無為市2024—2025學年第二學期學情調研一數學（試題卷）注意事項：1.你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．2.試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．3.考試結束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是符合題目要求的．1.的倒數是（）A.2025 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了絕對值的意義，倒數的定義，由絕對值的意義可得，再根據倒數的定義即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴的倒數是，故選：C．2.2025年1月25日，安徽省舉行“貫徹落實新春第一會精神奮力推動經濟持續回升向好”新聞發布會，會上指出2024年，安徽地區生產總值增長5.8%，增速高于全國0.8個百分點、并列全國第3位，總量突破5萬億元、達到萬億元．其中萬億用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關鍵．用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，為整數，據此判斷即可．【詳解】解：萬億．故選：C．3.如圖中所示的幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查三視圖，根據左視圖是從左邊看到的圖形，進行判斷即可，注意存在看不見的要用虛線進行表示．【詳解】解：由圖可知，左視圖為：故選D．4.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了合并同類項、同底數冪乘法、積的乘方、完全平方公式，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．根據合并同類項、同底數冪除法、積的乘方、完全平方公式，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、和不是同類項，無法合并，故本選項不符合題意；B、，故本選項符合題意；C、，故本選項不符合題意；D、，故本選項不符合題意；故選：B5.如圖，在矩形中，，，以點A為圓心，為半徑的弧交于點E，則陰影部分的扇形面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查扇形的面積，矩形的性質，三角函數的應用等知識，求解，證明，再利用扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴．故選：D．6.已知一次函數與反比例函數（）的圖象沒有交點，則k的值可以為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查的是反比例函數與一次函數的交點問題，依據題意，先把兩函數的解析式組成方程組，再轉化為求一元二次方程解答問題，求出的取值范圍，找出符合條件的的值即可．根據題意把函數的交點問題轉化為求一元二次方程解的問題是解答此題的關鍵．【詳解】解：反比例函數與一次函數的圖象沒有交點，方程組無解，即無解．方程，解得．四個選項中只有，所以只有選項B符合條件．故選：B．7.如圖，在等腰中，，，，，連接交于點E，若，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等知識，過點作于，求出，則，證明，可得，設，則，在中，根據勾股定理即可求解，正確作出輔助線，構建全等三角形是本題的關鍵．【詳解】解：如圖，過點作于，，，，，，在和中，，，，，設，則，，在中，，，，（負值舍去），，故選：B．8.已知點在第一象限，且滿足，，設，若，則（）A.S有最大值2 B.S有最小值 C.S的值恒為1 D.S有最大值1【答案】A【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的性質，根據已知條件，求出、的值，再根據在第一象限，得到，，求出的取值范圍，根據的取值范圍和，求出的取值范圍，即可得出答案，解題的關鍵是熟練掌握二元一次方程組的應用．【詳解】解：由題意得，由①②得，即，，由①②得，即，，，在第一象限，，，，，且，，解得，，，，有最大值2．故選：A．9.在凸四邊形中，，，點在線段（不與端點重合）上，且，連接，．則下列結論錯誤的是（）A. B.若，則C. D.若，則【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理，根據題意添加合適的輔助線是解題關鍵．A、證得，可推得，即可求解；B、通過題意進行等量代換即可求解；C、延長，作于點，證得四邊形是矩形，結合直角三角形的斜邊與兩條直角邊的關系即可求解；D、結合C選項和勾股定理即可求解．【詳解】解：A、根據題意，如圖所示：在和中，，，，，，，，故A選項正確，但不符合題意；B、，，，，，，故B選項正確，但不符合題意；C、如圖，延長，作于點，，四邊形是矩形，，是的斜邊，，，，故C選項正確，但不符合題意；D、由C選項得：，在中，，無法判斷和的大小，故D選項錯誤，但符合題意．故選：D．10.如圖，在中，，，，點D，E分別在線段，上，且是的中位線，點P從點D出發沿向點E運動，點Q在上且滿足，連接，過點Q作交于點R，設點P運動的路程為x，的面積為y，則y關于x的函數圖象為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了動點問題的函數圖象，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，二次函數的圖象性質，先證明四邊形為平行四邊形，所以，再證，列比例式，得到，，所以，再根據三角形面積公式列出關于的函數表達式，利用函數性質解題．