專題19平行四邊形與多邊形（10個高頻考點）（舉一反

三）

【考點1認識多邊形】..........................................................................1

【考點2多邊形的對角線】......................................................................3

【考點3多邊形的內角和】......................................................................3

【考點4多邊形的外角和】......................................................................4

【考點5平面鑲嵌】.............................................................................5

【考點6平行四邊形的性質】....................................................................6

I考點7平行四邊形的判定】....................................................................8

【考點8利用平行四邊形的判定與性質求解】.....................................................9

【考點9利用平行四邊形的判定與性質證明】....................................................11

【考點10平行四邊形的判定與性質的應用】......................................................12

【要點1多邊形的概念】

平面內，由一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形，叫做多邊形.

【要點2正多邊形的概念】

各個角都相等，各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.

［考點I認識多地形】

【例1】（2022?上海楊浦?統考二模）下列命題中，正確的是（）

A.正多邊形都是中心對稱圖形B.正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑

C.邊數大于3的正多邊形的對角線長都相等D.各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形

【變式1-1］（2022?河北?模擬預測）已知正n邊形的周長為60,邊長為a

（1）當n=3時，請直接寫出a的值；

（2）把正n邊形的周長與邊數同時增加7后，假設得到的仍是正多邊形，它的邊數為n+7,

周長為67,邊長為b.有人分別取n等于3,20,120,再求出相應的a與b,然后斷言：“無

論n取任何大于2的正整數，a與b一定不相等.”你認為這種說法對嗎？若不對，請求出

不符合這一說法的n的值.

【變式1-2］（2022?湖北武漢?統考模擬預測）在平面直角坐標系中，我們把橫縱坐標均為

整數的點稱為格點，若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形.例如：圖

中△A8C的與四邊形OEFG均為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S,其內部的格點數記為

N,邊界上的格點記為L,已知格點多邊形的面積可表示為S=N+aL+b（Q,b為常數），

若某格點多邊形對應的N=14,L=7,則5=（）

A.16.5B.17C.17.5D.18

【變式1-3］（2022?山西臨汾?統考三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務.

你知道“皮克定理〃嗎？

“皮克定理”是奧地利數學家皮克（如圖1）發現的一個計算點陣中多邊形的面積公式.在一

張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的

交點，就是所謂格點.一個多邊形的頂點如果全是格點，這個多邊形就叫做格點多邊形.有

趣的是，這種格點多邊形的面積計算起來很方便，只要數一下圖形邊線上的點的數目及圖內

的點的數目，就可用公式算出.即5=。+36—1,其中Q表示多邊形內部的點數，b表示多

邊形邊界上的點數，S表示多邊形的面積.（利用圖2中的多邊形可以驗證）這個公式是奧

地利數學家皮克在1899年發現的，被稱為“皮克定理〃.

圖2圖3

任務：

（1）如圖2,是6X6的正方形網格，且小正方形的邊長為1,利用“皮克定理〃可以求出圖

中格點多邊形的面積是.

（2）已知：一個格點多邊形的面積S為19,且邊界上的點數6是內部點數a的3倍，則a+

b=.

（3）請你在圖3中設計一個格點多邊形.要求：①格點多邊形的面積為8；②格點多邊形

是一個軸對稱圖形.

【要點3多邊形的對角線】

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

從一個n邊形的某個頂點出發，分別連接這個點與其余各頂點，可以把一個n邊形分割成

（n-2）個三角形,

共有6（n-3）條對角線，

【考點2多邊形的對角線】

【例2】（2022?吉林長春校聯考?模）如圖所示的五邊形木架不具有穩定性，若要使該木

架穩定，則要釘上的細木條的數量至少為（）

【變式2/】（2022?陜西渭南?統考三模）如果過某多邊形的?個頂點的對角線有5條，則

該多邊形是邊形.

【變式2-2］（2022?陜西西安?二模）若一個正多邊形的半徑與它的邊長相等，則過該正多

邊形的一個頂點的對角線有條.

【變式2-3］（2022?江蘇南通?校考模擬預測）連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段稱為

多邊形的對角線.

（1）

對角線條數分別為、、、.

（2）n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數n的值；如果不可以，請說明理由.

（3）若一個n邊形的內角和為1800。，求它對角線的條數.

【要點4多邊形的內角和】

n邊形的內角和為（n-2）?180°（1＞叁3）.

【考點3多邊形的內角和】

【例3】（2022?福建廈門,校考一模）一個多邊形除了一個內角外,其余各內角的和為2010。,

則這個內角是（）

A.20°B.120°C.150°D.200°

【變式3-1］（2022?江蘇徐州?統考中考真題）正十二邊形每個內角的度數為一.

