備戰2021年中考數學二輪復習講練測專題通

專題09二次函數的應用二（拋物線與幾何圖形問題）（測案）

、朗居建部）一一他山之石

1.（2020?浙江嘉興市?九年級期末）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A、B兩點，C（m,

?3）是圖象上的一點，且AC_LBC,則a的值為（）

23

【答案】D

【分析】

在直角.三角形4?。中，利用勾股定理g|J-/H（xi+x2）+18+.r1X2=0；然后根據根與

系數的關系即可求得。的值.

【詳解】

過點C作CO_L/18于點。.

?ZCJ_8C,

2

設ax+bx+c=0的兩根分別為Xi與X2（AI<X2）?

.\A（x\,0）,B（X2>0）.

依題意有（XI-/〃）2+9+（X2-〃?）2+9=（丫1-X2）2,

化簡得：ffl2-〃7（Xl+X2）+9+XlX2=O,

、bc

m24—6+9H—=0,

aa

am2+bn+c=-9a.

???（〃，?3）是圖象上的一點，

:.am2+bm+c=-3?

本題是二次函數的綜合試題，考查了二次函數的性質和圖象，解答本題的關鍵是注意數形結合思想.

2.（2020?湖北黃岡市?九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線），=/一41+6上運動，過

點4作AC_Lx軸于點C,以AC為對角線作矩形ABCO,連結4力，則對角線3。的最小值為（）

A.1B.2C.V2D.y/3

【答案】B

【分析】

根據矩形的性質可知AC，要求BD的最小值就是求AC的最小值，而AC的長度對應的是A點的縱

坐標，然后利用二次函數的性質找到A點縱坐標的最小值即可.

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形

：,BD=AC

?.?y=x2-4x4-6=(x-2)2+2

工頂點坐標為（2,2）

,：點、A在拋物線y=f-41+6上運動

???點A縱坐標的最小值為2

???AC的最小值是2

???BD的最小值也是2

故選:B.

【點睛】

本題主要考查矩形的性質及二次函數的最值，掌握矩形的性質和二次函數的圖象和性質是解題的關鍵.

3.(2020?山西呂梁市?九年級期末)如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A(3,0),頂點B在y

軸正半軸上,頂點D在x軸負半軸上,若拋物線y=-x2-5x+c經過點B、C,則菱形ABCD的面積為()

【答案】B

【分析】

根據拋物線的解析式結合拋物線過點B、C,即可得出點C的橫坐標，由菱形的性質可得出AD=AB=BC=5,

再根據勾股定理可求出OB的長度，套用平行四邊形的面積公式即可得出菱形ABCD的面積.

【詳解】

解：拋物線的*j稱軸為產-2二-』，

2a2

???拋物線y=22-5x+c經過點B、C,且點B在y軸上，BC〃x軸，

二點C的橫坐標為-5.

???四邊形ABCD為菱形，

???AB=BC=AD=5,

???點D的坐標為(-2,0),OA=3.

在R3ABC中,AB=5,OA=3,

=4?

AS菱形ABCD=AD?OB=5X4=20.

故選:B.

【點睛】

本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質、菱形的性質以及平行四邊形的面積，根據二

次函數的性質、菱形的性質結合勾股定理求出AD=5、0B=4是解題的關鍵.

4.（2020?江蘇鎮江市?九年級期末）如圖，拋物線丁:二一一力與x軸交于從、〃兩點，點夕在一次函數

4

），=一1+6的圖像上，。是線段左的中點，連結OQ,則線段。。的最小值是（）

A.—B.IC.V2D.2

2

【答案】A

【分析】

先求得A、B兩點的坐標，設尸（皿6-6），根據之間的距離公式列出尸5?關于山的函數關系式，求得其

最小值，即可求得答案.

【詳解】

令y=0,則一f-4=0,

4

解得：x=±4.

???A、B兩點的坐標分別為：4（4,0）.8（-4,0）,

設點P的坐標為（/〃,6—加），

???PB2=（/n-4）2+（6-/n）2=2m2-20m+52=2（m一5尸+2,

V2>0,

???當加=5時，QB?有最小值為：2，即依有最小值為：及，

YA、B為拋物線的對稱點，對稱軸為y軸，

???0為線段AB中點，且Q為AP中點，

172

???OQ=-PB=^—.

故選：A.

