專題2?4瓜豆就最值模型：為什么我們喜歡手拉手（直線與曲線）

好■/題型?解讀7

【例題1）三種處理策略

【例題2】飲馬類瓜豆與加權線段和問題

【瓜豆圓介紹】

型。軌跡為直線型?構造中位線求

2023?廣東深圳?統考三模

題型喳軌跡為直線型?構造手拉手

經典例題,宿遷中考

2023?黑龍江綏化?中考真題

2023?湖北黃岡?統考中考真題

2023?西安市交通大學附屬中學初三月考

霞S軌跡為直線型?將軍飲馬加權線段和問題

胞幽回軌跡為圓弧型?構造中位線

2023?山東泰安?中考真題

軌跡為圓弧型?構造手拉手

2023?四川宜賓?統考中考真題

2022沈陽中考

2022?鹽城市一模

2023?深圳外國語學校中考模擬

路徑相關問題

2022?山東濱州.統考中考真題

2023?海南.統考中考真題

當線段最小值時求其它量

2022?廣東廣州.中考真題

2023?四川?廣元中考真題

丘那/滿分?技巧/

初中階段如遇求枕跡長度僅有2種類型：“直線型''和“圓弧型”（兩種類型中還會涉及點往返探究“往

返型''），對于兩大類型該如何斷定，通常老師會讓學生畫圖尋找3處以上的點來確定就跡類型進而

求出答案，對于填空選擇題而言不外乎是個好方法，但如果要進行說理很多考生難以解釋清楚

一、我們先來解釋一下瓜豆原理：定角定比，主從聯動

瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據某種約束條件，跟著主動點動），當主動點運動時，從動

點的凱跡相同.

只要滿足：

?------------------------------

//

1、兩“動”，一“定”則兩動點的運動軌跡是相似的，運

2、兩動點與定點的連線夾角是定角動軌跡長度的比和它們到定點的

3、兩動點到定點的距離比值是定值、距離比相同。

、

X._________

［例題1］三種處理策咯

如圖，D、E是邊長為4的等邊三角形A8C」一的中點，P為中線力。」一的動點，把線段

PC繞C點逆時針旋轉60°,得到P',EP'的最小值

1]

結合這個例題我們再來熟悉一下瓜豆模型

第一層：點P'運動的軌跡是直線嗎？

答：是直線，可以通過P在4。時，即始末位置時"'對應的位置得到直線就跡，對于選填題，可

找出從動點的始末位置，從而快速定位軌跡，若要說理財需要構造手拉手證明.

第二層：點P'的運動長度和點P的運動長度相同嗎？

答：因為點P'與點尸到定點C的距離相等，則有運動路徑長度相等，若要說理則同樣需要構造手拉

手結構，通過全等證明.

第三層：手拉手模型怎么構造？

答：以旋轉中心C為頂點進行構造，其實只要再找一組對應的主從點即可，簡單來說就是從P點的

軌跡即線段49中再找一個點進行與P點類似的的旋轉，比如把線段4。中的點4繞C點逆時針旋轉

60°,即為點&連接8P'即可得到一組手拉手模型，雖然前面說是任意點，但一般來說我們選擇一

個特殊位置的點進行旋轉后的點位置也是比較容易確定的，比如說點。進行旋轉也是比較方便.

第四層：分析NC4P和/CBP'

答：由全等可知NG4P=NC8P’,因為8為定點，所以得到P'軌跡為直線BP'

第五層：點尸和點P'軌跡的夾角和旋轉角的關系

答：不難得出本題主動點與從動點軌跡的夾角等于旋轉角，要注意的是如果旋轉角是鈍角，那么主

動點與從動點軌跡的夾角等于旋轉角的補角，這個在后面的例題中會出現.

大氣層：前面提到，如果是選填題，可以通過找從動點的始末位置快速定位軌跡線段，或者通

過構造手拉手，通過全等或相似得出相等角然后得出軌跡，這兩種方法都是先找出從動點/

的軌跡，再作垂線段并求出垂線段的長得到最小值，那么還有其他方法嗎？

答：還可以對關鍵點進行旋轉來構造手拉手模型，從而代換所求線段，構造如下.

將點EC繞點C順時針旋轉60°,構造手拉手模型（S4S全等型），從而得到P'E=PG,最小值即為點

G到AD的距離.

要注意的是因為要代換PE,所以E點的旋轉方式應該是從P'|P,所以是順時針旋轉，求軌跡

時的旋轉方式則是P|P',注意區分.

