專題L5有理數的乘方【十大題型】

【人教版】

【題型?有理數乘方的概念】....................................................................1

【題型2乘方的運算】..........................................................................3

【題型3偶次乘方的非負性】...................................................................4

【題型4含乘方的混合運算】....................................................................6

【題型5含乘方的程序圖運算】.................................................................8

【題型6含乘方的數字及圖形規律問題】.........................................................10

【題型7乘方的應用規律】.....................................................................12

【題型8乘方應用中的新定義何題】............................................................13

【題型9科學記數法的表示】...................................................................17

【題型10近似數的表示】.......................................................................18

。。露聲一火三

【知識點1有理數乘方的概念】

求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做累.

即有:。。.在中，。叫做底數，n叫做指數.

【題型1有理數乘方的概念】

【例I】(2022?河北模擬)(—，尸表示的意義是()

A.(-^)x(-1)x(-1)B.(_}+(_”(一j

C(-Dx(-i)x(-i)D(T)

3?3x3x3

【分析】根據乘方的意義即可得出結果.

【解答】解：???(-93表示3個(一：)相乘，

JJ

，(—，)3表不的意義是(—X(―^)X(―^),

故選：A.

【變式1-1](2022?博湖縣校級期中)寫成乘方的形式一弓)4,_：x(―：)X(―》

4444—'4，-4+4

X（-^）寫成乘方的形式是（一》4.

【分析】根據有理數的乘方解決此題.

【解答】解：根據有理數的乘方，—[x：x；x：=—（；），：—x（―；）X（―；）X（―：）=（—~）4,

4444444444

故答案為：.（滬（一.4

【變式1-2]（2022秋?涇陽縣期中）下列說法中，正確的是（）

A.23表示2X3

B.-「°讀作“7的10次幕”

C.（7）2中-5是底數，2是指數

D.2X32的底數是2X3

【分析】根據事的意義，底數和指數的定義即可得出答案.

【解答】解：A選項，23表示3個2相乘，故該選項不符合題意；

B選項，?『°讀作"1的10次累的相反數”，故該選項不符合題意；

C選項，（-5）2中-5是底數，2是指數，故該選項符合題意；

D選項，2X3z的底數是3,故該選項符合題意；

故選：C.

【變式1-3]（2022秋?順平縣期中）將箸T寫成塞的形式，正確的是（)

2m2m

A球C"常"5

【分析】根據有理數的乘方解答即可.

m個2

【解答】解：將等T寫成篇的形式為：當

3+3+.+33n

“3

故選:故

【知識點2有理數乘方的運算】

（1）正數的任何次嘉都是正數；

（2）負數的奇次第是負數，負數的偶次第是正數；

（3）0的任何正整數次幕都是0;

（4）有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先應確定騫的符號，然后再計算累的絕對值.

【題型2乘方的運算】

【例2】（2022春?寶山區校級月考）下列各對數中，數值相等的是（）

A.-28與（-2）8B.（-3）7與-37

C.-3X23與-33X2D.-（-2尸與-（-3）2

【分析】根據有理數的乘方和乘法分別計算各選項中的數即可得出答案.

【解答】解：A選項，?28<0,（-2）8>0,故該選項不符合題意：

B選項，（-3）7=-37，故該選項符合題意；

C選項，-3X23=-3X8=-24,-3詠2=-27X2=-54,故該選項不符合題意；

D選項，-（-2尸=-（-8）=8,-（-3）2=-9,故該選項不符合題意；

故選：B.

【變式2-1]（2022秋?玉門市期末）下列各組數中，數值相等。勺是（）

A.3?和23B.-23和（-2）3

C.-|21和|-21D.-3?和（-3）2

【分析】根據有理數的乘方及絕對值的運算將四個選項中各數計算出來，再進行比較即可得出結論.

【解答】解:A、V32=9,23=8,

/.32^23；

B、V-23=-8,（-2）3=-8,

:.-23=（-2）3；

C、V-|2?|=-8,I-23|=8,

???T2甘|-23|；

D、V-32=-9,（-3）2=9,

:.-32^（-3）2.

