專題22.1成比例線段【七大題型】

【滬科版】

【題型?成比例線段的概念】....................................................................1

【題型2成比例線段的應用】....................................................................3

【題型3比例的證明】..........................................................................5

【題型4利用比例的性質求比值】...............................................................7

【題型5利用比例的性質求參】.................................................................8

【題型6比例的性質在閱讀理解中的運用】......................................................10

【題型7黃金分割】...........................................................................13

”。手三

【知識點1成比例線段的概念】

1.比例的項：

在比例式Q：6=C：d（即烏=￡）中，。"稱為比例外項，b,C稱為比例內項.特別地，在比例式=6：C

bd

（即g=2）中，力稱為4C的比例中項，滿足。2=雨.

bc

2.成比例線段：

四條線段。，b,Cfd中，如果。和b的比等于c和d的比，即烏=￡,那么這四條線段小b,c,d

bd

叫做成比例線段，簡稱比例線段.

【題型1成比例線段的概念】

【例1】（2022秋?南崗區校級月考）不能與2,4,6組成比例式的數是（）

A.gB.3C.8D.12

【分析】利用表示兩個比相等的式子，叫做比例式，然后分別求出4、B、。、。選項的比值，即可判斷.

【解答】解：4、/2=4：6,故A不符合題意；

B、2：3=4：6,故4不符合題意；

C、2：4#6：8,故C符合題意；

D、2：4=6：12,故。不符合題意；

故選：C.

【變式1?1】（2022秋?義烏市月考）己知線段。=2,6=6,則它們的比例中項線段為，百一

【分析】由題意線段c是。、b的比例中項，可知/=（而，由此即可解決問題.

【解答】解：???線段c是。、〃的比例中項，

.'?（r=abi

b=6,

/.C2=12,

Vc>0,

Ac=2V3,

故答案為：2V3.

【變式1-2]（2022秋?道里區期末）如圖，用圖中的數據不能組成的比例是（）

A.2：4=1.5：3B.3：1.5=4：2C.2：3=1.5：4D.1.5：2=3：4

【分析】根據對于四條線段。、尻c、4如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比

相等，如（即〃/=/“、），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，進而分別判斷即

可.

【解答】解：4、2：4=1：2=1.5：3,能組成比例，錯誤；

B、3：1.5=2：1=4：2,能組成比例，錯誤；

C、2：3W1.5：4；不能組成比例,正確；

D、1.5：2=3：4,能組成比例，錯誤；

故選：C.

【變式1-3]（2022秋?八步區期中）如圖所示，有矩形48co和矩形4ECD',AB=ScmtBC=l2cm,AH'

=4皿BC=6cm.則線段Ab,AB,BCBC是成比例線段嗎?

Ai---------------------iD

A'-----------,Dr

31--------------lcBf\-------lcr

【分析】求出嚶，器的值判斷即可.

ABBC

【解答】解：???A8=8。"，BC=\2cm,A'B'=4cm,B'C=6m,

.A'Bi1B>O6

...-A->-B->=--B-i-C-i

AHBC

AB,B,C,5c是成比例線段.

【題型2成比例線段的應用】

[ft2]（2022秋?渭濱區期末）己知的三邊分別為。一，c,且（a-c）：（。+6）：（c-〃）=-

2：7：1,試判斷△?18c的形狀.

【分析】設。?c=-23a+b=l,c-b=\,再利用A分別表示出。、b、c,然后利用勾股定理的逆定理

進行判斷.

【解答】解：*/（a-c）：（。+〃）：（C-Z?）=-2：7：1,

a-c=-2ka=3k

???設a+b=7k,解得b=4k，

c—b=kc=Sk

'：a2+b2=(3k)2+(4k)2=25lc=(5k)2=c^

???△ABC為直角三角形,ZC=90°.

【變式2-1]（2022秋?青羊區校圾月考）甲、乙兩地的實際距離是400千米，在比例尺為1：500000的地

圖上，甲乙兩地的距離是（）

A.0.8c/nB.8cmC.80c/nD.800cm.

【分析】設地圖上，甲乙兩地的距離是xcm，根據比例尺的定理列出方程，解之可得.

【解答】解：設地圖上，甲乙兩地的距離是XC〃1,

根據題意，得：』=焉

解得：x=80,

即地圖上，甲乙兩地的距離是805?,

故選：C.

【變式2-2]（2022秋?杜爾伯特縣期末）一個班有30名學生，男、女生人數的比可能是（）

A.3：2B.1：3C.4：5D.3：1

【分析1根據人數必須是整數，所以男、女生人數占的總分數必須能被30整除，然后進行計算即可解答.

