2023年高考數學真題題源解密（全國卷）

專題12導數及其應用

目錄一覽

①2023真題展現

考向一導數與切線問題

考向二導數與函數單調性

考向三導數與函數的極值、最值

考向四利用導數證明不等式

②真題考查解讀

③近年真題對比

考向一導數與函數的極值、最值

考向二導數與函數單調性與切線問題

考向三導數與函數的零點

考向四利用導數證明不等式

④命題規律解密

⑤名校模擬探源

⑥易錯易混速記

1023年真題展觀

考向一導數與切線問題

一、單選題

x/\

1.（2023?全國甲卷文數第8題）曲線-在點1,：處的切線方程為（）

x+1I2）

A.%B.y=yC.N弋喈D.-管+養

【答案】C

【詳解】設曲線y=￡?在點處的切線方程為=

x+1I“2

因為一

所以4=

所以％=/0=5所以歹一5="("一)

所以曲線歹二工在點1151處的切線方程為y=故選：C

x+1I2J44

考向二導數與函數單調性

一、解答題

1.(2023?全國乙卷文數第20題)已知函數/(x)=(/+a)ln(l+x).

⑴當。=—1時，求曲線y=/(x)在點(IJ(x))處的切線方程.

(2)若函數“X)在(0,+“)單調遞增，求。的取值范圍.

【答案】(l)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)-?|a>|-

【詳解】(1)當〃=7時，/3=住一1]岫+1)(0-1),

1X/

1A1

貝―卜1n(x+l)+一一1x

，\xJx+\

據此可得/(l)=0,/'(l)=-ln2,

所以函數在(1J⑴)處的切線方程為y-0=-ln2(Al),即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由函數的解析式可得/'")=’丹心+1)+[*｝匕

滿足題意時/'(X)20在區間(。,+8)上恒成立.

令(一一Vln(x+l)+^—4-tj—!-y>0,貝(j-(x+l)ln(x+l)+(x+QX，20,

4-g(x)=ax2+x-(x+l)ln(x+l),原問題等價于g(x)20在區間(0,+8)上恒成立,

則，(力=2奴-1"》+1),

當三0時，由于2G?0,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在區間(0,+向上單調遞減,

此時g(x)<g(O)=O,不合題意；

令人(工)=g'(H=2分-In(x+1),則(x)=2a——,

當“之工，時，由于」一<1,所以a'(x)>OJ?(x)在區間(0,+切上單調遞增，

即g'(x)在區間(0,+為上單調遞增，

所以g")>g'(O)=O,g(x)在區間(。,+8)上單調遞增，g(x)>g(O)=O,滿足題意.

當0<〃<,時，由l(x)=2a--L=o可得x=_L-i,

2x+1la

當時，〃(x)<O,g)在區間。.1)上單調遞減，即g")單調遞減，

注意到g'(0)=0,故當"時，g'(x)<g'(O)=O,g。)單調遞減,

由于g(O)=O,故當時，g(x)<g(O)=O,不合題意.

綜上可知：實數。得取值范圍是卜

考向三導數與函數的極值、最值

一、解答題

1.(2023?全國乙卷理數第21題〕已知函數/(x)=(g+a)n(l+x).

⑴當。=-1時，求曲線y=/W在點(1J(1))處的切線方程；

(2)是否存在4,4使得曲線y=關于直線X=b對稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明理由.

⑶若/(X)在(0,+8)存在極值，求a的取值范圍.

【答案】(l)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)存在。=g,b=-；滿足題意，理由見解析.

⑶(*)?

【詳解】(1)當。=一1時，=+

IX

\(\\1

貝ljr(x)=_-yxln(x+l)+——1x―

X)X?1

據此可得/⑴=0J(l)=Tn2,

函數在(1J⑴)處的切線方程為尸0=-ln2(x-l),

gp(ln2)x+^-ln2=0.

