第十五章三角計算及其應用

【教學課題】15.1兩角和與差的余弦公式

【教學目的】

1、通過兩角和與差的余弦公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明

2、通過本節學習，使學生掌握尋找數學規律的方法，提高學生的觀房分析能力，培養學生的應用意識，提

高學生的數學素質

【教學重點】：兩角和與差的余弦公式及其推導

【教學難點兒靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明

【教學過程】

復習提問

引入新課⑴向量的數量積

-*—*—?—?—?—?

則

ab=a=(xl,^l),b=(x2,y2)ab=

(2)單位圓上的點的坐標表示

由圖可知：-a-(),0P2=b=()則a?6=

問題1:cosNP0P2=cos(450-30°)=

問題2：由＜：05(45。-30。)=(：0545。＜：0530。+5詒45。5抽300出發，你能推廣到對任意的兩個角都成立嗎？

問題3:兩角和與差的余弦公式推導

(一)兩角差的余弦公式

—?—*

設a=(coscr,sincr),b=(co也sin/?),

a?b=COS6O:OJ^?+Sincisin/?

?/a-b=abcos^

1

cosg=cosctcos/3+sinasin/7

如果a—,e[0,乃],郵么0=c(一(3

故cos(cz-fl)=costzcos/?+sincrsin/?

實際上，當a-夕為任意角時，由誘導公式總可以找到一個角都可轉化。€[(),2乃)，使cos￡=cos(a-p)。

綜上所述，cos@-/?)=cosco的十sinasin/?,對于任意的角a,4都成立。

根據兩角差的余弦公式，你可以猜猜cos(a+〃)=?

提示：令一?

(二)兩角和的余弦公式

cos(a+/3)=cos?cos/?-sinQsin/7

結論：兩角和與差的余弦公式C"

cos(a±〃)=costzcosy9+sinasinp

注：1.公式中兩邊的符號正好相反(一正一負)；

2.式子右邊同名三角函數相乘再加減，且余弦在前正弦在后；

3.式子中a、B是任意的。

4式子的逆用，變形用

請用特殊角分別代替公式中a、B,你能求哪些非特殊角的值呢？(選擇的特殊角可以是30°60°45°等)

(1)cos150=；(2)cos75°=；(3)cos1050=:...

若B固定，分別用兀,[■代替a,你將會發現什么結論呢？

(l)cos(^-+/?)=(2)cos(乃-p)=

(3)cos(^+/?)=(4)cos(3-/7)=

倘若讓你對C(a土酎公式中的a、B自由賦值，你又將發現什么結論呢？

JI

(1)cos(a+—)=___________：(2)cos(a+a)=______________

4

(3)cos[(a+p^—a\=cos()cos()sin()siii()

(4)cos[(a+))一(a一4)]=cos(￡os()sin()sin()

2Ji3j

例題：知sina=—,ae(一,;r),cos/?=一一,夕￡(肛一萬)，求cos(a+/?)的值。

2

解：由cr(=(—t7r),得

由余弦的和角公式得

cos(or+4)=coscrcos/?—sinorsinp

艮3、2f418+3石

注意：注意角夕、夕的象限，也就是符號問題.

45

己知都是銳角》cosa=—,cos(tz+/?)=-不求cos夕的值。

又由萬￡(0,巳)，則a+尸e(0,%)得

sin(a+,)=Jl-COS[a+Z7)

由余弦得第角公式得

cos/7=cos[(a+/7)—a]=cos(a+4)cosa+sin(a+/7)sina

(二)"2」

13513565

(1)cos80°cos20c+sin80nsin20a初步學會逆用公式。

(2)cos130°cos5°-sin130°sin5°

(3)COS2150-sin215°,為二倍龜公式埋下伏筆。

(4)cos800cos350+cos100cos55°,逐步學會把不符合公式結構變形使之符合。

(5)(2004全國高考題)沒巳〕，若cosa=3,則J5cos(a+X]=________利月高考

k2J5\4J

題的引用讓學生串連三角函數的相關知識。

(1).-(2).--(3).—(4).—(5).--

22225

3

知識網建構：

平面內兩點間的距離公式

~~zzL

c.

