壓軸題解題模板04

幾何綜合

錄

■L題型剖析,精準提分

題型一線段最值問題

①動點路徑問題

②“胡不歸”問題

③“將軍飲馬，，問題

④“造橋選址”問題

題型二：面積平分問題

題型三面積最值問題

好題必刷,強化落實

題型剖析?精準提分

幾何綜合

題型一線段最值問題題型二面積平分問題

①動點路徑問題①三角形

②"胡不歸［問題②不規則圖形

③"將軍飲馬"問題I

④"造橋選址”問題題型三面積最值問題

示函為三次函面面豪磁寫冗荷間窗而客施藕

i題型解讀:I

考查熱度.

：幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題：

?I幾何綜合

I的形式出現，考查難度較大.此類問題在中考中I

多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問i

II

i題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似!

；三角形、圓、銳角三角函數、勾股定理、圖形變：

I

換的性質和二次函數的最值等相關知識，以及分i

:類討論、數形結合、轉化與化歸等數學思想.此i

類題型常涉及以下問題：①兒何圖形中的線段最

值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形

面根的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型

的考查熱度.

I

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題型一線段最值問題

分類：①動點路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題

?-1

解題模板:

根據條件劃艘及最值模型

判斷模型

利用已知條件作垂線（化折為百）

借助幾何關系或勾股定理列式計算

列式計算

①動點路徑問題

【例1】（山東濟宇-中考真題）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題.

（1）閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體力86—（圖1）.因為在平面力HC'C中，CCHAA,44與相交于點4所以直

線48與4H所成的ABAA就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC所成的角.

解決問題

如圖1,已知正方體48CO-HB'CT）',求既不相交也不平行的兩條直線84與4c所成角的大小.

（2）如圖2,M,N是正方體相鄰兩個面上的點.

①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是」

2/127

②在所選正確展開圖中，若點"到/仍，8C的距離分別是2和5,點N到3。，AC的距離?分別是4和3,

P是上一動點、,求PW+/W的最小值.

丙

【變式1-1】(山東口照-中考真題)如圖，RS/8C中，ZC=90°,以力4為邊在44上方作正方形力4。七,

過點。作C8,交C8的延長線于點尸，連接8f.

(1)求證：4ABgABDF;

(2)P,N分別為4C,4E上的動點，連接PN,若DF=5,AC=9,求⑷V+PN的最小值.

【變式『2】(江蘇連云港-中考真題)如圖，四邊形48co為平行四邊形，延長力。到點石，使DEED,

且8EJ.QC.

(1)求證：四邊形。8CE為菱形；

(2)若△04C是邊長為2的等邊三角形，點2、M、N分別在線段4￡、BC、CE上運動，求PA/+PN的

最小值.

【變式1-3](2023-四川自貢-中考真題)如圖1,一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，N分別

是斜邊月4的中點，DE=2,AB=4.

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(1)用繞頂點。旋轉一周，請直接寫出點M,N距離的最大值和最小值;

(2)洛ACOE繞頂點。逆時針旋轉120。(如圖2),求MV的長.

②“胡不歸”問題

【例2】(2023-江蘇泰州-三模)如圖，己知RC48C中，NC=90。〃。=6,/8=9,E是48上的一點，BE=5,

點。是線段8c上的一個動點，沿/。折疊zUC。，點。與C'堇合，連接3c.

7

(2)若點尸是上一點，RBF=后,求產C'+§8C'的最小值.

【變式2-1](2023-廣東廣州■二模)如圖①，在四邊形力BCD中，.44=BC=4D,45c=90°,Z5JD=60°.

W\圖2圖3

(1)求/1CZ)的度數；

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(2)如圖②，"為線段的中點，連接8尸，求證：2BF=CD+CAB；

(3)如圖③，若OB=pB=2,線段8。上有一動點連接。M，將△08M沿OW所在直線翻折至AO尸M

的位置，尸為8的對應點，連接以，PC,請直接寫出4PC+P4的最小值.