故選：B.

【變式2-2]（2022?深水具期末）設〃是自然數，則39上的值為（）

【變式3-1］（2022春?吉州區期末）已知：（4-2）2+|2八1|=（）,則。2。2”2022的值為_1

【分析】根據偶次方的非負性以及絕對值的非負性求得。與兒再代入/必?護。22求值.

【解答】解：???（4-2）220,\2b-1|>0,

???當（。-2）2+|20-1|=0,貝Ija-2=O,2b-1=0.

?32,b=\-

a2O21.^2O22_22021x（工）2022-1

故答案為:

【變式3-2］（2022?衡水期中）對于|a-1|-3及-（H3）2+2,佳佳和音音提出了兩個觀點

佳佳的觀點：|a-11-3有最小值，最小值為3

音音的觀點：-（力+3）2+2有最大值，最大值為2

對于以上觀點，則（）

A.佳佳和音音均正確B.佳佳正確，音音不正確

C.佳佳不正確，音音正確D.佳佳和音音均不正確

【分析】根據有理數的平方、絕對值的定義解答即可.

【解答】解：因為|a-"20,

所以I4-1|-3有最小值,最小值為-3；

因為33）22o,

所以?（H3）2^0,

所以?（Z?+3）?+2有最大值，最大值為2,

所以佳佳不正確，音音正確，

故選：C.

【變式3-3］（2022?蓬溪縣期中）若。有理數，下列判斷：

①/+31）2總是正數；②。2+/+|總是正數；

③9+（a-〃）2的最小值為9；@1-（"+1）2的最大值是0

其中錯誤的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】直接利用偶次方的性質分別分析得出答案.

【解答】解；①（加1）2總是非負數，故此選錯誤；

②片+從+1總是正數，正確；

③9+(a-b)2的最小值為9,正確；

?1-(岫+1)2的最大值是],故此選項錯誤.

故選:B.

【知識點4含乘方的混合運算】

有理數混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進行；(3)如有括號，先做

括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

【題型4含乘方的混合運算】

【例4】(2022秋?沂水縣期中)(1)計算：

①(3X5)2與32X52；

?[(-2)X3F與(?2)2X32；

@[(-3)X(-4)F與(-3)2X(-4)2：

(2)根據以上計算結果猜想：(ab)2,(,小)3分別等于什么？(直接寫出結果)

(3)猜想與驗證：當〃為正整數時，(,山)〃等于什么？請你利用乘方的意義說明理由.

(4)利用上述結論,求(-8)2⑼X0.1252022的值.

【分析】(1)根據積的乘方的計算法則進行計算即可；

(2)根據(1)的計算結果，類推得出答案；

(3)利用乘方的意義進行計算即可；

(4)應用上述結論,將原式化為(-8X0.125)2。2?0/25即可.

【解答】解：(1)①(3X5)2=152=225,32X52=9X25=225：

②】(-2)義3尸=(-6)2=36,(-2)2X32=4X9=36；

③?"(-3)X(-4)]2=122=144,(-3)2X(-4)2=9X16=144,

：.[(-3)X(-4)]2=(-3)2X(-4)2；

(2)(ab)2=a2b2,(.ab)3=a3by；

(3)(ab)

理由如下：

n個

(ab)"=(ab)(ab)???(ah')

n個n

=a?a…axb?b…b

="仿〃；

(4)原式=(-8)2O2,X0.1252O2IX0.125

=(-8X0.125)2021X0.125

=(-I)202,X0.125

=-0.125.

【變式4-1](2022春?楊浦區校級期末)計算：16+(-2|)2-(一9、：一1.75.

【分析】先計算乘方和后面的乘法，再將除法轉化為乘法，繼而計算乘法，最后計算加減即可.

【解答】解:原式=16+?+g—：

“9,17

=16x^+n-;

=一9十,-1---7

4124

27,121

=--4--------------

121212

7

-12'

【變式4-2](2022?慶陽期末)計算：一32+：、[2+(-2)3]-3+(-3.

