重難點05五種數列通項求法（核心考點講與練）

題型一：公式法求數列通項

一、單選題

1.（2022?北京?二模）已知｛4｝為等差數列，首項《=2,公差"=3,若〃“+%+2=28,則〃=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】首先求出通項公式，再代入得到方程，解得即可；

【詳解】解：因為首項4=2,公差1=3,所以4=q+（〃一l）d=3〃—1,

因為。+。理=28,所以（3/-1）+3（〃+2）—1=28,解得〃=4

故選：D

2.（2022.河南?方城第一高級中學模擬預測（文））已知S“為公差不為0的等差數列｛4｝的前"項和.若q=1,

邑，S9成等比數列，則/=（）

A.11B.13C.23D.24

【答案】C

【分析】設出公差，利用航，邑，，成等比數列，列出方程，求出公差，求出答案.

【詳解】設等差數列｛為｝的公差為/0）,

因為豆，邑，Sg成等比數列，

所以（3q+3d）［=4（9a,+36”）,

化簡得"=0（舍去）或d=2q=2,

所以%=4+15=23.

故選：C

3.（2022?陜西西安?三模（理））“中國剩余定理''又稱"孫子定理”，可見于中國南北朝時期的數學著作《孫

子算經》卷下中的“物不知數”問題，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之

剩二問物幾何？現有一個相關的問題：將1到2022這2022個自然數中被3除余2且被5除余4的數按照

從小到大的順序排成一列，構成一個數列14,29,44,…，則該數列的項數為（）

A.132B.133C.134D.135

【答案】C

【分析】先得到新數列14,29,44,…是首項為14,公差為15的等差數列，求出通項公式，解不等式求

出數列的項數.

【詳解】由題意得：新數列14,29,44,…是首項為14,公差為15的等差數列，

設新數列為｛%｝，則通項公式為q=14+15（〃-1）=15〃-1,

13

令15〃-142022,解得：〃4134正，

因為〃eN*,所以這個數列的項數為134.

故選：C

4.（2022?新疆?三模（文））已知數列｛q,｝是以1為首項，3為公差的等差數列，也｝是以1為首項，3為公

比的等比數列，設%=4,7；=q+G+…+c”（〃eN*）,當（<2021時，〃的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】先求出進而得到C.，由分組求和得7；=李（3"-1）-2〃，由北“-7；>。判斷出｛7,｝為遞增數

列，計算出7；<2021,7；>2021即可求解.

【詳解】由題意知：。“=1+3（〃-1）=3"—2也=3"T,%=%=%T=3-3"T-2=3"-2,

3（1-3”）3/\

<=3—2+32—2+???+3'?—2=-^^—2〃=5?（3"—1）一2〃，

又&「（，=|.（3向一1）一2（〃+1）-|?（3"—1）+2〃=3'向一2>0,

故｛<｝為遞增數列，又"=|X（36-1）-2*6=1080,7；=?（37_1）_2乂7=3265,

故當7,<2021時，〃的最大值為6.

故選：C.

5.（2022?浙江紹興?模擬預測）已知數列｛（｝的前〃項和5,滿足若存在〃?，丘N,,

使得&>a,向，則實數4的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（-co,0）u（l,+oo）

C.（l,+8）D.（O,l）U（l,^）

【答案】A

【分析】利用%=s“-Si求通項公式為=一（/_1+1,判斷出數列｛4｝不單調，只需工＜0,即可求得.

VA—1）A-1

【詳解】因為數列｛??）的前?項和S“滿足S“=4%+〃（義工0,〃eN*）,

所以當〃=1時，有E=/lq+l"=l不合題意；所以久用，解得：二；

1—71

J1

當〃之2時，ci=Aa-Xa_+1,2^1,解得：a=---a_一~--

nnnxnA—1nxA—1

22

設“"+X=F（”"T+X）'解得：X=-1,可得：??-!=—

X—1A—1

所以｛??-1｝是公比為*7,首項4-1=:J的等比數列，

A—11—/I

所以4一1=（合）（含「所以％T￡）+i.

經檢驗，a.=-Q2]]+1對〃=1也成立.

若存在肛&sN*,使得4＜4+1，勺＞。,e，則數列｛叫不單調.

只需工＜。，則｛q｝正負項交替出現，符合題意，此時0”＜1.