(2)由函數的解析式可得/6)=(》+。)始6+1),

111

函數的定義域滿足上+1=r>0,即函數的定義域為(F,-l)u(0,+oo),

XX

定義域關于直線丫=-?對稱，由題意可得力=-?，

22

1

由對稱性可知./--+W

取〃可得/{)=/(—2),

即(a+l)ln2=(a-2)ln，,則a+l=2-a,解得〃=

22

經檢驗4=^力=一；滿足題意，故

即存在。=《,6=滿足題意■

(3)由函數的解析式可得=n(x+l)+(*］鼻，

由“力在區間(0,+8)存在極值點，則/'(%)在區間(0,+4上存在變號零點;

貝!]-(x+1)In(x+1)+(x+爾)=0,

令g(x)=&/+x-(x+1)1n(r+1),

/⑴在區間(0,+功存在極值點，等價于g(x)在區間(0,+紇)上存在變號零點，

g'(x)=2ax-ln(x+l),g*(r)=2a--

當。40時,g'(x)<0,g(x)在區間(。,+8)上單調遞減,

此時g(x)vg(0)=0,g(x)在區間(0,+8)上無零點,不合題意；

當時，由于一二<1,所以g"(x)>0,g'(x)在區間(0,+。)上單調遞增,

2x+1

所以g'(x)>g'(O)=O,g(')在區間(。，+8)上單調遞增，g(x)>g(0)=0,

所以g")在區間(。,+8)上無零點，不符合題意；

當0<a<g時，由g"(x)=2"1=0可得x=導1,

x-t-l

當日。，彳?時，小)＜。，g'(x)單調遞減,

I.

當五5時，g"(x)＞0,g'(x)單調遞增,

故g'(x)的最小值為gj7--1|=l-2tz+ln2f/,

12a)

令陽(x)=l-x+lnx(O<x〈l),則〃?x)=-'+1>0,

函數〃?(x)在定義域內單調遞增，，〃(力<鞏1)=0,

據此可得1-x+Inx<0恒成立，

貝!)-1)=l-2a+ln2a<0f

2

令A(x)=Inx-x+x(x>0),貝！]/j(A)-:2x+x+l

當ze(O,l)時,〃(x)>(M?(x)單調遞增，

當1￡(1,+8)時，〃(X)<O,//(X)單調遞減，

故也)"⑴=0，BPlnx<x2-x(取等條件為x=l),

所以g'(x)=2tzx_ln(x+l)>2ax-+-(x+l)J=2ar-(x2+x),

/(2。-1)>2。(2。-1)—[(2。-1『+(2。-1)]=0,且注意到*'(0)=0,

根據零點存在性定理可知:g'(x)在區間(0,+8)上存在唯一零點.%.

當1￡(0,/)時，g'(x)<0,g(x)單調減，

當1?%,長0)時，g'(x)>0,g(x)單調遞增，

所以g(Xo)<g(O)=。.

令Mx)=lnx一五，則=2；五,

則函數〃(x)=lnx-&在(0.4)上單調遞增，在(4,a)上單調遞減,

所以〃(x)《〃(4)=ln4-2v0,所以lnx＜石,

所以匚4獸-2a+I

—+1-In

a-J14-1

所以函數g(x)在區間(o,+8)上存在變號零點，符合題意.綜合上面可知:實數。得取值范圍是卜,；'

考向四利用導數證明不等式

一、解答題

1.(2023?全國甲卷文數笫20題)已知函數/(')=&"當0,三

COSX\

(1)當。=1時，討論/(X)的單調性;

(2)若/(x)+sinx<0,求〃的取值范圍.

【答案】(l)/(x)在(。仁)上單調遞減

(2)tf<0

【詳解】⑴因為。=1,所以〃x)=x-'用0,三

cosX\乙/

cosxcos2x-2cosx(-sinx)>inxcos2x+2sin2x

則:

cos'x

8s3x-cos」x-20-cos[x)版x+cos』x-2

cos3xcos3X

/\

令r=cosx,由于xe0,—,所以/=cosxe(0』)，

k2)

3232222

所以coTT+COYr-2=/+/_2=/_/+2/-2=/(/-1)+2(/+1)(/-1)=(/+2/+2)(/-1),

因為J+2z+2=〃+iy+l>0,r-l<0,cos3x=r3>0,

2

所以r^)=cos\v+cos.Y-2<0在jo,外上恒成立，

COSXl乙)

所以〃X)在(o,9上單調遞減.