【解答】解：A、30+（3i2）=6,能得出整數的結果，故工符合題意;

【知識點2比例的性質】

比例的性質示例剖析

(1)基本性質：—ad=bc(bd工0)冷=3x=2y

bd

（2）反比性質：仁三0?=色觸以于0）xy23

-=7<=>-=-200)

bdac23xy

,一、Hit3Hacab4

(3)更比性質：7=~;0一=:或

baca；=；=±=^或)=；8心0)

23y3X2

—=—(abed0)

ba

,Ait”-aca+bc+d人i小x2x+y2+3,小

(4)合比性質：-=-<=>——=——(bd^O)廣廣I3("。)

baba

（5）分比性質：;=二0?=三《（拉7*。）心=3衛（田）

bdhdx2x2

,八人八"3Haca+bc+d

(6)合分比性質：-=-<=>--=-一-x2x+y2+3

baa-bc-d_0-(yW0,f)

y3x—y2—3

(bd*0,a#b、c*d)

(7)等比性質：

234

已知--，則當x+y+z/O時，

—=—=???=—(Z>+tZd---xyz

bdn2342+3+4

a+c+-+ma.,八、

zz>----------=一(zb+d+L￥+7!#0)xyzx+y+z*

》+"???+〃h

【題型3比例的證明】

【例3】（2022秋?汝州市校級月考）已知線段小b,c,d（b乎dWO）,如果W=：=M求證：W=器.

bdb-db+d

【分析】根據比例線段的性質證明即可.

【解答】證明：由三二：=3

ba

可得：a=bk,c=dk,

把。=從，c=dk代入會=咚￥=匕

b-db-d

bk+dk

把a=bk,c=dk代入鬻==k,

b+d

可得:a-c_a+c

b-db+d

【變式3-1］（2022春?江陰市期中）如圖，點B,C在線段A。上，且"：BC=AD：CD,求證：2+士=工

ABADAC

BCD

AC-ABAD-AC

【分析】由已知條件得到*弟即,兩邊同除以AC,即可得到結論.

ABAD

【解答】證明：?嘿=笫

譚吟，即AC-ABAD-AC

ABAD

"T=1一生

ABAD

?_L—=—

**AB+ADAC

【變式3-2］（2022秋?秦都區校級期中）己知：如圖，點。為三角形ABC內部的任意一點，連接人。并延

長交4c于點Q.

SAABO_S&ACO

證明：（1）(2)S“B。_￡￡

SABODSRCODSAACOCD'

SAAB。_AO受歿二由此即可解決問題.

【分析】（1）由等高模型可知:OD2,

SABO。S&COD0D

（2）利用等高模型以及比例的性質即可解決問題.

?S&ABO_絲S“cO_"

【解答】證明：（1）??'

SdBQDODSACODOD

?SMB。_s“c。

S^BODSA。。。

(2),?SAABD_SaOBD_BP

SAADCS4ODCCD'

?SAABD-SAOBD_go

SbADC-S^ODCCD，

?SAAB。_BD

CD

SAAC。

【變式3-3】（2022秋?岳陽縣期中）若a,b,c,d是非零實數且戶?求證就=舞?

【分析】由于(/+/)(b2+d2)=。2"+/方2+〃232+//，(al^cd')(ab+cd)=次/+2a加d+c",根據比

例的基本性質得到ad=〃c,可得（a2+（r）（h2+d2）=Cab+cd'）（ab+cd）,從而得證.

【解答】證明：.*=（

??(id—be9

*/(fl2+c2)(b2+(P)—fl2/>2+C2/？2+fl2672+C2J2,

(ah+cd)(ab+cd)=a2b2+2abcd+(rd2,

\,2abcd=(rb2+a2d2

/.(cr+(r)(b2+d2)=(ab+cd)(ab+cd),

.a2+c2_ab+cd

ab+cdb2+d2"

【題型4利用比例的性質求比值】

【例4】(2022秋?炎陵縣期末)已知S="則?=4.

【分析】根據呂=],可得噤=：,再根據比例的性質即可求解.

3a-b42b3

【解答】解：???￡=:,

3a-b4

?3a-b_4

=3f

...-3a----1=4

2b23

■.?一a_11_.

b9

故答案為：Y-

【變式4-1](2022春?霍邱縣期末)若厘=J,那么”勺值等于()

a4a

A.-B.-C.--D.--

5454

【分析】把巴士=：化成1-2=1即可求出2的值.

a4a4a

【解答】解：???匕2=；,

a4

?b1

a4

故選:B.