【變式3-2］（2022?廣西玉林?統考中考真題）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置

在邊長為2的正六邊形人山。“.的頂點A處.兩枚跳棋跳動規則是：紅跳棋按順時針力向1

秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經過2022

秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（）

A.4B.2V3C.2D.0

【變式3-3］（2022?上海?統考中考真題）有一個正〃邊形旋轉90。后與自身重合，則〃為（）

A.6B.9C.12D.15

【要點5多邊形的外角和】

在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的

外角和恒等于360。,它與邊數的多少無關.

【考點4多邊形的外角和】

【例4】（2022?河北石家莊?統考二模）如圖，六邊形4BCDEF中，匕力，乙B,乙C,乙。的外

角都相等，即Z.1=乙2=乙3=44=62。，分別作乙。“丸"凡4的平分線交于點P,則乙P的

度數是（）

A.55°B.56°C.57°D,60°

【變式4-1］（2022?云南昆明?統考一模）小麗利用學習的數學知識，給同伴出了這樣一道

題：假如從點4出發，如圖所示，沿直線走6米后向左轉。，接著沿直線前進6米后，再向

左轉8......如此走法，當她第一次走到4點時，發現自己走了72米，。的度數為（）

【變式4-2］（2022?河北?統考中考真題）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設CA8C

與四邊形BCOE的外角和的度數分別為%p,則正確的是（）

A.a—p=0B.a—p<Q

C.a-p>0D.無法比較a與/?的大小

【變式4-3］（2022?費州安順?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為2的

正六邊形。繞點。順時針旋轉幾個。，得到正六邊形品外琮，當九=時,

48CDE45OA”8n2022

正六邊形當的。島的頂點的坐標是<）

0Al71Dn

A.（-V3,-3）B.（-3,-V3）C.（3,-V3）D.（一百,3）

【考點5平面鑲嵌】

【例5】（2022?廣西貴港?統考一模）單獨使用下面形狀的五種地地磚：①等邊三角形②

正方形③正五邊形④正六邊形⑤正八邊形.能鑲嵌（密鋪）地面的是（）

A.③④⑤B.①②④C.②④⑤D.①③④

【變式5-1］（2022?山東濟寧?統考二模）小芳家房屋裝修時，選中了一種漂亮的正八邊形

地磚.建材店老板告訴她，只用一種八邊形地磚是不能密鋪地面的，便向她推薦了幾種形狀

的地磚.你認為要使地面密鋪，小芳應選擇另一種形狀的地磚是（）

【變式5-2］（2022?河北統考三模）用4個全等的正八邊形拼接，使相鄰的兩個正八邊形

有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形，如圖1,用幾個全等的正六邊形按這種方

式拼接，如圖2,若圍成一圈后中間也形成一個正多邊形，則九的值為.

/>

圖I圖2

【變式5-3]（2022?山東淄博?統考一模）如圖，是某廣場用地板鋪設的部分圖案，中央是

一塊正六邊形的地板磚，周圍是正三角形和正方形的地板磚，從里向外的第一層包括6個正

方形和6個正三角形，第2層包括6個正方形和18個正三角形，以此類推，第9層中含有

正三角形個數是.

【要點6平行四邊形的性質】

（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

【考點6平行四邊形的性質】

【例6】（2022?遼寧朝陽統考中考真題）將一個三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行

四邊形的紙片上，ZEFG=90°,ZEGF=60°,/AEr=50°,則/￡GC的度數為（）

A.100°B.80°C.70°D.60°

【變式6-1]（2022.廣東廣州.統考中考真題）如圖，在EM9CO中，4。=10,對角線人C與

8D相交于點。，AC+BD=22,則△BOC的周長為

【變式6-2]（2022?遼寧統考中考真題）在。/WCD中，ZC=45°,人。=BO,點P為射線

C。上的動點（點P不與點。重合），連接4P,過點尸作EP_LA尸交直線BD于點E.

（1）如圖①，當點P為線段CD的中點時，請直接寫出用，的數量關系：

（2）如圖②，當點P在線段C。上時，求證：DA+讓DP=DE：

⑶點尸在射線CD上運動，若AD=3或,4P=5,請直接寫出線段BE的長.

【變式6-3]（2022?貴州貴陽?統考中考真題）小紅根據學習軸對稱的經驗，對線段之間、

角之間的關系進行了拓展探究.

如圖，在中，4N為BC邊上的高，券=m，點M在AD邊上,且84=BM,點E是線

段4M上任意一點，連接8E,將△力BE沿8E翻折得△F8E.

如圖①，當乙840=60。，將△?!〃￡沿8E翻折后，使點「與點M重合，則煞二

⑵問題探究：

如圖②，當乙BAD=45。，將A/BE沿BE翻折后，使“IBM,求418E的度數，并求出此時

m的最小值；

⑶拓展延伸：

當484。=30。，將△48E沿BE翻折后，若EF1AD,且AE=MD,根據題意在備用圖中畫

出圖形，并求出m的值.

