專題17直角三角形中的比例線段

閱讀與思考

借助相似三角形法研究直角三角形，我們會得到許多在解題中應用極為廣泛的結論．

如圖，在Rt△ABC中，∠A=900，AD⊥BC于D，則

A

1．圖中角的關系：∠B=∠DAC，∠C=∠DAB；

2．同一三角形中三邊平方關系：

AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2；BC2=AB2+AC2．

3．三角形之間的關系：BDC

△ABD∽△CAD∽△CBA，由此得出的線段之間的關系：

AD2=BD?DC，AB2=BD?BC，AC2=CD?BC．

直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，由此得出的等積式在計算與證明

中應用極為廣泛，其特點是：

①一線段是兩個三角形的公共邊；

②另兩條線段在同一直線上．

例題與求解

【例1】如圖，Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，DE⊥CB于E．若BE=6，CE=4，則AD=________．

（上海市競賽試題）

解題思想：圖中有兩個基本圖形，恰當選取相應關系式求出AD．

CC

E

ADBADB

例1題圖例2題圖

【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，CD⊥AB，下列結論：

AC2AD

①CD?AB=AC?BC；②；

BC2BD

111

③；④AC+BC>CD+AB．

AC2BC2CD2

其中正確的個數是()

A．4個B．3個C．2個D．1個

（江蘇省競賽試題）

解題思路：綜合運用直角三角形性質逐一驗證，從而作出判斷．

【例3】如圖，在等腰Rt△ABC中，AB=1，∠A=900，點E為腰AC的中點，點F在底邊BC上，且EF

⊥BE，求△CEF的面積．（全國初中數學聯賽試題）

1

解題思想：欲求△EFC的面積，由于EC=，只需求出△EFC中EC邊上的高，或求出EC邊上的

2

高與EC的關系．

A

E

B

FC

本例解法甚多，同學們的解題思路，自由探索與思考，尋求更多更好的解法．

【例4】如圖，直線OB是一次函數y2x的圖象，點A的坐標為(0，2)，在直線OB上找一點C，使

△ACO為等腰三角形，求點C的坐標．

（江蘇省競賽試題）

解題思想：注意分類討論．

y

B

A

Ox

能力訓練

A級

1．如圖，在兩個直角三角形中，∠ACB=∠ADC=900，AC=6，AD=2，當AB=_______時，這兩

個直角三角形相似．

AC

E

FAD

D

EG

B

BCADBC

（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）

2．如圖，在Rt△ACB中，CD⊥AB于點D，∠A的平分線AF交CD于E，過E引EG∥AB交BC

于G，若CE=3，則BG的長為____________．（上海市競賽試題）

3．如圖，ABCD為矩形，ABDE為等腰梯形，BD=20，EA=10，則AB=_________________．

（“五羊杯”競賽試題）

4．如圖，梯子AB斜靠在墻面上，AC⊥BC，AC=BC，當梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時，梯

足B沿CB方向滑動y米，則x與y的大小關系是（）

A．xyB．xyC．xyD．不確定

（江蘇省競賽試題）

AAD

E

BBC

C

（第5題圖）

（第4題圖）

5．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=3，AE⊥BD于E，則EC等于（）

751521

A．B．C．D．

2222

6．在△ABC中，AD是高，且AD2BDCD，那么∠BAC的度數是（）

A．小于900B．等于900C．大于900D．不確定

（全國初中數學聯賽試題）

7．如圖，在△ABC中，已知∠C=900，AD是∠CAB的角平分線，點E在AB上，DE∥CA，CD=12，

BD=15，求AE，BE的長．

（上海市中考試題）

C

D

AEB

（第7題圖）

8．如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點，BE⊥AC交AC于F，過F作FG∥AB交AE于G，求證：

AG2=AF·FC．

（西安市中考試題）

E

DC

GF

AB

（第8題圖）

9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，D，E，F分別為垂足，求

證：CD3=AB·AE·BF．

(四川省中考試題)

C

F

E

ADB

（第9題圖）

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AD平分∠CAB交BC于點D，過點C作CE⊥AD于點E，