|一UB任怠標—（|P）

【小結】賦值

1、牢記公式的求cosl50等逆誘導公式及其它、結構特點的，常通過誘導公式變形使之符合。

2、強調公式中a、B的任意性，是本節內容的主線，它賦予了公式的強大生命力。

注：逆用公式是學生認識和掌握公式的重要標志。通過步步加深的練習，加強學生對公式的理解和應用，引導學

生積極參與思維，培系學生觀察，比較等思維能力，同時滲透了一種化歸思想。

【作業】

【教學課題】兩角和與差的正弦公式

【教學目的】

4

1、通過兩角和與差的正弦公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明

2、通過本節學習，使學生掌握尋找數學規律的方法，提高學生的現哀分析能力，培養學生的應用意識，提

高學生的數學素質

【教學重點】兩角和與差的正弦公式及其推導

【教學難點】靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明

【教學過程】

引導學生觀察cos(a-B)與cos(a+。)、sin(a-B)的內在聯系，進行由舊知推出新知的轉化過程，從而引出

口”酎、S(o*B),o本節課我們共同際究公式的推導及其應用.

引入新課

首先回顧一下兩角和與差的余弦公式：

8s(a+/7)=cosacos夕一sinasin夕；cos(a-/?)=cosacos/？+sinasin[3.

則：

sin(a+/?)===sinacosp+cosasin〃.

sin(tz-/7)=:

例1、利用和(差)角公式計算下列各式的值:

⑴、sin72cos42-cos72sin42：

(2)、cos20cos70-sin20sin70；.

變式訓練：求sin75°,tan105°的值.

例2、已知sina=-3,a是第四象限角，求sin(X-a,cos|—+a,tan|a--的值.

5UJV4Jk4；

變式訓練：

1.設a￡(0,工)，若sina二一，則2sin(a+X)等于()

254

717

A.-B.-C.-D.4

552

2.已知sina=—,ae(一,n),cosB=--,B￡(n,—).求sin(a-0),cos(a+0),tan(a+3).

3242

例3、化簡41cosx->/6sinx

變式訓練：化簡：(1)V3sinx+cosx;

(2)A^2(sinx-cosx).

5

I、sin70cos370-sing30sin37。的值為()

11

VT3⑻VT3

--2-2-

3、若sin2xsin3x=cos2xcos3x,則x的值可以是()

(A)上⑻%⑹|(D)J

10

4、若cos8=，,ew(紅,2乃l貝Usin0+—.

5<2)\3J

6、cos(a+⑶cosp+sin(6z+Q)sinp=.

【小結】

1、牢記公式的結構特點，學會逆用公式。不符合公式結構特點的，常通過誘導公式變形使之符合。

2、強調公式中a、。的任意性，是本節內容的主線，它賦予了公式的強大生命力。

注：逆用公式是學生認識和掌握公式的重要標志。通過步步加深的練習，加強學生對公式的理解和應用，引導學

生積極參與思維，培養學生觀察，比較等思維能力，同時滲透了一種化歸思想。

【作業】

【教后感】

【教學課題】二倍角公式

【教學目的】1?掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；

2.能用上述公式進行簡單的求值、化簡、恒等證明.

【教學重點】1.二倍角公式的推導；

2.二倍痢公式的簡單應用.

【教學難點】理解倍角公式，用單南的三角函數表示二倍角的三角函數.

【教學過程】

一、復習引入：

復習兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

sin(a+p)=sinacos/7+cosasin/3,{awR,0wR)(Sa+//)

6

cosQ+Q）=cosacos￡-sinasin/?.（aeR./3eR）（C^p）

二、講解新課：

二倍角公式的推導

在公式（S.+.），（C.+。）中，當。二"時，得到相應的一組公式:

sin2<7=2sin6zcos<7：（S2a）

22

cos2a=cosa-sinax（C2a）

因為sin2Q+cos2o=l,所以公式（C2a）可以變形為

cos2a=2cos2a-1或cos2a=l-2sin2a（%）

公式（S2J,（。2〃），（C））統稱為二倍角的三角函數公式，簡稱為二倍角公式.