【要點7平行四邊形的判定】

⑴定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

⑶定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

⑸定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

【考點7平行四邊形的判定】

【例7】(2022?山東臨沂?統考中考真題)如圖，在正六邊形/RCDEF中，M,N是對角線8E

上的兩點，添加下列條件中的一個：①BM=EN；@^FAN=@AM=DNi

④乙AMB=CDNE.能使四邊形力MON是平行四邊形的是(填上所有符合要求

的條件的序號).

【變式7-1](2022?遼寧鞍山?統考中考真題)如圖，在四邊形4BCD中，AC與BD交于點。,

BE1AC,DF1AC,垂足分別為點E,F,且BE=DF,LABD=cBDC.求證：四邊形/,BCD

是平行四邊形.

【變式7-2](2022?寧夏?中考真題)如圖，是邊長為1的小正方形組成的8x8方格，線段43

的端點在格點上.建立平面直角坐標系，使點A、8的坐標分別為(2,1)和(-1,3).

B

⑴畫出該平面直角坐標系xOy；

(2)畫出線段48關于原點。成中心對稱的線段力道1；

⑶畫出以點4、B、。為其中三個頂點的平行四邊形.(畫出一個即可)

【變式7-3](2022?內蒙占鄂爾多斯?統考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y

=aF+加r+2經過4(-1,0),B(3,；)兩點，與y軸交于點C.

⑴求拋物線的解析式;

⑵點P在拋物線上，過P作尸DLv軸，交直線BC于點D,若以尸、D、O、C為頂點的四

邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；

⑶拋物線上是否存在點Q,使NQC5=45。？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，

請說明理由.

【考點8利用平行四邊形的判定與性質求解】

【例8】(2022?寧夏銀川校考三模)已知：如圖，在RtAABC中，Z-C=90°,AC=3cm,

BC=4cm,點P從點8出發，沿8C向點C勻速運動，速度為lcm/s,過點P作尸011,18,

交AC于點D.同時，點。從點A出發，沿4B向點8勻速運動，速度為2cm/s.當一個點停

止運動時，另一個點也停止運動，連接PQ.設運動時間為/(s)(0<t<2.5),解答下

列問題：

⑴當/為何值時，四邊形/1DPQ為平行四邊形？

（2）設四邊形AOPQ的面積為），（cm?）,試確定），與/的函數關系式.

⑶在運動過程中，是否存在某一時刻3使5四邊形MPQ：SAPQ8=13:2?若不存在，請說明理

由；若存在，求出/值，并求出此時PQ的距離.

【變式8-1］（2022?福建泉州?統考模擬預測）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=1,/BAC=45°,

將△力8C繞點A逆時針旋轉一定角度a（45°Va490°）得到△力。￡點反。的對應點分

連接HD、CE交于點G.

⑴用含a的代數式表示4AGC的度數；

（2）當4EIIBD時,求C戶的長.

【變式8-2］（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，四邊形為矩形，AB=V2,AD=3,

點E為邊BC上一點,將^DCE沿DE翻折，點C的對應點為點F,過點尸作0E的平行線交

于點G,交直線8c于點兒若點G是邊4。的三等分點，則尸G的長足

【變式8-3］（2022?湖北鄂州?統考中考真題）如圖，定直線MMIPQ,點8、C分別為MN、

PQ上的動點，且8c=12,3C在兩直線間運動過程中始終有N3CQ=60。.點、A是MN上方一

定點，點。是PQ下方一定點，且AEII8CIIDF,AE=4,DF=8,AD=24x/5,當線段8C在平

移過程中，A8+CO的最小值為（）

【考點9利用平行四邊形的判定與性質證明】

【例9】（2022?浙江杭州杭州市十三中教育集團（總校）校聯考模擬預測）如圖在正六邊

形44COE尸中，。是A3邊上一點，PMII力"交所于M,PNTTBC交CD于N.

ED

⑴求/MPN的度數；

（2）記AB=Q,PM=m,PN=n.求證：m+n=3a；

（3）連結。，MN,若黑/求券的值.

【變式9-1］（2022?重慶?校考一模）如圖,四邊形是平行四邊形，4c是對角線

⑴基本尺規作圖：過點8作8E14C于點E,再在AC上截取CF=A￡（尺規作圖，保留作

圖痕跡，不寫作法）

（2）連接OE、OF、BF,猜想四邊形BEOF的形狀，將下面的推理過程補充完整.

證明：四邊形48CD是平行四邊形，AB=DC,，,Z.BAE=乙DCF.

AB=DC

在^CDF中，Z.BAE=乙DCF

AE=CF

/.△ABE=△CDF（）,BE=DF,/.BEA=乙DFC./.乙FEB=乙EFD.