【點睛】

本題考杳了二次函數與一次函數的綜合問題，涉及到的知識有：兩點之間的距離公式，三角形中位線的性

質，二次函數的最值問題，利用兩點之間的距離公式求得QB?的最小值是解題的關鍵.

5.(2020?江蘇蘇州市?九年級期末)如圖，已知二次函數)，=儂2-4"a+3〃7((〃2>0)的圖像與工軸交于4、

B兩點,與)'軸交于點C,連接AC、BC,若C4平分NOCB,則〃?的值為()

A.6B.y[2C.—D.如

23

【答案】D

【分析】

先求出A(l,0),B(3,0),C(0,3m),后證ACOBS/XADB,列比例式求解即可.

【詳解】

解：???二次函數y=〃氏2—4根1+3〃?((〃2>。)的圖像與工軸交于4、B兩點,與)'軸交于點C,

當y=0時,即0=mx2-4/nv+3m,解得,xi1,X2=3,

AA(l,0),B(3,0),

當x=0時,y=3m,

C(0,3m),

過點A作AD_LBD于點D,如圖,

AAD=OA=I,

又；AB=2,

???BD=G

VZCOB=ZADB,ZB=ZB,

AACOB^AADB,

，三二”即網「，

ADDB1V3

?m-C

??m------,

3

故選D.

【點睛】

此題主要考查了二次函數與坐標軸交點和相似三角形的判定與性質.正確的添加輔助線和證△COBsaADB

是解決問題的關鍵.

6.（2020?江蘇鎮江市?九年級期末）如圖，已知二次函數），=/+〃吠+〃頂點。的縱坐標為一3,平行于X

軸的直線/交此拋物線A,B兩點,且A8=6,則點。到直線/的距離為

【答案】9

【分析】

設出頂點式)，=(不一/?)2—3,根據A3=6,設出B(h+3,a),將B點坐標代入，即可求出a值，即可求出

直線I與x軸之間的距離，進一步求出答案.

【詳解】

由題意知函數的頂點縱坐標為-3,可設函數頂點式為y=(x-h?-3,

因為平行于x軸的直線/交此拋物線A,“兩點，且43=6,所以可設B(h+3,a).

將B(h+3,a)代入y=(x-〃)2—3,得〃=(/?+3—力『一3二6

所以點B到x軸的距離是6,即直線I與x軸的距離是6,

又因為D到x軸的距離是3

所以點。到直線/的距離：3+6=9

故答案為9.

【點睛】

本題考查了頂點式的應用，能根據題意設出頂點式是解答此題的關鍵.

7.(2020?河南信陽市?九年級期末)如圖，已知。P的半徑為4,圓心P在拋物線y=x2?2x-3上運動，當

0P與x軸相切時，則圓心P的坐標為.

【答案】(1+20,4),(1-20,4),3,-4)

【分析】

根據已知OP的半徑為4和。P與x軸相切得出P點的縱坐標，進而得出其橫坐標，即可得出答案.

【詳解】

解：當半徑為4的。P與x軸相切時，

此時P點縱坐標為4或-4,

???當y=4時,4=x2-2x-3,

解得：xi=l+2y/2>X2=I-2^2?

???此時P點坐標為：(1+2JJ,4),(1-2y/2,4),

當y=-4時，-4=x2-2x-3,

解得：X1=X2=1?

???此時P點坐標為：（1，-4）.

綜上所述：P點坐標為：（1+20,4）,（1-20,4）,（1,-4）.

故答案為：（1+2血，4）,（1-272，4）,（1,?4）.

【點睛】

此題是二次函數綜合和切線的性質的綜合題，解答時通過數形結合以得到P點縱坐標是解題關鍵。

8.（2020?浙江臺州市?九年級期末）定義：在平面直角坐標系中，我們將函數），=r+2的圖象繞原點。逆

時針旋轉60。后得到的新曲線L稱為“逆旋拋物線”.

（1）如圖①，己知點4一1,〃），3s,6）在函數），=/+2的圖象上，拋物線的頂點為C,若L上三點4、

3'、C'是A、B、。旋轉后的對應點，連結A'8',AC'、BC,則又博^二；

<2）如圖②，逆旋拋物線L與直線y二|相交于點M、N,則&WN=.