當。〈工＜1時，〃"=_（/_]+1單調遞增，不符合題意；

當工＞1時，q=+1單調遞減，不符合題意；

A-lIA-1；

綜上所述：0v/l＜l.

故選：A

二、多選題

6.（2021?廣東?高三階段練習）已知反為等差數列｛〃〃｝的前〃項和，G+S5=-18,〃6=一㈤，則（）

A.an=2n~9B.卬7=2〃-7

C.Sn=n2~SnD.Sn=n2~6n

【答案】AC

【分析】利用等差數列的前"項和公式以及通項公式求出首項與公差進而可以求出結果.

2

【詳解】因為《+S5=6%=T8,所以q=-3.又4=3,所以q=-7,d=2,則a“=2〃-9,Sn=n-8H.

故選：AC.

7.(2022.全國?高三專題練習)我國古代著名的數學專著《九章算術》里有一段敘述：“今有良馬和鴛馬發

長安至齊，良馬初日行一百九十三里，日增十三里；弩馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復還迎

駕馬，九日后二馬相逢其大意為今有良馬和鴛馬從長安出發到齊國，良馬第一天走193里，以后每天比前

一天多走13里；弩馬第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良馬先到齊國，再返回迎接弩馬，9天

后兩馬相遇.下列結論正確的是()

A.長安與齊國兩地相距1530里

B.3天后，兩馬之間的距離為328.5里

C.良馬從第6天開始返回迎接鴛馬

D.8天后，兩馬之間的距離為377.5里

【答案】AB

【分析】A.設良馬第"天行走的路程里數為與，弩馬第"天行走的路程里數為以，求出良馬和弩馬各自走

的路程即得A正確；

B,計算得到3天后，兩馬之間的距離為328.5里，即可判斷B正確；

C,計算得到良馬前6天共行走了1353里＜1530里，故C不正確；

D,計算得到8天后，兩馬之間的距離為390里，故D不正確.

【詳解】解：設良馬第幾天行走的路程里數為鴛馬第w天行走的路程里數為么，則

4=193+13(〃-1)也=97-g(〃-l)6wN”,l釉9).

a?n

良馬這9天共行走了9x193+二x號x上=2205里路程，

野馬這9天共行走了。wI2qy里路程，

9x97+------——-=855

2

故長安與齊國兩地相距些『電=1530里，A正確.

3天后，良馬共行走了3x(193+13)=618里路程，弩馬共行走了3x(97-1=289.5里路程，故它們之間的距

離為328.5里，B正確.

良馬前6天共行走了6x1936+x5/x—13=1353里＜1530里，故良馬行走6天還末到達齊國，C不正確.

良馬前7天共行走了7x193+土+，=1624里＞1530里，則良馬從第7天開始返回迎接鴛馬，故8天后，

兩馬之間的距離即兩馬第9天行走的距離之和，由為+4=193+13x8+97+（-g）x8=390,知8天后，兩

馬之間的距離為390里，故D不正確.

故選：AB

8.（2021?福建師大附中高三期中）各項均為正數的等比數列｛叫的前”項積為力,，若公比"1,則

下列命題正確的是（）

A.若￡=如則必有兀=1B.若7；=",則必有。是7“中最大的項

c.若則必有看＞4D.若則必有

【答案】ABC

【分析】根據題意，結合等比數列的通項公式、等差數列的前〃項和公式，以及等比數列的性質，逐項分

析，即可求解.

【詳解】由等比數列伍“｝可知%由等比數列｛見｝的前〃項積結合等差數列性質可知：

n（n-l）

7；=4a2yLq=qqg.q/L4尸=4"/…=布尸

7

對于A,若其f，可得即。。=1,...幾=4%91=（4,26）3=[,故A正確；

對于B,若[=7；,可得q4g*=l,即qg￥=],又4＞1,故”1,又可知%OA1=1,利用等比數

列性質知%4=%為=1，可知線故刀是T“中最大的項，故B正確；

對于C,若（＞小則a%1—即常＜1,又《＞0,則”1,可得熹=%=。0＜4”1,故7；＞（，

故C正確；

對于D,若"＞小則癡＜1,圣=%=。/，無法判斷其與T的大小關系，故D錯誤.

'5

故選：ABC

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了等比數列的通項公式及等差數列前”項和公式，以及等比數列的性

質的應用，其中解答中熟記等比數列的通項公式和性質及等差數列的求和公式，準確運算是解答的關鍵，

著重考查了學生的推理與運算能力，屬于較難題.