一?四邊形OEB廠是

【變式9-2］（2022?浙江溫州?溫州市第三中學校考模擬預測）如圖，四邊形4BCD是平行四

邊形，分別以40,BC為邊向外構造等邊△力DC和等邊△8CF,連接DF,BD.

⑴求證：四邊形是平行四邊形.

⑵若力。與8E交于點G,且4D=BD,Z-DFB=45°,BG=&,求△BDG的面積.

【變式9-3］（2022?浙江溫州?統考二模）如圖，4ABC內接于。0,A8為直徑，/ACB的

平分線分別交A4于點。.交。。于點E,過點E作。。的切線，交CE的平行線A產于點凡

（1）求證：四邊形AOEr為平行四邊形.

（2）若tan/C4B=jA/=5,求四邊形ADE尸的面積.

【考點10平行四邊形的判定與性質的應用】

【例10】（2022?河南駐馬店?統考模擬預測）鄭州的發展離不開火車技術的進步，鄭州北站

是全亞洲最大的貨運鐵路編組站，最早的火車靠燃燒化學燃料推動蒸汽機為火車提供前進的

動力，這時火車被稱為蒸汽機車，下圖是為蒸汽機車提供動力的車輪組，將其簡化后得到圖

1,MN為活塞連桿，會從發動機/GQE中伸出縮回做往復運動，N8為長度固定的剛性連桿,

隨著MN的往復運動，帶動車輪。2上的點8做圓周運動，車輪隨之轉動，長度固定的剛性

連桿八。帶動車輪Oi，3轉動，為蒸汽機車提供動力.

如圖1所示，MN//AC//0.03,。］、④、。3共線，4。=。1。3,B為AC中點，外為0。3的

圖1

圖3

⑴請就圖1的情況說明三個車輪的半徑。"=02B=O3C,

⑵當車輪旋轉至圖2時，點A與點N重合，當車輪旋轉至圖3時，01落在8N上，NB恰好

為。。2的切線，并且此時N4NM=75。，若此時AN的長度為1,請求出圖3中△入N8的面

積.

【變式10-1】（2022?江蘇鎮江?統考模擬預測）如圖1,A8CO是平行四邊形對角線AC,BD

相交于點O,直線石尸過點O,分別交A。，BC于點、E,F.

（1）求證：AE=CF.

（2）如圖2,若ABC。是老張家的一塊平行四邊形田地.P為水井，現要把這塊田地平均

分給兩個兒子，為了用水方便，要求分給兩個兒子的田地都與水井戶相鄰.請你幫老張家

【變式10?2】（2022?河北石家莊?校聯考三模）如圖，兩把完全?樣的直尺疊放在?起，重

合的部分構成一個四邊形，這個四邊形是形；如果直尺的寬度是'&cm,兩把直尺所

夾的銳角為45。，那么這個四邊形的周長為cm.

【變式10-3】(2022?陜西西安?校聯考模擬預測)問題提出：

(1)如圖①，在△A8c中，NA=45。，AB=3,AC=2\[2,求8c邊上的高；

問題解決：

(2)如圖②，某幼兒園有一塊平行四邊形ABCQ的空地，其中48=6米，BC=10米，ZB

=60。，為了豐富孩子們的課業生活，將該平行四邊形空地改造成多功能區域，已知點E、G

在邊4c上，點尸在邊AO上，連接4￡、EF、DG.現要求將其中的陰影三角形48E區域設

置成木工區，陰影四邊形EFOG區域設置成益智區，其余區域為角色游戲區，若4BIIEG

Z1+Z2=6O°,請問：是否存在一種規劃方案，使得木工區域和益智區域的面積和盡可能

大？若存在，求出兩個區域(即兩部分陰影區域)面枳和的最大值：若不存在，請說明理由.

AAFD

圖①圖②

專題19平行四邊形與多邊形（10個高頻考點）（舉一反

三）

【考點1認識多邊形】..........................................................................1

【考點2多邊形的對角線】......................................................................3

【考點3多邊形的內角和】......................................................................3

【考點4多邊形的外角和】......................................................................4

【考點5平面鑲嵌】.............................................................................5

【考點6平行四邊形的性質】....................................................................6

I考點7平行四邊形的判定】....................................................................8

【考點8利用平行四邊形的判定與性質求解】.....................................................9

【考點9利用平行四邊形的判定與性質證明】....................................................11

【考點10平行四邊形的判定與性質的應用】......................................................12

【要點1多邊形的概念】

平面內，由一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形，叫做多邊形.

【要點2正多邊形的概念】

各個角都相等，各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.