探究：（1）二倍角公式的作用在于用單角的三角函數來表達二倍角的三角函數，它適用于二倍角與單角

的三角函數之間的互化問題.

act3a

：2）二倍角公式為僅限于%是a的二倍的形式，其它如他是勿的兩倍，巴是巴的兩倍，前是手的

242

兩倍，巳是2?的兩倍等，所有這些都可以應用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含義，即當二二2時，

36P

a就是夕的二倍角.凡是符合二倍角關系的就可以應用二倍角公式.尤其是“倍角”的意義是相對的.

：3）二倍角公式是從兩角和的三角函數公式中，取兩角相等時推導出，記憶時可聯想相應角的公式.

、1+cos2a

cos~a=-----------,si/aJ—‘os2a這兩個形式今后常用.

22

三、講解范例：

例1不查表.求下列各式的值

2萬?2%

(1)sin15cos15°；(2)cos——sin—

88

(3)l-2sin275°.

解：(1)sin15cosl5=—sin3()=-；

24

24?271V2

)cos----sin—=cos—=——;

8842

(3l-2sin275°=cosl50

2

例2不查表.求下列各式的值

7

,..5/r5冗、/.5萬5萬、a

(1)(zsin——+cos——)(sm----cos—)(2)cos4--sin

1212121222

(3)1+2cos20-cos20

s/,、/?5%5冗、,?5乃5萬、?，5兀25n5K73

解：(1)(sin—+cos—)(sin---cos—)=sin---cos—=-cos—=一

12121212121262

，八4a.〈a2a.2a、，2a.2a、

(2)cos---sin—=(zcos—4-sin--)(cos^----sm—)=cosa

222222

(3)1+2cos29-cos2G=1+2cos20-2cos20+1=2

例3若tan。=3,求sin29-cos20的值.

3“2sincos^+sin2^-cos202tan<9+tan2^-17

解：sin29-cos20=--------；-------；--------=------------：-----=一

sin“e+cos-61+tan-05

例4已知sina=—,ae(―,K),求sin2a,cos2a,tan2a的值.

132

解：Vsina=—,aG(―,7i):.cosa=-71-sin2a=--

13213

120

**.sin2a=2sinacosa=-----

169

c1r?2119c120

cos2a=1-2sina=---tan2a=-----

169119

四、練習

(公式鞏固性練習)求值：

1.sin22°30,cos22°30,=—sin45'-——2.2cos2--1=cos----

24842

c.，兀2兀兀6

3.sin"——cos'—=-cos—=----

8842

加7T7T*,717L兀—.兀7T1

4.8sin—cos—cos—cos—=4sin—cos—cos—=2sm—cos—=sian—=-

48482412242412121262

五、小結

要理解并掌握二倍角公式以及推導，能正確運用二倍角的正弦、余弦公式進行簡單三角函數式的化簡、求值

與恒等式證明.

二倍角公式是由和角公式由一般化歸為特殊而來的，要注重這種基本數學思想方法，學會怎樣去發現數學規

律.

六、課后作業：

七、板書設計（略）

八、課后記:

8

【教學課題】正弦型函數的圖像和性質

【教學目的】1.掌握正弦型函數的圖像變換

2.根據正弦型函數圖像圖到出函數的性質.

【教學重點】1.圖像的變換

2函數的性質

【教學難點】圖像的變換

【教學過程】

1.A似8的物理意義

當>=Asin(0x+e),xw[0,+oo)(其中A>0,6y>())表示一個振動量時，A表示這個量振動時離開

平衡位置的最大距離，通常稱為這個振動的振幅，往復振動一次需要的時間丁二—稱為這個振動的周期，單位

C1)

時間內往復振動的次數f='=4"，稱為振動的頻率。3匯+夕稱為相位，X=0時的相位夕稱為初相。

T24

2.圖象的變換

例：畫出函數y=3sin(2x+2)的簡圖。

3

解：函數的周期為7=空=乃，先畫出它在長度為一個周期內的閉區間上的簡圖，再左右拓展即可，先用

2

五點法畫圖：

冗717117154

X

~~612T~VLT

cn713兀

2x+—0冗2兀

32~2

3sin(2x+—)030-30

3

函數），=3sin（2x+工）的圖象可看作由下面的方法得到的：

3

①下二國!!1圖象上所有點向左平移（個單位，得到），=sin（x+?）的圖象上；②再把圖象上所點的橫坐標

縮短到原來的;，得到），=sin（2x+?）的圖象：③再把圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍，得到