9.(2021?江蘇南通?高三期中)在數列｛4｝中，已知%心，…，4。是首項為1，公差為1的等差數列，

限叫I，…釗是公差為d"的等差數列,其中〃eN*,則下列說法正確的是()

A.當1=1時，％)=20B.若%=70,則d=2

C.若4+42+L+，。=320,則1=3D.當0<“<1時，?10(n+1)<-^-

1-U

【答案】ACD

【分析】利用等差數列的通項公式可判斷A；利用已知條件結合等差數列的通項公式可判斷B：利用等差數

列的求和公式可判斷C；利用等比數列求和公式可判斷D.

【詳解】對于A,當d=l時，/=1,可知數列｛4｝是首項為1,公差為1的等差數列，所以

4O=1+(2O—1)X1=2O,故A正確；

對于B,由已知為=10,即),勺,…,陶)是公差為d的等差數列，則%)=10+10”，

…，&是公差為d2的等差數列，貝IJ030=10+10"+10/=70,即/+[_6=0,解得：[=2或d=—3,

故B錯誤；

x|10+J++10Jx

對于C,a,+a2+L+^o=^y^0+^0lQ=320,解得：d=3,故C正確；

對于D,4O(“+D=1O+1O"+1O屋+L+104"=10±W-<U-,故D正確；

\-d\-d

故選：ACD

三、填空題

10.(2022?河南洛陽?三模(文))設各項為正數的等比數列｛q｝的前〃項和為s“，且4=1,S,=2S2+1,

貝!?J4=.

【答案】8

【分析】設公比為q(g>o),依題意得到方程，求出q,即可得解；

【詳解】解：依題意設公比為q(g>0),由S3=2SZ+I,即S3-S2=S?+1,即％=邑+1,

所以=4+qg+l,即g2_q_2=0,解得q=2或g=T(舍去)；

所以q=44'=8；

故答案為：8

11.(2022.江西景德鎮.三模(文))已知數列｛4“｝和正項數列也｝,其中qH，》)且滿足〃,cos4=f-1,

數列｛%｝滿足c,z=gc“，其中c.=2sina,-l.對于某個給定4或〃的值，則下列結論中：①仿e專±1；

②q?T,0)；③數列｛c“｝單調遞減；④數列｛a｝單調遞增.其中正確命題的序號為.

【答案】①②④

【分析】根據/w(g,乃)得—1<空、0,結合勿>0,解得任得墾1<瓦<1,"I判斷①；

2bn22

根據0<sina,,<l,正二1<么<1,得得一可判斷②；

2

求出%=q《3嚴，利用>°恒成立，可判斷③；

22

由dcosq,=〃；-l,c,=dsina,-l得(%+1)2=匯-&-1)2,(cn+1+1)=^+,-(Z>;+l-I),兩式相減得

(%-￡,)(%+c“+2)=(%-%,根據%>c,，結合T<c“<0,b;,<\,可得%>%可判

斷④.

【詳解】依題意有為€(*乃)，所以-l<cosa“<0,所以T<『<0,

又包>。，所以-"<片一1<0,解得或二1<6<1,所以史二即4故①正確；

22I2J

因為可€。,勿)，所以0<sina“<l,又避二！<“<1,

所以0<b“sina“<1,所以0<c“+l<l,所以所以-l<q<0,g|Jc,e(-l,0),故②正確；

因為％=J?(；)"'且q<0,所以g*-%=c/(g)"-c「(g)”T=—.($">0,所以c3>c“恒成立，所以數列

匕,｝單調遞增；故③不正確；

由bncosa?=b；,-\得cosan=與二1,由％=bnsin%-1得sinan=室i,

b?h-

222

所以cosan+sinan=(^^-)+=1,

所以(％+1)2=〃；一S；-I)：

所以(J+。=痣-(密-I)：

兩式相減得(C.+1+l)2-(C“+1)2=%-[(%T)2-S；-I)2]，

所以(--%)(c向+%+2)=%-匯+b：-2)=聞「嫡(3-摩「臉,

由③知，匕J遞增，所以C,M-C”＞0，又％+|+&+2＞-17+2=0,

所以(c?+i-cn)(c?+l+%+2)＞0,

因為明＜1,所以23＜1，所以照＜2,

所以3-瓦「照＞0,所以*-肥＞0,所以痣＞6；,乂也｝為正項數列，所以%＞以恒成立，

綜上所述，數列也｝單調遞增.故④正確.

