點C在半《。上，A8=5cm,AC=4cm.。是BC上的一個動點，連接A。，

過點C作CE_LA0于E,連接把.在點。移動的過程中，BE的最小值為

D

AR

【答案】(JT5—2)cm

【分析】本題主要考查了勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是確定點上的運動軌跡是在以AC

為直徑的圓上運動，屬于中考填空題中的壓軸題.

如圖，取AC的中點為O',連接4。，、BC,在點。移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，當。、

E、8三點共線時，的的值最小，最小值為0%-0石，利用勾股定理求出0'8即可解決問題.

【詳解】解：如圖，取AC的中點為O',連接8。、BC,

.\(rC=-AC=2cm

2t

.CELAD,

.-.Z4EC=90°,

???在點。移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動,

AB是直徑，

/.Z4CB=90°,

在RtA8c中，AC=4cm,AB=5cm,

BC=JAB?-AC?=正-不=女m，

在Rt中，BO=de。2+BC?=也?+3?=后cm，

OE+BENO'B,

??.當O'、E、4三點共線時，質的值最小，最小值為：O，B-(7E=用-2(cm),

故答案為：(JB-2)cm.

4.〃圓是最完美的幾何圖形"我們知道不在同一直線上的三個點確定一個圓.已知ABC,ZC=90",AC=6,

BC=8.

（圖1）（圖2）

⑴①確定經過三角形三個頂點的圓的圓心是找到三角形

A.三邊垂直平分線的交點B.三個角平分的交點C.三條中線的交點

②經過三角形ABC的三個頂點的圓的半徑是

3

（2）如圖（2）當C￡=2,CO=5時，過C、D、E三點的作圓。，點M為線段AB上一動點，CM交圓。于

點N,沒CN=x,CM=yt求）,與x的關系式.

⑶如圖（2）,點尸是平面內一動點，當NAPC=45。時，求P3的取值范圍.

【答案】（1）①A：②5

⑵二12（目3,臼,5、

（3）734-3V2<PZ^<734+372

【分析】（1）①根據確定圓的條件即可求解；

②勾股定理求得A3的長，進而根據直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的一半，即可求解.

（2）連接。石，取。石的中點產，連接CV并延長，交人8于點H,交0尸于點G,連接GN,證明

△EC。"△8C4得出/尸CE+ZA=90。，等面積法求得C",進而證明,.CHWsCVG,得出尤丫的函數關系

式，進而結合圖形寫出自變量的取值范圍，即可求解；

（3）以AC為底構造等腰直角三角形人。。和等腰直角三角形A。?。，分別以。…。?為圓心，AQ,八。?為

半徑作。1,。2,連接8。1,BO2,設交:?于心延長8。2交于%,可知R3W尸過

點Oi作QN_L8C于點N,。幽-14。于點加，先根據己知條件得到4?=。9=3血，NQ=3,BN=5,

再根據勾股定理得到8Q=再，即可得至的值，同理可得68=呵+3貶，問題得解.

【詳解】（1）①根據確定圓的條件可得確定經過三角形三個頂點的圓的圓心是找到三角形三邊垂直平分線

的交點，

故答案為:A.

②目Z4C8=90°,AC=6,BC=8.

^AB=^AC2+BC2=10>

13直角三角形的外接圓的半徑等于斜邊的一半，

團經過三角形A8C的三個頂點的圓的半徑是5

故答案為：5.

（2）解：如圖所示，連接OE,取DE的中點尸，連接C尸并延長，交AB于點、H,交。尸于點G,連接GN,

B

A

3

團4c8=90。，CD=-

2

mDE=yJCD~+CE2=-

2

0Z4CB=9O°,

團QE是OF的直徑，

X0FE=FC

0ZFEC=4FCE

3

團AC=6,BC=8.CE=2,CD=-

2

3

團CD51￡C21

前_v正一§_1

CDEC

0——=——

ACBC

乂2ECD=NBCA

自△EC￡)S2\8C4

自ZDEC=/B

中ZB=NFCE

0Z4+ZB=9O°

0ZFCE+ZA=9O°

團CHJLAB

zACxBC24

AB5

團CG是廠的直徑，

團NGNC=90。，

0ZGCN=/MCH,NC〃M=NCNG=90。，

"CHMs.CNG

<NCG

CHMC

5

即去普

T

12

0y=——

x

又由

35

HP-<x<-

22

八22）

（3）解：如圖所示，以AC為底構造等腰直角三角形AQC和等腰直角三角形AQC,分別以。一■為圓

心，AOit人。2為半徑作O\,。2,連接80.B02t設BO&01于h延長80?交，:0?于外，可知

P出WPBWP,B,過點OI作QN_LBC于點N.?M_LAC于點M,

(3AC=6,

^AOi=COi=3yf2,MO\=NO、=CN=3,

團BC=8,

⑦BN=5,

團陽=轎+32=取,

⑦RB=B0「3丘=4-3丘,

同理可得=>/國+3及，

0N/34-35/2<PB<>/i30+3>/2.