解析

策略一：找從動點軌跡

連接BP',

由旋轉可得，CP=CP\/P'CP=60。，

,:△45C是等邊三角形，

：,AC=BC,N4C8=60°,

:.NACB=NPCP',

JAACP*ABCP'(SAS),

：.NCBP'=NCAP,

???邊長為4的等邊三角形力8C中，。是對稱軸40上的一個動點,

???NC4P=30。，BD=2,

JNC8P'=30。，

即點P'的運動軌跡為直線BP\

，當DP_L8P'時,EP'最短，

I

上匕日寸，EP'=5BD+ED=1+2=3

-x2

2

???EP'的最小值是3

策略二：反向旋轉關鍵點構造手拉手代換所求線段

將點E繞C點順時針旋轉60°得到點G,連接PG,CG,EP'

A

由旋轉可得EC=CG,CP=CP\NP'CP=60。，NECG=60。,

??.△ECG是等邊三角形，EG=2

NPCP'=/ECG

，4PCG=NECP'

:AGCP義△ECPXSAS),

：.EP'=GP,

過點G作4D的垂線垂足為比GH即為所求.

NGEC=NACD

：.HE//DC

???NGHD=NADC

J.HG//DC

故G,E,”三點共線，則有HE〃DC

又E是/IC中點，分線段成比例可知H是力。中點

：.HE=-DC=\

2

EP'=GP=HE+EG=2+1=3

???EP'的最小值是3

總共提到了3種處理方式：

1.找始末，定就跡

2.在跳跡上找一點旋轉，構造手拉手模型，再通過角度相等得到從動點擾跡.

3.反向旋轉相關定點，構造手拉手模型，代換所求線段，即逆向構造.

【例題2】飲馬類瓜豆與加權線段和問題

己知點4(2,0),點8是直線)，=—2上一個動點，將線段A8繞點8逆時針旋轉90°得到線段8c

角度1:反向旋轉構造手拉手(不用求從動點軌跡，直接轉換為垂線段最短)

(1)求OC的最小值

【簡析】如圖，構造等腰直角AAOE,區1,一1)由旋轉相似可知OC=aJ5

y

角度2：構造手拉手求從動點軌跡

(2)求&3C+OC的最小值

【簡析】V58C+OC=AC+OC，求出c點軌跡，再將軍飲馬，如圖，在B點軌跡上取一點”(2,-2),

構造旋轉相似，易知ZQW=90°,可知C點軌跡為J=-x-2,作01(-2,-2),

AC+OC=AC+O,C>AO,=2y/5,補充：此時加權線段和對應三邊之比

角度3：構造旋轉相似求加權餞段和

(3)記。(0,2),①求力C+OB的最小值；②求&O8+OC的最小值

【簡析】①由旋轉相似可知。。=血03,則。C+OB=(a+1)OAW2血+2

?y/2OB+OC=DC+OC=DC+O,C>DO'=2sf5,補充：此時加權線段和對應相似比

【瓜豆圓介紹】

如圖，P是圓0上一個動點，A為定點，連接AP,Q為AP中點。當點P在圓0上運動時，Q點軌

跡是？

【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關系？

考慮到Q點始終為AP中點，連接AO,取AO中點M,則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是

0P一半，任意時刻，均有△AMQs/^AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2

【小結】

確定Q點就跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，

由Q為AP中點可得：AM=-AO.

2

Q點軌跡相當于是P點枕跡成比例縮放.

根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；

根據動點之間的數量關系分析枕跡圓半徑數量關系.

2023?廣東深圳?統考三模

I.如圖所示，八3=4,AC=2,以8C為底邊向上構造等腰直角三角形BCQ,連接/I。并延長至

點P,使人。=9,則依長的取值范圍為.

S軌跡為直線型?構造手拉手

經典例題?宿遷中考

2.如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為BC上一點、,且8E=1,尸為AB邊上的一個動點，連接

EF,以E/為邊向右側作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為.

AD

3.如圖，在平行四邊形A8CD中，點E為射線A力上一動點，連接鹿，將跳:繞點8逆時針旋轉60。

得到打,連接人尸，八3=12,Z4BC=45°,求A產的最小值.

【思路點撥】將45順時針旋轉60°,作等邊根據手拉手模型可知AF=EK,根據垂線段

最短可知，當FK_LAO時，KE的值最小，利用勾股定理求解EK即可求解.

4.（2023?洛陽?二模）如圖，在一ABC中，AB=AC=2,ZMC=120°,對稱軸AO交8C于點

點E是直線AO上的一個動點，連接8,將線段8繞點C逆時針旋轉30。得尸C,連接

則。廠長的最小值為.

5.（2023?廣東深圳?校考模擬預測）如圖，在..ABC中，Z4C5=90°,AC=BC=4fP是.<8C的

高C。上一個動點，以5點為旋轉中心把線段必逆時針旋轉45。得到8尸，連接。尸’，則。戶的

最小值是.

2023?黑龍江綏化?中考真題

6.如圖，是邊長為6的等邊三角形，點E為高8。上的動點.連接CE,將CE繞點C順時針

旋轉60。得到CF.連接AF,EF,DF，則-CD尸周長的最小值是.