【答案】3；

2

【分析】

（1）求出點A、B的坐標，再根據割補法求^ABC的面枳即可得到5M出工.；

（2）將旋轉后的MN和拋物線旋轉到之前的狀態，求出直線解析式及交點坐標，利用割補法求面積即可.

【詳解】

解：（1）在），二犬+2上，令x=0,解得y=2,

所以C（0,2）,OC=2,

將A（-1,。）,3（6,6）代入3，=12+2,

解得a=3,b=2,

.?.A(-l,3),8(2,6),

設A(-1,3),以2,6)的直線解析式為丁="+力,

r3=-k+b

則〈,

I6=2k+b

直線AB解析式為y=x+4,令x=0

解得，y=4,即0D=4,

ACD=4-2=2,SM,8C=；CD?12-(-I)]=lx2x3=3

,,^AA'B'C=3

3

(2)如圖，由旋轉知，OE=OE，=/OGF=NEOE'=60°，ZOFG=30°

2

：?OE」FG,OF=3,0(3=43

r—y=-J.3x+33)

直線尸G:y=—G+3,令2-，得/+氐r一1=0

y=x-1-2

.->/3±J(V3)2-4x1x(-1)-限將

??1二--------------------------=

2x12

|=近

???S、OMN=g0/?近=乎

1--------O?

Ml冬圖第②各89

【點睛】

此題考查了二次函數與幾何問題相結合的問題，將三角形的面積轉化為解題關鍵.

9.（2020?重慶巴南區?九年級期末）如圖，拋物線），=—Y+〃x+c與大軸交于點A（1,O）和點8（-3,0）,與

，'軸交于點C.

（1）求b,。的值；

（2）如圖1,點P為直線8C上方拋物線上的一個動點，設點尸的橫坐標加.當機為何值時，（JPBC的

面積最大？并求出這個面積的最大值.

（3）如圖2,將該拋物線向左平移2個單位長度得到新的拋物線y=q/+4]+q（q。0）,平移后的

拋物線與原拋物線相交于點。，點M為直線8C上的一點，點N是平面坐標系內一點，是否存在點M,

N,使以點3,D,M,N為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請

說明理由.

圖1圖2

【答案】（1）。=-2,c=3；（2）SAMC最大為三;（3）存在，石），M人一小一3,-后）,

8

33

22

【分析】

（1）利用待定系數法即可求得。的值；

（2）過P作PM〃y軸，交BC于M,利用割補法即可表示□尸BC的面積，再根據二次函數的最值即可求得

最大值；

（3）分①當BD為邊時和②當I3D為對角線時，兩種情況討論即可.

【詳解】

解：(1)將A(1,O),5(-3,0)代入>=一/+云+。得

f0=-l+Z?+c

lo=-9-3"c'解得[lhc==-23'

即方=-2,c=3；

(2)設P的坐標為(/n,-w?_2m+3)，

在拋物線,，=一/一2x+3,

令x=0,可得y=3,故C(0,3),

設BC為)，=Ax+f,

將B(-3,0),C(0,3)代入

0=—3k+1k=\

c，解得｛

3=tt=3

，直線BC的解析式為：y=x+3,

過P作PM〃y軸，交BC于M,

則M(m,m+3),

故PM=-m2-2w4-3-(zn+3)=-rrr-3ni,

ii33327

SMBC=S?MB+S,MC=彳尸M(4+刈)=彳PM?3=彳｛-nr-3〃?)=-^(/7?+-)2+—,

LLLLL

327

當加=一7時，S&P8c最大為？；

28

(3)向左平移2個單位后，y=-U+2)2-2(x+2)+3=-X2-6X-5,

y=-x2-2x+3

聯立《,解得《

y=-x2-6x-5y=3

???D(-2,3),

???8(-3,0),

:?BD=，(-2+3(+(3-0)2二師

①當BD為邊時，BD=BM,

設必(小〃+3),則BM=J(〃+3>+5+3>=⑸〃+31，

即應|〃+3|=而，解得力=宕一3,%=一后一3,

???/％（石-3,5M2（-75-3,-75）；

②當BD為對角線時，DM=BM、

DM=飛—』：

：?J（〃十3）2十（〃+3）2=J（3_/L3）2十〃2，

3

解得力=——，

33

二%（一/，］）?

綜上所述，存在，（6一3,石），M2（-6一二一石），加3（-T，|）?