(2)法一:

構建g(x)=f(x)+sinx=ar-二?―sinx

COSX2J

1+sin2x

貝！lg，(x)=a------r——+COST0<A<

cosx

若g(x)=/(x)+sinxvO,且g(0)=/(0)+sin0=0,

貝心'(0)=。-1+1=心0,解得a?0,

當a=0時，因為sinx-sinx-sinx1-----L-,

cosxIcos-xJ

又工€。，三],所以0<sinx<l,0<cosx<1,則一^―>1,

k2Jcos'x

所以/(x)+sinx=sinx-墨＜。，滿足題意;

當”0時，由于()<x<3顯然GX<0,

所以/(x)+sinx=av--S'n?-+sinx<sinx--S'n?-<0,滿足題意;

cos-xcos*x

綜上所述：若/(x)+sinx<0,等價于。《0,

所以〃的取值范圍為(-8,0].

法二：

出電.sinxsinxcos2x-sinxsinx(cos~x-1)sin'x

囚為sinx--------=-------------；-----------=----------；-------L=---------，

cos’xcos-xcos-xcos'x

因為所以0<sinx<l,0<cosx<1,

故而x-2竽<0在j0,f上恒成立，

cos*x\

所以當4=0時，/'(x)+sinx=sinx—^<0,滿足題意；

COS'X

當a<0時，由于()<x<B，顯然GX<0，

所以/(x)+sinx=at--吧?-+sinx<sinx-3？-<。，滿足題意;

cosxcos'x

當a>0時，因為/"(xl+sinx=ax--‘由,七+sinx=ax.X,

cos~xcos'x

人/、sin3x(兀m.i、3sin2xcos2x+2sin

令g(x)=ar--------.0<x<—，貝

八)cos2xt2,Jg(x)=a------------------------------

口二m，/八'3sin20cos20+2sin40

注意到g(0)=〃-------------------；--------------=tz>A0,

cos0

若V0<x<5,g'(x)>0,貝IJg(x)在(0，｛|上單調遞增，

注意到g(O)=O,所以g(x)>g(O)=。，即/(x)+sinx>0,不滿足題意；

若四</<5，((/)<0,貝！Jg'(0)g'(x())<0,

所以在(。馬上最靠近x=0處必存在零點用《嗚)，使得g'G)=0，

此時g'(x)在(0,司)上有g'(x)>0,所以g(M在(0,再)上單調遞增，

則在(0,內)上有g(x)>g⑼=0,即/(x)+sinx>0,不滿足題意；綜上：?<0.

2.(2。23?全國甲卷理數第21題)已知函數小)=『黑，7。制

(1)當a=8時，討論/*)的單調性；

⑵若/(x)<sin2x恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析.

(2)(-00,3]

■*皿▼J、X,、cosxcos3.r+3sinxcos2xsinx

［詳解］⑴f(x)=a----------------------------

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a--------4-----=a-------4---

COSXCOSX

令cos2x=t，則1€(。」)

Ki.1、3—2t+2i—3

貝UfMx=g(。=Q_-p—=——p----

當父匕、“八8J+2/-3(2/-1)(4/+3)

當a=8,/(x)=g(t)=----；----=------、--

「r

當，即(%)＜。.

當d別，即川。制/。)>。.

所以/(X)在上單調遞增，在3上單調遞減

(2)設g(x)=/(x)—sin2x

g(x)=f(x)-2cos2x=g(r)-2(2cosx-j)+,--一2(2，-1)=a+2—4/」—1設

(p(t)=a+2-4i+-----

，八426-4/*123-2/+62。-1)(2尸+2什3)

9。)=-4-產+7=——-----=---------0n

所以*)<。⑴=4-3.

f€(-00,3],g\x)=(p(t)<a-3<0

即g(x)在(0,上單調遞減，所以g(x)<g(0)=0.

所以當ae(-oo,3],/(x)<sin2x，符合題意.

2若aw(3,+oo)

當/->0,[一椅=-3(:一+，-8，所以即)—

9⑴=-3>0.

所以天€。1),使得。億)=0,即*40卷),使得以*=0.

當年&,1)，8。)>0,即當xe(0,%),g(x)>0,g(x)單調遞增.

所以當xG(O,xo),g(x)>g(0)=0,不合題意.綜上的取值范圍為(f,3].

真題考查解讀

5=========^=^=====￡

【命題意圖】

1.導數概念及其幾何意義

（1）了解導數概念的實際背景.

（2）理解導數的幾何意義.

2.導數在研究函數中的應用

（1）了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函

數一般不超過三次）.