故答案為：①②④.

［點睛】關鍵點點睛:判斷數列［b?］的單調性時,利用平方關系式消去sina?和cosa“得至I］(%+1)2=b：-

是解題關鍵.

四、解答題

12.(2022?河北保定?二模)已知公差為2的等差數列｛《,｝的前〃項和為S“，且邑=16.

(1)求｛4｝的通項公式.

(2)若勿,數列｛4｝的前〃項和為T,，證明

anan+23

【答案】⑴%=2〃-1(2)證明見解析

【分析】(1)利用等差數列求和公式求出首項，從而求出通項公式；(2)裂項相消法求和證明不等式.

4x3

(1)由題意，得J=仞+=，2=16,

解得：4=1，

故q=l+2(〃-l)=2〃-l.

(2)證明：因為〃=-----=正~祐二K=)

a,4+2(2〃-1)(2〃+3)4\2n-12〃+3J

所以Z.=4+%+%+…+0

=-I1T----------------I=------------1------

4(32〃+12n+3)34(2〃+12〃+3>)

因為-{-----1-----]>0,

4(2“+12n+3)

所以謂.

13.(2022.福建龍巖.模擬預測)已知等差數列｛4｝的前〃項和為S“，/+6=18,S6=48.

(1)求｛?,,｝的通項公式;

(2)設。“=瘋1揚7數列｛〃｝的前“項和為[，證明：當〃N3,〃eZ時，4葉>%.

【答案】⑴氏=2〃+1；(2)證明見解析.

【分析】(1)根據題中條件列出關于q和d的方程組，解出4和d,根據等差數列通項公式即可求明;

(2)分母有理化。，裂項相消即可求看，當“23,“eZ時，證明2看一瘋>0即川.

[2a,4-6d=1814=3

(1)由題可知，Je解得1。，??應=2〃+1；

[6q+15d=48[d=2

二2=2一

-+J2"+3+J2〃-12

=][(\/5—1)+(—y/i)+(V9—y/5)+??.+(J2n+1—J2〃—3)+(J2n+3—>j2.n—1)]

Tn=g[j2〃+l+j2〃+3-l-l],

?.-n>3,/ieZ,.也-瘋=>/2〃+3-1-艮2-百>0,

14.(2022?陜西?西安中學模擬預測(文))記S,為等比數列｛a,,｝的前〃項和，且公比q>1,已知。?=4,S?=14.

(1)求｛《,｝的通項公式；

(2)設2=%+(/1-1)〃，若也｝是遞增數列，求實數4的取值范圍.

[答案](l)a?=2"(2)(-l,-N0)

【分析】(1)利用等比數列通項公式和前〃項和公式的基本量進行運算即可.

(2)｛〃｝是遞增數列，利用2川-2>0恒成立即可求解.

⑴；等比數列｛4｝中，“2=4,邑=14,q>\

4

：.-+4+4q=14,解得q=2或?;(舍)，

Q2

n2

：.an=4-2-=2".

,,+,

(2)由仇=a,+(/l_l)〃=2"+(；l_l)“，W^,1+I=2+(A-1)(M+1),

+

則%-bn=2"'-2"+A-\=2"+A-\,

因為也｝是遞增數列，所以〃向-2>0,故2"+2-1>0,即2>1—2",

因為｛1-2"｝是遞減數列，所以該數列的最大項是

所以2的取值范圍是(-1,內).

15.(2022.山東臨沂.模擬預測)等比數列｛q,｝中，％,電，生分別是下表第一、二、三行中的某一個數,

且q,%，附中的任何兩個數不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

(1)求數列｛4｝的通項公式；

⑵若數列｛2｝滿足：2=a.+(-l)ln%,求數列｛〃｝的前2〃項和$2“.

【答案】⑴4=23i⑵S2“=9"-l-2〃ln2-(2〃2-〃)ln3

【分析】(1)先得到4=2,%=6,a,=18,求出公比，從而求出等比數列的通項公式；(2)求出

b?=a?+(-l)ln??-2-3"-1+(-l)ln2-3"-',分組求和得到S“=3"-l-ln2n-32,從而求出工.

