專題25配方法

閱讀與思考

把一個式子或一個式子的部分寫成完全平方式或者幾個完全平方式的和的形式，這種方

法叫配方法，配方法是代數變形的重要手段，是研究相等關系，討論不等關系的常用技巧.

配方法的作用在于改變式子的原有結構，是變形求解的一種手段；配方法的實質在于揭

示式子的非負性，是挖掘隱含條件的有力工具.

配方法解題的關鍵在于“配方”，恰當的“拆”與“添”是配方常用的技巧，常見的等

式有：

1、a22abb2(ab)2

2、a2abb(ab)2

3、a2b2c22ab2bc2ca(abc)2

1

4、a2b2c2abbcac[(ab)2(bc)2(ac)2]

2

配方法在代數式的求值，解方程、求最值等方面有較廣泛的應用，運用配方解題的關鍵

在于：

(1)具有較強的配方意識，即由題設條件的平方特征或隱含的平方關系，如a(a)2能

聯想起配方法.

(2)具有整體把握題設條件的能力，即善于將某項拆開又重新分配組合，得到完全平方式.

例題與求解

【例1】已知實數x，y，z滿足xy5,z2xyy9，那么x2y3z_____

(“祖沖之杯”邀請賽試題)

解題思路：對題設條件實施變形，設法確定x，y的值.

【例2】若實數a，b，c滿足a2b2c29，則代數式(ab)2(bc)2(ca)2的

最大值是()

A、27B、18C、15D、12

(全國初中數學聯賽試題)

解題思路：運用乘法公式，將原式變形為含常數項及完全平方式的形式.

配方法的實質在于揭示式子的非負性，而非負數有以下重要性質；

(1)非負數的最小值為零；

(2)有限個非負數的和為零，則每一個非負數都為零.

1

【例3】已知ab2a14b23c3c5，求a+b+c的值.

2

解題思路：題設條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量，一個等式，怎樣才能確

定未知量的值呢？不妨用配方法試一試.

復合根式的化簡，含多元的根式等式問題，常常用到配方法.

【例4】證明數列49，4489，444889，44448889，…的每一項都是一個完全平方數.

解題思路：4972,4489672,4448896672,4444888966672，由此可猜想

2，只需完成從左邊到右邊的推導過程即可

44448889(66661).

n1n

幾個有趣的結論：

2

(1)444488889(66661)

n1nn

2

(2)111155556(33331)

n1nn

這表明：只出現1個奇數或只出現1個偶數的完全平方數分別有無限多個.

【例5】一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只能在第2

層至第33層中某一層停一次，對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走

一層樓梯感到3分不滿意，現在有32個人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一

層，問：電梯停在哪一層時，可以使得這32個人不滿意的總分達到最小？最小值是多少？（有

些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓）．

(全國初中數學聯賽試題)

解題思路：通過引元，把不滿意的總分用相關字母的代數式表示，解題的關鍵是對這個

代數式進行恰當的配方，進而求出代數式的最小值.

把代數式通過湊配等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數這一性質達到

增加問題條件的目的，這種解題方法叫配方法.

配方法的作用在于改變代數式的原有結構，是變形求解的一種手段；配方法的實質在于

揭示式子的非負性，是挖掘隱含條件的有力工具.

【例6】已知自然數n使得n219n91為完全平方數，求n的值.

(“希望杯”邀請賽試題)

解題思路：原式中n的系數為奇數，不能直接配方，可想辦法化奇為偶，解決問題.

能力訓練

1、計算10+83+22=_________.

(“希望杯”邀請賽試題)

2、已知a2b2c22(abc)30，則a3b3c33abc_________.

y2

3、x，y為實數，且x24xy2y，則x+y的值為__________.

2

4、當x＞2時，化簡代數式x2x1x2x1，得___________.

5、已知m4x212xy10y24y9，當x=________，y=______時，m的值最小.

