專題07整式的加減

閱讀與思考

整式的加減涉及許多概念，準確地把握這些概念并注意它們的區別與聯系是解決有關問

題的基礎，概括起來就是要掌握好以下兩點：

1．透徹理解“三式”和“四數”的概念

“三式”指的是單項式、多項式、整式；“四數”指的是單項式的系數、次數和多項式

的系數、次數．

2．熟練掌握“兩種排列”和“三個法則”

“兩種排列”指的是把一個多項式按某一字母的升冪或降冪排列，“三個法則”指的是

去括號法則、添括號法則及合并同類項法則．

物以類聚，人以群分．我們把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次數也相同的

單項式作為一類——稱為同類項，一個多項式中的同類項可以合聚在一起——稱為合并同類

項．這樣，使得整式大為簡化，整式的加減實質就是合并同類項．

例題與求解

[例1]如果代數式ax5＋bx3＋cx－5，當x＝－2時的值是7，那么當x＝7時，該式的

值是______．

(江蘇省競賽試題)

解題思路：解題的困難在于變元個數多，將x兩個值代入，從尋找兩個多項式的聯系入

手．

[例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代數式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，對于

任意a，b對應的代數式的值最大的是()

A．a＋bB．a－bC．a＋b2D．a2＋b

(“希望杯”初賽試題)

解題思路：采用賦值法，令a＝1，b＝－1，計算四個式子的值，從中找出值最大的

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式子．

[例3]已知x＝2，y＝－4時，代數式ax2＋1by＋5＝1997，求當x＝－4，y＝－1時，

22

代數式3ax－24by3＋4986的值．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

解題思路：一般的想法是先求出a，b的值，這是不可能的．解本例的關鍵是：將給定

的x，y值分別代入對應的代數式，尋找已知與待求式子之間的聯系，整體代入求值．

[例4]已知關于x的二次多項式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．當x＝2時的值為－

17，求當x＝－2時，該多項式的值．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

解題思路：解題的突破口是根據多項式降冪排列、多項式次數等概念挖掘隱含的關于a，

b的等式．

[例5]一條公交線路上起點到終點有8個站．一輛公交車從起點站出發，前6站上車

100人，前7站下車80人．問從前6站上車而在終點下車的乘客有多少人？

(“希望杯”初賽試題)

解題思路：前7站上車總人數等于第2站到第8站下車總人數．本例目的是求第8站下

車人數比第7站上車人數多出的數量．

[例6]能否找到7個整數，使得這7個整數沿圓周排列成一圈后，任3個相鄰數的和

等于29？如果，請舉出一例；如果不能，請簡述理由．

(“華羅庚金杯”少年邀請賽試題)

解題思路：假設存在7個整數a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排成一圈后，滿足題意，由

此展開推理，若推出矛盾，則假設不成立．

能力訓練

A級

1．若－4xm－2y3與2x3y7－2n是同類項，m2＋2n＝______．

3

(“希望杯”初賽試題)

2．當x＝1，y＝－1時，ax＋by－3＝0，那么當x＝－1，y＝1時，ax＋by－3＝______．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

3．若a＋b＜0，則化簡|a＋b－1|－|3－a－b|的結果是______．

4．已知x2＋x－1＝0，那么整式x3＋2x2＋2002的值為______．

2xy3z32,

5．設則3x－2y＋z＝______．

x4y5z36,

(2013年全國初中數學聯賽試題)

6．已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，若A＋B＋C＝0，則C＝()．

A．5a2＋3b2＋2c2B．5a2－3b2＋4c2

A．3a2－3b2－2c2A．3a2＋b2＋4c2

7．同時都有字母a，b，c，且系數為1的7次單項式共有()．

A．4個B．12個C．15個D．25個

(北京市競賽題)

8．有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示：

ba0c

第8題圖

則代數式|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化簡后的結果是為()．

A．－aB．2a－2bC．2c－aD．a

9．已知a＋b＝0，a≠b，則化簡b(a＋1)＋a(b＋1)得()．

ab

A．2aB．2bC．＋2D．－2

10．已知單項式0.25xbyc與單項式－0.125xm－1y2n－1的和為0.625axnym，求abc的值．

11．若a，b均為整數，且a＋9b能被5整除，求證：8a＋7b也能被5整除．

(天津市競賽試題)

B級

1．設a＜－b＜c＜0，那么|a＋b|＋|b＋c|－|c－a|＋|a||＋b|＋|c|＝______．

(“祖沖之杯”邀請賽試題)

2．當x的取值范圍為______時，式子－4x＋|4－7x|－|1－3x|＋4的值恒為一個常數，

這個值是______．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

3．當x＝2時，代數式ax3－bx＋1的值等于－17，那么當x＝－1時，代數式12ax－3bx3

－5的值等于______．

4．已知(x＋5)2＋|y2＋y－6|＝0，則y2－1xy＋x2＋x3＝______．

5

(“希望杯”邀請賽試題)

5．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，則(a－c)(b－d)÷(a－d)＝______．

6．如果對于某一特定范圍內x的任意允許值，P＝|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－9x|＋

|1－10x|的值恒為一個常數，則此值為()．

A．2B．3C．4D．5

(安徽省競賽試題)

623456

7．如果(2x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x＋a6x，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5

＋a6等于______；a0＋a2＋a4＋a6等于______．

A．1，365B．0，729C．1，729D．1，0

(“希望杯”邀請賽試題)

8．設b，c是整數，當x依次取1，3，6，11時，某學生算得多項式x2＋bx＋c的值分

別為3，5，21，93．經驗證，只有一個結果是錯誤的，這個錯誤的結果是()．

A．當x＝1時，x2＋bx＋c＝3B．當x＝3時，x2＋bx＋c＝5

C．當x＝6時，x2＋bx＋c＝21D．當x＝11時，x2＋bx＋c＝93

(武漢市選拔賽試題)

9．已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e，其中a，b，c，d，e為常數，當x＝2時，y＝23；

當x＝－2時，y＝－35，那么e的值是()．

A．－6B．6C．－12D．12

(吉林省競賽試題)

10．已知a，b，c三個數中有兩個奇數，一個偶數，n是整數，如果s＝(a＋n＋1)·(b

＋2n＋2)(c＋3n＋3)，那么()．

A．s是偶數B．s是奇數

C．s的奇偶性與n的奇偶性相同D．s的奇偶性不能確定