2024-2025學年度第二學期質量檢測卷九年級數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A，B，C，D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．1.的倒數為（）A.3 B. C. D.2.下列運算正確的是()A.m6÷m2＝m3 B.3m2－2m2＝m2 C.(3m2)3＝9m6 D.m·2m2＝m23.如圖，幾何體的俯視圖是（）A. B.C. D.4.據統計，2024年我國糧食總產量14130億斤，穩居世界第一．其中14130億用科學記數法表示為（）A. B. C. D.5.已知，如圖，直線，一個含角的直角三角板的直角頂點恰好在直線上，若，則的度數是（）A.B.C.D.6.在“一分鐘跳繩”項目三次測試中，某班4名同學所得成績的平均數及方差如下，如果選一名同學代表班級參加學校運動會，那么最適合的是（）甲乙丙丁平均數189192189192方差61243117A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.某直播帶貨公司去年12月份的營業額為a元，春節期間該公司營業額一直增長，若該公司今年元月和2月的營業額的月平均增長率為x，則該公司今年2月份營業額比去年12月營業額增長了（）A.a（2+x）x元 B.a（1+x）2元 C.a（1+x）元 D.a（1+x）x元8.如圖，的直徑與弦垂直，且，則的度數為（）A.50° B.60° C.80° D.70°9.如圖，在銳角中，D為邊上一點，，將繞點C順時針旋轉后得到，且點D，B的對應點分別為A，E，交于點O，連接．下列結論錯誤的是（）A. B. C. D.10.如圖，中，．，點D是射線AB上的動點（點D不與點A、B重合），點E在線段AC的延長線上，且．連接DE、BE，在AB的下方過點D作DF平行且等于BE．設．四邊形DEBF的面積為y，下列圖象能正確反映出y與x函數關系的是（）A. B.C D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.分解因式：=______．12.一個不透明的盒子中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋子除顏色外無其他差別．從盒子中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，則它是白棋的概率是______．13.如圖，點A，B在反比例函數（）的圖象上，點A的橫坐標為2，點B的縱坐標為1，OA⊥AB，則k的值為_________．14.如圖，在中，，，，點P從點A出發沿方向運動，到點B時停止運動，連接，點A關于直線的對稱點，連接，．（1）線段的長為______；（2）在運動的過程中，點到直線距離的最大值是______．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計算：．16.如圖，在邊長為1個單位長度的正方形網格中建立平面直角坐標系，的頂點都在格點（網格線的交點）上．（1）作關于原點O對稱的，并寫出點的坐標．（2）將線段繞點A順時針旋轉得到線段，求點B所走的路徑的長度（結果保留）．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.《孫子算經》是中國傳統數學的重要著作之一，其中記載的“蕩杯問題”很有趣．《孫子算經》記載“今有婦人河上蕩杯．津吏問曰：‘杯何以多？’婦人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客幾何？’婦人曰：‘二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客幾何？”譯文：“2人同吃一碗飯，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65個碗，問有多少客人？”18.在數學活動課中，某興趣小組研究一種完全平方式，寫出了下列幾組等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；……（1）根據上述等式規律，（ⅰ）第4個等式為：（____________）；（ⅱ）第n個等式為：______．（2）小組成員小明和小華進一步探索上述規律：小明同學猜想，其中a，b為正整數．小華同學提出反對意見，并通過如下計算進行了證明：（__①__________），∴不一定等于．請你補全①中所缺內容，并寫出當小明同學猜想成立時，a，b需要滿足的數量關系．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.某中心廣場的塔樓是該市最高樓．如圖，某學習研究小組利用無人機在該中心廣場塔樓的正前方測量并計算．當無人機飛行到點C處時，無人機到地面的距離，無人機測得該塔樓底端處點B的俯角，測得該塔樓頂端處點A的仰角．點A、B、C、D、E都在同一平面內，求塔樓的高度．（結果精確到，參考數據：，，）20.如圖，四邊形內接于，是的直徑，過點D作交的延長線于點G，且平分，連接．（1）求證：；（2）若，，求的值．六、（本題滿分12分）21.為了豐富校園文化，促進學生全面發展．我市某區教育局在全區中小學開展“書法、武術、黃梅戲進校園”活動．今年3月份，該區某校舉行了“黃梅戲”演唱比賽，比賽成績評定為A，B，C，D，E五個等級，該校部分學生參加了學校的比賽，并將比賽結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息，解答下列問題．（1）求該校參加本次“黃梅戲”演唱比賽的學生人數；（2）求扇形統計圖B等級所對應扇形的圓心角度數；（3）已知A等級的4名學生中有1名男生，3名女生，現從中任意選取2名學生作為全校訓練的示范者，請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出恰好選1名男生和1名女生的概率．七、（本題滿分12分）22.如圖1，在矩形中，E延長線上一點，且，交于點F，．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖2，G為上一點，，相交于點O，連接．若，且，求的長．八、（本題滿分14分）23.在平面直角坐標系中，點在二次函數的圖像上，記該二次函數圖像的對稱軸為直線．（1）求的值；（2）若點在圖像上，將該二次函數的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數的圖像．當時，求新的二次函數的最大值與最小值的和；（3）設的圖像與軸交點為，．若，求的取值范圍．