(1)由題意知：(=2,電=6,%=18,

因為｛4｝是等比數列，所以公比為3,

所以數列｛%｝的通項公式a.=2?3”T.

⑵因為b?=+(-l)lnan=2.3"T+(-l)ln2.3^,

所以

(

S“=4+%+L+bn=(4+42_------na,,)-(111611+Ina2H—Inrz,,)=————-In(a,a2?--an)

1—3

'/?(/?-1)、

=3,,-l-ln(2n-lx31x32x...x3,-,)=3,,-l-ln2"-3-8,

\7

f2n(2n-l)\

所以$2"=3"'—1-In22n-32=9"-l-2〃ln2-(2〃2—")ln3.

\/

題型二：Sn和an關系法求數列通項

一、單選題

1.(2022?四川?內江市教育科學研究所三模(理))已知等比數列｛4｝的公比為q,前〃項和為3.若

25+1

4=2邑+1,?4=3>貝Ug=()

A.3B.2C.-3D.-2

【答案】A

【分析】將題中兩等式作差可得出4-4=2%，整理得出為=3%，由此可計算出4=包的侑，

a3

【詳解】將等式％=2Sz+l與〃4=3§3+1作差得〃4一。3=2%,二.4=3%,

因此，該等比數列的公比4=幺=3,

生

故選：A.

2.(2022.福建三明.模擬預測)已知數列｛4｝的前〃項和為S“，若2S,,+4M=2〃2(〃€N"),且%m=4048,

則4=()

A.-8B.-3C.-2D.8

【答案】B

【分析】先由E,求凡,判斷出｛4-2(〃-1)｝從第二項起為公比為一1的等比數列，得到

a?=(-2a,).(-l)，，-2+2(H-l),代入〃=2022即可解出火.

【詳解】因為2s“+ae=2〃2①，

所以當”=1時，有21+。2=2,即2q+“2=2.

當“22時,有2S,i+q=2（〃一I）?②，

22

①-②得:2Sn-2Sn_｝+a?+1-=2n-2（n-1）,所以%+a“=4〃-2,

即4+1-2〃=一[4一2（”—1）],

所以｛q,-2（”-1）｝從第二項起為公比為-1的等比數列.

所以=°,即42+2（n-l）.

因為2q+%=2,所以％=2-2卬，所以a,,=（_2q）?（-l）"2+2（〃-1）.

20

所以a2c22uGZaJI-l）"-2+2（2022-1）=4048,解得：q=3

故選：B

3.（2022?四川?內江市教育科學研究所三模（文））設S“為數歹1」｛%｝的前〃項和.若S“=〃2-〃+a,貝lJ“a=0”

是“2%=%+4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】用定義法，分充分性和必要性分別進行討論.

【詳解】因為加為數列｛4｝的前”項和，且S“=〃2-〃+a,

所以當〃=]時，4=S[=/_]+a=a；

當“22時，=S"一S"_|="-“+a-[（"-l『_（〃_i）+a]=2“一2：

\a,n=\

所以4=,、”

[2n-29n>2

22

充分性：當。=0時，所以生=邑—號=22-2—（1—1）=2；a4=54-53=4-4-（3-3）=6；

4=與一羽=6?-6—（52—5）=10.滿足2%=的+必，所以充分性滿足；

[a,n=\,

必要性：由。"二]G。、。可得：々2=2,。4=6,4=1。，符合2。4=。2+。6，但是不能推出a=0.明以必

[2n-2,n>2

要性不滿足.

故“a=0”是“2%=%+&”的充分不必要條件.

故選：A

二、多選題

4.(2022?山東臨沂?模擬預測)設數列｛《,｝的前〃項和為S,,,已知2s,=3"+3.數列圾｝滿足=1(^4,,

貝IJ()

3,"=1,

A.an

C.數列也｝的前〃項和[=*弗"

1Z4,j

D.數列也｝的前八項和￡=梟亮二

1Z4-J

【答案】AC

【分析】根據S,與。”的關系，即可求出見,利用錯位相減法即可求出數列｛4｝的前〃項和7“，據此，逐個

選項判斷即可得出答案.

【詳解】對于A,因為2s“=3"+3,所以，當〃=1時，2sl=24=6,得4=3,

3

當〃之2時，ail=S?-S^="~^'=3"-',經檢驗，當〃=1時，不符合4=3"",

所以，.故A正確；

[3,Z7>1.