【點睛】本題考查了確定圓的條件，相似三角形的性質與判定，一點到圓上的距離問題，勾股定理，直角

三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

,學典例匍領

【題型2：垂徑定理】

【典例2】小明在做一個實驗，把一個球放在透明的長方體盒子內，球的一部分露出盒外，過球心的截面示

意圖如圖所示，經測量知EF=6cm,盒子的高CO=9cm,則球的半徑長是()

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

【答案】B

［分析］過點。作ONJ_AO交于點M交CB于點、M,連接OF,根據四邊形ABC。是矩形得ZC=ZD=90°,

可得四邊形CDW是矩形，則MN=CZ)=8cm,設=則QW=O/=Acm,

ON=MN-OM=(8-x)cm,NF=EN=4cm,在此△0M?中，根據勾股定理得QA^+N尸1=。尸2,進行計

算即可得.

【詳解】解：如圖所示，過點。作ONJ.AO交于點M交CB于點“，連接。尸，

團四邊形ABC。是矩形，

□ZC=ZD=90°,

團四邊形COVM是矩形，

0M/V=CD=8cm,

設OF=Atm,則OM=OF=xcm,

(3QN=MN-OM=(8—力cm,NF=EN=4cm,

在RtAONF中，根據勾股定理得O/r+N尸=OF-,

即(8-X)2+42=X2,

64-16x+x2+16=x2

161=80

x=5,

故選：B.

BP時梏泅

1.如圖，點C在。o上，OC平分弦A8,連接。4,BC,若44=40。，則NA8C=()

A.50°B.20°C.25°D.30°

【答案】C

【分析1本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，利用垂徑定理，圓周角定理和三角形的內角和定理解答

即可.

【詳解】解：?,OC平分弦A8,0C為。。的半徑，

:.OC1AB,

.4=40。，

:.ZAOC=50°.

：.ZABC=-ZAOC=25°.

2

故選：C.

2.如圖，點A是半圓上的一個三等分點，點B是AO的中點，P是直徑上一動點，。的半徑是2,則

【答案】2&

【分析】本題主要考查了圓心角的性質，軸對稱的性質，勾股定理，解題的關鍵是作點A關于8的對稱點

A'，連接叢'交。于P，則點尸卻是所求作的點，根據勾股定理求出結果即可.

【詳解】解：如圖，作點4關于C。的對稱點4,連接及V交。于尸，則點P即是所求作的點，

A

根據軸對稱的性質可知，A尸=4尸，

團A產+/，〃=AW+/#,

團兩點之間線段最短，

團此時4尸+8尸最小，即A尸+8尸最小，

國AP+8P的最小值為府的長，

財是半圓上一個三等分點，

團N4OD=N/VQD=360。+2+3=60°,

又回點8是AO的中點，

團/BOO=乙40。=-x60°=30°,

2

0NA'OB=ZAOD+/BOD=60°+30°=90°,

在Rt/vVOB中，由勾股定理得:

AB=xlOB2+O^=V22+22=2\/2,

團AP+BP的最小值是2近-

故答案為：2叵.

3.數學綜合實踐活動課上，小北小組設計了間接測量球直徑的一個實驗.如圖，將一個球放置在圓柱形玻

璃杯上，測得杯高A8=20cm,底面直徑8c=12cm,球的最高點到杯底面的距離為32cm,則通過轉化成

cm（玻璃瓶厚度忽略不計）.

【答案】15

【分析】本題考查了主視圖、垂徑定理和勾股定理的運用，準確做出立體圖形的主視圖是解題的關鍵.如

圖所示，將題中主視圖畫出來，用垂徑定理、勾股定理計算即可.