（2）了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值（其中多項式函

數一般不超過三次）；會求閉區間上函數的最大值、最小值（其中多項式函數一般不超過三次）.

3.生活中的優化問題

會利用導數解決某些實際問題.

【考查要點】

（1）利用導數的幾何意義求函數的切線、利用導數研究函數的單調性、極值與最值問題，難度不定，題目

可能為簡單題，也可能為難題，題型為選擇題、填空題或解答題。

（2）導數綜合應用的命題方面，理科仍將以選擇、填空壓軸題或解答題壓軸題形式考查不等式恒（能）成

立問題與探索性問題、利用導數證明不等式、利用導數研究零點或方程解問題，重點考查分類整合思想、

分析解決問題的能力。文科仍將以解答題壓軸題形式考查零點、極值、最值，簡單不等式恒（能）成立問

題與探索性問題、利用導數解證與不等式有關的問題，一般難度不會太高。

【得分要點】

高頻考點：含參函數的參數對函數性質的影響；用導數研究函數的單調性、極值或最值；導數的幾何意義,

求曲線切線的方程；函數的零點討論；函數的圖像與函數的奇偶性。

中頻考點：用函數的單調性比較大小；利用函數證明不等式或求不等式的解；求參數的取值范圍；函數模

型的應用。

近年真題對比

考向一導數與函數的極值、最值

一、單選題

1.（2022?全國乙卷文數第11題）函數〃x）=cosx+（x+l）sinx+l在區間［0,2對的最小值、最大值分別為

)

n7C3兀n八兀兀C3兀兀c

A.—B.C.——+2D.——，一+2

22萬'52222

【答案】D

【詳解】=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以73在區間唱和住,2兀［上/小）》（）,即仆）單調遞增;

在區間惇到上/㈤<0,即/（x）單調遞減，

又“0)=/(2兀)=2,/0W+2

所以/（%）在區間［0,2可上的最小值為-g,最大值為5+2.故選：D

2.（2022?全國甲卷文數第8題/理數第6題）當x=l時，函數/（x）=alnx+2取得最大值一2,則八2）=（）

X

A.-1B.-!C.vD.1

22

【答案】B

【詳解】因為函數/⑺定義域為（（）,+8）,所以依題可知，/（i）=-2,r（i）=（）,而廣⑴竹一卷，所以

b=-2,a-b=0f即。=-21=-2,所以/（。=一2+彳，因此函數“X）在（0,1）上遞增，在（1、位）上遞減,

XX

x=l時取最大值.滿足題意.即有r（2）=-l+；=-g.故選：B.

3.(2021?全國甲卷文數第12題/理數第10題)設。/0,若x=a為函數/(x)=4x-a)2(x-6)的極大值點,

貝IJ()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【詳解】若。=b,則/(x)=a(x-。丫為單調函數，無極值點，不符合題意，故/h.

??J(x)有x和x=/>兩個不同零點，且在工=。左右附近是不變號，在工=/>左右附近是變號的.依題意，

X為函數/(X)=?(K力次力)的極大值點，.?.在x=a左右附近都是小于零的.

當*0時，由/(x)<0,畫出/(x)的圖象如下圖所示：

由圖可知力<。，a<0f故ab〉/.

由圖可知〃>。，。>0,故ab>/.綜上所述，而〉。。成立.故選：D

二、填空題

4.(2022?全國乙卷理數第16題)已知工二*和x=￡分別是函數/(x)=21-e/(〃>0且"1)的極小值

點和極大值點.若王<々，則。的取值范圍是.

【答案】

【詳解】［方法一］:【最優解】轉化法，零點的問題轉為函數圖象的交點

因為/”(x)=2ln4"-2ex,所以方程-2ex=0的兩個根為王，

即方程Ina”/=ex的兩個根為為，跖，

即函數y=1na?優與函數V-ex的圖象有兩個不同的交點，

因為芭田分別是函數/(x)=2優-e/的極小值點和極大值點，

所以函數/(X)在(-00,西)和(々，包)上遞減，在(西,工2)上遞增，

所以當時(70,演)(孫+00),r(x)<0,即尸ex圖象在y=lna優上方

當1?不多)時，/小)〉0,即7="圖象在歹=足外/下方

圖象顯然不符合題意，所以0<。<1.