CE的延長線交AB于點F，過點E作EG∥BC交AB于點G，AE·AD=16，AB=45．

⑴求證：CE=EF；⑵求EG的長．（河南省中考試題）

C

D

E

AFGB

（第10題圖）

11．如圖，在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=k·AC，CD⊥AB于點D，點P為AB邊上一動點，

PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．

C

E

CE

⑴當k=2時，則=_____________；

BFF

EF

⑵當k=3時，連結EF，DF，求的值；ADPB

DF

（第11題圖）

EF23

⑶當k=___________時，（直接寫出結果，不需證明）．

DF3

B級

1．如圖，在Rt△ABC中，∠A=900，AD⊥BC，P為AD的中點，BP交AC于E，EF⊥BC于F，

AE=3，EC=12，則EF=___________．

（黃岡市競賽試題）

C

A

E

D

BDFC

AB

（第1題圖）（第2題圖）

2．如圖，在Rt△ABC中，兩條直角邊AB，AC的長分別為1厘米，2厘米，那么直角的角平分線

的長度等于______厘米．

（全國初中數學聯賽試題）

3．如圖，EFGH是矩形ABCD的內接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，則AH：AE=______．

（上海市競賽試題）

A

DGCC

D

F

HF

AEBBC

AEDBE

（第3題圖）（第4題圖）（第5題圖）

4．如圖，△ABC中，∠ACB=900，CD和CE分別是底邊AB上的高和∠C的平分線，若△CED∽

△ABC，則∠ECD等于()

A．180B．200C．22.50D．300

（山東省競賽試題）

5．如圖，在△ABC中，D，E分別在AC，BC上，且AB⊥AC，AE⊥BC，BD=DC=EC=1，則AC=

（）

A．2B．3C．32D．33E．43

（美國高中統一考試題）

6．如圖，在等腰Rt△ABC中，F為AC邊的中點，AD⊥BF．求證：BD=2CD．

（武漢市競賽試題）

7．如圖，P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且BP=BQ，過B點作PC的垂線，垂

足為H．求證：DH⊥HQ．

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

AD

PH

BC

Q

（第7題圖）

8．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=900，如圖1，根據勾股定理，則a2+b2=c2．若△ABC

不是直角三角形，如圖2、圖3，請你類比勾股定理，試猜想a2+b2與c2的關系，并證明你的結論．

A

AA

cc

bbbc

CaBCaBCaB

圖1圖2圖3

9．已知∠AOB=900，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角形的直角頂點與點C重合，

它的兩條直角邊分別與OA，OB（或它們的反向延長線）相交于點D，E．

當三角形繞點C旋轉到CD與OA垂直時，如圖1，易證：OD+OE=2OC．

當三角形繞點C旋轉到CD與OA不垂直，如圖2，圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立？

若成立，請給予證明；若不成立，線段OD，OE，OC之間，又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜

想，不需證明．

AAA

MM

D

CDCC

E

OO

EBOEBDB

圖1圖2

圖3

10．⑴如圖1，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P．求

DPPE

證：．

BQQC

⑵在△ABC中，∠BAC=900，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上．連接AG，AF分別交DE

于M，N兩點．

①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；

②如圖3，求證：MN2=DMEN．

（武漢市中考試題）

AAA

DEDE

DEM

PNMN

BQCBGFCBGF

C

圖1圖2圖3

專題17直角三角形中比例線段

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例115例2B提示：只有結論④是錯誤的.例3提示：過F點作FM⊥EC于M，

324

EMAB11

由Rt△ABE∽Rt△MEF，得2，EM2MF.又FMMCEC.

MFAE36

81625452545

例4提示：滿足題意的點C有4個，坐標分別為,,,，,，

555555

1DE1EF10

,1△CAB，∴，從而．(3)3

2DF3DF3

APBPPD2

B級1．6提示：延長FE，BA交于G，，GE＝EF，△AGE∽△FCE．2．2

GEBEEF3

提示：過B作BE∥AD，交CA的延長線于