【點睛】

本題考查二次函數綜合.（1）中掌握待定系數法是解題關鍵；（2）掌握割補法求面積是解題關鍵；（3）需

注意分情況討論和兩點之間距離公式.

17

10.（2020?江蘇省錫山高級中學實驗學校九年級期末）如圖，已知拋物線）-/工一〃（〃>0）與x軸

交于4,B兩點（4點在B點的左邊），與J，軸交于點C.

（1）如圖1,若A/5C為直角三角形,

①求n的值;

②P是拋物線上的一點，。是拋物線的對稱軸上的一點，若以點8、C、P、。為頂點的四邊形是平行四邊

形，請直接寫出符合條件的點尸的坐標;

（2）如圖2,過點B作BC的垂線80分別交拋物線和J軸于點E,KBE=EDt求〃的值.

【答案】（1）①〃=4,②尸點的坐標為（1Lq-和15,q39■卜M—5,2152

；(2)n=—

4-49

【分析】

（1）先證明口40。5口。。8,得到CM、OB、0C之間的關系，再設出力和8兩點的坐標，利用根與系

數的關系得出關于〃的方程，求解即可；

（2）設出P和0兩點的坐標，再分情況討論哪兩條線段為平行四邊形的對角線，根據平行四邊形對角線互

相平分，利用中點坐標公式建立方程求解即可；

（3）先設出8點坐標，再通過相似建立比例線段，求出七點坐標，然后通過做輔助線構造相似三角形，

得到D點的坐標，將8和。兩點坐標同時代入拋物線解析式中求解即可.

【詳解】

解：（1）①由題可知：C（（）,-〃）

???OC2=n2

?淪ABC為直角三角形，

:.AC8=90°

/.ZACO+Z8a>90。

又因為//CO+NC=90。，

：.ZOAC=ZOCB,

由NAOC=ZCOB,

AOC4CQ8,

?^O_OC_AC

''~CO~~OB~~CB

：?Q0B=0O，

設4石,0）,8（孫0）

X1?x2=-4n=-AOOB

即4〃=n2，

解得〃=0（舍），n=4,

:.71=4.

I3

2

②由（1）知，-X--X-4=0H,xl=8,X2=-2,

?"（8,0）C（0,-4）

又.J拋物線對稱釉為直線A-3

i3

:.設點P坐標為一"I'，一4）,Q點坐標為（3,〃。

由平行四邊形的性質可知：

當5。、C尸為平行四邊形對角線時，8。與。尸的中點重合，

???；（8+3）=gz

Z=11.

39

代入P點坐標公式可得：P（II,—）

4

（39

當BP、C0為平行四邊形的對角線時，同理可得P點坐標為-5,亍

I4

（21

當5C、P。為平行四邊形的對角線時，同理可得。點坐標為5--

\4

39（39、（21、

綜上所述P點的坐標為（11,］）和和［5,-wJ.

（2）解設8點坐標為（m0）,

■:BC1BD,

???ZCBE=90°

???/CBO+/OBE=90。,

又?：NCBO+NBCO=900,

???/OBE=/BCO,

因為N8OE=NCO8,

:.RSCBE中,〉BEOs△CBO

?_B_E__O__E__B_O_

.⑦BOBOa2

COn

（2\

所以E0,—

I〃）

過。作。〃_Lx軸于〃點，

：.DH//OE,

.BE_OE_BO

?茄一麗—麗

,/BE=ED，

）2

?**DH-2OE=—、OH=OB=a

2/）

I〃J

將B點（m0）,及（一。，里】代入拋物線解析式，解得〃=0（舍）或〃="

In）9

綜上所述〃=彳52.

【點睛】

本題為二次函數與相似綜合題，涉及到了相似三角形的判定與證明、平行四邊形的性質的應用、圖像上點

的坐標與二次函數解析式的關系、待定系數法、平行線分線段成比例等內容，要求學生理解并熟記相關概

念，能運用相關公式進行求解，對學生的綜合分析、推理和計算的能力都有較高要求，題中蘊含了數形結

合和分類討論等思想方法.