【分析】根據有理數的乘方、有理數的乘除法和加減法可以解答本題.

【解答】解：-3?+：x[2+(-2)3]—3+(-令

=-9+；x[2+(-8))-3X(-4)

=-9+；x(-6)+12

3

=-9+(-4)+12

=-1.

【變式4-3](2022?越城區校級月考)計算：324-(-22)X(-1^)+(-5)6X(-^)3

425

【分析】先算乘方，再算除法和乘法，最后算加減即可.；

【解答】解：原式=32+(-4)X(--)+(-1)

4

=10-1

=9.

【題型5含乘方的程序圖運算】

【例5】（2022春?承德期末）根據圖所示的程序計算，若輸入x的值為2,則輸出y的值為二：若輸

入x的值為-1,則輸出y的值為4.

【分析】將x=2和x=-l分別代入，別判斷計算結果是否大于0,即可得答案.

【解答】解：輸入x的值為2,輸出），的值為22X2-4=4X2-4=8-4=4；

若輸入X的值為-1，（-1）2X2-4=-2,

-2<0,

:.（.-2）2義2-4=4,

???輸入x的值為-1,輸出y的值為4,

故答案為：4,4.

【變式5-1］（2022?海州區期中）如圖是一個數值運算程序，當輸入的值為-3時，則輸出的值為

【分析】由題意可得其運算程序為：-5f+2,再把相應的值代入運算即可.

【解答】解：由題意得其運算程序為：?5/+2,

當x=-3時，有：

-5X（-3）2+2

=-5X9+2

=-45+2

=-43.

故答案為：-43.

【變式5-2］（2022秋?膠州市期末）小方利用計算機設計了?個計算程序，輸入和輸出的數據如表:

輸入???12345???

輸出???1234S???

I5w7726

那么，當輸入數據為8時，輸出的數據為2.

【分析】根據題意找出一般性規律，寫出即可.

【解答】解：根據題意得：當輸入的數據是〃時，輸出的數據為品，

則當輸入的數據是8時，輸出H勺數據為盤=盤，

8+165

故答案為:捺

【變式5-3］（2022?和平區期中）按如圖所示的程序進行計算，如果把第一次輸入的數是18；而結果不大

于100時，就把結果作為輸入的數再進行第二次運算，直到符合要求為止，則最后輸出的結果為（）

A.72B.144C.288D.576

【分析】把18輸入程序中計算，依此類推，結果大于100輸出即可.

【解答】解：把18輸入得：18X|_：|:L0)2]

=18x-4-(—-)

24

=-36<IOO,

把-36輸入得：-36X|-1|4-[-(1)2]

=-36x-4-(--)

24

=72<100,

把72輸入得：72X|-l|-r[-(i)2]

=72x--r(--)

24

=-144<100,

把-144輸入得：-144X|-g?[-（1）2]

=-144x-4-（--）

24

=288>100,

則輸出的數字為288.

故選：C.

【題型6含乘方的數字及圖形規律問題】

[例6]（2022?呼倫貝爾）觀察下列算式：2'=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28

=256,…通過觀察，用所發現的規律確定2"的個位數字是」

【分析】首先觀察可得規律：2"的個位數字每4次--循環，又由15+4=3…3,即可求得答案.

【解答】解：觀察可得規律：2”的個位數字每4次一循環，

???15+4=3…3,

???2i‘的個位數字是8.

故答案為:8.

【變式6-1]（2022?黔東南州模擬）在數學興趣小組活動中，小明為了求：+5+《+《+…+5的值，在

22/2-2，2n

邊長為1的正方形中，設計了如圖所示的幾何圖形.貝%+9+4+5+?一+2的值為」一！_（結果用

乙乙乙乙乙L

〃表示）.

【分析】根據圖中可知正方形的面積依次為5全,…表.根據組合圖形的面積計算可得.