7.（2022?山東日照?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xO.v中，點4的坐標為（0,4）,P是

x軸上一動點，把線段布繞點P順時針旋轉60。得到線段PF,連接OE則線段O/7長的最小

值是.

2023?湖北黃岡?統考中考真題

8.如圖，已知點43,0）,點B在），軸正半軸上，將線段A8繞點4順時針旋轉120。到線段AC,若

點C的坐標為（7,6），則人=.

9.如圖，在中，乙4。5=90。，AC=I5,8c=9,點P是線段AC上的一個動點，連接8P,

將線段改繞點尸逆時針旋轉90。得到線段。D,連接A。，則線段A。的最小值是

2023?西安市交通大學附屬中學初三月考

10.如圖，矩形ABCZ）中，AB=6,BC=8,E為8c上一點，且BE=2,/為人B邊上的一個動

點，連接E尸，將石F繞著點E順時針旋轉45。到EG的位置，連接FG和CG,則CG的最小值

為.

AD

BEC

II.如圖，矩形ABCQ中，AB=6,BC=4,點E,尸分別為邊人3,CD上的動點，且=

將線段E尸繞點尸逆時針旋轉90。得到線段依，連接力G

(1)當點E為A8的中點時，線段的長是；

(2)當點內在邊AA上運動時.線段DG的最小值是

12.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P是對角線AC上的動點，連接DP,將直線DP

繞點P順時針旋轉，使Nl=/2,且過點D作DG1PG,連接CG.則CG最小值為一

13.如圖，正方形A8CD的邊長為4,E為BC上一點,且8E=1，F為48邊上的一個

動點，連接EF,以E/為底向右側作等腰直角△EFG，連接CG,則CG的最小值為-------

【變式訓練】雙動點

14.如圖，正方形A8CD的邊長為4,E為BC上一點、,F為A8邊上一點，連接”，以

EF為底向右側作等腰直角△EFG,連接CG,則4G的最小值為.

軌跡為直線型?將軍飲馬加權線段和問題

15.如圖，在矩形ABCD中，48=5,BC=9,E是邊A8上一點，AE=2,尸是直線8c上一動

點，將線EF繞點、上逆時針旋轉90。得到線段EG,連接8,QG,則CG+DG的最小值是

16.如圖，已知NCAB=3O。，4B=2,點。在射線AC上，以8。為邊作正方形8OEF,連接4E、

BE,則AE+8E的最小值為.

AB

17.如圖，在矩形ABC。中，A8=5,BC=8,點”為邊3C的中點，P是直線AO上的一個動點,

以MP為邊在MP右側作RfMPQ,且QM=PQ,連結AM,AQ,則..4MQ周長的最小值為

18.如圖，在矩形/WC。中，AB=2,AD=2x/3，點石為邊人。上一動點，以CE為邊向右作直角

三角形的'使/團-9。。，N6E=3。。，連接*BF,求曲京尸的最小值.

20.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（1,0），點。是x軸上的一動點，連接4P,

將線段”繞點A逆時針旋轉120。得到AQ,連接。。，PQ,求&OQ+PQ的最小值.

@軌跡為圓弧型?構造中位線

19.（2023?周口?三模）如圖，止方形A8C7）的邊長是8,點E是8C邊的中點，連接DE,點尸是

線段OE上不與點。，E重合的-一個動點，連接彷，點G是線段M的中點，則線段AG的最小

值為.

AD

2023?山東泰安?中考真題

20.如圖，在平面直角坐標系中，RtZXAOB的一條直角邊08在x軸上，點A的坐標為（-6,4）；

RtCOD中，NCOZ)=90。，OD=4&ZD=30°,連接8C,點M是8c中點，連接AM.將

RtCO。以點。為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段AM的最小值是（）

C.2V13-2D.2

21.如圖，點A,〃的坐標分別為42,0）,8（0,2）,點C為坐標平面內一點，8c=1,點”為線

段AC的中點，連接OM,則0M的最大值為（）

X

I1

血

A上+B+C2+D2

X/22-V22-

22.如圖，在半徑為4的。中，弦AC=4夜，3是（0上的一動點（不與點A重合），。是43的

中點，M為的中點，則AM的最大值為.

B

軌跡為圓弧型?構造手拉手

2023?四川宜賓?統考中考真題

23.如圖，M是正方形ABCD邊CO的中點，P是正方形內一點，連接笈P,線段8Q以B為中心逆

時針旋轉90。得到線段8。，連接MQ.若八B=4,MP=1,則的最小值為.

2022沈陽中考

24.如圖，在△ABC中，AB=8,AC=30將CB繞點C逆時針旋轉90。得到CD,連接4Z),則

AD的最大值是.