【考點1認識多邊形】

【例1】（2022?上海楊浦?統考二模）下列命題中，正確的是（）

A.正多邊形都是中心對稱圖形B.正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑

C.邊數大于3的正多邊形的對角線長都相等D.各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形

【答案】B

【分析】根據正多邊形的性質、正多邊形的對角線、正多邊形的概念判斷即可.

【詳解】解：A、邊數是偶數的正多邊形都是中心對稱圖形，邊數是奇數的正多邊形不是中

心對稱圖形，故本選項說法錯誤，不符合題意；

B、正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑，本選項說法正確，符合題意：

C、邊數大于3的正多邊形的對角線長不都相等，可以以正八邊形為例得出對?角線長不都相

等，故本選項說法錯誤，不符合題意；

D、各邊相等的圓外切多邊形不一定是正多邊形，例如，圓外切菱形邊數正多邊形，故本選

項說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判

斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

【變式1-1］（2022?河北?模擬預測）已知正n邊形的周長為60,邊長為a

（1）當n=3時，請直接寫出a的值；

（2）把正n邊形的周長與邊數同時增加7后，假設得到的仍是正多邊形，它的邊數為n+7,

周長為67,邊長為b.有人分別取n等于3,20,120,再求出相應的a與b,然后斷言：“無

論n取任何大于2的正整數，a與b一定不相等.〃你認為這種說法對嗎？若不對，請求出

不符合這一說法的n的值.

【答案】（1）20（2）不正確

【詳解】試題分析：分析：（1）根據正多邊形的每條邊相等，可知邊長=周長+邊數；

（2）分別表示出a和b的代數式，讓其相等，看是否有相應的值.

試題解析：（1）a=60-?3=20：

（2）此說法不正確.

理由如下；盡管當n=3、20、120時，a>b或aVb,

但可令a=b,得?=息，

60n+420=67n,

解得n=60?

經檢驗n=60是方程的根.

.,.當n=60時，a=b,即不符合這一說法的n的值為60.

點睛：本題考查分式方程的應用，關鍵是以邊長作為等量關系列方程求解，也考查了正多邊

形的知識點.

【變式1-2］（2022?湖北武漢?統考模擬預測）在平面直角坐標系中，我們把橫縱坐標均為

整數的點稱為格點，若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形.例如：圖

中△ABC的與四邊形。EFG均為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S,其內部的格點數記為

N,邊界上的格點記為L,已知格點多邊形的面積可表示為S=N+aL+b（a,b為常數），

若某格點多邊形對應的N=14,L=7,貝心=（）

A.16.5B.17C.17.5D.18

【答案】A

【分析】先分別根據A/IBC和四邊形DEFG中，S、N、L的數值得出關于a和b的二元一次方

程組，解得a和b的值，則可求得當N=14,乙=7時5的值.

【詳解】解：△48C中，5=1,N=0,L=4,則4Q+b=1；

同理，四邊形DEFG中，S=2x4-lx2+2-lxl+2-2x3+2=3.5,

N=2,L=5

2+5a+b=3.5；

聯立得［六=1

（2+5a+b=3.5

解得：a=0.5,b=-1

：.N=14,L=7,則S=144-3.5-1=16.5,

故選：A.

【點睛】本題屬于創新題型，主要考查了二元一次方程相關知識以及學生對于題意理解和數

據分析能力.

【變式1-3］（2022?山西啕汾?統考三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務.

你知道“皮克定理”嗎？

“皮克定理”是奧地利數學家皮克（如圖1）發現的一個計算點陣中多邊形的面積公式.在一

張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的

交點，就是所謂格點.一個多邊形的頂點如果全是格點，這個多邊形就叫做格點多邊形.有

趣的是，這種格點多邊形的面積計算起來很方便，只要數一下圖形邊線上的點的數目及圖內

的點的數目，就可用公式算出.即5=。+：匕一1,其中Q表示多邊形內部的點數，b表示多

邊形邊界上的點數，S表示多邊形的面積.（利用圖2中的多邊形可以驗證）這個公式是奧

地利數學家皮克在1899年發現的，被稱為“皮克定理

圖2圖3

任務：

（1）如圖2,是6X6的正方形網格，且小正方形的邊長為1,利用“皮克定理〃可以求出圖

中格點多邊形的面積是.

（2）已知：一個格點多邊形的面積S為19,且邊界上的點數b是內部點數a的3倍，則a+

b=.

（3）請你在圖3中設計一個格點多邊形.要求：①格點多邊形的面枳為8；②格點多邊形

是一個軸對稱圖形.

【答案】（1）21；（2）32；（3）見解析

【分析】（1）觀察圖形，得到。=16,8=12,再代入計算即可得到答案；

（2）由題意b=3a,然后列出關于F的方程，求出Q=8,再求出答案即可；

（3）由格點多邊形的面積為8,然后根據軸對稱的性質，即可畫出圖形.

