專題3根的檢測器

閱讀與思考

一元二次方程的根的判別式是揭示根的性質(zhì)與系數(shù)間聯(lián)系的一個重要定理，是解直接或間接與一

元二次方程相關(guān)問題的有力工具，其主要應(yīng)用于以下幾個方面：

1、判斷方程實根的情況；

2．求方程中字母系數(shù)的值與字母間的關(guān)系、字母的取值范圍；

3．證明等式或不等式；

4．利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，證明幾何存在性問題．

許多表面與一元二次方程無關(guān)的數(shù)學(xué)問題，可以通過構(gòu)造一元二次方程，把原問題轉(zhuǎn)化為討論方程

的根的性質(zhì)，然后用判別式來解，這是運(yùn)用判別式解題的技巧策略．

例題與求解

【例1】如果方程x46x39x23px22p20有且僅有一個實數(shù)根（相等的兩個實數(shù)根算作一個），

則p的值為．

【例2】已知三個關(guān)于x的方程：x2xm0，(m1)x22x10和(m2)x22x10，若

其中至少有兩個方程有實根，則實數(shù)m的取值范圍是（）．

11

A．m2B．m或1m2C．m1D．m1

44

k

【例3】已知P(2,3)是反比例函數(shù)y圖象上的點(diǎn)．

x

k

（1）求過點(diǎn)P且與雙曲線y只有一個公共點(diǎn)的直線解析式；

x

kk

（2）Q是雙曲線y在第三象限這一分支上的動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線，使其與雙曲線y只有一個

xx

公共點(diǎn)，且與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，設(shè)（1）中求得的一直線與x軸，y軸分別交與A，B兩

點(diǎn)，試判斷AD，BC的位置關(guān)系．

【例4】已知a,b,c滿足abc0,abc8,且c0，求證c334．

【例5】已知關(guān)于x的方程x2(3k1)x2k22k0.

（1）求證：無論k取何實數(shù)值，該方程總有實數(shù)根；

（2）若等腰三角形ABC的一邊長a6，另兩邊長b,c恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，求△ABC的周

長.

【例6】已知XYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形（∠Z＝90°），它的三個頂點(diǎn)分別在等腰直角三

角形ABC（∠C＝90°）的三邊上．求ABC直角邊長的最大可能值．

能力訓(xùn)練

A級

1．若關(guān)于x的一元二次方程x22xm0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是．

2．關(guān)于x的方程ax2(a2)x20只有一解（相同的解算一解），則a的值為．

3．設(shè)a,b,c是ABC三邊，且關(guān)于x的方程c(x2n)b(x2n)2nax0(n0)有兩個相等的實

數(shù)根，則ABC是三角形．

4．方程x2xyy23x3y30的實數(shù)解為．

5．關(guān)于x的一元二次方程x2(2k1)xk10的根的情況是（）

A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根

C．有兩個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根

6．如果關(guān)于x的方程mx22(m2)xm50沒有實數(shù)根，那么關(guān)于x的方程

(m5)x22(m2)xm0的實數(shù)根的個數(shù)為（）

A．2個B．1個C．0個D．不確定

7．關(guān)于x的方程(a6)x28x60有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（）

A．6B．7C．8D．9

8．已知一直角三角形的三邊為a,b,c，∠B＝90°，那么關(guān)于x的方程a(x21)2(xb)(x21)0的

根為（）

A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根

C．沒有實數(shù)根D．無法確定

9．在等腰三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a,b,c．已知a3，b和c是關(guān)于x的方程