【變式4-2](2022春?沙坪壩區校級期末)若？=：=9=；且人-2d+3尸0,則冷普的值為()

baf3o-2a+3/

A.—B.—C.—D.—

6326

【分析】先利用分式的基本性質得到m=w=然后根據等比性質解決問題.

b-2d3/3

【解答】解：安=

baJ3

??=a-----2c=-3e=",1

b-2d3/3

而。-24+尹0

?..Q...-.2..c..+..3.e—_1

b-2d+3f-3*

故選：B.

【變式4-3］（2022春?棲霞市期末）下列結論中，錯誤的是（）

A?若:=或則那

B?若等哼貝哈=［

C?花吟甘（人”0）,咯*

D.若三=三，則。=3,6=4

b4

【分析】分別利用比例的基本性質分析得出答案.

【解答】解：A、若則￡=￡正確,不合題意;

B、若?=；,則6（〃?。）=b,故.6a=7b,則E=g正確，不合題意；

b6b6

c、若E=：=|（〃-dxo），則三正確，不合題意；

ba3b-a3

D、若￡=￡無法得出小〃的值，故此選項錯誤，符合題意.

故選：。.

【題型5利用比例的性質求參】

【例5】（2022秋?蜀山區校級期中）已知："二比=上4，則4=2或-1

xyz----------------

【分析】能夠根據比例的基本性質熟練進行比例式和等積式的互相轉換.

【解答】解：此題要分情況考慮：

當X+V+Z盧（）時，則根據比例的等比性質，得仁2x+2y+2z=2：

,x+y+z

當x+y+z=O時，即x+y=-z,則女=-1,故填2或-1.

【變式5-1］（2022秋?灌云縣期末）已知且/）=24.則工的值是（）

A.15B.9C.5D.3

【分析】設;氣二%，根據比例的性質求出x=3A,），=5&,根據x+），=24得出弘+54=24,求出2，再求

出x即可.

【解答】解：設冷=1則戶33），=5億

??3+），=24.

???3%+5々=24,

解得：k=3,

...x=3X3=9,

故選:B.

【變式5-2］（2022秋?高州市期中）已知？=5=g且3y=2z+6,求x,y的值.

3561

【分析】由若"可設：=!=這樣用&分別表示x、y、Z,即工=3〃，y=5&,z=6k,再利

356356

.用3y=2z+6,可得到關于k的方程，解方程得到k的值，從而可確定x的值.

【解答】解：設：

則x=3A,y=5k,z=6k,

V3y=2z+6,

，3X5A=2X6A:+6,

解得：2=2,

；?x=3&=6,y=5Z=10.

【變式5-3］（2022?雨城區校級開學）我們知道：若2=7且HdWO,那么?=5=分.

bdbdb+d

（l）若b+d=O,那么4、C滿足什么關系？

（2）若管=等=?=3求產?L2的值.

【分析】（1）根據比例的性質即可得到結果；

（2）根據比例的性質求得/的值，把/的值代入代數式即可得到結論.

【解答】解：（1）??==：,從d=0,

ba

.*.a+c=O；

（2）①當/方+cH0時，叱="￡=健="儂"￡1=2,

abca+b+c

Ar2-r-2=2-2-2=0,

②當a+b+c=（）時，b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,

.b+ca+ca+b-,

..----=-----=-----=t=-],

abc

Ar2-r-2=0.

【題型6比例的性質在閱讀理解中的運用】

【例6】（2022秋?渝中區期末）閱讀理解：

已知：a,b,c,d都是不為0的數，且三=，求證：牛=蜉.

bdbd

證明：??9=：,

ba

Y+5+L

ba

?a+bc+d

?■----=-----.

bd

根據以上方法，解答下列問題：

（1）若戶以求管的值；

（2）若2=5,且cWd,證明工="J.

bda+bc+d

【分析】（1）把要求的式子化成華=2+1，再進行計算即可得出答案；

DD

（2）根據比例的性質得出?=與^,噂=等，再分別相除即可得出答案.

bdbd

【解答】解：（1）?一=：,

b5

?Q+ba38

?=丁+1=-+1=--

?a-bc-d

.,a+bc+d

t-=-f

?a-b.a+b_c-d.c+d

bbdd

.a-bc-d

??-------?

a+bc+d

【變式6-1】閱讀材料:

己知g=?=：工0,求也干的值.

346x-y+z

解：設g=（&W0）,則x=3Z,y=4匕z=6k.（第一步）

.x+y-z_3k+4k-6k_k_1（筌—中）

**x-y+z3k-4k+6k5k5，'''

（1）回答下列問題：

①第一步運用了等式的基本性質,

②第二步的解題過程運用了代入消元的方法,

由士得捌用了分式的基本性質.

（2）模仿材料解題：

已知x：y：z=2：3：4,求乎|-的值.