【詳解】解：如下圖所示，設球的半徑為

12cm

貝|」0(7=石6—r二麻一6/一r="一48—r=32—20——二(12—廠)(：01,

團EG過圓心，且垂直于4。，

(3G為A。的中點，

則AG=3A。=6(cm),

在RtZXOAG中，由勾股定理可得，

O/r=OG2+AG2，

即r=(12-r)2+62,

解方程得r=7.5,

則球的直徑為15cm.

故答案為：15.

4.如圖，在CO中，A8是的直徑，CO是0。的弦，CO_LAB,垂足為P.過點。作。。的切線與A8

的延長線相交于點E.

⑴若NA8C=56。，求NE的度數.

(2)若CO=6.BP=2,求CO的半經.

【答案】(1)22°

⑵？

【分析】(1)連接O。，根據直角三角形的性質求出NPC6,根據切線的性質得到NOD￡=9(r,根據直角

三角形的性質計算，得到答案；

（2）根據垂徑定理求出PO,設：。的半徑為〃，根據勾股定理列出方程，解方程得到答案.

【詳解】（1）解：連接。。.

回在；O中，ABA.CD,垂足為P,

0ZCPB=9O°.

0Z4BC=56°,

0ZPCB=9OO-56O=34°,

國ZEOD=2/PC8=68°.

團/把是的切線.

0ZODE=9O°,

在RlaOOE中，ZE=90°-68°=22°.

（2）（3在。中，ABJ.CD,垂足為P,

^CP=DP=-CD=3.

2

設。的半徑為〃，貝I］：OD=OB=r,OP=OB-BP=r-2.

在RtOOP中，PD2+OP2=OD2,

即32+（「2）2=產.

解方程，得「=一13.

4

所以。的半徑為1匕3

【點睛】本題考杳的是切線的性質、圓周角定理、垂徑定理，勾股定理，掌握圓的切線垂直于經過切點的

半徑是解題的關鍵.

4典例引領

【題型3：弧、弦、圓心角的關系】

【典例3】下列命題正確的是（）

A.等弧所對的圓心角相等B.平分弦的直徑平分弦所對的弧

C.三點確定一個圓D.在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等

【答案】A

【分析】本題考查命題與定理知識，圓心角，弦，弧的關系，垂徑定理，圓的定義.根據題意及圓周角定

理，弧，弦，圓心角的關系定理，圓的確定條件等對選項逐個遂行分析即可得到本題答案.

【詳解】解：團在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角和圓周角相等，故A選項正確；

回平分弦（不是直徑）的直徑平分線弦，并且平分弦所對的兩條弧，故B選項不正確；

回不在同一直線上的三個點可以確定一個圓，故C選項不正確；

回再同圓或等圓中，相等的弦所對的弧可以為優弧也可為劣弧，故D選項中說相等所以不對，

故選：A.

,即時檢泅

1.如圖，A8為CO的直徑，C、。是0。上的兩點，ZBAC=20°,A￡>=C7）,則ND4c的度數是（）

C.30°D.25°

【答案】B

【分析】此題考查了圓周角定理，以及弦，弧，圓心角三者的關系，作出輔助線，找出未知角與已知角的

聯系，是解此題的關鍵；

根據圓周角定理和弦，弧，圓心角三者的關系即可得到結論.

【詳解】連接OC，如圖所示，

NB4C與NBOC所對的弧都是BC，ZB/AC=20°,

ZBOC=2ZB4C=40°,

???Z4OC=140°,

又AD=CD^

NCOD=ZAOD=-ZAOC=70°,

2

/D4C和NOOC所對的弧都是CO，

ZDAC=-ZCOD=35°

2f

故選：B.

NBDC=20。，則乙4。3的度數是

【答案】40。/40度

【分析】本題考查的是圓周角定理，利用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓

心角的一半，即可求得/A05的度數.

【詳解】解：AB=BC^NBDC=20。，

...4404=247X7=40。，

故答案為:40°.

已知弦8c=6,DE=4,ZBAC+ZEAD=180°,則A的半徑長為.

【答案】V13

【分析】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，解題的關鍵是作直徑。尸，連接叱，證明。k=4,

根據勾股定理求出Cb=2g.

【詳解】解：作直徑C/，連接身、，如圖所示:

團ZE4C+NE43=180。，

而/B4C+NB4尸=180。,

^ZDAE=ZBAF,

田DE=BF，

^DE=I3F=4,

團。尸是直徑，

0ZC￡?F=90°,

在RtZ\CB/中，BC=6,BF=4,

0CF=VBC2+BF2=>/62+42=2/，

0AC=AF=-CF=V13.