【解答】解：.+■+[+[+…+芯=1一條.

答:抒>尹力…+*的值為1-親

故答案為：1一募.

【變式6-2]（2020?莫旗一模）“數形結合”是一種重要的數學思維，觀察下面的圖形和算式:

1=1=]2

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=4?

1+3+5+7+9=25=52

解答下列問題：請用上面得到的規律計算：1+3+5+7+……+101=()

A.2601B.2501C.2400D.2419

【分析】觀察圖形和算式可得規律1+3+5+…+(2〃-1)=〃2,得2〃-1=101,解得〃=51,進而可得結

果.

【解答】解：觀察下面的圖形和算式：

1=1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

發現規律：1+3+5+…+(2n-1)=/

V2n-1=101,

解得72=51,

/.1+3+5+7+...+101=512=2601.

故選：A.

【變式6-3](2022?亭湖區校級月考)觀察下面的等式：

3272=8=8x1；

52-32=16=8X2：

72-52=24=8X3；

92-72=32=8X4

???

(1)請寫出第5個等式：

(2)通過觀察，你能發現什么規律？猜想并寫出第〃個等式：

（3）請利用上述規律計算10??992的值.

【分析】（1）仿照已知等式確定出第5個等式即可；

（2）歸納總結得到一般性規律，寫出第〃個等式即可：

（3）根據上述規律確定出原式的值即可.

【解答】解：（1）ll2-92=40=8X5；

（2）（2H+I）2-（2〃-1）2=8〃；

（3）根據題中的規律得：原式=8X50=400.

【題型7乘方的應用規律】

【例7】（2022秋?下城區校級期中）某種細胞開始有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2個小時后

分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去1個，按此規律，6小時后存活的個數是65個,

經過〃個小時后，細胞存活的個數為（2”+1）個（結果用含〃的代數式表示）.

【分析】根據細胞分裂過程，婦納總結得到一般性規律，即可得到結果.

【解答】解：根據題意得：按此規律，6小時后存活的個數是26+1=65個，經過〃個小時后，細胞存活

的個數為（2"+1）個.

故答案為:65；（2"+答.

【變式7-1]（2022?雁塔區校級期中）I米長的木棒，第I次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此

截下去，第8次后剩下的木棒長度是（）米

A.—B.—C.—D.—

128128256256

【分析】根據有理數的乘方的定義列式計算即可得解?.

【解答】解：由題意得，第8次后剩下的木棒的長度是（；）8=點.

故選：O.

【變式7-2]（2022?黔東南州模擬）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一

起拉伸，再捏合、拉伸，反復多次，就能拉成許多細面條.如圖所示：

（1）經過第3次捏合后，可以拉出根細面條;

（2）到第5次捏合后可拉出32根細面條.

【分析】（1）根據圖片信息，可以總結出規律，進而得出答案;

（2）根據25=32,知道第5次捏合后可拉出32根細面條.

【解答】解：（1）第-次，可以拉出2根細面條，

第二次，可以拉出22根細面條，

第三次，可以拉出2?根細面條，

???第〃次，可以拉出2”根細面條，

故答案為：8；

（2）V25=32,

???第5次捏合后可拉出32根細面條，

故答案為：5.

【變式7-3]（2022秋?儀征市期中）看過《西游記》的同學?定很喜歡孫悟空，孫悟空的金箍棒能隨意伸

縮.假設它最短時只有1厘米，第1次變化后變成3厘米，第2次變化后變成9厘米，第3次變化后變

成27厘米…照此規律變化下大，到第5次變化后金箍棒的K度是2.43米.

【分析】根據題意，每變化1次，長度擴大到原來的3倍，在第3次的基礎上，擴大兩次即可.

【解答】解：根據題意得：

第5次變化后金箍棒的長度為：27X3X3=243（厘米）=2.43（米），

故答案為:2.43.