【變式2-2](2023-廣東廣州?二模)如圖，菱形488中，4=60。，月8=4,點、E、尸分別為線段C。、

8Q上的動點，點G為邊的中點，連接樣，FG.

(1)求的長；

(2)連接BE,若NCEB=2/DEF,求證：EB=CE+DF；

(3)若。后=百8尸，試求EE+④尸G的最小值.

【變式2-3】3,東廣州-中考真題)如圖，在菱形中，ABAD=120°,4B=6,連接.

⑴求8。的長；

⑵點￡為線段4。上一動點(不與點4,。重合)，點尸在邊4)上，且BEfDF,

①當CE_148B寸，求四邊形力8￡尸的面積；

②當四邊形川?Eb的面積取得最小值時，CE+gC/的值是否也最小？如果是，求CE+Gb的最小值；如

果不是，請說明理由.

③“將軍飲馬”問題

【例3】【變式3-1](23-24九年線上-黑龍江大慶-期中)如圖，以矩形。力6c的頂點。為原點，CM所在的

直線為x軸，0c所在的直線為N軸，建立平面直角坐標系.己知°力=3,℃=2,點E是48的中點，在

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可上取一點。，將△8。/沿8。翻折，使點A落在BC邊上的點尸處.

(2)連接￡尸交8。于點G,求△BGE的面積.

(3)在x軸、V軸上是否分別存在點M、N,使得四邊形芯的周長最小？如果存在，求出周長的最小值

和直線的函數解析式；如果不存在，請說明理由.

【變式3-2](天津西青.?模)如圖①，將?個矩形紙片。48。放置在平面直角坐標系中，點A的坐標是(3,0),

點。的坐標是(0,2),點O的坐標是(0,0),點￡是48的中點，在CM上取一點。，將△8。/沿翻折，

使點A落在8c邊上的點F處.

(1)求點E、廠的坐標；

(2)如圖②，若點P是線段。力上的一個動點(點。不與點。，A重合)，過點P作PHJ.DB于點H,設OP

的長為x,△QP”的面枳為S,請求出S關于x的關系式；

(3)如圖③，在x軸、夕軸上是否分別存在點"、N,使得四邊形MVFE的周長最小？若存在，請求出四

邊形話周長的最小值及此時點M、N的坐標；若不存在，清說明理由

【變式3-3】(陜西寶雞)問題提出

(1)在圖1中作出點8關于直線力。的對稱點夕

問題探究

(2)如圖2,在ABC中，AB=AC=6,ZBAC=\20°,。為片。的中點，P為線段8c上一點,求力P+O尸

的最小值.

問題解決

(3)如圖3,四邊形48C。為小區綠化區，DA=DC,ZADC=90°,48=6+6百，8c=12,ZB=30°,

正是以。為圓心，。力為半徑的圓弧.現在規劃在就1，邊8c和邊力C上分別取一點尸，E,F,使得

。尸+PE+E/+P戶為這一區域小路，求小路長度的最小值.

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④“造橋選址”問題

【例4】（23■全國）有?條以互相平行的直線〃，6為岸的河流，其兩側有村莊A和村莊現在要在河上建

一座橋梁MN（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來看，正確的是（）

【變式4-1】（湖北黃石）己知，在河的兩岸有A,B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離

AB=10千米，A、B兩村莊到河岸的距禽分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸,

M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為（）

A.2vHB.1+3逐C.3+屈D.病

【變式4-2］（23-24全國）如圖所示，某條護城河在CC'處角轉彎，河寬相同，從A處到達8處，須經過兩

座橋（橋寬不計，橋與河垂直），設護城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當地造橋可使A到4的路

程最短，請確定兩座橋的位置.

【變式4-3］已知，在河的兩岸有力,〃兩個村莊，河寬為I千米，4、8兩村莊的直線距離幺8=10千米,

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A,B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋垂直于兩岸，M點為靠近力

村莊的河岸上一點，求4W+8N的最小值.