2

故答案為：Ji5.

4.如圖，已知四邊形A8C。內接于圓O,直徑AC與交于七點，8D平分/4ZX7.

⑴尺規作圖：作△84"?△"?￡）,使得M、。在48的兩側（保留作圖痕跡，不寫作法）:

?AC

⑵在（1）的條件下，若“力求防.

【答案】（1）見解析

⑵當

【分析】（1）在。人上的延長線上截取AM=8,連接8M,則即為所求；

（2）由全等三角形的性質得到NA8W=NC8D,BM=BD,接著證明.為等腰直角三角形得到

BD=/M=&DA+DC）,然后在RtZ\ACD中利用正切的定義得到tan/CAO=M=：,則可設

22V7AD4

AC

CD=3x,AD=4x,所以AC=5x,從而可計算出去的值.

BD

【詳解】（1）解：如圖所示，一則即為所求；

在D4上的延長線上截取4"=。，連接加，

由圓內接四邊形的性質和平角的定義得到NBAM+ZBAD=NBAD+NBCD=180°,則/BAM=/BCD,

由角平分線的定義得到/8Z）A=NBDC,則A8=C8,

由此可由SAS證明ABAAWABCD；

（2）解：團AC是直徑，

mZABC=ZADC=90°,

⑦4BAM0ABCD,

：,ZABM=ZCBD,BM=BD,

NMBD=ZABM+ZABD=ZCBD+ZABD=ZABC=90。,

為等腰直角三角形，

:.BD=4DM=4（DA+AM）=4（DA+DC）,

CD3

在RtZvlC力中，tanZCAD=——=-,

AD4

.?.設CO=3x,AD=4x,

:.AC=ylAD2+CD2=5x?4。=爭3X+旬=半%，

AC=5x=5>/2

~BD~75/2一~?

----x

2

【點睛】本題考查了作圖一復雜作圖，全等三角形的判定與性質、圓周角定理和圓內接四邊形的性質，解直

角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定等等，通過證明△84"四△BCD進而證明，為等

腰直角三角形是解題的關鍵.

,典例受領

【題型4：圓心角】

【典例4】如圖，AB,C。是的弦，延長ABCD相交于點E,已知NE=30。，NAOC=10D°,則BO的

度數是（）

A.70°B.50°C.40°D.30°

【答案】c

【分析】本題考查了等邊對等角，三角形內角和定理，圓心角筆知識.明確角度之間的數量關系是解題的

關鍵.

如圖，連接。3、OD、AC,由三角形內角和求NOAC+NOC4=l80O-NAOC,

ZEAO+ZECO=180°-ZE-(ZOAC+ZOCA),

Z4Ofi+ZCOD=180°-(Z(M^+ZOBA)+180o-(ZOCD+NODC),根據

ABOD=36()u-ZAOC-(ZAOB+^COD),計算求解即可.

【詳解】解：如圖，連接OROD、AC,

團Z.OAB=z：OBA,NOCD=乙ODC,ZCZ4C+ZOG4=180°-ZAOC=80°,

0ZE4O+ZECO=18O°-ZE-(ZOAC+ZOC4)=7O°,

回Z.OAB+NO3A+ZOCD+ZODC=2x70°=140°,

團Z4O8+/COD=180°-(40AB+AOBA)+180°-(4OCD+ZODC)=220°,

團40。=360。-40。一(4084/。00=40°,

國31)的度數為40。，

故選：C.

1.如圖，A氏AC是(。的兩條弦，且AB=AC,點。,P分別在8c和4c上，若N8DC=I5O。，則/APC

A.105°B.110°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所

對的圓心角或弧的度數的一半.

根據圓內接四邊形對角互補求得/朋C的度數，即可求得BC的度數，進而求得48的度數，ABC的度數,

則/APC的度數即可求解.

【詳解】解：在圓內接四邊形ABCO中，/84。=180。一/8。。=180。-150。=30°,

則8c的度數是60。.

又團A8=AC,

13AB的度數=AC的度數=：（360。-60。）=150。，

回A8C的度數是150。+60。=210。，

0ZAPC=-x21O°=lO5°.

2

故選：A.

2.如圖，A8是（。的直徑，BC=CD=DE，ZCOE>=48°,則N80E的度數為.

【答案】1447144度

【分析】根據同弧所對的圓心角相等求出NOOE=NZ）OC=N80C=48。，進而求解即可.