(全國通訊賽試題)

6、若M10a2b27a6,Na2b25a1，則M－N的值()

A、負數B、正數C、非負數D、可正可負

7、計算14651465的值為()

A、1B、5C、25D、35

(全國初中數學聯賽試題)

8、設a，b,c為實數，xa22b,yb22c,zc22a，則x，y，z中

362

至少有一個值()

A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零

(全國初中數學競賽試題)

9、下列代數式表示的數一定不是某個自然數的平方(其中n為自然數)的是()

A、3n23n3B、4n24n4C、5n25n5

D、7n27n7E、11n211n11

10、已知實數a，b，c滿足a22b7,b22c1,c26a17，則a+b+c的值等

于()

A、2B、3C、4D、5

(河北省競賽試題)

解“存在”、“不存在”“至少存在一個”等形式的問題時，常從整體考慮并經常用到一下

重要命題：

設x1，x2，x3,…xn為實數.

若則，，…中至少有或存在一個為零；

(1)x1x2xn0x1x2x3,xn()

若，則，，，…中至少有或存在一個大于零；

(2)x1x2xn0x1x2x3xn()

若，則，，，…中至少有或存在一個小于零

(3)x1x2xn0x1x2x3xn().

2z2

x2

1z

2x2

、解方程組(蘇州市競賽試題)

11y2

1x

2y2

z2

1y

12、能使2n256是完全平方數的正整數n的值為多少？

(全國初中數學聯賽試題)

a

13、已知ab，且(ab)(aabb)243，a，b為自然數，求a，b的值.

b

(天津市競賽試題)

13、設a為質數，b為正整數，且9(2ab)2509(4a511b)，求a，b的值.

(全國初中數學聯賽試題)

14、某賓館經市場調研發現，每周該賓館入住的房間數y與房間單價x之間存在如圖所示的一

次函數關系.

(1)根據圖象求y與x之間的函數關系式(0＜x＜160)；

(2)從經濟效益來看，你認為該賓館如何制定房間單價，能使其每周的住宿收入最高？每周

最高住宿收入是多少元？

y間數（個）

990

540

050100x

單價（元）

專題25配方法

例110提示：代入，然后配方.

x=5-y

例2A提示：原式=

例3a+b+c=20提示：將等式整理，得

即=0

例4原式=+1=++1=4+8+1=4

2

2

11119111118111113611111211111611111

n1n1n1n1n1

n1

例5已知，這32個人恰好是第2至第33層各住1人，對于每個乘電梯上、的人，他所住的

層數一定不小于直接上樓的人所住的層數，事實上，設住S層的人乘電梯，而住t層的人直接

上樓，S＜t，交換兩人的上樓方式，其余的人不變，則不滿意總分減少.

設電梯停在第x層，在第一層有y人沒有乘電梯而直接上樓，那么不滿意總分為：

S31233x312y12xy2

333x34x3yy1xy2xy1

=

222

=2x2y102x2y23y1684

2

y10212

=2x15y180y3068

48

2

y10212

=2xy6316316

48

又當x=27，y=6時，S最小值=316.

故當電梯停在第27層時，總分最小，最小值為316分.

例6若n219n91為完全平方數，則4n219n91也是完全平方數.

2

設4n219n91=m2（m為自然數）配方得2n193=m2，

∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3

m2n19=3m2n19=1m=2m=2

于是或解得：或

m2n19=1m2n19=3n=10n=10

故當n=9或10時n219n91是完全平方數.

能力訓練

1.422.03.64.2x15.-3，-2,56.B7.C

222

8.A提示：xyz=a1b1c13大于0.

9.B提示：取n=2和3可否定A、C、D、E，而4n24n4=4n2n1，

2

n2n2n1n1，故n2n1不是完全平方數.10.B

11.（x，y，z）=（0,0,0）或（1,1,1）提示：取倒數.

2

a=1b2=01+a2b2

12.提示：當n<8時，，若它是完全平方數，則n必為偶數.

a2b2=m

若n=2，則2n2562265；若n=4，則2n2562417；若n=6，則2n256265；若

n=8，則2n256282.所以當n8時，2n256都不是完全平方數.

當n>8時，2n25628(2n81)，若它是完全平方數，則2n81為一奇數的平方，設

2

2n812k1（k為自然數），則2n101kk1，由于k和k+1一奇一偶，∴k=1，于

是2n102，故n=11.

2a54a24

13.提示：設a=kb（k為正整數），則kb12432732392，解得或