題型二:積平分問題

解題模板:

根據條1牛判斷該題所屬的面積平分模型

利用模型技巧構造面枳平分線

分析幾何特征并根據數量關系列式計算

1：利用中線平分圖形面積的方法

類別問題情境圖示作法

生

過△4比：的頂點A作一條直線，平

過點｛作的中線44直線4。即為所求直線

分三角形的面積

HIDC

三角形

A

過△48C的AC邊上的點F作一條過點A作△48C的中線AE,連接EF,^AD//EFt

直線，平分三角形的面積連接直線DF即為所求直線

BJ/DElC

連接人心過點D作DE//AC交BC的延長線于點

過四邊形AHCD的頂點A作一條直

E,連接4E,過點A作ZUBE的中線AP,直線AP即

線,平分四邊形的面積

RP\CE為所求直線

“不規則”

多邊形連接/中.PC,過點A作AE//PH交BC的反向延長

過四邊形ABCD的4。邊上的點P線「點&過點〃作DF//PC交AC的延長線于點

作一條直線,平分四邊形的面積凡連接PE.PF.過點〃作△燈濘的中線PM,直線

EB玉CF

即為所求直線

2.利用對稱性平分圖形面積的方法

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類別問題情境圖示作法

過正五邊形ABCDE的頂點A作一過點A作正五邊形的對稱軸4F,直線AF即為所求

軸對稱圖形

條直線，平分正五邊形的面積直線

C\FD

過口ABCD的AD邊上的點E作一連接ACMD,交點為。,連接EO并延長與BC交于

中心對稱圖形

條直線,平分O46C0的面積，小點F.有線￡尸即為所求直線

B/FC

延長GF交BD于點C,連接4C8C,交點為M；連

任意作一條直線，平分組合圖形的

組合圖形接CE,DF,交氤為N,連接M/V,直線MN即為所求

面積

BCD直線

《詞三八三S形戢規則面形575蒞［曲南盔而二申號演藤）一而囪「茬R法7說幣「力。工5心廠〈前7

點D在邊力C上，將線段D4繞點。按順時針方向旋轉90。得到D4',線段D4'交48于點E,作，N_L48于

點凡與線段4。交于點G,連接回CGB.

（I）求證：AADE^AA'DG；

（2）求證：AFGB=AGFC；

（3）若4c=8,tan>1=1,當HG平分四邊形OC4E的面積時，求力。的長.

【變式5-1］（2023.江蘇鹽城.二模）（1）【問題探究】如圖①，點4,C分別在4H,4V上，，4M=12米，

4N=20米，48=2米，8c=2.6米，4。=1.2米.

①探究"BC與"MN是否相似并說明理由；

②求MN的長.

（2）【問題解決】如圖②，四邊形/1C8。規劃為園林綠化區，對角線力B將整個四邊形分成面積相等的兩部

分,已知力8=60米，四邊形1C8D的面積為2400平方米，為了更好地美化環境，政府計劃在8C,/1C邊上

分別確定點巴F,在力E邊上確定點P,Q,使四邊形月產PQ為咫形，在矩形內種植花卉，在四邊形

4C8。剩余區域種植草坪，為了方便市民觀賞，計劃在世之間修一條小路，并使得少。最短，根據設計要

求，求出?。的最小值，并求出當尸。最小時，花卉種植區域的面積.

