電子技術(shù)基礎(chǔ)與技能5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)1：實(shí)踐導(dǎo)入“邏輯”是指事物的因果規(guī)律。通常把反映“原因（條件）”和“結(jié)果”之間的關(guān)系稱為邏輯關(guān)系，把“原因”稱為輸入變量（邏輯自變量），“結(jié)果”稱為輸出變量（邏輯因變量）。邏輯函數(shù)表示的不是量與量之間的數(shù)量關(guān)系而是狀態(tài)與狀態(tài)之間的邏輯關(guān)系。在邏輯函數(shù)中，用字母表示的輸入變量和輸出變量的邏輯狀態(tài)都只有1和0兩種取值，分別稱為邏輯1和邏輯0，它們表示的是事物的兩種對(duì)立狀態(tài)，如有與無(wú)、高與低、真與假、是與非等。根據(jù)1、0代表的邏輯狀態(tài)含義不同，有正、負(fù)邏輯之分。比如，認(rèn)定1表示有、高、真、是、事件發(fā)生等，0表示無(wú)、低、假、非、事件不發(fā)生等，稱正邏輯；反之則稱負(fù)邏輯。如無(wú)特殊說(shuō)明，邏輯分析均采用正邏輯體制。5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算一、基本邏輯運(yùn)算最基本的邏輯是“與邏輯”、“或邏輯”、“非邏輯”，對(duì)應(yīng)的最基本邏輯運(yùn)算為“與運(yùn)算”、“或運(yùn)算”、“非運(yùn)算”，通常簡(jiǎn)稱“與”、“或”、“非”。1.與運(yùn)算當(dāng)決定某一事件的所有條件都具備時(shí)，該事件才會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為與邏輯關(guān)系。圖5-3-1所示電路中，當(dāng)開(kāi)關(guān)S1與S2均為閉合狀態(tài)時(shí)，燈L才會(huì)亮。這種“燈亮”與多個(gè)“開(kāi)關(guān)閉合”之間的關(guān)系，就是“與”邏輯關(guān)系。圖5-3-1與邏輯實(shí)驗(yàn)電路5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算依據(jù)上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程可列出與邏輯關(guān)系表，如表5-3-1所示。若作如下邏輯設(shè)定：開(kāi)關(guān)S1用邏輯變量A表示，開(kāi)關(guān)S2用邏輯變量B表示，燈L用邏輯變量Y表示。且開(kāi)關(guān)接通狀態(tài)表示為“1”，斷開(kāi)狀態(tài)表示為“0”；燈亮表示為“1”，燈滅表示為“0”。那么，表5-3-1可改寫(xiě)為表5-3-2。表5-3-2表明的是與邏輯函數(shù)輸入變量和輸出變量的邏輯對(duì)應(yīng)關(guān)系。把這種表明邏輯函數(shù)輸入變量和輸出變量邏輯對(duì)應(yīng)關(guān)系的表稱為邏輯函數(shù)真值表，簡(jiǎn)稱真值表。真值表應(yīng)包括全部可能的輸入變量取值組合及其對(duì)應(yīng)的輸出變量取值，所以，如果有n個(gè)輸入變量，則真值表應(yīng)有2n個(gè)行。表5-3-2是兩輸入變量與邏輯的真值表。輸入輸出開(kāi)關(guān)S1開(kāi)關(guān)S2燈L斷斷滅斷通滅通斷滅通通亮表5-3-1與邏輯關(guān)系表輸入輸出ABY000010100111表5-3-2與邏輯函數(shù)真值表5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算真值表是邏輯函數(shù)的一種表示形式。邏輯函數(shù)還可用邏輯函數(shù)表達(dá)式（簡(jiǎn)稱邏輯表達(dá)式）表示。兩輸入變量與邏輯的邏輯函數(shù)表達(dá)式為Y＝AB（或Y＝A·B，Y＝A×B）讀作“Y等于A與B”或“Y等于A乘B”（通常又把邏輯與稱為邏輯乘）。邏輯與的運(yùn)算規(guī)則為：0×0＝0

0×1＝0

1×0＝0

1×1＝1與邏輯的邏輯功能可表述為：“有0出0，全1出1”。5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算2.或運(yùn)算在決定某一事件的幾個(gè)條件中，只要有一個(gè)或者多個(gè)條件具備，該事件就會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為“或”邏輯關(guān)系。圖5-3-2所示電路中，當(dāng)開(kāi)關(guān)S1或S2為閉合狀態(tài)時(shí)，燈L就會(huì)亮。這種燈“亮”與多個(gè)開(kāi)關(guān)“閉合”之間的關(guān)系，就是“或”邏輯關(guān)系。圖5-3-2或邏輯實(shí)驗(yàn)電路5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算依據(jù)上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程可列出或邏輯關(guān)系表，如表5-3-3所示。通過(guò)邏輯設(shè)定，可得或邏輯函數(shù)的真值表，如表5-3-4所示。兩輸入變量或邏輯的邏輯函數(shù)表達(dá)式為Y＝A＋B讀作“Y等于A或B”或“Y等于A加B”（通常又把邏輯或稱為邏輯加）。邏輯或的運(yùn)算規(guī)則為0＋0＝0