LW）^BC=CD=DE>NCOD=48。，

0ZDOE=ADOC=4B0C=48°

0ZBOE=NDOE+NDOC+NBOC=48°x3=l44°.

故答案為：144。.

【點睛】此題考查了同弧所對的圓心角相等，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

3.如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點4B,C,D,

連接則-84。的度數為.

【答案】52.5。

【分析】方法一例如圖：連接由題意可得：OA=OB=OC=OD,

408=50。-25。=25。，然后再根據等腰三角形的性質求得=65。、ZOAD=25°,最后根據角的和

差即可解答.

方法二13連接。及。。，由題意可得：ZBAD=U)5°,然后根據圓周角定理即可求解.

【詳解】方法T3解：如圖：連接OAO民OCORA2A3,

由題意可得：OA=OB=OC=OD,Z4OB=50°-25O=25°,Z4OD=I55°-25O=130°,

0ZOAB=-(180°-^AOB)=77.5°,ZOAD=；(180。-ZAOB)=25°,

0NBAD=ZOAB-Z.OAD=52.5°.

故答案為52.5。.

方法二團解回連接OS。。，

由題意可得：Z^D=155°-50°=105°,

根據圓周角定理，知NBAD=gNBOD=^xl()5°=52.5°.

故答案為52.5。.

【點睛】本題主要考食了角的度量、圓周角定埋等知識點，掌握圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度

數的一半是解答本題的關鍵.

4.如圖，已知的半徑長為1,AB.AC是0。的兩條弦，且AB=AC,8。的延長線交AC于點。，連

⑴求證：/XAOB^/XAOC.

⑵當曲=加＞時，求A3的度數.

⑶當OCO是直角三角形時，求6、。兩點之間的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵108。

⑶萬或加

【分析】（1）根據圓的性質可得OA=Q8=OC=1,根據SSS即可證明結論；

（2）根據全等三角形的性質和等邊對等角可得NQ48=NQ4C=NO8A,得到的D=2NABQ,由E4=Q

可推出/的=/區4。=2/4區）,根據三角形的內角和定理可得乙$。=36。，404=108。，由“弧的度數

等于它所對圓心角的度數〃用得結論；

（3）分兩種情況：①當N8C=90。時；②當NCOD=90。時進行討論即可.

【詳解】（1）解：13M的半徑長為1,

^OA=OB=OC=\,

在AO8和AOC中，

AO=AO

AB=AC,

OB=OC

團AAO的△AOC(SSS)；

(2)解：由(1)知：OA=OB=OC,

團ZOAB=ZOAC=乙OBA,

0ZBAD=ZOAB+ZOAC=/OBA+/OBA=2ZABD,

^BA=BD,

^ZBDA=ZBAD=2ZABD,

13在△48D中，ZBDA+ZBAD+ZABD=180°,即5ZA5D=180。,

(3ZA8O=36。，

團Z408=180。一ZOAI3-NOBA=180°-36°-36°=108°,

國4B的度數l()8。；

(3)①如圖，當NODC=90。時，

08D_LAC,OA=OC=\,AB=AC,

團AD=OC,Z<?ZM=90°,

^BA=BC=AC,

133ABe是等邊三角形，

(3ZR4C=60°,

由(1)知：4AOB94AoC、

(3/OAC=NOAB=-ABAC=30°,

2

^OD=-OA=-x\=-,

222

②如圖，當NCOD=9()。時,

0BD1OC,OB=OC=1,

(3AO8C是等腰直角三角形，

^BC=y]OB2+OC2=V12+12=V2；

綜上所述，B、C兩點之間的距離右或眩.

【點睛】本題考查圓的基本性質，垂徑定理，全等三角形的判定和性質，等邊對等角，三角形內角和定理，

等邊三角形的判定和性質，含30。角的直角三角形，勾股定理，弧的度數等于它所對圓心角的度數等知識,

運用了分類討論的思想.解題的關鍵是發現并證明三角形全等，掌握直角三角形的性質和理解“弧的度數等

于它所對圓心角的度數”.

典例弓1領

【題型5：圓周角】

【典例5】如圖，已知Q4,P8分別與0O相切于AB點,C為優弧4cB上一點，ZAPB=40°,則/AC8

A.70°B.75°C.80°D.100°

【答案】A

【分析】本題主要考查了切線的性質、圓周角定理等知識點.連接04、OB,根據切線的性質可得

NO4P=NOBP=90。，再根據四邊形的內角和求出N4OB,最后根據圓周角定理即可解答.