，掌握以上內容是解題關鍵．【詳解】解：是的中位線，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，故，所以拋物線的開口向下，頂點為，自變量的取值范圍為，以點和為端點的拋物線上的一段．故選：C．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．【詳解】解：原式，故答案為：．12.對數運算是高中常用的一種重要運算，它的定義為：如果（且），那么數x叫做以a為底N的對數，記作：，例如：因為，所以，計算_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了新定義，負整數指數冪的含義，算術平方根的含義，根據新定義結合負整數指數冪，算術平方根的含義計算即可．【詳解】解：由題意，得∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．13.如圖，點A，B在反比例函數（，）的圖象上，它們的橫坐標分別為1和3，且的面積為12，則______．【答案】9【解析】【分析】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，分別過，作軸于，軸于，由點，在反比例函數的圖象上，它們的橫坐標分別為1和3，得到，，求得，，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論，正確地作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，分別過，作軸于，軸于，點，在反比例函數的圖象上，它們的橫坐標分別為1和3，，，，，，，的面積梯形的面積的面積的面積梯形的面積，，解得．故答案為：9．14.已知矩形，連接，點E是上一點，使得．（1）如圖1，若，，則____；（2）如圖2，連接交于點F，若，則___．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）證明，設，則，在中由勾股定理建立方程求解；（2）由（1）知可設，設，則，可求在，故，而，則，那么，設，，則，代入求解即可．【詳解】解：（1）在矩形中，∴，，∴，∵，∴，∴，設，則，在中，∵，∴，解得，故的長為，故答案為：；（2）如圖，由（1）知可設，∵，∴設，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴，設，，則，∴，∴，解得，（舍去），∴．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質，解一元二次方程等知識點，難度較大，解題的關鍵在于相似三角形的應用．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】分析】本題考查了分式的化簡求值，先進行括號內同分母的減法運算，再把除法運算化為乘法運算，則約分得到原式，熟練計算是解題的關鍵．【詳解】解：原式，當時，原式．16.如圖，在平面直角坐標系中，點，，都在格點上（網格線的交點叫做格點），點，，的坐標分別為，，．（1）以原點為位似中心，在點同側將放大為原來的倍，得到，畫出；（點的對應點為，點的對應點為）（2）若由繞著某點旋轉得到的，則這點的坐標為_____；（3）請僅用無刻度的直尺作出的高線．【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【解析】【分析】本題主要考查了位似變換的作圖，畫旋轉圖形，熟練掌握圖形旋轉的性質是解題關鍵．（1）以原點為位似中心，利用網格特點，根據位似的性質，找到對應點、、，連線即可；（2）作、兩組對稱點的垂直平分線，交于點，點即為旋轉中心；（3）利用網格格點特征，即可求解．【小問1詳解】解：如圖，為所求．【小問2詳解】解：如圖，作、兩組對稱點的垂直平分線，交于點，點即旋轉中心．【小問3詳解】解：如圖，找格點，連接，交于，為所求．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.《九章算術》是中國古代的一本重要數學著作，其中有一道方程的應用題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩，今有干絲一十四斤，問生絲幾何？”，其大意是：今有生絲斤，干燥后損耗斤兩（我國古代斤等于兩），今有干絲斤，問原有生絲多少斤？【答案】原有生絲斤【解析】【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，根據題意找出等量關系是解題關鍵．設原有生絲斤，根據題意列出方程，解方程，即可求解．詳解】解：設原有生絲斤，依題意，得：，解得，答：原有生絲斤．18.問題提出：請觀察下列關于正整數的平方拆分等式：①；②；③；④．（1）請用上面的拆分方法拆分；（2）用含有字母n（n是正整數）的等式表示這一規律，并借助運算證明這個結論是正確的；（3）數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數學里的一些代數公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．例如：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式．證明：將一個邊長為a正方形的邊長增加b，形成兩個矩形和兩個正方形，如圖：這個圖形的面積可以表示成：或，∴，這就驗證了兩數和的完全平方公式．類比解決：請你用圖形的幾何意義證明（2）中等式結論的正確性．（畫出圖形并標出相關數據）【答案】（1）（2）．