【詳解】解：（1）由題意，如圖：

圖2

多邊形內部的點數為：a=16,

多邊形邊界的點數為：匕=12,

S=Q+於-1=16+gx12-1=21；

故答案為；21；

（2）設內部點數是Q,則匕=3a,

「?S=Q+：b—1=Q+；X3Q—1=19,

22

a=8,

b=8x3=24?

7.Q+b=8+24=32：

故答案為：32.

（3）答案不唯一，只要符合題意要求即可.

例如：

【點睹】本題考杳了多功形，解一元一次方程，軸對稱的性質等知識，理解正方形網格紙中

多邊形面積的公式S=a+|b-1是解決問題的關鍵.

【要點3多邊形的對角線】

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

從一個n邊形的某個頂點出發，分別連接這個點與其余各頂點，可以把一個n邊形分割成

（n-2）個三角形，

共有》（n-3）條對角線.

【考點2多邊形的對角線】

【例2】（2022?吉林長春校聯考一模）如圖所示的五邊形木架不具有穩定性，若要使該木

架穩定，則要釘上的細木條的數顯至少為（）

【答案】B

【分析】根據三角形的穩定性及多邊形對角線的條數即可得答案.

【詳解】二?三角形具有穩定性，

「?要使五邊形不變形需把它分成三角形，即過五邊形的一個頂點作對角線，

??,過五邊形的一個頂點可作對角線的條數為5-3=2（條），

要使該木架穩定，則要釘上的細木條的數量至少為2條，

故選：B.

【點睛】本題考查三角形的穩定性及多邊形的對角線，熟汜三角形具有穩定性是解題的關鍵.

【變式2-1]（2022?陜西渭南?統考三模）如果過某多邊形的一個頂點的對角線有5條，則

該多邊形是邊形.

【答案】8

【分析】根據從〃邊形的一個頂點可以畫（〃?3）條對角線，求出邊數即可得解.

【詳解】解：?.?過某多邊形的一個頂點的對角線有5條，

n-3=5

〃=8

故答案為：8.

【點睛】本題考查了多邊形對角線的公式，牢記公式是解題的關鍵.

【變式2-2]（2022?陜西西安?二模）若一個正多邊形的半徑與它的邊長相等，則過該正多

邊形的一個頂點的對角線有條.

【答案】3##三

【分析】根據正多邊形的半徑與邊長相等，可知正多邊形的相鄰的兩條半徑與?條邊鬧成一

個等邊三角形，由此求出中心角的度數，進而求出正多邊形的邊數，即可求出過該正多邊形

的一個頂點的對角線的條數.

【詳解】解：:正多邊形的半徑與它的邊長相等，

「?正多邊形的相鄰的兩條半徑與一條邊圍成一個等邊三角形，

正多邊形的中心角是60°

V正多邊形所有中心角的和為360。

360°4-60°=6

「?正多邊形的邊數為6,即正多邊形是正六邊形，過正六邊形的一個頂點的對角線有3條，

故答案為：3

【點睛】此題考查了正多邊形與圓的相關知識，熟練掌握相關概念是解決此題的關鍵.

【變式2-3]（2022?江蘇南通?校考模擬預測）連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段稱為

多邊形的對角線.

（1）

對角線條數分別為、、、.

（2）n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數n的值；如果不可以，請說明理由.

（3）若一個n邊形的內角和為1800。，求它對角線的條數.

【答案】（1）2；5：9；亭2（2）n邊形可以有20條對角線，此時邊數n為八；（3）

這個多邊形有54條對角線

【詳解】分析：（1）設n邊形的對角線條數為a。，根據多邊形對角線條數公式即可求出結

論；

<2）假設可以，根據多邊形對角線條數公式，可得出關于n的一元二次方程，解之即可得

出結論；

（3）根據多邊形內角和定理，可求出邊數，再套用多邊形對角線條數公式，即可得出結論.

詳解：（1）設n邊形的對角線條數為a”

則34=生尸1=2,35=絲尹=5,而①第=9,…，a產噌.

（2）假設可以，根據題意得：

的事20.

2

解得：n=8或n=-5（舍去），

??.n邊形可以有20條對角線，此時邊數n為八.

（3）.一個n邊形的內角和為1800%

180°x（n-2）=1800°,

解得：n=12,

.n（n-3）_12x（12_3）_一

一―2--2~,

答：這個多邊形有54條對角線.

點睛：本題考查了一元二次方程的應用、多邊形的對角線以及多邊形內角和定理，解題的關

鍵是：（1）根據多邊形對角線條數公式求出多邊形的對角線條數；（2）根據多邊形對角線

條數公式，列出關于n的一元二次方程；（3）根據多邊形內角和定理，求出邊數n.

【要點4多邊形的內角和】

n邊形的內角和為（n-2）?180。（n23）.