二、橫老典涮——拾級而上

1.（2021?河北九年級一模）如圖，拋物線y=a（x-1）2+k（a>0）經過點（?1,0）,頂點為M,過點P

（0,a+4）作x軸的平行線1,1與拋物線及其對稱軸分別交于點A,B,H,以下結論：①當x=3.1時，y

>0;②存在點P,使AP=PH；③（BP-AP）是定值；④設點M關于x軸的對稱點為當a=2時,

點在1下方，其中正確的是（）

A.①③B.?@C.?@D.（D@

【答案】A

【分析】

根據二次函數的對稱性可得拋物線與x軸的另一個交點的坐標為（3,0）,且拋物線開口向上，可對①作判

斷；根據圖形中與x軸交點坐標（-1,0）和對稱軸與x軸交點（1,0）可對②作判斷；根據對稱性得：AH=BH,

根據線段的和與差可對③作判斷；根據M，的坐標和1到x軸的距離可對④作判斷.

【詳解】

①由題意得：a>0,開口向上，

???拋物線對稱軸是x=1,且經過點（?1,0）,

???拋物線過x軸另一個點為（3,。），

,當x=3.1時，y>0；

故①正確；

②當P在O點時，AP=PH,

Va>0,

，P不可能與0重合，

故②不正確：

@BP-AP=(BH+PH)-AP=AH+PH-AP=2PH=2,

故③正確：

④把(?1,0)代入y=a(x-1)2+k中，k=-4a,

當a=2H寸，a+4=6,-(-4a)=8,點M在1的上方，

故④不正確；

所以正確的有：①③，

故選A.

【點睛】

本題考查了二次函數的性質、與x軸的交點、關于x軸對稱的點的特點，利用數形結合的思想解決問題是

關鍵，并熟練掌握二次函數的性質.

2.(2020?浙江高照實驗學校九年級月考)拋物線y=ax?+bx+c交x軸于A(-1,0),B(3,0),交y軸的

負半軸于C,頂點為D.下列結論：①2a+b=0；②2cV3b；③當m#l時，a+b<am2+bm；④當AABD是

等腰直角三角形時，則a=；；⑤當AABC是等腰三角形時，a的值有3個.其中正確的有()個.

【答案】C

【分析】

根據二次函數圖象與系數的關系，二次函數與x軸交于點A(-1,0)、B(3,0),可知二次函數的對稱軸

為x=(7)+3=l,即-2=1,可得2a與b的關系；將A、B兩點代入可得c、b的關系；函數開口向下，

x=l時取得最小值，則m*,可判斷③；根據圖象AD=BD,頂點坐標，判斷④；由圖象知BC#AC,從而

可以判斷⑤.

【詳解】

解：①???二次函數與x軸交于點A(-1,0)、B(3,0).

二次函數的對稱軸為x=-,3=],即-?=1,

22a

2a+b=().

故①正確；

②：二次函數y=ax?+bx+c與x軸交于點A(-1,0)、B(3,0).

:.a-b+c=0,9a+3b+c=0.

又■:b=-2a.

/.3b=-6a,a-(-2a)+c=0.

/.3b=-6a,2c=-6a.

???2c-3b.

故②錯誤；

③???拋物線開口向上，對稱軸是x=l.

???x=l時，二次函數有最小值.

1時，a+b+c<am2+bm+c.

即a+b<am2+bm.

故③正確：

④?「AD=BD,AB=4,z\ABD是等腰直角三角形.

.\AD2+BD2=42.

解得,ADM.

設點D坐標為(I,y).

則卜(-1)]2+y2=AD2.

解得y=±2.

???點D在x軸下方.

???點D為(1,-2).

;二次函數的頂點D為(1,-2),過點A(-1,0).

設二次函數解析式為y=a(x-1)2-2.

Z.0=a(-1-1)2-2.

解得a」.

2

故④正確；

⑤由圖象可得，AC^BC.

故AABC是等腰三角形時，a的值有2個.

故⑤錯誤.

故①?④正確，②⑤錯誤.

故選C.

【點睛】

主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養.要會利用數形結合的思想把代

數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.