2

令g(x)=In”a',則g<x)=In?-?',()<a<\t

設過原點且與函數V=g(x)的圖象相切的直線的切點為(%,Ine*),

則切線的斜率為g'(.%)=In'a.*,故切線方程為y-lna-a'。=In%.a”(x-x0),

則有-Ino*=-Xoln"*,解得/=白，則切線的斜率為l/q.a+ueln)，

綜上所述，。的取值范圍為

［方法二卜【通性通法】構造新函數，二次求導

/'(x)=21na4-2ex=0的兩個根為王應

因為為,占分別是函數/(x)=2/的極小值點和極大值點，

所以函數/(X)在(70,%)和(卬+④)上遞減，在(再，%)上遞增，

設函數g(x)=/'(x)=2(aIna-ex),則g*(x)=2/(lna『-2e,

若a>l,則g'(x)在R上單調遞增,此時若g'(%)=。，則/'(x)在

(-8,x0)上單調遞減，在(%,一)上單調遞增，此時若有x=$和》=/分別是函數

/(x)=2a'-Q2(a>o且。工1)的極小值點和極大值點，則凡>七，不符合題意；

若。<a<l,則g'(x)在R上單調遞減，此時若g'(.%)=0,則/'(x)在(—,/)上單調遞增，在(%,+8)上單

調遞減，令g'(x0)=O,貝1產=不不，此時若有》=演和x=%分別是函數/(x)=2a且。工1)的

I"W

x

極小值點和極大值點，且須<*2，則需滿足/伍)>0,f\x^=2[a''\na-ex(^2^--ex()>0,即

故lna"=xjna=ln7r^>1,所以

\na(Ina)e

考向二導數與函數單調性與切線問題

一、解答題

1.(2022?全國甲卷文數第20題)已知函數/(x)=/-x,g(.i)=/+a,曲線y=/(x)在點(陽,〃為))處的切

線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若須=-1,求a；

(2)求a的取值范圍.

【答案】⑴3

⑵卜1，+8)

【詳解】(1)由題意知，/(-1)=-1-(-1)=0,/(X)=3X2-1,r(-l)=3-l=2,則y=/(x)在點(一1,0)處

的切線方程為y=2(x+l),

即y=2x+2,設該切線與g(x)切于點伍應區))，g'(x)=2x,貝|"(七)=2%2=2,解得％=1，則

g(D=l+a=2+2,解得a=3；

(2),r(x)=3x2-i,則y=/a)在點a/a))處的切線方程為了一(年一%)=(3<—1)(工一刈，整理得

y=(3x；_l)x_2x：,

設該切線與g(x)切于點(X2，g(七)),g'(x)=2x,則/6)=24，則切線方程為歹-(石+。)=29。72)，整理

得y=2X2X-x}+at

93]1

令h(x)=-x4-2A?一一x2+—，貝!1"(x)=9d-6x2-3x=3x(3x+l)(x—1),令〃'(x)>0,解得一一<tv0或x>1,

4243

令*3<0,解得工<-!或0<x<l,則x變化時，心幻」心)的變化情況如下表：

1卜則

X0(0/)1(1收)

43J3

"(I)—0+0一0+

51

力（X）/-1/

274

則Mx）的值域為卜1，+8）,故。的取值范圍為［7,+8）.

2.（2021?全國乙卷文數第21題）已知函數/（x）=x3-/+ax+i.

（1）討論〃x）的單調性;

（2）求曲線），=/（%）過坐標原點的切線與曲線），=/（%）的公共點的坐標.

【答案】（1）答案見解析；（2）（［"+1）和（―1，一1一。）.

，2

【詳解】（1）由函數的解析式可得：f（x）=3x-2x+at

導函數的判別式A=4-12。，

當A=4-12。石0,。2：時，/'（X）20,/（x）在R上單調遞增，

當A■4-12。＞0,。＜g時，/。的解為：X］=--3",x?J+個

當-8,匕牛兔）時，燈單調遞增；

當IC匕半電匕與電時，單調遞減；

XZ

當了'上哼豆,+8）時，r（x）＞o./（x）單調遞增；

綜上可得：當時，/（X）在R上單調遞增，

、i,I"./1—\/\-3a11+J1-3a.

當時，仆）在---------J,---------收J上

單調遞增，在上嚀紅,匕牛至上單調遞減.