【詳解】解：如圖，連接OA,OB,

VM,用分別與。相切于A8兩點,

.\OA±PAfOBA.PB,

：.ZOAP=^()BP=^,

.?.ZAOB=360°-90o-90o-40o=140°,

ZACH=-ZAOB=1x140°=70°.

22

故選：A.

VAM蝠a

1.如圖，AH是G)o的直徑，點C為OO外一點，CA.8是OO的切線，A、D為切點,連接從人AD.若

48=50°,則ND8A的大小是()

【答案】D

【分析】本題主要考杳了切線的性質，四邊形內角和定理，圓周角定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.連

接。。，利用切線的性質得到NOAC=NOZX?=90。，利用四邊形內角和定理求出48的度數，即可利用

I員I周角定理求出答案.

【詳解】解：如圖所示，連接O。，

0ZCMC=ZODC=9O°,

X@ZACD=50°,

13ZAOD-360。-NOAC-2ODC-ZA8-130°,

回40=A。，

0ZDfiA=-ZAOD=65°,

2

故選：D.

2.如圖，在RtZ\A3C中，ZACB=90°,4C=I(),BC=8,點D是BC上一點,8C=3CO,點P是線段AC

上一個動點，以PD為直徑作。。，點”為po的中點，連接AM,則八Af的最小值為.

B

【答案】5&

【分析】本題考杳圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，垂線段最短的應用.

連接OM,CM,過點A作A7J_CM,交。W的延長線于,由點M為夕。的中點，根據垂徑定理得乙38=90°,

從而NMCO=；NMOO=45。，進而ZACT=ZAC8-ZM8=45。，在RlAA7c中，由

AT=ACsinZACT=542根據垂線段最短可得4M2AT=5正，即可解答.

【詳解】如圖，連接。例，CM,過點4作AT_LCM,交CM的延長線于一

回點M為尸。的中點,

回NWO￡>=90°,

aMD=MD

0ZA/CD=-ZMO￡>=-x9O°=45°,

22

回4c8=90。，

團ZACT=ZACB-4MCD=90°-45°=45°,

0Z47T=90°,

團在RtAATC中，AT=AC?sinZACT=10-sin45°=5夜，

團AM?AT=5五，

團AM的最小值為5&.

故答案為：5&

3.如圖，在。中，弦人58相交于點旦ZAEC=74o,NAB/)=36。，則N80C的度數為—

【答案】140

【分析】本題主要考查圓周角定理的應用，根據對頂角相等得/。￡4=74。，由三角形內角和定理得

ZBDE=70°,再根據圓周角定理得NAOC=I40。.

【詳解】解：0ZAEC=740,

?NBED=ZAEC=74。,

又NDEB+NEBD+ZD=180°,

0ZD=18O°-/BED-Z.DBE=18C<°-74°-36°=70°,

團々OC=24>=140°,

故答案為：140

4.【問題提出】

我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半，那么，在一個圓內同一

條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關系呢？

【初步思考

⑴如圖1,A8是。。的弦，4OB=I(X)。，點<、鳥分別是優弧48和劣弧43上的點，則=

0,NAP/=。；

(2)如圖2,是2。的弦，圓心角4。8二用。(〃7<180。)，點/>是。。上不與人、8重合的一點，求弦/W

所對的圓周角的度數為；(用加的代數式表示)

【問題解決】

(3)如圖3,已知線段A8,點C在A8所在直線的上方，且NACA=135。，用尺規作圖的方法作出滿足條

件的點C所組成的圖形(①直尺為無刻度直尺：②不寫作法，保留作圖痕跡)；

【實際應用】

（4）如圖4,在邊長為12的等邊三角形ABC中，點E、。分別是邊AC、BC上的動點，連接A。、BE,

交干點/＞，若始終保持AE=CD,當點￡從點A運動到點C時，尸C的最小值是.