），=3sin（2x+。）的圖象。

一般地，函數），=Asin（公K+o）,XGR的圖象（其中4>0,/>0）的圖象，可看作由下面的方法得到：

①把正弦曲線上所有點向左（當°>0時）或向右（當O<（）時）平吁移動|0|個單位長度：

②再把所得各點橫坐標縮短（當時）或伸長（當時）到原來的,倍（縱坐標不變）：

（0

③再把所得各點的縱坐標伸長（當4〉1時）或縮短（當0<4<1時）到原來的A倍（橫坐標不變）。

即先作相位變換，再作周期變換，再作振幅變換。

問題；以上步驟能否變換次序？

Vj=3sin（2x+-）=3sin2（x+^）,所以，函數y=3sin（2x+的圖象還可看作由下面的方法得至小勺：

363

①y=sinx圖象上所點的橫坐標縮短到原來的;，得到函數），=sin2x的圖象：

TF7T

②再把函數），=sin2x圖象上所有點向左平移上個單位，得到函數），=$析2。+上）的圖象：

66

③再把函數），=sin2（x+￡）的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍，得到產3sin2（x+U）的圖象。

66

3.實際應用

例1：已知函數），=44（1（。匯+夕）（A>（）,3>0）一個周期內的函數圖象，如下圖

所示，求函數的一個解析式。

解：由圖知：函數最大值為最小值為-6,

又???A>0,:.A=6

,.T5乃717t

由圖知一二一-----=-

2632

2力

：.T=n=—，：.（0=2,

（0

又?/（工+馮="，

23612

???圖象上最高點為（普，、/5）,

10

sfl=\/5sin(2x+(Py?即sin(^^+0)=1,可取0=—

所以，函數的一個解析式為y=Gsin(2x-與).

2.由已知條件求解析式

例2：已知函數y=Acos0yx+e)(A>0,。>0,0<8<萬)的最小值是一5,圖象上相鄰兩個最

高點與最低點的橫坐標相差工，且圖象經過點(0,-』)，求這個函數的解析式。

42

解：由題意：A=5,

Tn7i2TT

—=—,=—=---,

242。

a)=4,?,?),=5cos(4x+°),

又???圖象經過點(0,-,/.一一=5cos0,即cos0=一,，

222

又?:0<(p<兀,(p=—,

所以，函數的解析式為)，=5cos(4x+半).

例3：已知函數y=Asin(<v/+e)+4(A>0,co>0,101c乃)的最大值為2夜,

^).求這個函數的解析式C

最小值為一J5,周期為夸.且圖象過點(0,—二

r[4_W2

A+B=2A/22

解：〈L=<L，

-A+B=-sl2V2

/n)=—

2

2乃24.

X?/=—=—>..3=3,

(D3

.3近—、工近

..y=-^―sin(3x+e)+-^-,

又???圖象過點(0,-亨)，

.夜3拒.x/2..1

..-------=-------Sin69+——,..Sin69=——,

4222

又J°=一工或夕=一旦，

66

所以，函數解析式為y=羋sin(3x-令+g或產今2.八5%x/2

-sin(3x------)+——.

62

五、小結；

1.函數y=Asin(ox+0)與)，=sinx的圖象間的關系。

2.由已知函數圖象求解析式：

3.由己知條件求解析式。

六、作業:

11

(1)函數)，=*in(2x+9的圖象可由函數)，=sinx的圖象經過怎樣的變換得到？

(2)函數y=3cos(2x+X)的圖象可由函數y=cosx的圖象經過怎樣的變換得到？

4

(3)將函數y=sin%的圖象上所有的點得到y=sin(x-])的圖象，再將

y=sin(1j-y)的圖象上的所有點可得到函數y=；sin(；x—()的圖象。

(4)由函數y=2sin(3x+^)的圖象怎樣得到)，=sinx的圖象

2

(5)已知函數y—Asin(。人?十0)(A>0,>0,|0|<不)的周期是半，最小值是-2,且圖象過點(羊,0),

求這個函數的解析式：

(6)函數)，=Asin(3x+e)(A>0,<w>0,|^|<|)的最小值是一2,其圖象相鄰的最高點和最低點的橫

坐標的差是3"，又圖象經過點(0,1),求這個函數的解析式。

(7)如圖為函數_y=Asin("x+?)(|^|<|,xwR)的圖象中的一段，根據圖象求它的解析式。

【教學課題】正弦定理

【教學目的】

12

1.掌握正弦定理推導過程：

2.會利用正弦定理證明簡單三角形問題：

3.會利用正弦定理求解簡單斜三角形邊角問題；

【教學重點】：正弦定理證明及應用.

【教學難點】：

1.向量知識在證明正弦定理時的應用，與向量知識的聯系過程:

2.正弦定理在解三角形時應用思路.

【教學方法】啟發引導式

【教學過程】

投影儀、幻燈片三張

第一張：直角三角形邊角關系（記作§5.9.1A）

在次△/比'中，已知8C'=a,AC=b,AB=c,則有

第二張：正弦定理（記作§5.9.1B）

形式1-a=b=」一二2R

sinAsinBsinC

形式2：/一=0一bcca

9-------=-------9-------=-------.

sinAsinBsinBsinCsinCsinA

形式3：a=2A,sinJ,b=2RsinB,c=2危in。

13

I.課題導入

師：在初中，我們己經會解直角三角形.就是說，已會根據直角三角形中已知的邊與角求出未知的邊與角,

而在直角三角形中，有如下的邊角關系.（打出投影片§5.9.1A）

b

sinAsinBsinC

那么，在任意三角形中，這一關系式是否成立呢?這也是我們這一節課將要研究的問題.

n.講授新課

師：對于一L=，一=三這一關系的證明，我們一起來看下面的證法.

sinAsinBsinC

如圖，在△/1比中，已知笈C=a,AC=b,AB=c,作△/8，的外接圓，0

為圓心，連接取并延長交圓于占'，設夕6'=2兄則根據直徑所對的圓周角是直角

以及同弧所對的圓周角相等可以得到：=90°,乙C=4B'

...sinC=sin6'=----

2R

.?.—^―=2R

sinC

同理可得一J=2R,一^一=2R

sinAsinB

sinAsin8sinC

這就是說，對于任意的三角形，上述關系式均成立.因此，我們得到下面的定理.

正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對的正弦的比相等，即

a_b_c

sinAsinBsinC

⑴已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.

這類問題由于兩角已知，故第三角確定，三角形惟解惟?，相疝容易,

⑵己知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.

此類問題變化較多,我們來看屏幕（給出投影片§5.9.10,圖中列出了在△力歐中，己知a、6和4時解

三角形的各種情況，接下來，我們通過例題評析來進?步體會與總結.

例題評析:

［洌1］在△/阿中，己知。=10,4=45°,r=30°,求6（保留兩個有效數字）.

分析：如圖.此題屬于已知兩角和其中一角求對邊的問題,直接應用正弦定理可

求出邊協若求邊6,則需通過三角形內角和為180°,求出角反再利月正弦定理求

出邊b.

解：???4180°-3+0=180°-(45°+30°)=105°,

b_c

sinBsinC

csin131Oxsin1050

/.h=?19

sinCsin30°

評述：（1）此類問題結果為惟一解，學生較易掌握，如果已知兩角和兩角所夾的邊，也是先利用內角和180°

求出第三角，再利用正弦定理.

（2）對于解三角形中的復雜運算可使用計算器，但應注意如下約定：當計算器所示結果為準確數時，或者為

不少于四個有效數字的近似數而需要保留四個有效數字時，一律使用等號；保留的有效數字不少于四個時，使用

約等號.

［洌2］在△4/中，已知a=20,方=28,力=40°,求8（精確到1°）

和。（保留兩個有效數字）.

分析：結合投影片§5.9.1C,此例題屬于。sin力的情形，故有兩解.

這樣在求解之后呢，可以無需作進一步的檢驗，使學生在運用正弦定理求邊、角時，

感到目的很明確，同時體會分析問題的重要性.