2024-2025學年度第二學期質量檢測卷九年級數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A，B，C，D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．1.的倒數為（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了求一個數的倒數，乘積為1的兩個數互為倒數，據此求解即可．【詳解】解：∵，∴的倒數為，故選：D．2.下列運算正確的是()A.m6÷m2＝m3 B.3m2－2m2＝m2 C.(3m2)3＝9m6 D.m·2m2＝m2【答案】B【解析】【分析】分別利用同底數冪的除法運算法則以及合并同類項法則、積的乘方運算法則、單項式乘以單項式運算法則分別分析得出答案．【詳解】解：A、m6÷m2=m4，故此選項錯誤；B、3m2﹣2m2=m2，正確；C、（3m2）3=27m6，故此選項錯誤；D、m?2m2=m3，故此選項錯誤；3.如圖，幾何體的俯視圖是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，根據俯視圖是從上面看到的圖形即可得到答案．【詳解】解：由題意得，該幾何體的俯視圖是一個正方形，且該正方形中還有一個正方形，即看到的圖形如下：故選：D．4.據統計，2024年我國糧食總產量為14130億斤，穩居世界第一．其中14130億用科學記數法表示為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了科學記數法“將一個數表示成的形式，其中，為整數，這種記數的方法叫做科學記數法”，熟記科學記數法的定義是解題關鍵．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．根據科學記數法的定義即可得．【詳解】解：14130億，故選：B．5.已知，如圖，直線，一個含角的直角三角板的直角頂點恰好在直線上，若，則的度數是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據等腰三角形的性質，平行線的性質（兩直線平行同位角相等），三角形的內角和為180°解答；【詳解】解：如圖，一個含角直角三角形是等腰直角三角形，兩個底角都是45°，∵直線a∥b，∴，∵，，∴，故選：．【點睛】本題考查平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理，熟記性質和定理是解題關鍵．6.在“一分鐘跳繩”項目的三次測試中，某班4名同學所得成績的平均數及方差如下，如果選一名同學代表班級參加學校運動會，那么最適合的是（）甲乙丙丁平均數189192189192方差61243117A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了用平均數和方差做決策，根據題意可知應該選擇平均數大且方差小的那名同學參加運動會，據此可得答案．【詳解】解；從平均數來看，應該從乙、丁中選取一人參加運動會，從方差來看，應該選擇丁參加運動會，故選：D．7.某直播帶貨公司去年12月份的營業額為a元，春節期間該公司營業額一直增長，若該公司今年元月和2月的營業額的月平均增長率為x，則該公司今年2月份營業額比去年12月營業額增長了（）A.a（2+x）x元 B.a（1+x）2元 C.a（1+x）元 D.a（1+x）x元【答案】A【解析】【分析】由該公司去年12月份的營業額及連續兩個月的營業額的月平均增長率，可得出該公司今年2月份營業額為，再減去去年12月份的營業額即可得出結論．【詳解】解：該公司去年12月份的營業額為元，且該公司今年元月和2月的營業額的月平均增長率為，該公司今年2月份營業額為，該公司今年2月份營業額比去年12月營業額增長了元．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據各數量之間的關系，解題的關鍵是掌握用含的代數式表示出該公司今年2月份營業額．8.