理由見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查了數字規律，完全平方公式與幾何圖形結合，正確理解題意，熟練計算是解題的關鍵．（1）根據題意即可解答；（2）根據規律寫出式子，再計算等式左右兩邊，比較即可；（3）根據題意畫出圖形即可．【小問1詳解】解：依據題中等式的規律可得：①；②；③；④．則；【小問2詳解】解：依據題中等式的規律可得：①；②；③；④．則第個式子為，理由：∵右邊，左邊，∴左邊右邊，∴成立；【小問3詳解】解：如圖，滿足要求.，大正方形面積為等于小正方形的面積加兩個矩形面積，即.五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.春天到了，萬物復蘇，小明在公園里放風箏，一開始小明站在處，風箏在空中的處，此時風箏線與地平線的夾角為，為了保證風箏能夠平穩飛行，小明走到了外的處，此時風箏線與地平線的夾角為，而風箏的高度依然不變．求風箏的高度．（，，最后結果精確到米）【答案】風箏的高度為【解析】【分析】本題主要考查了特殊角三角函數值的計算，解直角三角形的應用，根據題意作適合的輔助線以構造直角三角形是解題關鍵．過點作，交延長線于點，通過三角函數可得、，利用構建一元一次方程，解方程，再把代入計算即可．【詳解】解：過點作，交延長線于點，如圖所示：則，，在中，，∴，在中，，，，解得：，答：風箏的高度為．20.已知點A，P，B，C在上，，點D在的延長線上，連接．（1）如圖1，若，求證：是的切線；（2）如圖2，若，，，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，作出正確的輔助線是解題的關鍵．（1）連接并延長交于點G，連接，可得，根據得到，利用角度轉換即可解答；（2）過點C作交的延長線于點Q，根據，可得，即可證明，利用相似三角形的性質可得，設，則，根據解直角三角形和勾股定理列方程，再證明，即可解答．【小問1詳解】證明：如圖1，連接并延長交于點G，連接，∵是直徑，∴，∵，且，∴，∴，∴，是半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：如圖2，過點C作交的延長線于點Q，∵，，∴，，，，∴，∴，∴，設，則，∵，∴，∵，∴.，，∴，由勾股定理可得，∴，∴，∴，，由，∴，∴，∴，∴．六、（本題滿分12分）21.某校舉行了豐富多彩的數學活動，其中游戲類活動有：A．數字猜謎；B．數獨；C．魔方；D．24點游戲；E．數字華容道．該校為了解學生對這五類數學游戲的喜愛情況，隨機抽取部分學生進行了調查統計（每位學生必選且只能選一類），并根據調查結果，繪制了兩幅不完整的統計圖如圖所示．選項占調查人數的百分比ABCDE解決問題：請根據圖表提供的信息，完成下列任務．（1）本次一共調查了_____名學生，統計表中，______，_____；（2）請補全條形統計圖；（3）若該校有1000名學生，請估計該校參加“數字華容道”游戲的學生人數；（4）小軍要從以上五個數學游戲中任意選兩個，請用列表或畫樹狀圖的方法求小軍恰好選中B和E的概率．【答案】（1）400，7.5，15（2）見解析（3）估計該校參加“數字華容道”游戲的學生人數150人（4）小軍恰好選中B和E的概率為【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統計圖、統計表、用樣本估計總體、概率公式，能夠讀懂統計圖表，掌握列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體、概率公式是解答本題的關鍵．（1）用條形統計圖中的人數除以表格中的百分比可得共調查的學生人數；用的人數除以共調查的學生人數再乘以可得，用1分別減去，，，的百分比可得，進而可得，的值．（2）分別求出，選項的人數，補全條形統計圖即可．（3）根據用樣本估計總體，用1000乘以，即可得出答案．（4）列表可得出所有等可能的結果數以及小軍恰好選中和的結果數，再利用概率公式可得出答案．【小問1詳解】解：本次一共調查了（名學生．，，，．故答案為：400；7.5；15．【小問2詳解】解：選項的人數為（人，選項的人數為（人，補全條形統計圖如圖所示．；【小問3詳解】解：（人，估計該校參加“數字華容道”游戲的學生人數約150人．【小問4詳解】解：列表如下：

共有20種等可能的結果，其中小軍恰好選中和的結果有：，，共2種，小軍恰好選中和的概率為．七、（本題滿分12分）22.如圖，已知在矩形中，，，點為邊上一點（不與點，點重合），先將矩形沿折疊，使點落在點處，（1）如圖，設，，請判斷與的數量關系，并說明理由；（2）若為中點，求的值；（3）若點落在矩形的對角線上，求的長．【答案】（1），理由見解析（2）（3）或【解析】【分析】（1）由矩形的性質得，由翻折的性質得，推得，將、代入即可求解；（2）延長與延長線交于點G，證得，得，設，代入，得，利用勾股定理可求得、的值，通過即可求解．（3）分類討論：①利用勾股定理推得點不會落在對角線的交點上；②當點落在上時，利用矩形的性質推得，結合三角函數即可求解的值；③當點F落在上時，利用翻折的性質結合三角函數可得，即可求解的值．【小問1詳解】解：∵，∴，由翻折的性質可知，∴，∵，，∴，∴，∴．【小問2詳解】解：如圖所示，延長與的延長線交于點G，故∵E為中點，∴，設，∵，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴，化簡得，解得或（舍去），∴，∴，∵，∴．【小問3詳解】解：①∵，，∴，∴，，∴點不會落在對角線的交點上；②當點落在上時，如圖所示，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；③當點F落在上時，如圖所示，由翻折的性質可知，為的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；綜上所述，或．【點睛】