(2)由題意可得：/(%)=￡-片+5+1,r(Xo)=3x；-2.%+a,

則切線方程為：、一(￡7；+a%+1)=(3x：-2/+〃)(x—Xo),

切線過坐標原點，貝I：0-(￡—x：+a%+l)=(3x：—2.%+a)(0—M),

整理可得：2片一片-1=0,即：(xo-l)(2x-+xo+l)=O,

解得：勺=1，則=+/'3°)=/(1)=1+4

切線方程為；＞?=(?+1)%,

與/(i)x-A+a\+I聯立得X,-X?+QX+1=(a+W,

化簡得/---?+1=(),由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，.?.(x-1)是"3一/一》+[的一個因式,

???該方程可以分解因式為(X-。卜2-1)=0,

解得玉=也=一1,/(-1)=一1一%

綜上，曲線]?=/("過坐標原點的切線與曲線]一/(V)的公共點的坐標為(1,4+1)和

3.(2021?全國甲卷文數第20題)設函數/(x)=/r2+a.3lnx+l,其中。>0.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若尸=/(、)的圖象與％軸沒有公共點，求l的取值范圍.

【答案】⑴/(x)的減區間為叫，增區間為弓,+斗⑵*?

【詳解】(1)函數的定義域為(。,也)，

又小)=(2空+力紇

x

因為。>0,x>0,故2QX+3>0,

當0<xv，時，f\x)<0,當x>，時，f\x)>0；

aa

所以〃x)的減區間為(o[),增區間為(5+8).

(2)因為〃1)=/+。+1>。且y=/(x)的圖與x軸沒有公共點，

所以，=/(%)的圖象在x軸的上方，

由(1)中函數的單調性可得/(x)mm=/[[J=3-3ln￡=3+31na,故3+31na>0即。

考向三導數與函數的零點

一、解答題

1.(2022?全國乙卷文數第20題)已知函數/(x)=at-1-(a+l)lnx.

x

(1)當4=0時，求/(幻的最大值；

(2)若〃x)恰有一個零點，求。的取值范圍.

【答案】(1)-1

(2)(0,+oo)

【詳解】(1)當a=0時，/(x)=---lnx,x>0,則/”(力=4-1=1，

AXXX

當ic(O,l)時，/心)>0,/(x)單調遞增；

當不?1,2)時,/\x)<0,/(X)單調遞減；

所以《)四=/(1)=一1；

(2)f(x)=ax---(a+l)lnx^r>0,則(x)=J+-V—竺L("I)。”,

xxxx~

當aWO時，av-l<0,所以當x?O,l)時，/小)>0,/(x)單調遞增；

當x?l,+oo)時,r(x)<0,/(x)單調遞減；

所以/(x)a=〃l)=aT<。，此時函數無零點，不合題意；

當時，^>1,在(0/),(：+8|上，/小)>0,/(x)單調遞增；

在(1,￡|上，/'(x)<0,/(x)單調遞減；

又“1)=。-1<0,

由(1)^—+Inx>1,即In2之1一工，所以lnx<x』n\/7<\/7,lnr<2\/^,

xx

當I>1時，/(x)=ax----(a+l)lnx>ax-----2(。+1)4>ax-(2。+3)4,

xx

(3

則存在〃?=-+2使得小）>0,

7a

所以僅在伯，田］有唯一零點，符合題意；

當。=1時，/3=9或之0,所以/(X)單調遞增，又/⑴=。-1=0,

所以有唯一零點，符合題意；

0,5),(1,+%上，/小)〉0,/(X)單調遞增;

當a>l時，-<1,在

在gi)上，/'3<o,/(%)單調遞減；此時/6="i>o,

由（1）得當0<x<l時，\nx>\--In\fx>1,所以Inx>21-,

X

<」+中,

Xyjx

存在〃=就g使得…，

所以/(X)在(o,3有一個零點，在無零點，

所以fW有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為(0,+8).

2.(2022?全國乙卷理數第21題)已知函數/(x)=ln(l+x)+?eT

⑴當〃=1時，求曲線)，=/(、)在點(oj(o))處的切線方程；

⑵若/(、)在區間(-1,0),(o,y)各恰有一個零點，求〃的取值范圍.

