第=page11頁，共=sectionpages11頁河南省鶴壁市2025年高考數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x||x|≤1}，B={x|x2?4x≤0}，則A∩B=A.[0,1] B.[?1,4] C.[?1,0] D.[1,4]2.若復(fù)數(shù)(2+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于y軸上，則實數(shù)a=(

)A.?2 B.?12 C.123.已知向量a=(1,3)，b=(?2,4)，則b在a上的投影向量的長度為(

)A.5 B.10 C.10 4.如圖，曲線AOB是拋物線C：x2=4y的一部分，且曲線AOB關(guān)于y軸對稱，|AB|=4，則點B到C的焦點的距離為(

)A.4 B.3 C.2 D.15.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(?π2<φ<π2A.2+3 B.2?3 C.6.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，若該棱柱外接球的表面積為12π，則側(cè)面BA.12π B.16π C.20π D.24π7.為了抒寫鄉(xiāng)村發(fā)展故事、展望鄉(xiāng)村振興圖景、演繹民眾身邊日常、唱出百姓幸福心聲，某地組織了2025年“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目匯演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個節(jié)目，則歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出的概率為(

)A.16 B.320 C.1108.已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)=log(a+2)x?logax與g(x)=(a+2)xA.(0,3?1) B.(2?1,1)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.有一組樣本數(shù)據(jù)a，b，c，d，其中a>b>c>d，由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)為a?2，b?2，c+2，d+2，則(

)A.兩組數(shù)據(jù)的極差一定相等 B.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等

C.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等 D.兩組數(shù)據(jù)的方差不可能相等10.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交C的右支于A.點F1到C的漸近線的距離為3

B.|AB|=10

C.C的離心率為2

D.分別以BF111.塌縮函數(shù)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信號處理和數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域經(jīng)常用到.常見的塌縮函數(shù)有tan?(x)=ex?e?xex+e?x，sig(x)=exA.E?D

B.i=12025[sig(i)+sig(?i)]=2025

C.方程2sig(x)=1+tanx的所有實根之和為1

D.若關(guān)于x的不等式sig(e三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知一圓錐的表面積與底面積的比值為3，則該圓錐的母線與底面所成的角為______．13.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若∠A的平分線AE交BC于點E，且AE=23，c=1，b=2，則a=______．14.記[x]表示不超過x的最大整數(shù).若正項數(shù)列{an}滿足an2+2n?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等差數(shù)列{an}滿足2a2+a3=0，a4=10，數(shù)列{bn}的首項為9，且{an+b16.(本小題15分)

甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率是14，乙每次擊中目標(biāo)的概率是12，假設(shè)兩人是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響．

(Ⅰ)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率；

(Ⅱ)設(shè)甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=aex．

(Ⅰ)當(dāng)a≥1e時，證明：f(x)≥lnx+1；

(Ⅱ)當(dāng)a>0時，若函數(shù)?(x)=f(x)?sinx?a在區(qū)間(0,π18.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，短軸長為23．

(Ⅰ)求C的方程．

(Ⅱ)若C上的兩點(x1,y1)，(x2,y2)滿足y1y2x1x2=?b2a2，則稱點(x1,y1)，(x2,y2)為C19.(本小題17分)

球面與過球心的平面的交線叫做大圓，將球面上三點用三條大圓弧連接起來所組成的圖形叫做球面三角形，每條大圓弧叫做球面三角形的一條邊，兩條邊所在的半平面構(gòu)成的二面角叫做球面三角形的一個內(nèi)角.如圖(1)，球O的半徑R=3，A，B，C，D為球O的球面上的四點．

(Ⅰ)若球面三角形ABC的三條邊長均為3π3，求此球面三角形一個內(nèi)角的余弦值．

(Ⅱ)在球O的內(nèi)接三棱錐D?ABC中，DB⊥平面ABC，AB：AC：BC=3：2：1，直線DC與平面ABC所成的角為π3．

(i)若M，N分別為直線AD，BC上的動點，求線段MN長度的最小值；

(ii)如圖(2)，若P，Q分別為線段AC，BC的中點，G為線段BD上一點(與點B

答案解析1.【答案】A

【解析】解：由題可得：A={x|?1≤x≤1}，B={x|0≤x≤4}，

所以A∩B={x|0≤x≤1}．

故選：A．

分別解出滿足集合A，B的不等式，再去求兩集合的交集．

本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】C

【解析】解：因為(2+i)(a+i)=2a?1+(a+2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于y軸上，