11

.-??=1

對于B,因為。也=bgM，得a=f=3,故B錯誤；

%二,在2

3"T

對于c數列也｝的前〃項和式=4+&+4+...+2=；+?+1+...+舒①,

=壓+?+1+(+…+展②，所以‘①一②得,

n-1132H+1

—T?=1F1X(——H-+...d-)----------=1-----------------=1X----------------------=-----------------

3〃9332333“々3"923"92(93〃J3"182.3〃

北=3一沼，故C正確，D錯誤:

1Z4?j

故選：AC

5.（2022.江蘇江蘇.三模）已知各項都是正數的數列｛%｝的前〃項和為S“，且S“二會+小，則（）

A.代｝是等差數列B.S?+5?t2<2Sn+1

C.%>a“D.5?—^->lnn

%

【答案】ABD

【分析】對于A,求出a｝,再將4轉化為S.,即可證明，

對于B,利用A的結論求出S,,,再利用基本不等式，即可證明.

對于C,求出々<4，即可判斷正誤，

對于D,構造函數〃x）=x-g-21nx,即可判斷正誤

c41

【詳解】a\=S\=^+2af解得：S=4=l

〃一2時，“2

整理得:S-

故｛S；｝是等差數列，選項A正確；

S；=S；+〃T=〃，則S“=4，S“+S“+2=?+J〃+2<+2=2J"+1=2s，用,選項B正確；

a2=S2-S]=y/2-1<a],選項C錯誤；

令f(x)=x-1-21nx,x>l,/'(x)=("-,120

/(x)在［L+oo)遞增，/(x)>/(l)=0,則/(6)=y-9-ln〃W0

即S”-：21n〃，選項D正確；

故選：ABD.

三、填空題

6.（2022?遼寧?二模）若數列｛q｝的前〃項和5“=七’，則其通項公式為

n

0,n=l

【答案】??=

—,n>2,/?eN-

n—n

S,n=l

【分析】根據4=Jnc、0,即可解出.

S,-S,i，〃N2

【詳解】當〃=1時，％=工=0；

當〃22時，4=5“-5,1=n!—」1-2H—彳2=一[一，當〃=1時，不滿足上式，所以,

nn-\n-n

0,n=l

1、?..

—Z---,72>2,?GNKT

n-n

0,n=1

故答案為：a?—'1

------,M>2,/2GN

n-n

7.（2022?安徽?模擬預測（理））已知數列｛q｝滿足1+?+§+—+3=2",則

352/24-1

q+%+…+。“=

【答案】（2〃一1>2"+1

【分析】在題干條件卜.求出q=（2〃+l）2"T,進而用錯位相減法求和.

【詳解】1+產+…+E①，

1+幺+&+..?+，1工=21②

352〃一1

兩式相減得：E'T

所以q=（2〃+l）2"T,經檢驗符合要求.

則5“=4+%+■??+%

貝i]S.=3+5x2+7*22+9x2'+…+（2〃+l）2"T③,

2s“=3x2+5x22+7x23+9x24+…+（2〃+1）2"④,

,2_,〃+1

③-④得：-S,,=3+22+2'+24+…+2"-（2〃+1）2"=3+—^-----（2?+1）2"

1—2

所以S“=（2〃-l）-2"+l

故答案為：（2〃-1卜2"+1

8.（2022?山東淄博?模擬預測）設等差數列也｝的前"項和為S"，若S”z=-3,S?,=-2,Sm+l=0,則

in=.

【答案】4

【分析】先利用4，S“關系式，求出公差，進而用通項公式和求和公式得到方程組，求出旭=4.

【詳解】由題意得：am=Sm-Sm,,=-2+3=1,am+1=Sm+I-Sm=0+2=2,

則等差數列的公差d==2-1=1,

則4,=4+（加一1）1=4+（機-1）=1,Sm=的+加31）=—2,

解得：機=4或m=-1（舍去）.

故答案為：4

9.（2022?四川綿陽?三模（理））已知數列｛q｝的前〃項和為S“，若4=3,。用=S“+5,貝匣=.

【答案】123

【分析】由已知，根據給的4”=S“+5,通過〃=1,計算出的,〃22得到“之間的關系，然后構造等

比數列，得到數列｛4｝的通項公式，然后求和即可.