【題型8乘方應用中的新定義問題】

【例8】（2022?新化縣模擬）定義：若1O'=N,則x=logi（）N,x稱為以10為底的N的對數，簡記為/gN,

其滿足運算法則：lgM+lgN=lg（M?N）（M>0,N>0）.例如：因為1（）2=100,所以2=/gl00,亦即

.^100=2；伙4+/g3=/gl2.根據上述定義和運算法則，計算（42）2+々2?/姬+女5的結果為]

【分析】根據對數的定義和運算法則化簡即可得出答案.

【解答】解：原式=/g2（妒+收5）+Ig5

=卜2義心10+卜5

=lg2+lg5

=及1。

=1.

故答案為：1.

【變式8-1]（2022?梁溪區期末）定義一種對正整數〃的“F”運算：①當〃為奇數時，結果為3〃+1；②

當〃為偶數時，結果為金（其中k是使義為奇數的正整數），并且運算可以重復:進行，例如，取〃=25

時，運算過程如圖.若〃=34,則第2022次“F運算”的結果是()

A.16B.5C.4D.1

【分析】按新定義的運算法則，分別計算出當〃=34時，第一、二、三、四、五、六、七、八、九次運

算的結果，發現循環規律即可解答.

【解答】解：由題意可知，當〃=34時，歷次運算的結果是：

417,3X17+1=52,1=13,13X3+1=40,1=5,3X5+1=16,1=1,3X1+1=4,蠢=1

故17f52fl3f40f5f16-1-4fl…，即從第七次開始1和4出現循環，偶數次為4,奇數次為1,

???當〃=34,第2022次“戶運算”的結果是4.

故選：C.

【變式8-2］(2022?順城區校級月考)［概念學習］

規定：求若干個相同的有理數(均不等于0)的除法運算叫做除方，如2+2+2,(-3)+「3)+(-

3)+(-3)等.類比有理數的乘方，我們把2?2+2記作譽，讀作“2的圈3次方”，(-3)4-(-

3)4-(-3)-r(-3)記作(-3)④，讀作“-3的圈4次方”,一般地，把Q+Q+Q+…+Q(aKO)

c個a

記作。?,讀作“。的圈。次方”.

(1)［初步探究］直接寫出“算結果：3為=_；_；(一，⑤=-8；

(2)關于除方，下列說法錯誤的是C；

A.任何非零數的圈2次方都等于1：

B.對于任何正整數〃，產=1：

C.3④=4%

D.負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數.

(3)［深入思考］我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有

理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？

I.試一試：仿照上面的算式，將下列運算結果直接寫成事的形式，(?3)一(；)2；5?=⑸

?5O

II.想一想：將一個非零有理數〃的圈〃次方寫成基的形式等于/=(-)/r2;

a

III.算一算:(-j)0+(-2;?-(-?⑥+33.

【分析】【概念學習】

(1)分別按公式進行計算即可；

(2)根據定義依次判定即可；

【深入思考】

(3)I.把除法化為乘法，第一個數不變，從第二個數開始依次變為倒數，由此分別得出結果；

II.結果前兩個數相除為1,第三個數及后面的數變為二則4?=〃Xd)

aa

III.將第二問的規律代入計算，注意運算順序.

【解答】解：【概念學習】

(1)3@=3+3+3=[

3

(--)@=(--)+(--)-T(--)-T(--)+(--)=-8.

222222

故答案為：p-8；

(2)A、任何非零數的圈2次方就是兩個相同數相除，所以都等于I；所以選項A正確；

B、因為多少個I相除都是1,所以對于任何正整數〃，產都等于1；所以選項8正確；

C、3④=3+3+3+3=±4③=4+4+4=二，則3④K4③；所以選項。錯誤；

94

D、負數的圈奇數次方，相當于奇數個負數相除，則結果是負數，負數的圈偶數次方，相當于偶數個負

數相除，則結果是正數.所以選項。正確；

本題選擇說法錯誤的，故選G

(3)【深入思考】

I.(-3)④=(-3)?(-3)?(-3)?(-3)=中2，

5⑥=5+5+5?5+5+5=(1)4：

故答案為：(；)2;(，4;

II.d&,=(-)"3

a

故答案為：(3"3

a

III.(--)④+(-2)⑤-(--)⑥+33.