25.如圖，點尸是正方形A8CO所在平面內一點，NAP8=90。，連接。尸，將線段。尸繞點。逆時

針旋轉90。得到線段。Q,連接AQ,若48=2,則線段AQ的最大值為.

AD

2022?鹽城市一模

26.如圖，在直角坐標系中，點A坐標為（2,0）,點8的2標為（6,0）,以8點為圓心，2長為

半徑的圓交x軸于C、Q兩點，若尸是。8上一動點，連接附,以以為一直角邊作心△%Q,

使得tanNAPQ=g,連接。Q,則。。的最小值為

2023?深圳外國語學校中考模擬

27.如圖，已知正方形ABCQ的邊長為4,以點A為圓心，2為半徑作圓，E是二A上的任意一點，

將線段。石繞點D順時針方向旋轉90。并縮短到原來的一半，得到線段。下，連接AF,則AF的

最小值是.

28.如圖，AB=4,。為AB的中點，0。的半徑為1,點尸是0。上一動點，以依為直角邊的等

腰直角三角形（點尸、6、C按逆時針方向排列），貝J線段AC的長的取值范圍為

29.如下圖，在正方形ABC。中，A8=6,點E是以BC為直徑的圓上的點，連接。￡,將線段￡>￡

繞點。逆時針旋轉90。，得到線段。連接CF,則線段Cr的最大值與最小值的和

路徑相關問題

2022?山東濱州?統考中考真題

30.正方形4KC7）的對角線相交于點O（如圖1）,如果20。。繞點O按順時針方向旋轉，其兩邊

分別與邊A艮8c相交于點E、尸（如圖2）,連接EF,那么在點E由3到A的過程中，線段EF

的中點G經過的路線是（）

A.線段B.圓弧C.折線D.波浪線

2023?海南?統考中考真題

31.如圖，在正方形ABCQ中，A8=8,點石在邊上，且AO=4AE,點P為邊A3上的動點,

連接PE,過點、E作EFJ.PE,交射線8。于點尸，則釬=_____.若點M是線段EF的中點,

PE

則當點。從點人運動到點4時，點M運動的路徑長為.

32.如圖，在矩形A8CO中，A3=2,AD=4,動點E從點A運動到點。，以C￡為邊在CE的右側

構造正方形。:FG,連接AF,則4/的最小值為,點/運動的路徑長為.

33.如圖，矩形A8CO中，AB=8,AD=4,E為邊AD上一個動點，連接8E,取BE的中點G,點G

繞點E逆時針旋轉90。得到點F,連接CF,在點E從A到。的運動過程中，點G的運動路徑

=，尸面積的最小值是.

F

題型密當線段最小值時求其它量

2022?廣東廣州?中考真題

34.如圖，在矩形48。中，BC=2AB,點P為邊AO上的一個動點，線段8戶繞點8順時針旋轉

60。得到線段8P,連接PP,CP'.當點P落在邊8C上時，NPP'C的度數為；當線

段CP'的長度最小時，NP產C的度數為

2023?遼寧?中考真題

35.如圖，線段A8=8,點C是線段上的動點，將線段8c繞點8順時針旋轉120。得到線段8。,

連接在人〃的上方作R1AQC行.使/DCE=90,/行=3。，點F為DE的中點，連接A廣，

當""最小時，A5C￡>的面積為.

36.如圖，在等邊△ABC中，點。在BC邊上，點E在AB的延長線上，且8E=C￡>,連接。E,將

線段。E繞點。順時針旋轉12()。得到OF,連接C凡當CF取得最小值時，求殷的值.

CD

A

2023?四川?廣元中考真題

37.如圖1,已知線段AB,AC,線段AC繞點A在直線A8上方旋轉，連接8C,以BC為邊在8C

上方作R"8DC,且NZ)8c=30。.

圖1圖2圖3

(1)若/8￡心=90。，以/W為邊在48上方作RtZ\84￡,且4/沼=90。，NER4=30。，連接。￡,用

等式表示線段AC與DE的數量關系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DE上AB,AB=4,AC=2,求8c的長：

(3)如圖3,若/BCD=90°,人8=4,AC=2,當人￡)的值最大時，求此時tan/CBA的值.