如圖，的直徑與弦垂直，且，則的度數為（）A.50° B.60° C.80° D.70°【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，弧與圓心角之間的關系，連接，根據垂徑定理得到，則由弧與圓心角的關系和圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵的直徑與弦垂直，∴，∴，故選：C．9.如圖，在銳角中，D為邊上一點，，將繞點C順時針旋轉后得到，且點D，B的對應點分別為A，E，交于點O，連接．下列結論錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據旋轉的性質、等邊三角形的性質、平行線的證明、平行線分線段成比例定理對選項逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：由題意知，又∵，∴為等邊三角形，∴，故A項正確；∵，∴，∴，∴，故B項正確；∵，∴，∵，，∴，故C項正確；根據已知條件推不出，故D項錯誤．故選：D．【點睛】本題考查了圖形的旋轉的性質，等邊三角形的證明，平行線的證明，平行線分線段成比例定理，熟練掌握圖形旋轉前后對應邊相等，對應角相等．平行線分線段成比例定理是解題的關鍵，10.如圖，中，．，點D是射線AB上的動點（點D不與點A、B重合），點E在線段AC的延長線上，且．連接DE、BE，在AB的下方過點D作DF平行且等于BE．設．四邊形DEBF的面積為y，下列圖象能正確反映出y與x函數關系的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先證得四邊形DEBF為平行四邊形，可得S四邊形DEBF=2S△BED，然后分兩種情況討論：當0<x<2時，點D在線段AB上；當x>2時，點D在AB的延長線上，即可求解．【詳解】解：DF∥BE，DF=BE，∴四邊形DEBF為平行四邊形，∴S四邊形DEBF=2S△BED，當0<x<2時，點D在線段AB上，此時S△EBD=S△ABE-S△ADE，又∵∠BAC=90°，∴，，∴，當x>2時，點D在AB的延長線上，此時，∴，∴，綜上所述，y與x的函數關系為：，∴在0<x<2上函數是一段對稱的開口向下的拋物線，在x>2上函數是一段遞增的開口向上的拋物線．故選：B【點睛】本題考查了動點問題函數的圖象，體現了分類討論的數學思想，求出函數的表達式是解題的關鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.分解因式：=______．【答案】x（x+2）（x﹣2）【解析】【分析】先提取公因式，再根據平方差公式分解因式即可．【詳解】解：==x（x+2）（x﹣2）．故答案為：x（x+2）（x﹣2）．【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解題的關鍵．12.一個不透明的盒子中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋子除顏色外無其他差別．從盒子中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，則它是白棋的概率是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，根據概率計算公式可得，據此求出x、y的關系式，再求出的值即可得到答案．【詳解】解：∵一個不透明的盒子中有x枚黑棋和y枚白棋，從盒子中隨機取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，∴，∴，∴它是白棋的概率是，故答案為：．13.如圖，點A，B在反比例函數（）的圖象上，點A的橫坐標為2，點B的縱坐標為1，OA⊥AB，則k的值為_________．【答案】8【解析】【分析】過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥AM于N，通過證得△AOM∽△BAN，即可得到關于k的方程，解方程即可求得．【詳解】解：過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥AM于N，