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c

D

圖②

【變式5-2］（2023-陜西西安-二模）【問題探究】

（1）如圖1,已知》8C,點。是8c的中點，連接力Q,則邑皿S"CD（填或“=”）

（2）如圖2,在梯形力BCD中,AD//BC,請過點4作一條直線/"平分梯形/5C。的面積，點P是力尸與

BC的交點,并說明理由；

【問題解決】

（3）如圖3是某公園的一塊空地，由“8E1和四邊形8C0E組成，NBAE=/C=90。,BE//CD,

4

力5=力石=32米，BC=BE,tanZ）=y,公園管理人員現準備過點4修一條筆宜的小路4W（小路面積忽

略不計），將這塊空地分成面積相等的兩部分（點M在。邊上），分別種植兩種不同的花卉，請在圖中確

定點M的位置，并計算小路4歷的長.（結果保留根號）

【變式5-3］（2023-陜西西安■三模）問題提出：

（1）如圖1,力。是△力8C的中線，則有Su*S4回填“<"、""或"二”）.

問題探究：

（2）如圖2,點"是矩形/18CQ內一點，4B=6,8c=3,點A與坐標原點O重合，AB、力。分別位于工、

N軸正半軸，^（1,1）,是否存在直線/經過點M且將矩形46CO分成面積相等的兩部分，若存在，請求

出直線/的解析式：如不存在，請說明理由.

問題解決：

（3）如圖3,長方形。力8c是西安某學校在疫情期間為學生核酸檢測圍成的一個工作區域,，頂點A,C在坐標

軸上，記。為坐標原點，頂點以20,12）,原有的一個出入口。在邊。。上，且C￡>=4米.為使工作高效

有序，現計劃在邊48,OA,8c上依次再設出入口E,G,",沿DE,G"拉兩道警戒線將工作區域分

成面積相等的四部分.請問，是否存在滿足上述條件的點E,H,G,如存在，請求出點E的坐標及G"的

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函數表達式，如不存在，請說明理由.

【典例6】(如圖，長方形力BCD各頂點的坐標分別為力(1,2)、3(3,4)、。(4,3)、￡>(2,1),長方形EFGH各

頂點的坐標分別為司2,5)、下(5,8)、6(7,6),“(4,3).平移長方形48CD得到長方形48'。'。,且點的的

坐標為(7,8).

⑴畫出長方形HB'C'。.

(2)如果長方形沿的方向平移，至力。與"G重合停止，設平移過程中平移的距離為d,長方形

力BCO與長方形MGH重疊的面積為S,請直接寫出平移過程中S的最大值；此時d的取值范圍為

(3)畫出一條直線把原圖長方形48CQ與長方形EFG”組成的更合圖形分成面積相等的兩部分.

【變式6-1】【問題提出】

(1)如圖①，點。為“8C的邊力C的中點，連接40,若△4?。的面積為3,則“8c的面積為；

【問題探究】

(2)如圖②，在平面直角坐標系中，點/在第一象限，連接作⑷？lx軸于點B,若AB=2OB,6M-26，

過點B的直線/將AO/B分成面積相等的兩部分，求直線/的函數表達式；

【問題解決】

(3)如圖③，在平面直角坐標系中，四邊形。月8。是某市將要籌建的高新技術開發區用地示意圖，其中O

為坐標原點,力(24,7),4(28,4),C(25,0),為了方便駐區單位,計劃過點。修一條筆直的道路S(路寬不

計)，并且使更線4將四邊形分成面積相等的兩部分，記直線人與44所在直線的交點為。，再過點1

修一條筆直的道路(路寬不計)，并且使直線，2將△勿。分成面積相等的兩部分，你認為直線4和6是否

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存在？若存在，請求出直線4和，2的函數表達式；若不存在，請說明理由.

【變式6-2］如圖，在平面直角坐標系中，點A、C分別在X軸上、N軸上，CB//OA,OA=\0,若點8的

坐標為(〃?，〃)，且(〃[-6)2+力-6=0.

(2)若動點。從原點。出發沿x軸正半軸以每秒1個單位長度的速度向右運動，設點尸運動的時間為/秒，求，

為何值時，直線PC把四邊形。/婚。分成面積為3：5的兩部分；

(3)在(2)的條件下，當直線尸。把四邊形049C分成面積相等的詼部分時，在V軸上找一點。，連接P。，使

三角形CPQ的面積與四邊形OABC的面積相等，求點。的坐標.