專題2?4瓜豆軌最值模型：為什么我們喜歡手拉手（直線與曲線）

窈■/題型?解讀7

［例題I］三種處理策略

【例題2】飲馬類瓜豆與加權線段和問題

【瓜百圓介紹】

酶O軌跡為直線型?構造中位線求

2023?廣東深圳?統考三模

軌跡為直線型?構造手拉手

經典例題?宿遷中考

2023?黑龍江綏化?中考真題

2023?湖北黃岡?統考中考真題

2023?西安市交通大學附屬中學初三月考

軌跡為直線型?將軍飲馬加權線段和問題

酶圓軌跡為圓弧型?構造中位線

2023?山東泰安?中考真題

軌跡為圓弧型?構造手拉手

2023?四川宜賓?統考中考真題

2022沈陽中考

2022?鹽城市一模

2023?深圳外國語學校中考模擬

題型磕路徑相關問題

2022.山東濱州?統考中考真題

2023?海南?統考中考真題

當線段最小值時求其它量

2022?廣東廣州?中考真題

2023?四川?廣元中考真題

局理/滿分?技巧7

?——??■—??一—??—?—?—???

初中階段如遇求枕跡長度僅有2種類型：“直線型''和“圓弧型’（兩種類型中還會涉及點往返探究“往

返型”），對于兩大類型該如何斷定，通常老師會讓學生畫圖尋找3處以上的點來確定軌跡類型進而

求出答案，對于填空選擇題而言不外乎是個好方法，但如果要進行說理很多考生難以解釋者楚

一、我們先來解釋一下瓜豆原理：定角定比，主從聯動

瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據某種約束條件，跟著主動點動），當主動點運動時，從動

點的軌跡相同.

只要滿足:

1、兩“動”，一“定”則兩動點的運動軌跡是相似的，運

2、兩動點與定點的連線夾角是定角動軌跡長度的比和它們到定點的

3、兩動點到定點的距離比值是定值、距離比相同。

【例題1】三種處理策咯

如圖，D、E是邊長為4的等邊三角形A8C上的中點，P為中線4。上的動點，把線段

PC繞C點逆時針旋轉60°,得到P',EP'的最小值

A

結合這個例題我們再來熟悉一下瓜豆模型

第一層：點P'運動的軌跡是直線嗎？

答：是直線，可以通過P右4。時，即始末后量時P'對應的右置得到直線軌跡，對于選填題，可

找出從動點的始末位置，從而快速定位軌跡，若要說理則需要構造手拉手證明.

第二層：點P'的運動長度和點P的運動長度相同嗎？

答：因為點尸'與點P到定點C的距離相等，則有運動路徑長度相等，若要說理則同樣需要構造手拉

手結構，通過全等證明.

第三層：手拉手模型怎么構造？

答：以旋轉中心C為頂點進行構造，其實只要再找一組對應的主從點即可，簡單來說就是從P點的

軌跡即線段4）中再找一個點進行與P點類似的的旋轉，比如把線段中的點力繞C點逆時針旋轉

60°,即為點&連接8P'即可得到一組手拉手模型，雖然前面說是任意點，但一般來說我們選擇一

個特殊位置的點進行旋轉后的點位置也是比較容易確定的，比如說點。進行旋轉也是比較方便.

第四層：分析/C4P和/CBP'

答：由全等可知NG4P=NCBP',因為8為定點，所以得到P'筑跡為直線BP'

第五層：點P和點P'軌跡的夾角和旋轉角的關系

答：不難得出本題主動點與從動點軌跡的夾角等于旋轉角，要注意的是如果旋轉角是鈍南，那么主

動點與從動點軌跡的夾角等于旋轉角的補角，這個在后面的例題中會出現.

大氣層：前面提到，如果是選填題，可以通過找從動點的始末位置快速定位軌跡線段，或者通

過構造手拉手，通過全等或相似得出相等角然后得出軌跡，這兩種方法都是先找出從動點/，’

的軌跡，再作垂線段并求出垂線段的長得到最小值，那么還有其他方法嗎？

答：還可以對關鍵點進行旋轉來構造手拉手模型，從而代換所求線段，構造如下.

將點EC繞點。順時針旋轉60°,構造手拉手模型（S/1S全等型），從而得到P'E=PG,最小值即為點

G到AD的距離.

要注意的是因為要代換P'E,所以E點的旋轉方式應該是從P'|P,所以是順時針旋轉，求機跡

時的旋轉方式則是P|P',注意區分.

AA

—.G

解析

策略一：找從動點軌跡

連接BP',

由旋轉可得，CP=CP',NP'CP=60°,

是等邊三角形，

：,AC=BC,NAC8=60。，

ZACB=NPCP;

???△ACPgABCP<SAS),

???NCBP'=ZCAP,

???邊長為4的等邊三角形48c中，P是對稱軸力。上的一個動點,

AZG4P=30°,80=2,

NCBP'=30°,

即點P'的運動軌跡為直線BP',

工當DP」BP'時,EP'最短，

1I

此時，EP,=2BD+ED=-x2+2=3

???EP'的最小值是3

策略二：反向旋轉關健點構造手拉手代換所求線段

將點E繞C點順時針旋轉60°得到點G,連接PG,CG,EP'

c

由旋轉可得EC=CG,CP=CP\NP'CP=60。,ZECG=60f

???△ECG是等邊三角形，EG=2

???NPCP'=NECG

：?/PCG=NECP'

工4GCP@△ECPISAS),

：,EP'=GP,

過點G作4D的垂線GH垂足為“，GH即為所求.