1

x2mx2m0的兩個實數(shù)根，求ABC的周長．

2

10．已知m,n為整數(shù)，關(guān)于x的三個方程：x2(7m)x3n0有兩個不相等的實數(shù)根；

x2(4m)xn60有兩個相等的實數(shù)根；x2(m4)xn10沒有實數(shù)根．求m，n的值．

11

11．若a,b,c,d0，證明：在方程x22abxcd0①；x22bcxad0②；

22

11

x22cdxab0③；x22daxbc0④中，至少有兩個方程有兩個不相等的實

22

數(shù)根．

12．若實數(shù)x,y滿足x22x4y5，求x2y的最大值．

B級

1．當(dāng)a，b時，方程x22(1a)x(3a24ab4b22)0有實數(shù)根．

2．已知二次方程(ab2b)x22(ba)x2aab0有兩個相等的實數(shù)根，那么

11

=．

ab

3．如果方程x35x2(4k)xk0的三個根可以作為一個等腰三角形的三邊長，則實數(shù)k的值

為．

4．已知實數(shù)a,b,c滿足abc0，abc2，那么abc的最小值是．

5．已知實數(shù)a,b,c是不全為零的三個數(shù)，那么關(guān)于x的方程

x2(abc)xa2b2c20的根的情況是（）

A．有兩個負(fù)根B．有兩個正根C．有兩個異號的實根D．無實根

6．關(guān)于x的兩個方程x24mx4m22m30，x2(2m1)xm20中至少有一個方程有實根，

則m的取值范圍是（）

3131

A．mB．m或m

2424

1131

C．mD．m或m

4222

7．方程x(x1)k0有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）

1111

A．k0B．0kC．kD．k

4444

x2

8．關(guān)于x的方程a僅有兩個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是（）

x1

A．a(chǎn)0B．a(chǎn)4C．2a4D．0a4

9．當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，方程x25xa有且只有相異二實根．

10．求證：對于任意一個矩形A，總存在一個矩形B，使矩形B與矩形A的周長比和面積比等于

k(k1)．

11．關(guān)于x的方程kx2(k1)x10有有理根，求整數(shù)k的值．

12．已知a,b為實數(shù)且a2abb23，若a2abb2的最大值為m，最小值為n，求mn的值．

專題03根的檢測器

9

例1.提示:原方程化為(x23xp)(x23x2p)0,因為兩方程中一個有兩個相等實根,而

4

另一個無實根.

例2.B提示:從反面考慮,即考慮三個方程都無實數(shù)根時m的取值范圍.

3

例3.(1)直線x2或y3或yx6

2

(2)AD//BC

88

例4.提示:a,b是關(guān)于t2ct0兩實根,c240

cc

例5.(1)提示:(k1)20

(2)①若bc,則(k1)20,k1,bc3k14a,不合題意,故這種情況不存在

②若中有一條邊與相等不妨設(shè)代入得2解得

b,ca,ab6,k8k150,k13,k25.

當(dāng)k3時,bc3k110,此時c4,bca,abc16

當(dāng)k5時,bc3k116,此時c10,abc,abc22

例6.①如圖1,若頂點(diǎn)Z在斜邊AB上,取XY的中點(diǎn)M,連結(jié)CM,ZM,CZ,并作邊AB上的高CN,則

11

CNCZCMMZXYXYXY2,故CA2CN2

22

②如圖2,若頂點(diǎn)Z在直角邊CA(或CB)上,由對稱性,不妨設(shè)Z在邊CA上,過點(diǎn)Y作YHCA

于H,記CXx,CZy,易證ZYHXZC,得HZCXx,HYCZy,又顯然AHY為等腰直角三

角形,得AHy,設(shè)ACb0,則2yxb,即xb2y.在XZC中,由勾股定理有

y2(b2y)212

255

5y24byb210,由16b220(b21)0,得b5,當(dāng)b5時,y,x,

55

綜合①②,ABC直角邊長的最大可能值為5

A級

1.m1

2.0或2

3.直角

4.x1,y1

5.B

6.B

7.C提示:分a60和a60兩種情況

8.A

37

9.或7

5

10.m2或m3提示:參見例2

提示故中至少有兩個大于

11.:120,340,1,2,3,40

12.設(shè)x2ym,則原方程可化為x24x2m50①方程①有實數(shù)根,

9

168m200,m.

2

9955

當(dāng)m時,0,即方程①的解為x2,22y,即y,當(dāng)x2,y時,x2y有最

2244

大值且最大值為9

2

B級

1

1.a1,b

2

2.1

3.4提示:由題目知x1是方程的根,則(x1)(x24xk)0,由條件知x1是x24xk0的

根

或x24xk0有兩個相等的根,解得k4或k3(舍去)

4.4

5.D

6.B

7.A

x2

8.D提示:當(dāng)a0時,無解.;當(dāng)a0時,x0,無意義;當(dāng)a0時,原方程化為a,

x1

2

即xaxa02故2

a0,2a4a0,1a4a0,0a4

x2axa0

25

9.a0或a提示:當(dāng)a0時,方程有相異兩實根;當(dāng)a0時,x25xa0①或

4

2②

x5xa01254a,2254a

10.提示:設(shè)矩形A的長和寬分別為a,b,矩形B的長和寬分別為x,y,則xyk(ab),xykxy.

x,y可看作關(guān)于t的