???sinQX8sin4。。

解:=0.8999,

，區=64°,員=116°

當笈=64°時，6=180°-(笈+刈=180°-(64°+40°)=76°,

,rtsinC.20sin760__

..ci=--------L=------------?30.

sinAsin40°

當氏=116°時，6=180°-(員+=180°-(1160+40°)=24°,

sinC-,20sin24°

??G=------------=----------------?13.

sinAsin40°

評述：通過此例題可使學生明確，利用正弦定理所求角有兩種可能，但是都不符合題意，可以通過分析獲得,

這就要求學生熟悉己知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形.當然對于不符題意的解的取舍，也可通過

三角形的有關性質來判斷，對于這一點，我們通過下面的例題來體會.

［例3］在△/阿中，已知&=60,5=50,4=38°,求6（精確到1°）和。（保留兩個有效數字）.

分析：結合投影片§5.9.1C,此例題屬于這一類情形，有一解，也

可根據三角形內大角對大邊，小角對小邊這一性質來排除8為鈍角的情形.

解：已知“〈小所以4〈力，因此“也是銳角.

50sin38°

=0.5131,

a60

.\Z?=3i°

：.C=180°-(1+5)=180°-(38°+31°)=111°

.asmC60sin111°

..c=--------=--------------?91.

sinAsin38°

評述：同樣是已知兩邊和一邊對角，但可能出現不同的結果，應強調學生注意解題的靈活性.對于例3,如

果沒有考慮到角/，所受限制而求出角//的兩個解，進而求出邊c兩解，也可利用三角形內兩邊之和大于第三邊,

兩邊之差小于第三邊這一性質進而驗證而達到排除不符題意的解.

［洌4］在△力%中，已知a=28,￡=20,A=l20°,求歡精確到1°）和c（保留

兩個有效數字）.

分析：結合投影片§5.9.1C,此例題屬于月為鈍角且的情形，有一解.也

可應用正弦定理求解角4后，利用三角形內角和為180"排除角3為鈍角情形.

..bsinA20sinl20°

解:.sin2?=-----------=0.6187

28

Z.fii=38°,氏=142°(舍)

15

...C=180°-(1+4)=22°

.tzsinC20sin22°

..c=--------=-------------?8.7

sinAsin120°

評述：(1)此題要求學生注意考慮問題的全而性.對于角B為鈍角的排除也可以結合三角形小角對小邊性質

而得到.

(2)綜合上述例題要求學生自我總結正弦定理的適用范圍，己知兩角一邊或兩邊與其中一邊的對角.

(3)對于已知兩邊夾角這一類型，符通過卜一節所學習的余弦定理求解.

師：為鞏固本節我們所學內容，接下來進行課堂練習.

HL課堂練習

1.在比中(結果保留兩個有效數字).

(1)已知1=45"，4=60”,求6：

(2)已知8=12,1=30°,B=120°,求a

解：(1)???￡180°-(力+8)=180°一(45°+60°)=75°

b_c

sinBsinC

,csinBV3sin60°

sinCsin75°

sinAsinB

.Z?sinA12sin30°,

..a=-----------=----------------?0.9A

sin4sin120°

評述：此題為正弦定理的直接應用，意在使學生熟悉正弦定理的內容，可以讓數學成績較弱的學生進行板演,

以增強其自信心.

2.根據下列條件解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1)：

(1)6=11,a=20,Q30°：

(2)a=28,6=20,4=45°:

(3)c=54,6=39,C=U5°；

(4)a=20,。=28,1=120°.

解：⑴???」一b

sinAsinB

...flsinB20sin3(r

..sin/--------------==()9091

b11

???4=65°,4=115°

當4=65°時，G=180°-(〃+4)=180°一(30°+65°)=85°

.c=^inG=llsin8￡a22

sin8sin30°

當4=115°時，6=180°-(8+4)=180°-(30°+115°)=35°

sinBsin30°

.人人sinA20sin45°

(2).sin^=-----------=0.5051

28

，A=30°,氏=150°

由于月+艮=45°+150°>180°,故員=150°應舍去(或者由6〈力知4V4故〃應為銳角)

.\t?=180o-(45°+30°)=105°

.asinC28sinl()5°

..c=--------=--------------u3o8o

sinAsin45°

..bc

⑶丁-----=------

sinBsinC

,.cBs'mC39-sin115°

..sinZF=-------=------------

c54

.,.S=41°,員=139°

由于力Vc故8VC.?.員=139°應舍去

，8=41°,J=180°-(41°4-115°)=24°

sinBsin41°

⑷“業=2"“12>1

20

???本題無解

評述：此練習目的是使學生進?步熟悉正弦定理，同時加強解斜三角形的能力、既要考慮到已知角的正弦值

求角的兩種可能，又要結合題目的具體恃況進行正確取舍.