A

——,G

P'

???NGEC=NACD

：.HE//DC

〈NGHD=NADC

：.HG//DC

故G,E,，三點共線，則有HE〃DC

又E是AC中點，分線段成比例可知”是力。中點

：,HE=-DC=\

2

EP=GP=HE+EG=2+1=3

.??EP'的最小值是3

總共提到了3種處理方式：

1.找始末，定軌跡

2.在規跡上找一點旋轉，構造手拉手模型，再通過角度相等得到從動點就跡.

3.反向旋轉相關定點，構造手拉手模型，代換所未線段，即逆向構造.

【例題2】飲馬類瓜豆與加權線段和問題

已知點4(2,0),點B是直線？=一2上一個動點，將線段4B繞點8逆時針旋轉90°得到線段8c.

角度1:反向旋轉構造手拉手(不用求從動點軌跡，直接轉換為垂線段最短)

<1)求oc的最小值

【簡析】如圖，構造等腰直角AAOE,E(l,—1)由旋轉相似可知oc=a5EW

角度2：構造手拉手求從動點軌跡

(2)求及BC+OC的最小值

【簡析】x/58C+OC=AC+OC，求出c點軌跡，再將軍飲馬，如圖，在B點軌跡上取一點"(2,-2),

構造旋轉相似，易知NC4N=90。，可知C點軌跡為y=-x-2,作O'(-2,-2),

AC+0C=AC+0'C>AO'=2>/5補充：此時加權線段和對應三邊之比

角度3：構造旋轉相似求加權線段和

(3)記。(0,2),①求DC+OB的最小值；②求行O8+OC的最小值

【簡析】①由旋轉相似可知=則力C+OA=(&+l)OAM2j5+2

?y/2OB+OC=DC+OC=DC+(yC>D(r=2y/5,補充：此時加權線段和對應相似比

【瓜豆圓介紹】

如圖，P是圓0上一個動點，A為定點，連接AP,Q為AP中點。當點P在圓0上運動時，Q點軌

跡是？

【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關系？

考慮到Q點始終為AP中點，連接AO,取AO中點M,則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是

0P一半，任意時刻，均有△AMQsaAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2

【小結】

確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，

由Q為AP中點可得：AM=^AO.

Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放.

根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；

根據動點之間的數量關系分析筑跡圓半徑數量關系.

題型O軌跡為直線型?構造中位線求

2023?廣東深圳?統考三模

I.如圖所示，八3=4,AC=2f以8c為底邊向上構造等腰直角三角形BCD,連接并延長至

點P，使AD=">,則依長的取值范圍為.

【答案】4-2X/2<PB<4+2N/2

【分析】以4A為斜邊作等腰直.角三角形4H尸，延長A尸至點E.使AF=EF,連接ERBE.利用

等腰直角三角形的性質得出AABCs.BD利用相似三角形的性質求出&,再利用三角形中位

線的性質求出PE=2拉，由44BF是等腰直角三角形，人尸=莊，得出所垂直平分AE,進而求出

BE=4,繼而利用三角形的三邊關系即可求出答案.

【詳解】解：如圖，以A8為斜邊作等腰直角三角形A8/"延長"'至點￡使AF=EF,連接樣、

BE.

???AC8。和A4Z/都是等腰直角三角形，

；?==^BD，AB=yjAF2+BF2=>/2BF,

???■^二普二夜,，CBD="BF=45°,

BDBF

：.NCBD-NCBF=ZABF-Z.CBF,即AFBD=ZABC,

AABCSMBD.

???/=生=日

DFBD

???AC=2,

???”臉音也

VAD=DP,AF=FE,

???。戶是ZXAE尸的中位線，

EP=2DF=2叵，

丁A/V^是等腰直角三角形，AF=FE,

斯'垂直平分4E,

JBA=BE,

'：AB=4,

/.BE=4,

A4-25/2<PB<4+2x/2,

故答案為：4-25/2<P^<4+2x/2.

軌跡為直線型?構造手拉手

經典例題?宿遷中考

2.如圖，正方形A8CO的邊長為4,E為BC上一點、,且8E=1,尸為A8邊上的一個動點，連接

EF,以EF為邊向右側作等邊aE廣G,連接CG,則CG的最小值為.

【分析】

現在，我們分別用上面提到的3種策略來處理這個題目

策略一：找始末，定軌跡

我們分別以BE,AE為道,按題目要求構造等邊三角形得到Gi與G2,連接G與G2得到點G的就

跡，再作垂線C”得到最小值.