題型三1：1積最值問題

解題模板：

根據條件判斷該題所腐的面積最值求解類型

分析幾何特征并根據數■關系列式計算

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【例7】（2023-山東濰坊-中考真題）工匠師傅準備從六邊形的鐵皮45CQ針中，裁出一塊矩形鐵皮制作工

件，如圖所示.經測量，AB〃DE,"與OE之間的距離為2米，48=3米，/尸=8C=1米，4=/8=90。,

NC=NF=T35。.MH,HG,G/V是工匠師傅畫出的裁剪虛線.當的長度為多少時，矩形鐵皮MNGH

的面積最大，最大面積是多少？

【變式7-1］（2023-山東濱州-中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形。力AC的一邊。。在x軸正半軸

上，頂點A的坐標為（2,26）,點。是邊OC上的動點，過點。作。E_LOB交邊04于點石，作。尸〃08交

邊8C于點尸，連接Ef.設=k的面積為S.

⑴求S關于x的函數解析式；

（2）當工取何值時，S的值最大？請求出最大值.

【變式7-2］（2023-遼寧阜新-中考真題）如圖，在正方形*86中，線段繞點C逆時針旋轉到處,

旋轉角為2,點尸在直線。￡上，且力。=力廣，連接

（1）如圖1,當0。＜。＜90。時，

①求/切尸的大小（用含。的式子表示）.

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②求證：EF=yf2BF.

（2）如圖2,取線段七廠的中點G,連接力G,已知48=2,請直接寫出在線段CE旋轉過程中（0°＜夕＜360。）

△/1DG面積的最大值.

【變式7-3］（2023-湖北武漢-模擬預測）問題提出如圖（1）,在小8C中，AD1BC,CEH氏連接OE,

L人DE

探九就.

問題探究

DF

（I）先將問題特殊化.如圖（2）,當時，求器的值.

AC

DF

（2）再探究一般情形.如圖（1）,當月。=〃4。時，求夠的值;

AC

問題拓展

如圖（3）,在△40C中，AD1CD,AD=CD=2,P是A4DC內一點,DP=T,CE交AD于F,當KDE

的面積最人時，求制的值.

^AACF

好題必刷?強化落實

一、解答題

1.在矩形48CD中，48=2,/D=2X5，點E在邊BC上,將射線/E繞點A逆時針旋轉90。，交。。延長

線于點G,以線段力￡,4G為鄰邊作矩形力以”.

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G

G

⑴如圖1,連接8。，求N8DC的度數和寸的值；

BE

(2)如圖2,當點尸在射線8。上時，求線段8E的長；

(3)如圖3,當￡4=用?時，在平面內有一動點產，滿足=連接尸力，PC,求/M+PC的最小值.

2.如圖，在RtA力4c中，AC=BC=36，點、D在AB邊上,連接CO,將。。繞點。逆時針旋轉90。得到直,

連接8石，DE.

⑴求證：KAD⑶CBE；

(2)若/。=2時，求CE的長；

⑶點。在48上運動時，試探究力。2+402的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在,

請說明理由.

3.某數學小組在一次數學探究活動過程中，經歷了如下過程：

問題提出：如圖，正方形48co中，48=8,“為對角線力C上的一個動點，以。為直角頂點，向右作等腰

直角4DPM.

(1)操作發現：DW的最小值為，最大值為:

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(2)數學思考：求證：點M在射線AC上；

(3)拓展應用：當b=CM時，求CM的長.

4.如圖，正方形48co是邊長為4米的一塊板材.

操作一：現需從中裁出一個等腰直角VQP。模具，點尸在邊8C上，。在正方形48C。的內部或邊上.

(1)如圖，若/。尸。=90%BP=3米,是否能裁出符合條件的VDP。？若能，確定。的位置；若不能，請

說明理由.