【詳解】由已知，4=3,a“+|=S"+5①，

當”=1時，4=d+5=q+5=8,

當〃22時，a“=S,i+5②，

①一②得：〃向整理得：??+1=2??,即方=2（"*2）,

所以數列｛%｝是以外=8為首項，公比為2的等比數列，所以

2-2+

an=a2.2"-=8.2"=2"'（nW2,”wN*）,

[3,〃=1

所以生小卜向〃N2〃€N*，

所以$5=3+（23+24+2$+2$）=123.

故答案為：123.

四、解答題

10.（2022?福建泉州?模擬預測）記數列｛。，｝的前n項和為S”.已知q=1,.

從①%+2=4;②4+1+〃“=4"；③S"=叫川一〃（"+1）中選出一個能確定｛凡｝的條件,

補充到上面橫線處，并解答下面的問題.

⑴求｛4｝的通項公式：

（2）求數列｛（-1）"0｝的前20項和T2Q.

【答案】（1）4=2〃-1（2）210

［分析］（1）選①時，出未知，故數列的偶數項不確定，無法求解;選②,變形為%-（2〃+1）=-［q-（2”-3，

且q-（2xl-l）=q-l=0,從而求出%=2〃-1；選③：禾I」用S”與的關系式得至必用-q=2,利用等差數

列求出通項；⑵在第一問的基礎上,求出（一1廣電1+（-1戶52*=（2力-（2"1）2=401,從而分組進

行求和.

⑴選①：。"2_%=4，

只能說明數列｛4｝的奇數項和偶數項分別構成等差數列，已知4=1，數列的奇數項可以確定，但々未知，

故數列的偶數項不確定，因此數列｛/｝不確定，題設的兩個條件均無法求解，

選②：。“+|+。”=4〃，

由“向+4=4〃得：a,向-（2〃+1）=-［??-（2/1-1）］,

因為4=1,所以4-（2xl-l）=4-1=0

故。“一（2〃-1）=0,即

選③：S,=剛,用一"（"+1）

251

由S,,=也,用一〃5+1）得：?2~=i=>故的=3

當〃22時，S“_|1）〃，

兩式相減得：??+,=2,

又因為4=2滿足a"”-4=2,

綜上：對所有的〃wN*,均有4,+1-q=2,

所以｛為｝為首項為1,公差為2的等差數列，

故4=2"-1

⑵由(1)知:a?=2/2-1,

所以四山=〃(1+2〃7)=R

〃22

故(-1)3$21+(T戶S2k=(2左)'一(2左一1)2=4「一1，

所以7^0=(―$+$2)+(―S3+S4)+…+(―S19+5。)=3+7+…+39=---=210

11.(2022.湖南.長沙一中一模)已知數列｛/｝的前"項和為S"，4=1,S向=2S“+〃+l.

(1)證明：數歹￡%+1｝為等比數列；

IW

(2)在％和4+(&N,)中插入后個數構成一個新數歹lj｛c,J：%,b、,a2,b2,b3,a,,b4,b5,b6,a4,

其中插入的所有數依次構成數列也｝,通項公式年=(-1)"2n.求數列｛&｝的前30項和七.

【答案】⑴證明見解析(2)223

【分析】(1)由已知S向=2S“+〃+l及％=1,求得/=〃+1(〃21)的遞推關系，從而可證也+1｝為等比

數列得；

(2)插入“個數構成一個新數列｛%｝,則數列｛%｝的前30項和4包含了數列｛??｝的前7項及數列他,｝的

前23項，采用分組求和法求解即可.

(1)由題意,當"=1時，$2=21+2,

得4+4=2q+2,解得生=3.

當“22時，S“M=25.+〃+1,①

S”=2S,i+”,②

①-②得4用=〃+1("22),

因為。2=3=2〃[+1,

所以4+1=2%+1(〃21).

則申+l=2a?+2=2(a?+l),

：q+1=2*0,：.^^-=2

4,+1

所以｛4+1｝是以4+1=2為首項，2為公比的等比數列.

(2)由(1)知%+1=2",an=2"-i.

在數列匕｝中，項的之前(含出)共有1+2+3+4+5+6+7=28<30,

所以數列￡｝的前30項中包含了數列｛4｝的前7項及數列帆｝的前23項，

所以4o=4+。2T--卜四+濟+b2T---F%

=2,-l+22-l+---+27-l+(-2+4-6+8----46)

=^i^J-7+[-2+(-2)xll]=223■

12.(2022.廣東?三模)已知數列｛%｝的前〃項和S“，a,=1,an>0,anan+l=4S?-i.