【答案】(i)y=2x

(2)(-00,-1)

【詳解】(1)/⑶的定義域為

當a=1時J(x)=ln(l+x)+三,/(0)=0，所以切點為(0,0)f(x)=J-+二￡J(0)=2，所以切線斜率為2

e1+xe

所以曲線V=在點(0,/(0))處的切線方程為y=2x

ax

(2)/(x)=ln(l+x)+—

e

/(x)=_L+3j+a(—2)

1+xcx(l+x)cT

設g(x)=e'+a(l-/)

「若。>0,當xw(-L0),g(x)=er+?(1-^)>(),即f\x)>0

所以f(x)在(-1,0)上單調遞增JQ)</(0)=0

故在(-1,0)上沒有零點，不合題意

2若一1KaK(),當xw(0,+8)，貝g(x)=ev-2ar>0

所以g(x)在(0,zo)上單調遞增所以g(x)>g(0)=1+心0,即f\x)>0

所以/(x)在(0,+oo)上單調遞增J(x)>/(0)=0

故fx()在(0,+oo)上沒有零點，不合題意

3°若a〈T

⑴當xe(0,十8)，則g'(x)=cx-2ax〉0,所以g(x)在(0,+oo)上單調遞增

g(0)=I+a<O,g(l)=e>0

所以存在mG(0,1)，使得g(M=0，即f\m)=0

當iw(O,m),/'(x)<O,/(x)單調遞減

當Iw(zw,+oo),/(x)>0J(x)單調遞增

所以

當iw(0,m),/(x)</(O)=0,

YI—Y

令h(x)二丁,工>一1,貝lj/?x)=—>-l,

ee

所以〃(X)=。在(fl)上單調遞增，在(L+8)上單調遞減，所以力(X)~(1)=L

ee

又「乙>0,/(￡一1卜2+d=o,

所以/a)在("X)上有唯一零點

又(0,加)沒有零點，即/(X)在(0,4-00)上有唯一零點

(2)當xe(T,0),g(x)=e'+a(1-x2)

設恤)=g(x)=e'-20r

h(x)=ex-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)單調遞增

g(-l)=1+2"0,g'(0)=l>0

e

所以存在〃e(TO),使得g'(〃)=0

當ie(-1,?),g(x)<0,g(x)單調遞減

當Kw(/i,O),g'(x)>O,g(x)單調遞增,g(x)<g(0)=1+4<0

又g(-l)」>0

e

所以存在/w(-1,〃),使得g?)=o,即/'⑺=o

當xe(-i,z),/(x)單調遞增，當x€(/,0),/(x)單調遞減，

當1€(-1,0),/z(x)>/?(-l)=-e,

又-Ive，—1<0,f(eCK-])<ae-ae=O

而/(0)=0,所以當xw(z,O),/(x)>0

所以/a)在(-匕)上有唯一零點,(』，。)上無零點

即/(x)在(-1,0)上有唯一零點

所以。<-1,符合題意

所以若在區間(T,()),(0,+W各恰有一個零點，求。的取值范圍為

3.(2022?全國甲卷理數第21題)已知函數/(x)=《-lnx+x-a.

X

⑴若〃x)20,求a的取值范圍；

(2)證明：若/")有兩個零點不與，貝IJ中2<L

【答案】(1)(—*e+l］

(2)證明見的解析

【詳解】(1)［方法一］:常規求導

/⑶的定義域為(0,+W,則

令r(x)=0,得X=1

當—o,i),/a)<o,/(x)單調遞減

當Ie(l,+8"(x)>0J(x)單調遞增/(x)>/(I)=e+l-a,

若f(x)NO,則e+l-a20,即aWe+1

所以。的取值范圍為(fo,e+l］

［方法二I：同構處理

由/㈤N0得:e-M'+'+x-lnx-GNO

令,=x-lnx,/2l,則/”)="+/_420即4?3+/

令g(/)=d+/,/eL,則g()=d+l>0

故g(1)=e'+，在區間［1,+8)上是增函數

故g(/)min=g0)=e+l，即aVe+1

所以4的取值范圍為(-8,。+1］

(2)［方法一］:構造函數

由題知J(x)一個零點小于1,一個零點大于1,不妨設玉<1<々

要證》丙<1,即證$<—

X2

11\

因為(0,1),即證/(6)>/-L

X2yX2j

又因為/(司)=/伍),故只需證/

\X2

即證---lnx+x-xex-In.r--->0,XG(l,+OO)

XX

即證-2lnx-；(x-L)

>0

x2

下面證明x>l時，---xex>0,linx--x--|<0

X2(x)

、ex-

設g(x)=---xe\x>\

Xf

<iif,n7.