(2)如圖，連接力C,在對角線/C上取點。，連接過點。作。P，。。交邊8c于2連接。。，得到

VDPQ,請證明YOP。符合裁剪要求.

操作二：經探究，操作一的模具大小至多為正方形面積的一半，現修改模具形狀為四邊形，并按面積要求

進行裁剪.即在正方形力8CQ中重新裁出的一個四邊形模具，點尸、。分別在邊4C、ABk.

(3)如圖，若需裁出的四邊形。P8。面積為10平方米，請探究模具四邊形。P8Q周長的最小值.

5.問題提出

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(1)如圖1,已知點C為線段8。上一動點，分別過點8,。作力8_L8。，￡7)18。，連接力GEC.若AB=4,

DE=2,BO=12,則/C+CE的最小值為二

問題解決

(2)如圖2,某公園規劃修建一塊形如四邊形48CQ的牡丹園，其中力。〃以7,4=90。，ZC=60°,

/Z)=300m,BC=CD,△8CQ的內心。處修建一個圓形噴水池，公園的入口“是的中點，BE是一條

觀賞小道，其余部分種植牡丹，現需要在邊上取點尸，BE二找點M,修建道路EFFM,OM.為了

節省成本，需要使修建的道路最短，即b+尸加+。》的值最小，是否存在這樣的點凡使得

Q+"W+OM的值最小？若存在，請求出其最小值；若不存在，請說明理由.

6.如圖，在“8C中，40是8C邊上的中線，點上是力。的中點.過點力作力少〃8c交〃E的延長線于點

F,連接6.

(1)求證："EFADEB；

⑵若乙必C=90。，試判斷四邊形4。6的形狀，并證明你的結論；

(3)在(2)的情況下，如果/。=2,/月。。=90。，點M在力C線段上移動，當M8+,WO有最小值時，求4W

的長度.

7.如圖1,已知△力8c和△OCE均為等腰直角三角形，AC=BC,CD=CE,N/1CB=/DCE=9()°,點D

在線段/C上，點尸為48中點，點M為BE中點，點N為力。中點.

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(1)如圖1,NFMN=,少歷和A/N之間的數量關系是：

(2)如圖2,繞點C順時針旋轉，點G為QE中點，求證：四邊形BWGN為正方形；

(3)如圖3,若48=4&，CE=2,在將△QCE繞點。順時針旋轉360。過程中，直線8。，AE交于點、H,

直接寫出△力〃，面枳的最小值.

(I)操作判斷

操作：如圖1,點￡是邊長為12的正方形紙片488的邊所在的射線片。上一動點，將正方形沿著C'E折疊,

點、D落在點、F處,把紙片展平，射線。尸交射線于點P.

判斷：根據以上操作，圖1中4P與E/的數量關系：.

(2)遷移探究

在(1)條件下，若點￡是力。的中點，如圖2,延長C/交/出于點。，點。的位置是否確定？如果確定，

求出線段的長度，如果不確定，說明理由；

(3)拓展應用

在(1)條件下，如圖3,CE,。廠交于點G,取CG的中點〃，連接8”,求4”的最小值.

9.問題背景

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(1)如圖1,四邊形4BCQ中，AC,BD交于點E,其中△力8￡6△。。石，求證：4ADESABCE.

(2)嘗試應用：如圖2,-8C中，AC=BC,4C8=90。，點。是44的中點，點E,尸是8C上兩點，AE

3EF

交DF于點G,若NEGF=45。，tana=-,求=的值.

5BE

(3)遷移拓展：如圖3,“灰?中，BC=g，N84C=45。，點。是力。上一點，AB=6CD，直接寫出線

段8。氏度的最小值.

(7\

10.已知拋物線G：y=ax2-2ax+a+1(tz0),且過點4,--.