∵∠OAB=90°，

∴∠OAM+∠BAN=90°，

∵∠AOM+∠OAM=90°，

∴∠BAN=∠AOM，

∴△AOM∽△BAN，

∴，

∵點A，B在反比例函數（k＞0）的圖象上，點A的橫坐標為2，點B的縱坐標為1，

∴A（2，），B（k，1），

∴OM=2，AM=，AN=-1，BN=k-2，

∴，

解得k1=2（舍去），k2=8，

∴k的值為8，

故答案為：8．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定和性質，表示出點的坐標是解題的關鍵．14.如圖，在中，，，，點P從點A出發沿方向運動，到點B時停止運動，連接，點A關于直線的對稱點，連接，．（1）線段的長為______；（2）在運動的過程中，點到直線距離的最大值是______．【答案】①.②.【解析】【分析】本題考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形的性質、圓的性質、軸對稱的性質，較難的是題（2），正確找出點的運動軌跡是解題關鍵．（1）過點作于點，先根據含30度角的直角三角形的性質可得，解直角三角形可得，再解直角三角形可得，從而可得的長，然后根據軸對稱的性質可得，由此即可得；（2）先確定點在以點為圓心、長為半徑的圓的一段圓弧上，再根據圓的性質可得當時，點到直線的距離最大，然后根據含30度角的直角三角形的性質可得的長，再求出的長，由此即可得．【詳解】解：（1）如圖，過點作于點，∵，，∴，，∵，∴，∴，由軸對稱的性質得：，故答案為：．（2）由軸對稱的性質得：，∴如圖，點在以點為圓心、長為半徑的圓的一段圓弧上，由圓的性質可知，當時，點到直線的距離最大，如圖，，交于延長線于點，則即為所求，∵在中，，∴，∴，即在運動的過程中，點到直線距離的最大值是，故答案為：．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了零指數冪與負整數指數冪、特殊角的三角函數值的運算、二次根式的運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．先計算零指數冪與負整數指數冪、特殊角的三角函數值、化簡二次根式，再計算二次根式乘法與加減法即可得．【詳解】解：．16.如圖，在邊長為1個單位長度的正方形網格中建立平面直角坐標系，的頂點都在格點（網格線的交點）上．（1）作關于原點O對稱的，并寫出點的坐標．（2）將線段繞點A順時針旋轉得到線段，求點B所走的路徑的長度（結果保留）．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】本題考查了作圖—中心對稱，旋轉變換：（1）找到點A，B，C關于原點的對稱點，再順次連接，即可求解；（2）根據弧長公式計算，即可求解．【小問1詳解】解：如圖，即為所求；點的坐標為；【小問2詳解】解：根據題意得：，∴點B所走的路徑的長度為．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.《孫子算經》是中國傳統數學的重要著作之一，其中記載的“蕩杯問題”很有趣．《孫子算經》記載“今有婦人河上蕩杯．津吏問曰：‘杯何以多？’婦人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客幾何？’婦人曰：‘二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客幾何？”譯文：“2人同吃一碗飯，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65個碗，問有多少客人？”【答案】x=60【解析】【分析】設有x個客人，根據題意列出方程，解出方程即可得到答案.【詳解】解：設有x個客人，則解得：x=60；∴有60個客人.【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．18.在數學活動課中，某興趣小組研究一種完全平方式，寫出了下列幾組等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；……（1）根據上述等式規律，（ⅰ）第4個等式為：（____________）；（ⅱ）第n個等式為：______．（2）小組成員小明和小華進一步探索上述規律：小明同學猜想，其中a，b為正整數．小華同學提出反對意見，并通過如下計算進行了證明：（__①__________），∴不一定等于．請你補全①中所缺內容，并寫出當小明同學猜想成立時，a，b需要滿足的數量關系．【答案】（1）（ⅰ）4；5；（ⅱ）（2），猜想成立時，【解析】【分析】本題主要考查了數字類的規律探索，完全平方公式，正確理解題意是解題的關鍵．（1）（ⅰ）根據題意寫出第4個等式即可；（ⅱ）第n個等式左邊的第一項為n的平方，第二項為n的平方乘以的平方，第三項為的平方，等式右邊為的平方，據此可得答案；（2）利用完全平方公式展開即可得到①的答案，再根據猜想成立時要滿足可得結論．