專題25圖形面積的計算

閱讀與思考

計算圖形的面積是平面幾何中常見的基本問題之一，它包括兩種主要類型：

1.常見圖形面積的計算

由于一些常見圖形有計算面積的公式，所以，常見圖形面積一般用公式來解.

2.非常規圖形面積的計算

非常規圖形面積的計算通常轉化為常見圖形面積的計算，解題的關鍵是將非常規圖形面積用常規

圖形面積的和或差來表示.

計算圖形的面積還常常用到以下知識：

（1）等底等高的兩個三角形面積相等.

（2）等底的兩個三角形面積的比等于對應高的比.

（3）等高的兩個三角形面積的比等于對應底的比.

（4）等腰三角形底邊上的高平分這個三角形的面積.

（5）三角形一邊上的中線平分這個三角形的面積.

（6）平行四邊形的對角線平分它的面積.

熟悉如下基本圖形：

例題與求解

【例1】如圖，在直角△ABC的兩直角邊AC，BC上分別作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W，

連接GW，若AC=14，BC=28，則S△AGW=______________．

(2013年“希望杯”全國數學邀請賽試題)

解題思路：△AGW的面積可以看做△AGF和△GWF的面積之差.

【例2】如圖，已知△ABC中的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且

BC=4CF.四邊形BDCE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為()

A．3B．4C．5D．6

（2013年全國初中數學競賽廣東試題）

解題思路：設△ABC底邊BC上的高為h.本例關鍵是通過適當變形找出h和DE之間的關系．

【例3】如圖，平行四邊形ABCD的面積為30cm2，E為AD邊延長線上的一點，EB與DC交于F

點，已知三角形FBC的面積比三角形DEF的面積大9cm2，AD=5cm，求DE長.

（北京市“迎春杯”競賽試題）

解題思路：由面積求相關線段，是一個逆向思維的過程，解題的關鍵是把條件中圖形面積用DE及

其它線段表示．

【例4】如圖，四邊形ABCD被AC與DB分成甲、乙、丙、丁4個三角形，已知BE=80cm，CE=60

cm，DE=40cm，AE=30cm，問：丙、丁兩個三角形面積之和是甲、乙兩個三角形面積之和的多少倍？

（“華羅庚杯”競賽決賽試題）

解題思路：甲、乙、丙、丁四個三角形面積可通過線段的比而建立聯系，找出這種聯系是解本例的

突破口.

【例5】如圖，△ABC的面積為1，D，E為BC的三等分點，F，G為CA的三等分點，求四邊形

PECF的面積.

解題思路：連CP，設S△PFC=x，S△PEC=y，建立x，y的二元一次方程組.

【例6】如圖，E，F分別是四邊形ABCD的邊AB，BC的中點，DE與AF交于點P，點Q在線段

DE上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面積與平行四邊形ABCD的面積的比值．

（2013年”希望杯“數學邀請賽試題）

解題思路：連接EF，DF，AC，PB，設S□ABCD=a，求得△APQ和△CPQ的面積.

能力訓練

A級

1.如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線相交于點O.過點O的直線分別交AD，BC于E，F，

則陰影部分面積是______.

（海南省競賽試題）

2.如圖，在長方形ABCD中，E是AD的中點，F是CE的中點，若△BDF的面積為6平方厘米，

則長方形ABCD的面積是_____________平方厘米.

（“希望杯”邀請賽試題）

3.如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以AB，BC，CD，DA分別為直徑畫半圓，則這四個半圓弧

所圍成的陰影部分的面積是____________.

（安徽省中考試題）

4.如圖，已知AB，CD分別為梯形ABCD的上底、下底，陰影部分總面積為5平方厘米，△AOB

的面積是0.625平方厘米，則梯形ABCD的面積是_________平方厘米.

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

1

5.如圖，長方形ABCD中，E是AB的中點，F是BC上的一點，且CF=BC，則長方形ABCD

3

的面積是陰影部分面積的()倍.

A.2B.3C.4D.5

6.如圖，是一個長為a，寬為b的長方形，兩個陰影圖形都是一對長為c的底邊在長方形對邊上的

平行四邊形，則長方形中未涂陰影部分的面積為().

A.ab(ab)cB.ab(ab)cC.(ac)(bc)D.(ac)(bc)

7．如圖，線段AB=CD=10cm，BC和DA是弧長與半徑都相等的圓弧，曲邊三角形BCD的面積是

1

以D為圓心、DC為半徑的圓面積的，則陰影部分的面積是()．

4

A．25πB.100C.50πD.200

（“五羊杯”競賽試題）

8．如圖，一個大長方形被兩條線段AB、CD中分成四個小長方形，如果其中圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面

積分別為8，6，5，那么陰影部分的面積為()．

971015

A.B.C.D．

2238

9．如圖，長方形ABCD中，E，F分別為AD，BC邊上的任一點，△ABG，△DCH的面積分別為

15和20，求陰影部分的面積.

（五城市聯賽試題）

10.如圖，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點G在線段DK上，已

知正方形BEFG的邊長為4，求△DEK的面積．

（廣西壯族自治區省南寧市中考試題）

B級

1.如果圖中4個圓的半徑都為a，那么陰影部分的面積為_____________.

（江蘇省競賽試題）

2.如圖，在長方形ABCD中，E是BC上的一點，F是CD上的一點，若三角形ABE的面積是長方

12

形ABCD面積的，三角形ADF的面積是長方形ABCD面積的，三角形CEF的面積為4cm2，那么

35

長方形ABCD的面積是_________cm2.

（北京市“迎春杯”邀請賽試題）

3.如圖，邊長為3厘米與5厘米的兩個正方形并排放在一起，在大正方形中畫一段以它的一個頂點

為圓心，邊長為半徑的圓弧，則陰影部分的面積為___________________.

（“希望杯”邀請賽試題）

4.如圖，若正方形APHM，BNHP，CQHN的面積分別為7，4，6，則陰影部分的面積是_____.

(“五羊杯”競賽試題）

1

5.如圖，把等邊三角形每邊三等分，使其向外長出一個邊長為原來的的小等邊三角形，稱為一次

3

“生長”，在得到的多邊上類似“生長”，一共“生長”三次后，得到的多邊形的邊數=________，面積

是原三角形面積的______倍.

(“五羊杯”競賽試題）

11

6.如圖，在長方形ABCD中，AE=BG=BF=AD=AB=2，E，H，G在同一條直線上，則陰影部分

23

的面積等于().

A.8B.12C.16D．20

7.如圖，邊長分別為8cm和6cm的兩個正方形，ABCD與BEFG并排放在一起，連接EG并延長交

AC于K，則△AKE的面積是().

A.48cm2B.49cm2C.50cm2D．51cm2

（2013年“希望杯”邀請賽試題）

8.在一個由8×8個方格組成的邊長為8的正方形棋盤內放一個半徑為4的圓，若把圓經過的所有

S1

小方格的圓內部分的面積之和記為S1，把圓周經過的所有小方格的圓外部分的面積之和記為S2，則的

S2

整數部分是().

A.0