3.(2020?內蒙古包頭市?九年級二模)如圖所示，拋物線(〃和)與內軸交于點力(,2,0)、B

(1,0),直線與此拋物線交于點G與x軸交于點M,在直線上取點O,使MO=MC,連接，C,

2

BGADfBD,某同學根據圖象寫出下列結論：①a-b=0；②當xV時，『隨x增大而增大；③四邊形

力CBO是菱形；④9a?3b+c>0.你認為其中正確的是

A.②③④B.①?@C.①?④D.①②③④

【答案】B

【解析】

(1)???拋物線y=M+6x+c(存0)與x軸交于點A(-2,0)、B(1,0),

,4〃一2/?+。=0①，a+b+c=O②,

???由①-②可得：3a—3b=0,即：a-b=O；故第一個結論正確：

(2)???點A、B的坐標分別為(-2,0)、(I,0),點M的坐標為(-0.5,0),

???點M是線段AB的中點，

工直線X=-:是拋物線的對稱軸，

2

又*?拋物線開口向下，

???當xV-；時，y隨x增大而增大，故第二個結論是正確的；

2

(3)???點M既是AB中點，又是CD中點，且CDJLAB,

???CD與AB互相垂直平分，

???四邊形ACBD是菱形.故第三個結論是正確的；

(4)?,?拋物線的開口向下，點A的坐標是(-2,0),

???結合圖象可知：當x=—3,)，=9a—3b+c＜。，故第四個結論是錯誤的；

綜上所述，正確的結論是①②③.

故選B.

4.(2021?吉林延邊朝鮮族自治州,九年級二模)如圖，在平面直角坐標系中,拋物線)，二(工2一］一|與*

軸正半軸交于點4過點/的直線(A網)與該拋物線的另一個交點4的橫坐標為2,尸是該拋物

線上的任意一點，其橫坐標為帆+1,過點尸作x軸的垂線，交直線48于點G在該垂線的點尸上方取一

點D,使尸0=1,以CO為邊作矩形C&E凡設點￡的橫坐標為2/〃.

(1)求直線對應的函數關系式；

(2)當點戶與點力重合時，求點￡的坐標；

(3)當點E在該拋物線上時，求拋物線的頂點到E尸的距離；

(4)當矩形CDEF的邊CD與該拋物線相交，且該拋物線在矩形COE產內的部分所對應函數值J，隨x的增

大而增大時，直接寫出，〃的取值范圍.

【答案】(I)y=-x--,(2)(4,1)；(3)-1+2二或1+2X/7:(4)或1＜機工史2或加之2

■223343

(也可以寫成：當生互或加工1或機22)

43

【分析】

(1)求出48兩點坐標，利用待定系數法求解即可：

(2)構建方程求解即可;

(3)由題意，得點￡的坐標為(2加,工〃，-1),代入拋物線的解析式，構建方程求解即可;

2

(4)求出三種特殊情形〃?的值，利用圖象法判斷即可.

【詳解】

173

(1)當R=2時，y=-x22-2--=--.

■222

3

???點B的坐標為(2,--),

2

?3

當F=0時，一/一工一一=().

22

解得石=-1?々=3.

???拋物線、=：/一%-,與不軸正半軸交于點4,

???點力的坐標為(3,0).

2k+b=—

由題意，得J2,，

3k+b=0.

[.3

k=一,

2

解得，

b=--.

2

39

???直線48對應的函數關系式為/=耳工一].

(2)當點戶與點力重合時，〃什1=3,解得m=2.

:.27M=4,

???點。的縱坐標為1,

???點E的坐標為(4,1)

(3)將)，=I5/一工一3耳配方，得y=51*-i)2—2.

???拋物線的坐標為(1,-2)

由題意,得點￡的坐標為(2w,-m2-l)

C

,:點E在該拋物線上，

/.—W2-1=—（2/7?2）-2/77--.

222

解得g=笥自，叫=三互，

當26＜1時，即m＜頂點（1,-2）在E尸的右邊,

2

2-幣1

m=------<—，

32

???拋物線的頂點到E/的距離為

「2—）-1+2近

3

當2加＞1時，即〃2＞,，頂點（1,_2）在小的左妨.

2

2+771

m=------>—-9

3：2

???拋物線的頂點到后產的距離為

2〃一=當處一二任

33

綜上所述，拋物線的頂點到EF的距離為T+2近或出且.

33

33.3

（4）當點T7（2加,二〃?一3）在拋物線上時，-m-3=2m2-2tn~—,

222

解得〃?二1或1,

4

當E在拋物線時，〃?二生巨，

3

當點P與4重合時，/"=2,

觀察圖I,圖2,圖3可知，當或1＜機工生笈或加之2時.，矩形CDEb的一組鄰邊與該拋物線相

43

交.