【答案】（1）50,130；（2）180。-（卷）。；（3）見解析；（4）

【分析】（1）根據圓周角定理即可求出448=50。，根據圓內接四邊形即可求出NA6A=130。；

（2）分尸在優弧AB上和P在劣弧A8上兩種情況分類討論即可求解；

（3）作線段八8的垂直平分線，以人8為直徑作圓，交垂直平分線于點。，以點。為圓心，以Q4為半徑作

圓，則A3（實線部分且不包含A、8兩個端點）就是所滿足條件的點C所組成的圖形；

（4）先證明，八。力白..秋￡,得到N84P+NA8P=60。，ZAPB=I2O°,根據（3）問點P的運動軌跡是4B，

44。4=12伊，連接CO,證明。C—O8C,進而得到ZACO=N8CO=30°,ZAOC=ZBOC=60°

NO4C=NO8C=90。，根據勾股定理求出OP=O8=4GOC=85/5,根據PC4OC—OP,可得。。24石，

即可求出?C的最小值為4G.

【詳解】解：（1）4R8=gNAO8=；xl000=50。，

AAP23=180°-ZXPB=180°-50°=130°.

故答案為:50,130；

（2）當/）在優弧A8上時，408=（9。；

當P在劣弧A8上時，44尸8=180。-（9。；

故答案為：《）°或

（3）如圖AB（實線部分且不包含A、8兩個端點）就是所滿足條件的點。所組成的圖形.

，工

TP

證明:13AB為（）］的直徑,

0Z4OB=9O°,

在，。中，田點。在48上，

由（2）得NACB=180。-------=135。,

2

0A6(實線部分且不包含A、8兩個端點)就是所滿足條件的點C所組成的圖形:

(4)解：如圖，

團A8C為等邊三角形，

^AB=BC=AC,NA4C=N4C3=60。，

^AE=CD,

ACD^BAE,

團NCW=NA3￡,

0ZBAP+ZABP=NBAP+NCAD=ZBAC=60°,

0ZAPB=12O°,

團點P的運動軌跡是AB，

（3403=120°.

連接CO，

團OA=OB.CA=CB、OC=OC,

a.OAC^：OBC,

0ZACO=ZBCO=30°,ZAOC=/8OC=6G°,

0ZOAC=ZOBC=9O°,

在RtZ\O8C中，設O8=Mx>0）,則OC=2x,

根據勾股定理得（2x）2-/=]22,

解得x=46,

團OC=2x=86,OP=OB=46

自PCWOC-OP,

0PC>4V3,

團PC的最小值為4G.

故答案為：4G.

【點睛】本題考查了圓周角定理及其推論，圓內接四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理,

三角形三邊關系等知識，綜合性強，難度較大，解題時要熟知相關知識，注意在解決每一步時都要應用上

一步結論進行解題.

1.下列說法中，正確的是（）

A.半圓是弧，孤也是半圓B.長度相等的弧是等弧

C.弦是直徑D.在一個圓中，直徑是最長的弦

【答案】D

【分析】本題考查圓的基本概念辨析.根據弧：圓上兩點及其所夾的部分；弦：連接圓上兩點形成的線段,

逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A、半圓是孤，但弧不一定是半圓，故選項錯誤；

B、在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故選項錯誤；

C、弦不一定是直徑，故選項錯誤；

D、在一個圓中，直徑是最長的弦，故選項正確；

故選D.

2.如圖，0的直徑CO過弦E/的中點G,NEOD=40。,則/7等于（）

D

A.80°B.50°C.40°D,20°

【答案】D

【分析】本題主要考查垂弦定理、圓心角與圓周角的關系,根據垂徑定理可得出兩弧相等，然后根據等弧

所對的圓周角等于圓心角的一半得出結論即可.

【詳解】解：0OO的直徑C。過弦E尸的中點G,

^ED=DF

^ZDCF=-ZEOD,

2

NEO。=40?,

aZ.DCF=-Z.EOD=1x40°=20?.

22

故選D.

3.如圖，點A,B,。在0O上，AC=2"，ZABC=38°,連接。4交BC于點M,則NAA/C的度數是

A.108°B.109°C.110°D.112°

【答案】B

【分析】連接。B,OC由一知條件求得NAOB,由OC=O3,得NOCB=NOBC,繼而求得

4MC=NQM4=109。，再根據三角形內角和性質，即可求得/AWC.

0Z4BC=38°,

0Z4OC=2ZABC=76°.

I3AC=2A8，

0ZAOB=-Z4OC=38°.

2

團OC=Q3,

0Z.OCB=2LOBC=^x(180°-76°-38°)=33。，

0NOMB=ISO°-ZAOB-NOBC=180°-38°-33。=109。，

0/4MC=NOM8=109。.

故選B.

【點睛】本題考查了圓心角定理，圓周角定理，三角形內角和定理，等邊對等角，熟悉以上知識是解題的

關鍵.