前面提到過從動點就跡和主動點軌跡的夾角與旋轉角有關，我們可以調用這個結論，得到NAMGi

=60°,

進一步得到△MBGi為等腰三甭形后，求CH就不難了，可得C"=2

策略二：在點F軌跡上找一點進行旋轉.

我們分別對A,8順時針旋轉60°,構造手拉手模型，再通過角度相等得到從動點軌跡，

對A點旋轉會得到一個正切值為'的角，即【anNGME=lanNAFE=,，然后進一步算出最值

44

【簡證】EM=AE=WinEN=\=/NEC=120。nIC=2陽CH=-

22

對8點旋轉得到N￡MG=NFBE=90°,相對來說要容易一些.

ADAD

策略三：反向旋轉相關定點，構造手拉手模型，代換所求線段.

講點C逆時針旋轉60°,得到點”，易i正4CGE冬AHFE,則有CG=〃F,作于M,HM

即為所求.相比之下，先求就跡后再求垂線段時，比狡麻煩，而反向旋轉代換所求線段感覺清爽很

多.

3.如圖，在平行四邊形ABCZ)中，點E為射線4D上一動點，連接鹿，將座繞點4逆時針旋轉60。

得到分，連接Af，A8=12,/A6c=45°,求的最小值.

F

【思路點撥】將A8順時針旋的6(r,作等邊.58K,根據手拉手模型可知AF=EK,根據垂線段

最短可知，當KK_LA力時，KE的值最小，利用勾股定理求解EK即可求解.

【答案】3瓜+3叵

【詳解】解：如圖，以A3為邊向下作等邊4A3K,連接EK,在EK上取一點T使得A7=7X,

F

?:BE=BF,BK=BA./EBF=/ABK=6,AZABF=AKBE,:…ABFW&KBE(SAS],

:.AF=EK,根據垂線段最通可知，當EK_LAO時，KE的值最小，二?四邊形A8CD時平行四邊形

.\AD//BCtVZ^BC=45%AZBAD=180°-ZABC=135°,VZBA/C=60°.:./EAK=7S、

???ZAEK=90'，???NAKE=15,???7X=L4,，/：TAK=ZAKT=\5°,AZATE=ATAK+ZAKT=30°

設=則AT=7X=2a,ET=,在RLAEK中，AK2=AE2+EK2

A?2+(2?+>/3t/)2=122,解得a=3(6一拉)，:.EK=2a+瓜=3限+3近

即AF的最小值為3#+3及

4.(2023?洛陽?二模)如圖，在一ABC中，AB=AC=2,N5AC=12()。，對稱軸八￡)交8C于點。，

點E是更線人。上的一個動點，連接EC,將線段反?繞點C逆時針旋轉30。得/C,連接。尸，

則。尸長的最小值為

［答案］友二2

2

【分析】在4c上取一點G,使CG=CD,連接EG,根據全等三角賬的性質可得CQ=CG=6,再

求出NDC^=NGCE,根據旋轉的性質可得8=0"然后利用"邊角邊”證明4。。”和-GCE全等，

再根據全等三角形對應邊相等可得。尸=EG,然后根據垂線段最短可得EG_LAO時最短，再根據

NC4Z)=60。求解即可.

【詳解】解：如圖，在AC上我一點G,優CG=CD,連接￡G,

AB=AC=2,ZBAC=120°,

:.ZACB=30°,

：.CD=y/3,

旋轉角為30。,

...Z￡CF=30°,

:.AECF=ZACB,

;.NGCE=NDCF,

-CD=CG,

又-CE旋轉到。尸，

:CE=CF,

.-.△DCF^AGCE(SAS),

:.DF=EG,

根據垂線段最短，EG1ADH-,EG最短，即。尸最短，如圖所示:

A

.-.￡G=AGsin600=（2->/3）x—=>73--,:.DF=G-盤

222

5.（2023?廣東深圳?校考模擬預測）如圖，在/5C中，4c8=90。，AC=BC=4,〃是。的

高。。上一個動點，以8點為旋轉中心把線段8。逆時針旋轉45。得到8戶，連接。P,則。尸的

最小值是.

【答案】2夜—2

【分析】在8C上截取BE=BD,根據等腰直角三角形的性質求得BA和BE,再證明

..BDP包BEP（SAS）,從而可得到。￡=Q/，則當小_LC。時，PE有最小值,即OP'有最小值，再

求得PE,從而求得OP'的最小值.