所以2a?1=0，即a=12．

故選：C．

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算和幾何意義，計算即可．3.【答案】B

【解析】解：向量a=(1,3)，b=(?2,4)，

則a?b=?2+12=10，|a|=1+9=10，

則b在a上的投影向量的長度為4.【答案】C

【解析】解：已知曲線AOB是拋物線C：x2=4y的一部分，且曲線AOB關(guān)于y軸對稱，|AB|=4，

則C的焦點坐標(biāo)為(0,1)，點B(2,1)，

所以點B到C的焦點的距離為2．

故選：C．

求出點B坐標(biāo)，進而可得解．5.【答案】D

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(?π2<φ<π2)的圖象關(guān)于直線x=π3對稱，

所以2×π3+φ=kπ+π2,k∈Z，則φ=kπ?π6,k∈Z，

6.【答案】B

【解析】解：由題意直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，

該棱柱外接球的表面積為12π，

可知三棱柱兩個底面三角形的外接圓的圓心分別為B1C1，BC的中點，BC=B1C1=22．

設(shè)外接球的半徑為R，則4πR2=12π,R=3，

所以(CC127.【答案】A

【解析】解：由題意可知，六個節(jié)目總的排序有A66=720種，

歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出的情況有22A55AA22=120種，

8.【答案】D

【解析】解：由題意a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)=log(a+2)x?logax與g(x)=(a+2)x+ax在區(qū)間(0,+∞)上都單調(diào)遞增，

可知f(x)=lnxln(a+2)?lnxlna=[1ln(a+2)?1lna]lnx，

因為f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以1ln(a+2)?1lna>0，

即1ln(a+2)>1lna，當(dāng)a>1時，有l(wèi)n(a+2)<lna，即2<0，不成立，

當(dāng)0<a<1時，有l(wèi)n(a+2)>0>0，lna<0，則1ln(a+2)>1lna成立，

所以0<a<1；

又g(x)=(a+2)x+a9.【答案】BC

【解析】對于A，假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為5，4，2，1，滿足a>b>c>d，

則新樣本數(shù)據(jù)為3，2，4，3，兩組數(shù)據(jù)的極差不相等，錯誤；

對于B，因為a?2+b?2+c+2+d+2=a+b+c+d，所以兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等，正確；

對于C，由A中的數(shù)據(jù)可知兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等，正確；

對于D，假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為4，3，2，1，滿足a>b>c>d，

則新樣本數(shù)據(jù)為2，1，4，3，這兩組數(shù)據(jù)一樣，故方差可能相等，錯誤．

故選：BC．

舉反例，如數(shù)據(jù)為5，4，2，1判斷A、C；如數(shù)據(jù)為4，3，2，1判斷D，根據(jù)平均數(shù)的定義判斷B．

本題主要考查統(tǒng)計的知識，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】ACD

【解析】解：已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交C的右支于A，B兩點，A在第一象限，且|AF1|=|AB|，

雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)，則a=1，

對于A，C，連接BF1，由題意得tan∠BF2F1=15，∠BF2F1為銳角，

所以sin∠BF2Fcos∠BF2F=15sin2∠BF2F+cos2∠BF2F=1，

解得cos∠BF2F1=14,sin∠BF2F1=154，

由于|AF1|=|AB|，所以|BF2|=|AB|?|AF2|=|AF1|?|AF2|=2a=2，

又|BF1|?|BF2|=2a=2，故|BF1|=4，

設(shè)|F1F2|=2c(c>0)，

在△F1F2B中，由余弦定理可得|BF1|2=|11.【答案】ABD

【解析】解：對于選項A，由于tan?(x)=ex(ex?e?x)ex(ex+e?x)=e2x?1e2x+1=1?2e2x+1，

因此函數(shù)tan?(x)在R上為增函數(shù)，且函數(shù)tan?(x)的值域為(?1,1)=D，

又因為sig(x)=ex1+ex=11+e?x∈(0,1)=E，因此E?D，所以選項A正確；

對于選項B，由于sig(x)+sig(?x)=ex1+ex+e?x1+e?x=ex1+ex+11+ex=1，

因此i=12025[sig(i)+sig(?i)]=2025，所以選項B正確；

對于選項C，由于2sig(x)=1+tanx，因此sig(x)=12+12tanx，

根據(jù)B知函數(shù)sig(x)圖象關(guān)于點(0,12)對稱，又因為y=12+1212.【答案】π3【解析】解：根據(jù)題意可知，圓錐的表面積與底面積的比值為3，

設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，母線與底面所成的角為θ，

則πr2+πrlπr2=1+lr=3，則lr=2，所以cosθ=rl=13.【答案】7【解析】解：因為∠A的平分線AE交BC于點E，且AE=23，c=1，b=2，