4.如圖，四邊形A8C。是：。的內接四邊形，麻:是：。的直徑，連接80,若/BCD=2NBAD,AB=BD，

則/AB0的度數是（）

【答案】B

【分析】本題考杳了圓的內接四邊形，圓中弧、弦、角的關系筆知識點.根據題意推出/84。=60°是解題

關鍵.

【詳解】解：團四邊形A8CD是0。的內接四邊形，

^ZBAD+ZBCD=}8（）0

/BCD=2NBAD,

^ZBAD=（Ar

團AB=8。，

^AB=BD

□Z5DA=ZBAD=60°

0NABD=180。-NBDA-/BAD=60。

故選：B.

5.如圖，四邊形"CO為。的內接四邊形，NBCM=100。，則NA的度數為（）

【答案】A

【分析】解：本題考查了圓周角定理，根據圓周角定理：同弧所對的圓周角等于其所對的圓心角的一半,

即可求解，掌握圓周角定理是解題的關鍵.

【詳解】解：^BD=BD^

[?]ZA=-ZBOD=-xl00o=50o,

22

故選：A.

6.關于“圓的定義〃，在我國古代就有記載，戰國時期數學家墨子撰寫的《墨經》一書中，就有“圓，一中同

長也〃的記載，這句話里的“中〃字的意思可以理解為.

【答案】中心（圓心）

【分析】此題考杳了圓的認識，根據半徑的含義：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑；在同圓或等

圓中，所有的半徑都相等；由此判斷即可.

【詳解】解：戰國時期的《整經》一書中記載：“圓，一中同長也表示圓心到圓上各點的距離都相等，即

半徑都相等；

故答案為：中心（圓心）

7.如圖，在QO中，OC_LA8于點C,若0C=3,A8=8,則C>O的半徑長為.

【分析1本題考查了勾股定理與垂徑定理，解題的關鍵是熟練的掌握勾股定理與垂徑定理.連接0A,先

根據垂徑定理求出AC的長，再在RtAOC中利用勾股定理求出的長即可.

團AC=8C=4,

在RtAOC中：

回04=5/32+42=5?

國。的半徑長為5.

故答案為：5

8.如圖，AB是匚。的弦，ZA=50°,則NAO8=

【答案】8()。

【分析】根據同圓中半徑相等，可得。4=0"，根據等邊對等角以及三角形內角和定理可得結果.

【詳解】解：團OA=OB,

團N4=NB,又N4=50°,

0Z4OZ?=18Oo-2Z4=18O°-2x5Oo=8O°,

故答案為:80°.

【點睛】本題考查了等腰三角形性質，三角形內角和定理，根據等邊對等角得出NA=NB是解題的關鍵.

9.如圖，點A、B、C在0O上，NB4C=54。，則N80C的度數為.

【答案】108。/108度

【分析】本題考查的知識點是圓周角定理.根據“問圓44可弧所對的圓周角等于圓心角的一半”解答即可.

【詳解】解：團點A、B、。在。上，ZBAC=54°,

團NfiOC=2NA=108°.

故答案為：108。.

10.如圖，在(O中，已知A8=C。，ZAOB=45°,則NQOC=.

【答案】45°

【分析】根據在同圓中，同弧所對的圓心角是相等的可得出結果.

【詳解】解：JUAB=CD,

回AB=C。，

0Z4OB=ZZX）C=45°（同弧所對的圓心角相等），

故答案為:45°.

【點睛】本題考查了弧、弦、圓心角的關系，在同一個圓中同弧所對的圓心角相等是解題的關鍵.

11.如圖，在（3。中，弦力3與。C相交于點R30=AC.求證：AB=CD.

【答案】見解析

【分析】根據弧，弦，圓心角關系的推論即可得出答案.

【詳解】證明：0BZ）=AC,

^BD=CA-

^BD+AD=CA+AD

團AB=C￡>?

0AB=CD

【點睛】本題主要考查弧，弦，圓心角關系的推論，掌握弧，弦，圓心角關系的推論是解題的關鍵.

12.求陰影部分的周長.（單位：cm）（若涉及九時不取近似值，用兀表示既可）

【答案】陰影部分的周長是12汗厘米

【分析】由圖可知，陰影部分的周長等于最大半圓周長與兩個小半圓周長之和.

【詳解】解：由題意得：大半圓半徑為一4+廠8=6,兩個小圓半徑分別為54=2,|8=4,

2^