【詳解】解：如圖，在上裁取座=4￡>,連接￡P

VZACB=90°,AC=BC=4,CD工AB,

，BA=JAC?+8c*=次+4=4拉,ZABC=ZBAC=ZBCD=ZDCA=45°,BD=CD=AD=141=BE,

???以6點為旋轉中心把線段8產逆時針旋耕45c得到,

:,BP=BP,NPB9=45°,

/.ZABC=/PBP=45。,

ZABC-NPBD=4PBp-ZPBD,

即NEBP=NDBP,

3BE=BD,BP=BP,

BDPW^EP(SAS),

/.PE=DP',

???當PE_LCZ)時，莊有最小值，即。產有最小值,

VPE±CD,ZBCD=45°,

CE=0PE=BC-BE=A-20

.??PE=與CE=與《—2塔=2五一2,

DP=PE=2五-2.

即力產的最小值是20-2

2023?黑龍江綏化?中考真題

6.如圖，是邊長為6的等邊二角形，點上為島8。上的動點.連接CE,將C左繞點C順時針

旋轉6()。得到。尸.連接AF,EF,DF,則其發/周長的最小值是.

【答案】3+3下)

【分析】根據題意，證明心8￡且人。4”,進而得出尸點在射線A尸上運動，作點C關于4廠的對稱點

C,連接。C,設CC交A廠于點0,則N4OC=90°,則當EC三點共線時，星+凡)取得最

小值，即FC+FD=尸。+F7)=CD',進而求得C7),即可求解.

【詳解】解：???￡：為高8。上的動點.

.??ZCBE=-ZABC=30°

2

???將CE繞點C順時針旋轉60°得到CF.J^BC是邊長為6的等邊三角形，

.?.CE=CF/ECF=ZBCA=60°,BC=AC

ACBE^.CAF

???ZC4F=ZCTE=30°,

???尸點在射線"，上運動，

如圖所示，

作點C關于"'的對稱點C,連接。C,設CC交AF于點。，則/AOC=90°

在RUAOC中，ZC4O=30°,則（70=^40=3,

則當。，產,（7三點共線時，“C+”。取得最小值，即“C+/?〃=〃"+/?Z>=C/）'

-CC=AC=6tZACO=ZCCD,CO=CD

二?ACO^^CCD

???/CDC=ZAOC=90。

在&CDC中，CD=ylcC2-CD2=>/62-32=3X/3.

A..CDF周長的最小值為CO+尸C+CO=CD+DC'=3+3yf3

7.（2022?山東日照?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xQy中，點A的坐標為（0,4）,尸是

x軸上一動點，把線段附繞點尸順時針旋轉60。得到線段PF,連接OF,則線段Of1長的最小

【分析】點尸運動所形成的圖象是一條直線，當OFLBF2時,垂線段。〃最短，當點B在x軸上時，

由勾股定理得：qO=f；O=W，進而得==A￡=乎，求得點打的坐標為（殍，o）,當

點乃在），軸上時,求得點巧的坐標為（0.-4）,最后根據特定系數法，求得支線凡F?的解析式為

y=y/3x-4t再由線段中垂線性質得出6/^=A￡=W，在RtxOF尸2中，設點。到B乃的距離為兒

則根據面積法得!xOZxOQn?xZAx/?,即』x迪x4=Lx5叵x〃，解得分=2,根據垂線段最

2-21-2323

短，即可得到線段O尸的最小值為2.

【詳解】解:???將線段布繞點P順時針旋轉6（）。得到線段尸F,

ZAPF=60°tPF=PA,

.?.△AP/是等邊三角形，

：.AP=AF,

如圖，當點B在x軸上時，為等邊三角形,

則PIA=PIFI=AFI,NAP/B=60°,

*：AO±PiFit

Q

:.PQ=FQ,ZAOPf=90,

ZPMO=30°,且A0=4,

由勾股定理得：［O=￡O=述，

3

.pDC人口百

??AAA=6￡=必=—,

???點B的坐標為，°，

為等邊三角形，AO，4。,

尸2。=4,

工點尸2的坐標為（0,-4）,

tan/OR8=至=-i-=6

*/1~OF,473.

3

.?.NO"2=60。，

???點尸運動所形成的圖象是一條直線,

，當0F±FIF2時,線段OF最短，

設直線FR的解析式為y=kx+b,

國+…

則《3

b=-4

k—./i

解得",J直線尸/尸2的解析式為產后44,t：AO=F0=4,AO^PiFt,

Z?=-42

??.￡E=AK=￥，在心△。尸/2中，OF工F后,

設點0到F/B的距離為九則,Xx=gx￡鳥x〃，

:._Lx迪x4=」x至X。，解得力二2,即線段。產的最小值為2

2323

2023?湖北黃岡?統考中考真題

8.如圖，已知點43,0）,點B在），軸正半軸上，將線段A3繞點A順時針旋轉120。到線段AC,若

點C的坐標為（7,〃），則/=

【分析】

思路一：構造手拉手得出BC中點軌跡

思路二：在x軸上取點。和點E,使得/4￡>8=44￡。=120。,過點C作b_Lx于點￡在Rlz^CE/

中，解直角三角