由面積相等可得12bcsinA=12b?AEsinA2+12c?AEsinA2，

即2×1×sinA=(2×23+1×23)sinA2，

即2×2sinA14.【答案】10101

【解析】解：因為正項數(shù)列{an}滿足an2+2n?an?3n=0，

所以(an+3n)(an?n)=0，an+3n>0，

所以an=n，則i=1n21ai=11+12+115.【答案】(Ⅰ)an=6n?14；

(Ⅱ)數(shù)列{bn}【解析】解：等差數(shù)列{an}滿足2a2+a3=0，a4=10，數(shù)列{bn}的首項為9，且{an+bn}是公比為2的等比數(shù)列．

(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

由題可得2a2+a3=3a1+4d=0a4=a1+3d=10，解得a1=?8d=6，

所以an=a1+(n?1)d=?8+6(n?1)=6n?14，

即數(shù)列{an}的通項公式為an=6n?14．

(Ⅱ)因為b1=9，a1=?8，所以a1+b1=1，又an=6n?14，

由題知16.【答案】(Ⅰ)3128；

(Ⅱ)分布列見解析，E(X)=【解析】解：(Ⅰ)設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次為事件B1，甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為事件B2，

因為甲每次擊中目標(biāo)的概率是14，乙每次擊中目標(biāo)的概率是12，

所以P(A)=P(B1)+P(B2)=C32(14)2(34)1×C30(12)3+X0123P272791故E(X)=0×2764+1×2764+2×964+3×164=34．

(Ⅰ)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次，包括甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)017.【答案】(Ⅰ)證明見解析．

(Ⅱ)(0，1)．

【解析】解：(Ⅰ)證明：要證不等式f(x)≥lnx+1，即證aex≥lnx+1．

當(dāng)a≥1e時，aex≥exe，可以考慮證明exe≥lnx+1，

令函數(shù)g(x)=exe?lnx?1,x∈(0,+∞)，那么導(dǎo)函數(shù)g′(x)=exe?1x，

易知導(dǎo)函數(shù)g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且g′(1)=0，

那么當(dāng)x>1時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<1時，導(dǎo)函數(shù)g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

所以x=1是函數(shù)g(x)的極小值點，也是最小值點，

所以當(dāng)x>0時，g(x)≥g(1)=0，所以exe≥lnx+1，

所以當(dāng)a≥1e時，函數(shù)f(x)≥lnx+1．

(Ⅱ)根據(jù)題可知函數(shù)?(x)=f(x)?sinx?a=aex?sinx?a，

那么導(dǎo)函數(shù)?′(x)=aex?cosx．

如果a≥1，當(dāng)x∈(0,π2)時，aex>1，cosx∈(0,1)，所以?′(x)>0，

那么函數(shù)?(x)在區(qū)間(0,π2)上單調(diào)遞增，沒有極值點，不符合題意，舍去．

如果0<a<1，設(shè)函數(shù)φ(x)=aex?cosx，那么導(dǎo)函數(shù)φ′(x)=aex+sinx>0在區(qū)間(0,π2)上恒成立，

所以函數(shù)φ(x)在區(qū)間(0,π2)上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)?′(x)在區(qū)間(0,π2)上單調(diào)遞增，

又?′(0)=a?1<0,?′(π2)=aeπ218.【答案】(Ⅰ)x24+y23=1；

【解析】解：(Ⅰ)設(shè)C的半焦距為c(c>0)，

因為的離心率為12，短軸長為23，

所以ca=122b=23a2=b2+c2，

解得a=2，b=3，c=1，

則橢圓C的方程為x24+y23=1．

(Ⅱ)(i)證明：易知(1,32)，

設(shè)點A在C上的伴點的坐標(biāo)為(x,y)，

此時3y2x=?34，

即x+2y=0，

所以點A在C上的伴點在直線x+2y=0上，

聯(lián)立x+2y=0x24+y23=1，

解得x=3y=?32或x=?3y=32，

所以點A在C上所有伴點的坐標(biāo)分別為(3,?32),(?3,32)，

則點A在C上共有兩個伴點；

(ii)設(shè)M(xM,yM)，N(xN,yN)，

因為M，N兩點均在橢圓上，

所以xM24+yM23=1xN24+yN23=1，

兩式相減得(xM?xN)(xM+xN)4+(yM?yN)(yM+yN)3=0，

因為yM?yNxM?xN=32，

所以(xM+xN)+2(19.【答案】(Ⅰ)13；

(Ⅱ)(i)2【解析】解：(Ⅰ)因為球面三角形ABC的三條邊長均為3π3,R=3，

所以球面三角形每條邊所對的圓心角均為π3，所以四面體OABC為正四面體，