0＋1＝1

1＋0＝1

1＋1＝1或邏輯的邏輯功能可表述為：“全0出0，有1出1”。輸入輸出開(kāi)關(guān)S1開(kāi)關(guān)S2燈L斷斷滅斷通亮通斷亮通通亮表5-3-3或邏輯關(guān)系表輸入輸出ABY000011101111表5-3-4或邏輯函數(shù)真值表5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算3.非運(yùn)算當(dāng)決定某一事件的條件具備時(shí)，該事件就不會(huì)發(fā)生；而條件不具備時(shí)，該事件就會(huì)發(fā)生。這樣的因果關(guān)系稱為非邏輯關(guān)系。圖5-3-3所示電路中，當(dāng)開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)時(shí)燈泡亮，開(kāi)關(guān)S閉合時(shí)燈泡不亮。這種燈“亮”與開(kāi)關(guān)“閉合”之間的關(guān)系，就是“非”邏輯關(guān)系。圖5-3-3非邏輯實(shí)驗(yàn)電路5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算依據(jù)上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程可列出非邏輯關(guān)系表，如表5-3-5所示。通過(guò)邏輯設(shè)定，可得非邏輯函數(shù)的真值表，如表5-3-6所示。輸入輸出開(kāi)關(guān)S燈L斷亮通滅表5-3-5非邏輯關(guān)系表輸入輸出AY0110表5-3-6非邏輯函數(shù)真值表非邏輯的邏輯函數(shù)表達(dá)式為讀作“Y等于A非”。邏輯非的運(yùn)算規(guī)則為

非邏輯的邏輯功能可表述為：“入0出1，入1出0”。5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算二、復(fù)合邏輯運(yùn)算實(shí)際的邏輯關(guān)系往往比基本的與、或、非邏輯關(guān)系復(fù)雜，但它們都可以用基本邏輯關(guān)系的組合來(lái)實(shí)現(xiàn)。把由基本邏輯與、或、非組合而成的邏輯叫復(fù)合邏輯，對(duì)應(yīng)的也就有復(fù)合邏輯運(yùn)算。這就如同算術(shù)中，加、減、乘、除是基本運(yùn)算，但實(shí)際上，我們常常需要進(jìn)行加、減、乘、除四則混合運(yùn)算一樣。常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算關(guān)系，有與非、或非、與或非、異或等。在復(fù)合邏輯運(yùn)算中，運(yùn)算的次序是：有括號(hào)時(shí)，先括號(hào)內(nèi)，再括號(hào)外；非號(hào)下有運(yùn)算時(shí)，先非號(hào)下的運(yùn)算，再非運(yùn)算；同級(jí)運(yùn)算時(shí)先非，再與，再或。5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算1．與非運(yùn)算輸入變量先與再非的邏輯關(guān)系稱為與非邏輯關(guān)系。兩輸入變量與非邏輯的邏輯函數(shù)表達(dá)式為讀作“Y等于A與B再非”。表5-3-7是兩輸入變量與非邏輯真值表。與非邏輯功能可表述為：“有0出1，全1出0”。AB001011101110表5-3-7與非邏輯函數(shù)真值表5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算2．或非運(yùn)算輸入變量先或再非的邏輯關(guān)系稱為或非邏輯關(guān)系。兩輸入變量或非邏輯函數(shù)表達(dá)式為讀作“Y等于A或B再非”。表5-3-8是兩輸入變量或非邏輯函數(shù)真值表。或非邏輯功能可表述為：“有1出0，全0出1”。AB001010100110表5-3-8或非邏輯函數(shù)真值表5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算3．與或非運(yùn)算輸入變量分組先與，然后各組再或，最后再非的邏輯關(guān)系稱為與或非邏輯關(guān)系。四輸入變量與或非邏輯的邏輯函數(shù)表達(dá)式為讀作“Y等于A與B或C與D再非”。表5-3-9是四輸入變量與或非邏輯函數(shù)真值表。與或非邏輯功能可表述為：“當(dāng)輸入變量中，至少有一組全為1時(shí)，輸出為0；否則，輸出為1”。5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算表5-3-9與或非邏輯函數(shù)真值表