33

=(-3)2+(-2)3-(-3)4-r33

=9+(-8)-81?27

=1-3

=-2.

【變式8-3](2U22?花溪區一模)在新型冠狀病毒防控戰“疫”中，花溪裕筑花園小區利用如圖①的建立

了一個身份識別系統，圖②是某個業主的識別圖案，灰色小正方形表示I,白色小正方形表示0,將第一

行數字從左到右依次記為小h,c,d算式〃X23+hX22+cX24dX2°的運算結果為該業主所居住房子的

棟數號.例如，圖②第一行數字從左到右依次為0,1,0,1,通過計算得0X23+1X22+OX2】+1X2°=5,

即可知該業主為5棟住戶，小敏家住在11株，則表示他家的識別圖案是()

圖①圖②

C.D.

【分析】找出a，b,c,d的值，再根據公式計算即可得出結論

【解答】解：A.第一行數字從左到右依次為1,0,0,I,通過計算得IX23+0X22+0X21+1X2°=9,即

可知該業主為9棟住戶，此選項不符合題意；

B.第一行數字從左到右依次為1,0,1,1,通過計算得1X23+0X22+1X201X2°=II,即可知該業主

為11棟住戶，此選項符合題意；

C.第一行數字從左到右依次為0,1,0,1,通過計算得0X23+1X22+0X21+1X20=5,即可知該業主

為5棟住戶，此選項不符合題意；

D.第一行數字從左到右依次為1,I,0,1,通過計算得1X23+1X22+0X241X20=13,即可知該業主

為13林住戶，此選項符合題意；

故選：B.

【知識點5科學記數法的表示】

(1)科學記數法：把一個大于10的數記成axion的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，

這種記數法叫做科學記數法.【科學記數法形式：axlO%其中WaVlO,n為正整數.】

(2)規律方法總結：

①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規律為關鍵，由于10的指數比原來的整數位數少1；按此

規律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數n.

②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用此法表示，只是

前面多一個負號.

【題型9科學記數法的表示】

【例9】(2022?Id照)全民免費接種新冠病毒疫苗是黨中央、國務院作出的重大決策部署，通過接種疫苗,

讓更多人獲得免疫力，盡早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全國31個省(自治區、直轄市)

和新疆生產建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗336905萬劑次.數據336905萬用科學記數法表示為

()

A.().336905X1()1°B.3.36905X1O10

C.3.36905X109D.33.6905X109

【分析】科學記數法的表示形式為aXIO〃的形式，其中1W|Q|V10,為整數.確定”的值時，要看把

原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，〃

是正數；當原數的絕對值VI時，〃是負數.

【解答】解：33690577=3369050000=3.36905X109.

故選：C.

【變式9-1](2022?湘西州)據統計，2022年湖南省湘西土家族苗族自治州學業水平考試九年級考生報名

人數約為3500()人，其中數據35000用科學記數法表示為()

A.35X1O3B.0.35X105C.350X102D.3.5X104

【分析】科學記數法的表示形式為4X10〃的形式，其中1W|4|V1(),〃為整數.確定〃的值時，要看把

原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，〃

是正整數：當原數的絕對值VI時，〃是負整數.據此解答即可.

【解答】解：35000=3.5XI04.

故選：D.

【變式9-2］（2022春?館陶縣期末）某種顆粒每粒的質量為0.00000037克，500粒此種顆粒的質量用科學

記數法可以表示為4X10°克，則〃的值是（）

A.-5B.-6C.-7D.-8

【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為10”與較大數的科學記數法

不同的是其所使用的是負指數基，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

【解答】解：0.00000037X500=0.0000185=1.85X10'5,

故選：A.

【變式9?3】（2022?雨花區模擬）據中國政府網報道，截至2021年4月5日，31個省（自治區、直轄市）

和新疆生產建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗1428