貝！|g'(x)=-——=-1---ex-ex\1—

<xJ)x\X)I

(.1/x-\(ex-、

=1----ex=---------e1

VXj{XJX(x

設9(x)=J(x>l),"(x)=pi

所以。(x)>8⑴=e,而，<c

所以史-e：>0,所以g'(x)>()

X

所以g(x)在(l,y)單調遞增

即g(x)〉g(l)=0,所以0

X

1(IA

令力(x)=lnx—x—,x>1

2(x)

2

皿、iiriA2X-X-\=zMi<0

/?)=1+=…

x21x2)2x2x2

所以〃(x)在(1,+8)單調遞減

即A(x)<〃⑴=0,所以lnx-；(x4)<o；

…e、-^F,\(1)>0,所以和〈1.

綜上，——xex-2Inx--x--

x21x

［方法二卜對數平均不等式

由題意得：=J+ln^—a

xx

令％=幺>1,貝！]/(z)=/+ln-a,/,(r)=l+->0

xt

所以g(，)=iln-〃在(1,內)上單調遞增，故g(/)=0只有1個解

ex'_*

又因為/(x)=J+ln*^—〃有兩個零點工”%2，故，=?---

XX

兩邊取對數得：*-lnX|=々-ln￡,即一—=1

in步X1—：in2

又因為向三：一(*),故斥'<1,即卬：2<1

lil工1111X、

下證國<卡>(*)

In玉-Inx2

因為嘉申<、一:_In.^-\nx2<QIn.匚b"

Inx,-Inx,Jgx,yjx.Vvi

不妨設￡=鳥>1,則只需證2hn<一：

i71f]\2

構造〃⑺=21nf—+：,/>1,貝必(/)二一一1--^=-1--<0

故W)=2lnfT+：在(1,討)上單調遞減，故，()<礙)=0,即21n/<一；得證

a

4.(2021?全國甲卷理數第21題)已知。>0且。工1,函數f(x)=—r(x>0).

a'

(1)當。=2時，求/(x)的單調區間;

(2)若曲線J，=/(x)與直線丁=1有且僅有兩個交點，求”的取值范圍.

【答案】(1)(0,2-上單調遞墻2

---,-K?上單調遞減；(2)(l,e)U(e,y).

ln2

X2犬?2,-.，2心2r2'(2-xln2)

【詳解】(1)當4=2時，八x)=^7，/'(x)=

4'

令，(x)=。得％，當0<xv二時，川x)>(),當x>=時，/'(x)<0,

In2In2In2

(22、

???函數/")在0,—上單調遞增;卮可上單調遞減;

InZ

(2)［方法一|【最優解】：分離參數

/(x)=J=1o"=/<=>xlna=a\nx上設函數g(1)=M

xax

則g'(x)J[尸，令g'(x)=0，得x=e,

在(O,e)內g'(x)>0,g(x)單調遞增;

在(e,y)上g[x)<0,g(x)單調遞減;

「g(x)2=g(0)=3,

又g⑴=0,當x趨近于+<?時，g(x)趨近于0,

所以曲線y=/(x)與直線y=i有且僅有兩個交點，即曲線y=g(x)與直線歹二笞有兩個交點的充分必要條

件是0<吆」,這即是o<g(〃)<g(e),

ae

所以。的取值范圍是(l,e)U(e,y).

［方法二］:構造差函數

由y=/(x)與直線j，=l有且僅有兩個交點知〃x)=l,即￡=優在區間(0,+8)內有兩個解，取對數得方程

alnx=xlna在區間(0、+8)內有兩個解.

構造函數g(x)=a\nx-xIna,xe(0,+oo),求導數得g<(.v)=--\na="一”"".

當時，lna<0,x￡(0,+cQ)M-xIn4〉0,g(x)〉0,g(x)在區間(。,+8)內單調遞增，所以，g(x)在(0,+8)

內最多只有一個零點，不符合題意；

當時，lna>0,令g'(x)=。得工=二，當時，g'(x)>0；當工￡(二,+?)］時，g\x)<0；

InaI\naJ<lnaJ

所以，函數g(x)的遞增區間為遞減區間為(/,一、.

kinaJ(InaJ

_￡