\2)

(1)求拋物線G的函數表達式及其頂點坐標小

⑵若拋物線G上兩點河(亂凹)，N(\為)滿足：對于吃x口+1,匕23時，均有乂2為成立，求出/的取

值范圍；

(3)直線/：y=Gx+l經過8("八4),點，在直線/上運動，求最小值.

2

11.問題發現.(1)如圖①，已知菱形48C。，/8=60。，點M,N分別在AC,CD上,若四邊形4UCN

的面積是菱形Z8C。面積的9求/M4N的度數；

問題解決：(2)如圖②，四邊形力8CZ)是一塊板材，其中力。〃8。，ZJ=90°,AD=20cm,Z?C=40cm,

^5=60cm,工人師傅想用這塊板材裁剪出一-塊四邊形OMAN的部件，使得。是CQ的中點，點M,N分

別在力8,BC上,并要求四邊形OW4N部件的面積是四邊形44CO板材面積的;，求裁剪長度(OW+ON)

的最小值.

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ADA

O

M

BBN

圖①圖②

12.如圖①，正方形/8C。中，44=5,點E是邊48上的動點，點尸、G是邊BC上的動點，且北=4產=R7,

連接ERAC.

P

圖①圖②圖③

(1)如圖①，作七。〃/。，交力C于點0,連接G0,求證;四邊形EPG。是平行四邊形;

(2)如圖②，延長.EF、OG相交于點P，試求ZOPE的度數;

⑶如圖(3),連接EG、DF,記yfDF+EG,試求V的最小值.

13.【探究發現】

(1)如圖1,在“8C中，。為8。邊的中點，連接40并延長至點“，使DH=4D,連接C”.由

NADB=ZCDH,得V/1Q8且V”DC,則與CH的數量關系為,位置關系為

A

圖3

【嘗試應用】

(2)如圖2,在中，/1P平分N84C,。為AC邊的中點，過點。作。。〃力。，交C/的延長線于點

Q,交邊于點、K.試判斷8K與C。的數量關系，并說明理由.

【拓展應用】

(3)如圖3,在RI△48C中，ZBAC=90°,AC=6,4B=8,。為8C邊的中點，連接40,E為AC邊

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上一動點，連接交力。于點立

①若=求力E的長度；

AC：4

②在射線力。上取一點G,且*=：，連接8G,直接寫出48E+58G的最小值.

CE5

14.如圖，在等邊△48C中，ADJ.BC于點、D,E為線段力力上一動點(不與A,。重合)，連接BE,CE,

將CE繞點C順時針旋轉60。得到線段CF,連接力尸.

(1)如圖1,求證：ZCBH=4CA卜;

(2)如圖2,連接8b交4C于點G,連接。G,EF,EF與QG所在直線交于點〃，求證：EH=FH；

(3)如圖3,連接8廠交力C于點G,連接。G,EG,將△彳EG沿4G所在直線翻折至△/BC所在平面內，得

到將AQEG沿。G所在直線翻折至△力5C所在平面內，得到△OQG,連接P。，QF.若力8=4,

直接寫出。。+。”的最小值.

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壓軸題解題模板04

幾何綜合

錄

■k題型剖析?精準提分

題型一線段最值問題

①動點路徑問題

②“胡不歸”問題

③“將軍飲馬”問題

④“造橋選址”問題

題型二：面積平分問題

題型三面積最值問題

?好題必刷?強化落實

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題型剖析?精準提分

幾何綜合

題型一線段最值問題題型二面積平分問題

①動點路徑問題①三角形

②"胡不歸’［問題②不規則圖形

③"將軍飲馬'［問題

④"造橋選址”問題題型三面積最值問題

不囪另三遍藪函豪桎底寫元有而版跡:窗瓦而

題型解讀：

I

?考查熱度.

1幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題

幾何綜合

的形式出現，考查難度較大.此類問題在中考中

多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問

I

題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似

i三角形、圓、銳角三角函數、勾股定理、圖形變

I

換的性質和二次函數的最值等相關知識，以及分

;類討論、數形結合、轉化與化歸等數學思想.此

類題型常涉及以下問題：①兒何圖形中的線段最

I

值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形

I

面積的最值問題.右圖為幾何淙合問題中各題型

的考查熱度.