【小結】

通過本節學習，我們一起研究了正弦定理的證明方法，同時了解了向量的工具性作用，并且明確了利月正弦

定理所能解決的兩類有關三角形問題：已知兩角一邊：已知兩邊和其中一邊的對角.

【作業】

【教學課題】余弦定理

【教學目的】

1、通過實踐與探究，會利用數量積證明余弦定理，提高數學語言的表達能力，體會向量工具在解決三角形

的度量問題時的作用

2、會從方程的角度理解余弦定理的作用及適用范圍，并通過實踐演算掌握運用余強定理解決兩類基本的解

三角形問題

【教學重點兒余弦定理的發現、證明過程及其基本應用

【教學難點兒理解余強定理的作用及運用范圍。

【教學過程】

復習提問

引入新課

一、溫故引新樣例激疑

1,正弦定理是三角賬的邊與角的等量關系。正弦定理的內容是什么？你能用文字語言、數學語言敘述嗎？

你能用哪些方法證明呢？

正弦定理：在一個三角形中各邊和它的對邊的正弦比相等，即：-^—=—^-=—^=2/?,其中2R為

sinAsinBsinC

三角形外接圓的直徑。

說明：正弦定理說明同一個三角形中，邊與它所對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正盤2R,

使a=2RsinA,b=27?sinB,c=27?sinC。

2,運用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？

由‘一=〃一,」一=—^,可以解決''已知兩角及其一邊可以

求其他

sinAsinBsinBsinCC

邊。”“已知兩邊及其一邊的對角可以求其他角?！钡冉馊切螁栴}。

/\求Q即

3,思考：如圖，在AAAC中，已知AA8C=c,AC=/?,N8AC=A,

Z

BC。

本題是“已知三角形的兩邊及它們的夾角，求第三邊。”的解三角形從

c的問

題。本題能否用正弦定理求解？

困堆：因為角3、C未知，較難求4。

二、類比探究理性演繹

（-）類比探究

當一個三角形的兩邊和它們的夾角確定后，那么第三邊也是確定不變的值,也就是說角A的對邊隨著角A的

CACAC

當〃、c一定，A變化時，?？梢哉J為是A的函數，4e（0,乃）。

當八=巳時，a2=b2+c2（勾股定理），為方便起見，考慮，7?關于A的的敷，記作/=/（?,即

2

-圖=從+已

當A變化時，/怎樣變化？考慮兩種極端情況:

18

當A=/r時，則a2=(b+c)2=。2+/+2bc;

當4=0時，8'k/2=(/?-c)2=/?2+c2-2Z?c；

我們比較三種情形的異、同點：

當A=0時，則a?=b2+c2-2bc=b2+c2-2bc\,；

當人=工時，a2=b2+c2=b24-c1-2bc-0.

2

當A="時，則a2=(b+c)2=b2-t-c2+2bc=b2+c2-2bc(-\).

相同點：都含有〃+c、2；

不同點：一勸c的系數不同；

猜想：-乃(、的系數1、0、-1與A=0、巳、乃之間存在什么對應關系啖？

2

a2=b1+c2-2/?ccosA。

那么就得到了當角4為三個特殊角時的公式：a2=b2+c2-2bcccsA,這個公式是不是滿足任意三角形

呢？憑感覺上述公式應該滿足任意三角形，但是我們應該給出嚴格的證明。

(二)理性演繹

同學們來考慮，證明恒等式通常采用什么思考方法？OccosA這樣的結構我們在什么地方遇到過？

證明：b2+c2-2/?ccosA=|AC'|2+1^^|2-2|y4C'||A/y|cosA