'x-1y+3z

【分析】（1）利用等式的基本性質，代入消元法，分式的基本性質，即可解答:

（2）仿照例題的思路，進行計算即可解答.

【解答】解：（1）①第一步運用了等式的基本性質，

②第二步的解題過程運用了代入消元的方法，

由卷得;利用了分式的基本性質，

故答案為：等式，代入消元，分式；

（2）Vx：>-：z=2：3：4,

?二設x=2億y=3k,z=4匕

.x+y+z_2k+3k+4k

**x-2y+3zi2k-6k+12k

_9k

-8k

_9

-8,

【變式6-2］（2022秋?椒江區校級月考）閱讀下列解題過程，然后解題：

題目：已知<=3二上（〃、力、c?互不相等），求x+y+z的值.

解：設-^=4=二=匕則x=A（a-b）,y=k（b-c）,z=k（c-a）,

a-bb-cc-a/

.*.x+y+z=k（a-b+b-c+c-a）=A?0=0,/..r+}M-z=0.

依照上述方法解答下列問題：

(a+b)(b+c)(c+a)的值.

【分析】設"仁="胖二*利用比例的性質得至Ua+〃-。=依，a-b+c=kb,-a+b+c=ka,

cba

將三式相加可以求得左=1,所以利用等量代換和約分可以求得所求代數式的值.

【解答】解：設絲匕

所以a+b-c=kc?,

a-b+c=kb?,

-a+b+c=ka③,

由①+②+③，得

a+b+c=k(a+b+c).

???a+〃+cWO,

a+b=2c,b+c=2a,c+a=2b.

.(a+b)(b+c)(c+a)_2cx2ax2b_

??—1—oQ.

【變式6-3］（2022春?鼓樓區校級期中）閱讀下面的解題過程，然后解題：

題目：己知七二」=3（〃、仄c?互相不相等），求盧廣z的值.

a-bb-cc-a

解：設a-bb-cc-a=k,貝J人=&（a-。），y=k（〃-c）>z=&（c-a）「是，人+y+z=&（.a-b+b-

c+c-a）=K0=0,

依照上述方法解答下列問題：已知：上=色=上（x+），+zW0）,求工^的值.

xyzx+y+z

【分析】設手=養=中=%,根據比例的性質得到x=y=z,計算即可.

【解答】解：設士=把=也=2,

xyz

則y+z=xk,z+x=yk,x+y=zk.

/.2(x+y+z)=k(x+y+z)，

解得,2=2,

.\y+z=2x,z+x=2y,x+y=2z,

解得，x=y=z,

則工

【知識點3黃金分割】

如圖，若線段A8上一點C,把線段A8分成兩條線段AC和3C（AC>8。），且使AC是A8和

的比例中項（即AC2=A&8C）,則稱線段A3被點C黃金分割，點C叫線段A3的黃金分割點，其中

4。=吏」48^0.61848,=三&AB=0.382AB,AC與AB的比叫做黃金比.（注意：對于線段

22

而言，黃金分割點有兩個.）

【題型7黃金分割】

【例7】（2022?青羊區校級模擬）如圖，點R是正方形的邊上線段43的黃金分割點，且AR>

RB,$表示以AR為邊長的正方形面積：S2表示以8。為長，BR為寬的矩形的面積，S3表示正方形除去

Si，S2剩余的面積，則與：S2的值為1.

【分析】設根據黃金比值用。表示出AK3R,根據矩形的面積公式計算，得到答案.

【解答】解：設A3=a,

???點農是邊A8邊上的黃金分割點，AR>RB,

/.AR=與±48=a,

2些2三

則BR=AB-AR=a-^-a=手a,

22

12

/.5i：52=（4a）：ax^-a=1,

故答案為：1.

【變式7-1]（2022秋?楊浦區期末）已知點。是線段4〃上的一點，線段40是總和AA的比例中項，下

列結論中，正確的是（）

.PBVs+lnPByfs+lAP\/5-1、APV5-1

A.—=---B.—=---—=---D.—=---

AP2AB2AB2PB2

【分析】根據黃金分割的定義判斷即可.

【解答】解：???點尸是線段4B上的一點，線段AP是PB和AB的比例中項,

：.AP2=PB^AB,

.??點P是AB的黃金分割點，

.AP_aT

?*~AB-2

故選：C.

【變式7-2］（2022秋?江都區校級月考）已知，點。是線段AB的黃金分割點，若AO>8D.

（1）若AB=10cm,則AD=（5V5-5）cm；

（2）如圖，請用尺規作出以A3為腰的黃金三角形A8C；

（3）證明你畫出的三角形是黃金三角形.

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