題型一線段最值問題

:分類：①動點路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題

解題模板:

根據條件判斷妓段最值模型

判斷模型

利用已知條件作垂及（化折為宜）

借助幾何關系或句股定理列式計算

列式計算

①動點路徑問題

【例1】（山東濟寧-中考真題）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉化為平面圖形問題.

（1）閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體力8。。—WK'CQ'（圖1）.因為在平面力HC'C中，CC//AA',力?與相交于點4所以直

線48與AA所成的N84H就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC所成的角.

解決問題

如圖1,己知正方體求既不相交也不平行的兩條直線84與,4C所成角的大小.

（2）如圖2,M,N是正方體相鄰兩個面上的點.

①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖2的展開圖，這個圖形是」

②在所選正確展開圖中，若點"到力8,8。的距離分別是2和5,點N到廈），8c的距離分別是4和3,

P是4B上一動點、,求PM+PN的最小值.

甲

【答案】（1）60°；⑵①丙;②1U

【分析】（1）連接3C,則為等邊三角形，即可求得既不相交也不平行的兩條直線8H與AC所成角

的大小;

（2）①根據正方體側面展開圖判斷即可:

②根據對稱關系作輔助線即可求得尸M+PN的最小值.

【詳解】解：（1）連接8C,

VACHAC,BA1與HC'相交與點4,

即既不相交也不平行的兩條直線￡卬與力。所成角為N8/C'，

根據正方體性質可得：AB=BC=AfC,

???△H8C'為等邊三角形，

???W60。,

即既不相交也不平行的兩條直線BA'與AC所成角為60。：

（2）①根據正方體展開圖可以判斷，

甲中與原圖形中對應點位置不符，

乙圖形不能拼成正方體，

故答案為丙：

②如圖：作M關于直線48的對稱點AT,

連接NAT，與交于點P,連接MP,

則PM+PN=PN+PM'=NM',

過點N作BC垂線，并延長與交于點E,

???點M到8c的距離是5,點N到〃C的距離是3,

:.NE=8,

V點M到AB的距離是2,點N到BD的距離是4,

.??￡”=6,

‘NM'=dEM，2+NE?=用+8?=10,

故PM+/W最小值為10.

【點睛】本題主要考杳正方形的性質、正方體的側面展開圖、根據對稱關系求最短距離、勾股定理等知識

點，讀懂題意，明確PM+PN最小時的情況是解題的關鍵.

【變式1-1](山東日照-中考真題)如圖，RI△/8c中，ZC=90°,以48為邊在48上方作正方形45力石,

過點。作。入LC從交C3的延長線于點巴連接4巴

(1)求證：MBCWABDF；

(2)P,N分別為4C,8E上的動點，連接力MPN,若DF=5,AC=9,求4V+PN的最小值.

【答案】（1）見解析；（2）14

【分析】（1）根據正方形的性質得出BD=AB,NDBA=90。,進而得出NDBF=NCAB,因為NC=NDFB=90。.根

據AAS即可證得結論；

（2）根據正方形的性質AN=DN,如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，根據垂線段最短，

作DP」AC,交BE于點Ni，垂足為Pi，則AN+PN的最小值等于DP尸FC=14.

【詳解】（1）證明：??*3力8。中，ZC=90°,DFLCB,

AZC=/DFB=90°.

???四邊形/8QE是正方形，

；?BD=AB,NO歷1=90。，

VZZ）5F+ZJ5C=90°,ZCAB+^ABC=90°,

：?NDBF=/CAB,

:,△ABC/ABDF（AAS）；

（2）解：?:△ABgABDF,

:.DF=BC=5,BF=AC=9,

：.FC=BF+BC=9+5=\4.

如