⑴計算％的值，求｛4“｝的通項公式;

⑵設bn=(-1)"a?afl+1,求數列｛2｝的前〃項和T..

2rr+2n,n=2k,keN

【答案】（1）3,/=2〃-1（2）北=

-In1-2n+\,n=2k-\,k&K

【分析】（l）賦值即可求出的，利用%與S”的關系可求得｛4“｝的遞推關系，進而求出（2）對"分奇偶討

論，當〃為偶數時.，采用并項法求和，當〃為奇數時，Tn=Tn_y-anan.,

（1）當，?=1時，q/=4q-l,解得的=3

由題知的=4S"-1①

4+4+2=4S向-1②

由②-①得%（*-%）=他用,

因為%>0,所以%+2-%=4

所以數列｛/｝的奇數項是以4=1為首項，以4為公差的等差數列；偶數項是以外=3為首項，以4為公差

的等差數列；

當〃為奇數時，4=1+（一-1卜4=2〃-1

當〃為偶數時，4=3+-1卜4=2〃-1所以風｝的通項公式4=2"-1.

⑵山（1）可得a=（-1）"（2〃-1）（2"+1）.

當”為偶數時，

T?=~ata2+%%一/%++…+（T）'%,/褊=4（-4+6）+4（一生+丹）+?..+%+%+i）

g（3+2〃-l）

=4（%+%+?一+。“）=4^-------------=2〃（〃+1）

當〃為奇數時，

當"=1時，工二一3

當〃23時，

T_T—（3+2n-3）

2

“一?-|-n?+i=42------------（2n-l）（2n+l）^-2n-2n+l

經檢驗，1也滿足上式，

所以當〃為奇數時,T?=-2n2-2n+l

綜上，數列也｝的前〃項和片〔2”,廠獷,

-2〃+1,〃=2攵-eN

13.（2022.內蒙古呼和浩特,二模（理））從①4+4+…+4=2""-2,?Sn=2a?-2,這兩個條件中選擇

一個補充到下面問題中，并完成解答.

問題：已知數列｛4｝的前〃項和為S”，且_____，他,｝為等差數列，4=1,b2,a2,%成等差數列.

（1）寫出所選條件的序號，并求數列｛q｝、｛〃｝的通項公式；

（2）若％=p+］）］og,4，求數列｛%｝的前〃項和

n

【答案】（1）4=2"，b?=n.（2）7；=—

n+1

【分析】（1）選擇條件①和②，都是利用S,與。”的關系先求出數列｛對｝的通項，再求出等差數列的公差即

得他,｝的通項公式：

（2）利用裂項相消法求解.

n+

⑴解:選擇條件①：由題意知：ai+a2+-+a?=2'-2,

即5“=2”“_2,

當〃=1時，q=￡=2,

當〃220寸，%=S,,-S,i=2""-2"=2",適合〃=1.

綜上數列｛4｝的通項公式為??=2".

選擇條件②：由題意知：S?=2an-2.

當〃=1時，q=2q-2解得q=2,

當〃N2時，S?=2an-2,

S"-i=2a“_|-2,

，a“=S"-S"T=2a“-2a,T,

整理得。=2的,

二數列｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數列，

。”=2”?

?.?%,%，％為等差數列，

2a2=4+%=8,

又???數列｛，｝為等差數列，設公差為“且仇=1.

b2+b6=2b4=2佃+3")=8,

解得4=1,

所以等差數歹￡d｝的通項公式為2=1+(〃T)=".

(2)解：由(1)知，a“=2：b?=n,

]_]2__1

n

(n+l)log22n(n+l)nn+\

二(=q+，2+…+c”

?F=n+%\

14.(2022?湖南師大附中二模)已知數列｛4｝的前〃項和為S“，S,,=24-2(〃wN)

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)若包=log“.2，則在數列｛2｝中是否存在連續的兩項，使得它們與后面的某一項依原來順序構成等差數

列？若存在，請舉例寫出此三項；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)q=2"(2)存在，"=!，仇=?，

236

【分析】(D先求出4,再當〃22時，由5,=24,-2("€")，得S“T=2”“T-2,兩式相減整理可得

4=2%(n>2),從而可求出其通項公式,

(2)由(1)得b“=L然后可得4=(