【考點3多邊形的內角和】

【例3】（2022?福建廈門?校考一模）一個多邊形除了一個內角外，其余各內角的和為2010。,

則這個內角是（）

A.20°B.120°C.150°D.200°

【答案】C

【分析】設這個內角度數為X。，邊數為九，根據多邊形內角和的公式建立等式，再根據多邊

形的一個內角一定大于0。.并且小于180度計算出邊數，最后再根據邊數和內角和計算出所

求內角的值.

【詳解】解：設這個內角度數為X°,邊數為n,

則（ri-2）x180°-%=2010°,

180°-n=2370°+x°f

.「n為正整數，0°vxvl80°

/.n=14.

這個內角度數為180。X（14-2）-2010°=150°.

故選C.

【點睛】本題考查多邊形內角和公式的靈活運用，解題的關鍵是根據多邊形內角和公式建立

邊數與內角度數的等式.

【變式3-1]（2022?江蘇徐州?統考中考真題）正十二邊形每個內角的度數為一.

【答案】150°

【分析】首先求得每個外角的度數，然后根據外角與相鄰的內角互為鄰補角即可求解.

【詳解】試題分析：正十二邊形的每個外角的度數是：萼=30。，

則每個內角的度數是：180°-30°=1500.

故答案為150°.

【變式3-2]（2022?廣西玉林?統考中考真題）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置

在邊長為2的正六邊形/WCDEF的頂點八處.兩枚跳棋跳動規則是：紅跳棋按順時針方向1

秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經過2022

秒鐘后，兩枚跳棋之間的羽離是（）

A.4B.2V3C.2D.0

【答案】B

【分析】由題意可分別求出經過2022秒后，紅黑兩枚跳棋的位置，然后根據正多邊形的性

質及含30度直角三角形的性質可進行求解.

【詳解】解：20224-3=674,20224-1=2022,

6744-6=112??…2,2022+6=337,

經過2022秒后，紅跳棋落在點A處，黑跳棋落在點E處，

連接AE,過點“作"GJ_AE于點G,如圖所示：

在正六邊形/18CDEF中，AF=EF=2.Z.AFE=120°,

AG=^AE,Z.FAE=Z-FEA=30°,

/.FG=-AF=1,

2

/.AG=y/AF2-FG2=V5,

AE=2百，

故選B.

【點睛】本題主要考查圖形規律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質及正多邊形的

性質，熟練掌握圖形規律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質及正多邊形的性質是

解題的關鍵.

【變式3-3］（2022?上海?統考中考真題）有一個正〃邊形旋轉90。后與自身重合，則〃為（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】C

【分析】根據選項求出每個選項對應的正多邊形的中心用度數，與90。一致或有倍數關系的

則符合題意.

【詳解】如圖所示，計算出每個正多邊形的中心角，90。是30。的3倍，則可以旋轉得到.

觀察四個正多邊形的中心用，可以發現正12邊形旋轉90。后能與自身重合

故選c.

【點睛】本題考杳正多邊形中心角與旋轉的知識，解決本題的關鍵是求出中心角的度數并與

旋轉度數建立關系.

【要點5多邊形的外角和】

在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的

外角和恒等于360。，它與邊數的多少無關.

【考點4多邊形的外角和】

【例4】（2022?河北石家莊?統考二模）如圖，六邊形4BCDE尸中，乙B,Z.C,N。的外

角都相等，即/1=42=乙3="=62。，分別作“EF刃/E”的平分線交于點P,則乙P的

度數是（）

A.55。B.56°C.57°D.60°

【答案】B

【分析】根據多邊形外角和求出N5+N6=1122根據角平分線定義進而求出

ZFEP+ZEFP=124°,再根據三角形的內角和求出N。的度數.

【詳解】解：:/I=/2=/3=/4=62。,多邊形的外角和為360°.

Z5+Z6=360O-62°X4=112%

ZDEF+4AFE=248°,

?/EP,FP分別平分NDEF和NAFE,

ZFEP冬DEF,ZEFP=?AFE,

22

...ZFEP+NEFP=-（ZDEF+2AFE）=124°,

2

ZP=56°.

故選：B.

【點睛】本題考查了多邊形的外角和定義，角平分線的定義以及三角形的內角和，掌握以上

基礎知識是解決問題的關逆.

【變式4-1]（2022?云南昆明?統考一模）小麗利用學習的數學知識，給同伴出了這樣一道

題：假如從點A出發，如圖所示，沿直線走6米后向左轉。，接著沿直線前進6米后，再向

左轉。……如此走法，當她第一次走到4點時，發現自己走了72米，9的度數為（）

A.30°B.32°C.35°D.36°

【答案】A

【分析】小麗第一次回到出發點A時，所經過的路線正好構成一個正多邊形.計算這個正

多邊形的邊數和外角即可.