ABCD000010001100101001100100101011011010111010001100111010110110110001101011100111105.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算4．異或運(yùn)算把判別兩個(gè)輸入變量取值是否不同的邏輯關(guān)系，稱為異或邏輯。異或邏輯的邏輯函數(shù)表達(dá)式為或讀作“Y等于A異或B”。表5-3-10是異或邏輯函數(shù)真值表，其邏輯功能可表述為：“同出0，異出1”。AB000011101110表5-3-10異或邏輯函數(shù)真值表5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)2：邏輯運(yùn)算【經(jīng)典例題】5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)3：邏輯代數(shù)的基本定律【實(shí)踐導(dǎo)入】邏輯代數(shù)是一種用于邏輯分析的數(shù)學(xué)工具，又稱布爾代數(shù)。它是分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。邏輯代數(shù)有一些基本的運(yùn)算定律及規(guī)則，應(yīng)用這些定律和規(guī)則可以把一些復(fù)雜的邏輯函數(shù)式簡(jiǎn)化。這就如同對(duì)普通代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，需要掌握普通代數(shù)的基本運(yùn)算定律及規(guī)則一樣。5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)3：邏輯代數(shù)的基本定律表5-3-11所列是邏輯代數(shù)的一些常用公式及對(duì)偶公式。邏輯代數(shù)常量運(yùn)算的基本公式，前面已作介紹，這里為了對(duì)比，也一并列出了。

表5-3-11邏輯代數(shù)的常用公式及對(duì)偶公式表5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)3：邏輯代數(shù)的基本定律表5-3-11中各公式是根據(jù)對(duì)偶規(guī)則排列的。所謂對(duì)偶規(guī)則是指，對(duì)于一個(gè)邏輯表達(dá)式，若把式中的“·

”變成“＋”、“＋”變成“·

”、“0”變成“1”、“1”變成“0”，則可得到一個(gè)新的邏輯表達(dá)式，這就是該表達(dá)式的對(duì)偶式。如果一個(gè)邏輯表達(dá)式成立，則其對(duì)偶式一定成立。利用真值表，可對(duì)表5-3-11中的有關(guān)公式加以驗(yàn)證。5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)3：邏輯函數(shù)表達(dá)式及其化簡(jiǎn)一、邏輯函數(shù)的表達(dá)形式1．邏輯函數(shù)表達(dá)式的幾種形式根據(jù)實(shí)際需求，可利用邏輯函數(shù)的基本定律，進(jìn)行恒等變換使邏輯函數(shù)表達(dá)式表示為不同形式。如上列各表達(dá)式中，與-或式是比較常見(jiàn)的一種，它也比較容易與其他形式的表達(dá)式互換。此外，通過(guò)后面的學(xué)習(xí)，我們將知道，由于與非門集成電路的大量使用，與非-與非式的實(shí)用價(jià)值也較大。5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)3：邏輯函數(shù)表達(dá)式及其化簡(jiǎn)2．邏輯函數(shù)表達(dá)式與真值表之間的轉(zhuǎn)換

在對(duì)實(shí)際邏輯關(guān)系進(jìn)行分析時(shí)，常需在邏輯函數(shù)表達(dá)式與真值表之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。1）由邏輯函數(shù)表達(dá)式求真值表

將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯函數(shù)表達(dá)式求出函數(shù)值，列成表，即得到真值表。前面，我們?cè)谶M(jìn)行基本邏輯和常用組合邏輯關(guān)系分析時(shí)，就用了這一方法。2）由真值表寫(xiě)邏輯函數(shù)表達(dá)式5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)3：邏輯函數(shù)表達(dá)式及其化簡(jiǎn)二、邏輯函數(shù)式的化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的目的是使其表達(dá)式更簡(jiǎn)單，一般是最簡(jiǎn)與-或式。最簡(jiǎn)與-或式的標(biāo)準(zhǔn)是：第一，乘積項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少；第二，在保證乘積項(xiàng)最少的前提下，每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量個(gè)數(shù)最少。常用的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法有公式法和卡諾圖法兩種，這里只介紹公式法。運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和一些恒等式化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法，稱為公式法化簡(jiǎn)。公式法化簡(jiǎn)常采用以下幾種具體方法。1．吸收法利用公式A＋AB＝A，消去多余的項(xiàng)。如

5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)3：邏輯函數(shù)表達(dá)式及其化簡(jiǎn)5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)3：邏輯函數(shù)表達(dá)式及其化簡(jiǎn)在實(shí)際化簡(jiǎn)過(guò)程中，有時(shí)要靈活使用上述方法和相關(guān)公式。這需要我們多加練習(xí)，掌握一定的技巧，才能快速便捷地得到最簡(jiǎn)的與-或表達(dá)式。5.3邏輯代數(shù)與函數(shù)教學(xué)活動(dòng)3：邏輯函數(shù)表達(dá)式及其化簡(jiǎn)【實(shí)踐應(yīng)用】

邏輯函數(shù)的功能，在數(shù)字電路中是通過(guò)各種邏輯門電路按照一定方式連接來(lái)實(shí)現(xiàn)的。邏輯函數(shù)表達(dá)式越