【小問1詳解】解：（ⅰ）由題意得，第4個等式為：；（ⅱ）第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式為：；……，以此類推可知，第n個等式為：．【小問2詳解】解：，∴不一定等于；要使猜想成立，則，∴，∵為正整數，∴，即．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.某中心廣場的塔樓是該市最高樓．如圖，某學習研究小組利用無人機在該中心廣場塔樓的正前方測量并計算．當無人機飛行到點C處時，無人機到地面的距離，無人機測得該塔樓底端處點B的俯角，測得該塔樓頂端處點A的仰角．點A、B、C、D、E都在同一平面內，求塔樓的高度．（結果精確到，參考數據：，，）【答案】塔樓的高度約為【解析】【分析】本題考查了矩形的判定與性質、解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關鍵．延長，交于點，先證出四邊形是矩形，根據矩形的性質可得，，再在中，解直角三角形可得的長，然后在中，解直角三角形可得的長，最后根據求解即可得．詳解】解：如圖，延長，交于點，由題意得：，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴在中，，∵，∴在中，，∴，答：塔樓的高度約為．20.如圖，四邊形內接于，是的直徑，過點D作交的延長線于點G，且平分，連接．（1）求證：；（2）若，，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）先根據圓周角定理可得，根據平行線的判定與性質可得，再證出，根據圓周角定理可得，從而可得，根據等量代換可得，然后根據等腰三角形的判定即可得證；（2）先解直角三角形可得，再過點作于點，根據等腰三角形的三線合一、矩形的判定與性質可得，然后證出，根據相似三角形的性質即可得．【小問1詳解】證明：∵是的直徑，∴，即，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，又∵是的直徑，∴，∴，∴，由圓周角定理得：，∴，即，∴，∴．【小問2詳解】解：∵是的直徑，∴，，∵，，∴，如圖，過點作于點，∴四邊形是矩形，∴，由（1）已證：，∴（等腰三角形的三線合一），∴，由（1）已證：，由圓周角定理得：，∴，在和中，，∴，∴，∴，設AG=xx>0，則，∴，解得或（不符合題意，舍去），∴的值為2．【點睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、解直角三角形、一元二次方程的應用等知識，熟練掌握圓周角定理和相似三角形的判定與性質是解題關鍵．六、（本題滿分12分）21.為了豐富校園文化，促進學生全面發展．我市某區教育局在全區中小學開展“書法、武術、黃梅戲進校園”活動．今年3月份，該區某校舉行了“黃梅戲”演唱比賽，比賽成績評定為A，B，C，D，E五個等級，該校部分學生參加了學校的比賽，并將比賽結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息，解答下列問題．（1）求該校參加本次“黃梅戲”演唱比賽的學生人數；（2）求扇形統計圖B等級所對應扇形的圓心角度數；（3）已知A等級的4名學生中有1名男生，3名女生，現從中任意選取2名學生作為全校訓練的示范者，請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求出恰好選1名男生和1名女生的概率．【答案】（1）50；（2）115.2°；（3）【解析】【分析】（1）用A等級的人數除以其所占百分比即可求出本次比賽的學生人數；（2）先求出B等級的學生人數，進一步即可求出B等級所對應扇形的圓心角度數；（3）首先列表得出所有等可能的結果，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：（1）參加本次比賽的學生有：（人）；（2）B等級的學生共有：（人），∴所占的百分比為：，∴B等級所對應扇形的圓心角度數為：，（3）列表如下：男女1女2女3男﹣﹣﹣（女1，男）（女2，男）（女3，男）女1（男，女1）﹣﹣﹣（女2，女1）（女3，女1）女2（男，女2）（女1，女2）﹣﹣﹣（女3，女2）女3（男，女3）（女1，女3）（女2，女3）﹣﹣﹣∵共有12種等可能的結果，選中1名男生和1名女生結果的有6種；∴P（選中1名男生和1名女生）．【點睛】本題考查了條形統計圖、扇形統計圖以及求兩次事件的概率，屬于常考題型，通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式求出事件A或B的概率．通過扇形統計圖求出扇形的圓心角度數，應用數形結合的思想是解決此類題目的關鍵．七、（本題滿分12分）22.如圖1，在矩形中，E為延長線上一點，且，交于點F，．（1）