矩陣分析試卷一、選擇題（每題5分，共20分）1.設A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，則下列哪個選項一定正確？A.A+B一定有意義B.AB一定有意義C.BA一定有意義D.AB一定有意義2.設A為n階可逆矩陣，則下列哪個選項一定正確？A.A的逆矩陣唯一B.A的轉置矩陣可逆C.A的行列式等于0D.A的秩等于n3.設A為n階矩陣，則下列哪個選項一定正確？A.若A的行列式等于0，則A不可逆B.若A的秩等于n，則A可逆C.若A的特征值全為0，則A不可逆D.若A的跡等于0，則A不可逆4.設A為n階矩陣，λ為A的特征值，則下列哪個選項一定正確？A.λ的個數最多為nB.λ的個數至少為1C.λ的和不等于A的跡D.λ的乘積等于A的行列式二、填空題（每題5分，共20分）1.設A為m×n矩陣，則A的秩不超過_________。2.設A為n階矩陣，則A的特征多項式為_________。3.設A為n階矩陣，λ1,λ2,,λn為A的特征值，則A的跡等于_________。4.設A為n階矩陣，若A可對角化，則A一定有_________個線性無關的特征向量。三、計算題（每題15分，共60分）1.設A為3階矩陣，且A^2=2A+I，其中I為3階單位矩陣。求A的特征值和特征向量。2.設A為4階矩陣，且A^3=2A^2+A，求A的秩。3.設A為n階矩陣，且A^2=0。證明：A不可逆。4.設A為n階矩陣，且A可對角化。證明：A的跡等于其特征值的和。四、證明題（每題20分，共40分）1.設A為n階矩陣，證明：若A可逆，則A的轉置矩陣也可逆，且(A^T)^1=(A^1)^T。2.設A為n階矩陣，證明：若A的特征值全為正數，則A的行列式也為正數。五、應用題（每題20分，共40分）1.在實際應用中，矩陣常用于表示線性變換。設A為n階矩陣，表示一個線性變換，證明：若A可對角化，則存在一組基，使得在該基下，A對應的線性變換為伸縮變換。2.在機器學習中，矩陣分析有著廣泛的應用。設A為n階矩陣，表示一個數據集的協方差矩陣。證明：協方差矩陣的特征值越大，對應的特征向量在數據集的方差中貢獻越大。一、選擇題1.B2.A3.A4.A二、填空題1.m,n2.n3.1+2++n4.n三、計算題1.特征值：1,1,0；特征向量：(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)2.秩：23.證明：由A20，得A(A)0，即A的特征值全為0，故A不可逆。4.證明：由A可對角化，得APDP1，其中D為對角矩陣，其對角線元素為A的特征值。則tr(A)tr(PDP1)tr(D)，即A的跡等于其特征值的和。四、證明題1.證明：由A可逆，得AA1I。兩邊取轉置，得(A1)TATIT，即(AT)(A1)TIT。故AT也可逆，且(AT)1(A1)T。2.證明：由A的特征值全為正數，得A可對角化，即APDP1，其中D為對角矩陣，其對角線元素為A的特征值。則det(A)det(PDP1)det(D)，即A的行列式為A的特征值的乘積，故也為正數。五、應用題1.證明：由A可對角化，得APDP1，其中D為對角矩陣，其對角線元素為A的特征值。則存在一組基，使得在該基下，A對應的線性變換為伸縮變換。2.證明：協方差矩陣的特征值越大，對應的特征向量在數據集的方差中貢獻越大。1.矩陣的秩：矩陣的秩表示矩陣的列向量（或行向量）組中線性無關的最大個數。2.矩陣的特征值與特征向量：矩陣的特征值表示矩陣在某一方向上的伸縮因子，特征向量表示矩陣在該方向上的方向向量。3.矩陣的對角化：矩陣對角化是指將矩陣表示為對角矩陣的形式，對角矩陣的對角線元素為矩陣的特征值。