也可以寫成：當?《根〈生彳或〃2/1或優22時.，矩形"的一組鄰邊與該拋物線相交.

43

【點睛】

本題考查了二次函數的性質，一次函數的性質，待定系數法等知識，理解題意，學會利用參數構建方程解

決問題，學會利用特殊點解決問題是解題的關鍵.

I4

5.（2021?上海徐匯區?九年級二模）如圖，已知拋物線〃與『軸交于點C,直線p=-§x+4與.

軸和X軸分別交于點力和點/過點C作CO垂足為點0,設點E在x軸上，以CD為對角線作aCEDE

（1）當點C在N/16O的平分線上時，求上述拋物線的表達式；

（2）在（1）的條件下，如果。CE0尸的頂點廠正好落在尸軸上，求點尸的坐標；

（3）如果點E是80的中點，且。尸是菱形，求，的值.

【分析】

3

（1）在RS/。。中，設OC=x,由勾股定理得：（4-x）2=/+4,解得、=一，即可求解；

2

612

（2）求出點。的坐標為（1，y）,如果。CEQ尸的頂點廠正好落在y軸上，則。七〃y軸，且DE=CF,

進而求解;

（3）求出點D的坐標為（--------,--------）,由DE=CE,即可求解.

2525

【詳解】

44

解：（1）對于y=-1.丫+4①，令歹=-yx+4=0,解得x=3,令x=0,則y=4,

故點力、8的坐標分別為（0,4）、（3,0）,

由點44的坐標知，04=4,08=3,則44=5,

連接6C,如下圖，

???點C在N48O的平分線上，則0C=CQ,

vt

，

?;BC=BC,

(HL),

故50=08=3,則力。=5-3=2,

設OC=CD=x,貝lJ/C=4-x,

3

在RtMQC中，由勾股定理得：（4-X）2=/+4,解得工=一

2

故點。的坐標為（0,-）,

2

則拋物線的表達式為y=g■/+g；

（2）如上圖，過點。作C〃〃x釉交4?于點〃，則N/14O=N.4〃C,

43

由,48得表達式知，lan//8O=-=tanNO〃C,則tanNQC〃=」，

34

33

故直線CD的表達式為y=—x+—②，

42

6

x=76I?

聯立①②并解得《；2,故點。的坐標為（不，不），

如果口CEZ小的頂點尸正好落在y軸上，貝ijQE〃y軸，RDE=CF,

,12

故DE=yo=—,

則/=iE=一12十二3二3二9

5210

39

故點F的坐標為(0,—)；

3

（3）???點E是60的中點，故點E（—，0）,

2

3

由（2）知，直線CQ的表達式為y=-x+〃?③,

4

48—12m36+16m

聯立①③并解得，點D的坐標為（--------，

2525

3

而點E、。的坐標分別為（—，（））、（（），〃?）,

2

???uCE。/7是菱形，則OE=C,

即三一”沖3

(—)2+〃落

2

即9m2-36m=0?

解得加=4（舍去）或0,

故m=0.

【點睛】

本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、菱形的性質、解直角三角形等.

6.（2021?浙江湖州市,九年級一模）二次函數，=a/+/K+c（〃H0）的圖象與x軸交于A（—1,0）,8（3,0）兩

點，與j，軸交于點。（0,-2）,直線/:X=〃2（〃?>3）與x軸交于點n

（1）求二次函數的解析式：

（2）在直線/上找點尸（點尸在第一象限），使得以點P,D,8為頂點的三角形與以點力，C,O為頂點

的三角形相似，求點P的坐標（用含〃，的代數式表示）:

（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在第一象限內的點。，使得V8PQ是以尸為直角頂點的等腰

直角三角形？若存在，求出點。的坐標：若不存在，請說明理由.

?4(m-3](13

【答案】(I)y=-x2一一x-2；(2)in,"或(加,2加-6)；(3)存在；Q

'33I2J122

【分析】

(1)運用待定系數法求解即可；

(2)設點Q坐標為(〃?，〃)，由于NAOC=NPDB=90。則以P,D,8為頂點的三角形與以力、C、O為

頂點的三角形相似時，分兩種情況：AOCAIAQ32和△。。口△。心.根據相似三角形的性質可得點P

的坐標；

(3)運用/US證明得QM=PD,PM=BD,再分P為卜,和戶為

(w,2〃?—6)列出方程求解即可.