【詳解】解：???第一次回到出發點A時，所經過的路線正好構成一個正多邊形，

1?多邊形的邊數為:72+6=12.

根據多邊形的外角和為360。，

.?.他每次轉過的角度%360。+12=30。.

故選：A.

【點睛】本題考查多邊形的外角和.解題的關鍵時判斷出小麗第?次返回點A時，所經過

的路徑構成一個正多邊形.

【變式4-2］（2022?河北?統考中考真題）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設CA8C

與四邊形8CQE的外角和的度數分別為a,/?,則正確的是（）

B.a-/?<0

C.a-p>0D.無法比較a與夕的大小

【答案】A

【分析】多邊形的外角和為360。，Zk/WC與四邊形BCDE的外角和均為360。，作出選擇即可.

【詳解】解：.「多邊形的外角和為360。,

/.△48C與四邊形BCOE的外角和a與/?均為360。，

cc—/?—09

故選：A.

【點睛】本題考查多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和為360。是解答本題的關鍵.

【變式4-3］（2022?貴州安順?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為2的

正六邊形。4BCDE繞點。順時針旋轉n個45。，得到正六邊形。力謁￡&島，當n=2022時,

正六邊形。41%的%房的頂點Dn的坐標是（）

A.(-V3,-3)B.(-3,-V3)C.(3,-V3)D.(一百,3)

【答案】A

【分析】由于正六邊形每次轉45。，根據2022+8=252???6,則D2022的坐標與的坐標相

同，求得。6的坐標即可求解.

【詳解】解：???將邊長為2的正六邊形0A8CDE繞點。順時針旋轉幾個45。，???45。乂8=360。

當"=2022時，2022+8=252???6

則D2022的坐標與。6的坐標相同，=2x45°=90°

則0。10D6

如圖，過點。作于F,過點4尸6,丫軸于點尸6，

???OE=DE=2,OD=0D6,

???△ODF=△OD6F6,

:.DF=D6F6,OF=0F6,

???正六邊形。ABW的一個外角"EF=等=60°,

:.DF=sinzDEFxDE=—x2=V3,

2

v乙DEO=180°-zDEF=120。，DE=EO,

???乙DOF=30°,

昨$=百防=3,

:.D6F6=DF=V3,OF6=OF=3,

D6（-V3,-3）,

???^2022（~V3,—3）,

故選A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，解直角三角形，正六邊形的性質，正多邊形的外角和，內

角和，求得。2022的位置是解題的關鍵.

【考點5平面鑲嵌】

【例5】（2022?廣西貴港統考一模）單獨使用下面形狀的五種地地磚：①等邊三角形②

正方形③正五邊形④正六邊形⑤正八邊形.能鑲嵌（密鋪）地面的是（）

A.③④⑤B.①②④C.②④⑤D.①③④

【答案】B

【詳解】解：①等邊三角形的每個內角是60。，能整除360。，6個能組成鑲嵌；

②正方形的每個內角是90。，能整除360。，4個能組成鑲嵌：

③正五邊形每個內角是180。-360。+5=108。，不能整除360。，不能密鋪；

④正六邊形的每個內角是120。，能整除360。，3個能組成鑲嵌；

⑤正八邊形的每個內角為：180。-360。+8=135。，不能整除360。，不能密鋪.

故選B.

【變式5-1］（2022?山東濟寧?統考二模）小芳家房屋裝修時，選中了一種漂亮的正八邊形

地磚.建材店老板告訴她，只用?種八邊形地磚是不能密鋪地面的，便向她推薦了幾種形狀

的地磚.你認為要使地面密鋪，小芳應選擇另一種形狀的地磚是（）

【答案】B

【詳解】A、正八邊形、正三角形內角分別為135。、60%顯然不能構成360。的周角，故不

能鋪滿：

B、正方形、八邊形內角分別為90。、135。，由于135x2+90=360,故能鋪滿；

C、正六邊形和正八邊形內角分別為120。、135。,顯然不能構成360。的周角,故不能鋪滿；

D、正八邊形、正五邊形內角分別為135。、108。，顯然不能構成360。的周角，故不能鋪滿.

故選B.

【變式5-2］（2022?河北統考三模）用4個全等的正八邊形拼接，使相鄰的兩個正八邊形

有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形，如圖1,用n個全等的正六邊形按這種方

式拼接，如圖2,若圍成一圈后中間也形成一個正多邊形，則九的值為.

圖I圖2

【答案】6

【分析】根據正六邊形的一個內角為120。，可求出正六必形密鋪時中間的正多邊形的內角，

繼而可求出n的值.

【詳解】解：兩個正六邊形拼接，一個公共點處組成的常度為240。，

故如果要密鋪，則中間需要一個內角為120。的正多邊形，

而正