【詳解】

⑴將A(-1,0),8(3,0),。(0,-2)代入丁=加+法+?“*0),得:

a-b+c=0

,9。+3〃+c=0,

c=-2

24

解得，a=—,b=—,。=一2,

33

???拋物線的解析式為：y=-x2--x-2；

33

(2)設尸(w,〃)，

?：/AOC=/PDB=90。.

???當以P,D,8為頂點的三角形與以4、C、。為頂點的三角形相似時，分兩種情況:

①若AOC4HAD3。時，則空=空

DPDB

12

??一，

nm-3

"7—3

??fl-9

2

(tn-3

/.Pn"2,------

2

②若△OCAnADPB時，則空二空,

DBDP

*12

??—,

m-3n

/.n=2/77—6,

，點P的坐標為：Q〃,2機一6)或(〃7,6-2利)(舍去),

???點尸在笫一象限，

???點P的坐標為卜2,竺不，)或(〃!,2〃?-6)

(3)如圖，過點Q作QMJ■/于點M,

???V3PQ為等腰直角三角形，ZBPQ=90°,PQ=BP,

乂v/QMP=ABDP=90°,

ABDP/APMQ,

:.QM=PD,PM=BD，

①當P為|加,'L時，

27

m-3

QM=PD

2

339

時等,I

代入），=%2_3_2,

33

解得：町=4,〃4=3（舍去）

②當P為（〃?，2m-6）時，

QM=PD=2m-6,DM=PM+PD=3m—9，

：.2（6-777,3/n-9）,

代入y=—x2-—x-2,

33

23

解得：m\=—?，電=3（舍去）

??年甥〉

此時的點。不在第一象限內，故舍去，

（73、

綜上，可得。

【點睛】

此題是二次函數綜合題，涉及到二次函數解析式的確定，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定與

性質等知識，在解題時一定注意分類討論思想，以免漏解.

48

7.（2020?山東濰坊市?九年級一模）如圖，在直角坐標系中，拋物線），=丁一+工^一4與x軸交于點八、

■279

B,與）,軸交于點C,點。的坐標為（-3,0）.口。的半徑為2,E是口C上的一動點，點f是AE的中

點，則。尸最小值為

【分析】

通過計算知D為線段AB的中點，易知DF為三角形ABE的中位線，DF=gBE,當線段BE長最小時。，DE

2

長最小，結合圖形可知BE的最小值為BC的距離與口C的半徑差，進而得解.

【詳解】

AQAQ

解：由丁=—/+一彳一4可知，當y=0時，由一V+一工-4=0解得玉=-9,々=3,故點A(-9,0),

279'279

點B(3,0),當x=0時，y=-4,故點C((),-4),而點D的坐標為13,0),故點D為線段AB的中點，而點F

為線段AE的中點，故線段DF為A4BE的中位線.故有DF=：BE,當線段BE最小時，DF最小，如解圖

所示，但點E是線段BC與圓C的交點時，BE最小，而OB=3,004,故3c=律壽=5，BE=BC-2=3,

士一13

所以DF=—BE=—.

22

故答案為：g

2

【點睛】

本題主要考查了二次函數的圖像與坐標軸的交點，三角形的中位線，與圓有關的最值問題，確定DF是三角

形的中位線以及線段BE的最小值是解題的關鍵.

8.(2020?廣西貴港市?九年級零模)如圖，已知拋物線X=-2/+2,直線為=2x+2,當1任取一值時,

工對應的函數值分別為如>2,若)'產必，取力，%中的較小值記為M；若記M=y=)'2,

例如：當x=l時，y=0，%=4,y<)，2,此時M=O,下列判斷：

①當x<0時，y,>y2；

②當時，尤值越大，M值越小；

③使得M大于2的工值不存在；

16

④使得M=1的x值是一不或注.

22

其中正確的是.

【答案】③④

【分析】

根據二次函數和一次函數的圖像與性質即可得出答案.

【詳解】

由題可得，函數圖像如圖所示

y-K=—2X+2—2x—2=—2］（工+1）

.?.當jvx〈o時，y[>y2i當x=-i時，/二外；當xv?i時,)%<必，故①錯誤;

由①可知，當x<o時，拋物線與直線的交點坐標為(-1,0)

結合圖示，可知，當-1<XV()時，M