第=page11頁，共=sectionpages11頁山東省濟南市2025年高考數學模擬試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|log2x<1}，B={x|x<1}，則A∩B=A.(?∞,1) B.(0,1) C.(?∞,2) D.(0,2)2.設復數z滿足1+z2?i=i(i為虛數單位)，則z=(

)A.2i B.?2i C.?2+2i D.?2?2i3.若直線l1：(m?2)x+3y+3=0與直線l2：2x+(m?1)y+2=0平行，則m=(

)A.4 B.?4 C.1或?4 D.?1或44.若數列{an}各項均為正數，則“{an}A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.拋物線y=x2+2x+2的焦點坐標為A.(?1,32) B.(?1,54)6.已知函數f(x)=e?x?1,x≤01?exA.(?∞,1) B.(1,+∞) C.(?∞,?3) D.(?3,+∞)7.已知圓臺的側面展開圖是半個圓環，側面積為4π，則圓臺上下底面面積之差的絕對值為(

)A.π B.2π C.4π D.8π8.已知0<α<β<π2，則(

)A.sinα?sinβ<α?β B.α?β<tanα?tanβ

C.αsinβ<βcosα D.tanβ>αβ二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.為了驗證牛的毛色(黑色、紅色)和角(有角、無角)這兩對相對性狀是否相關，某學院進行了一次數據統計，并根據形成的2×2列聯表，計算得到χ2≈2.727，根據小概率值為α的獨立性檢驗，則(

)

附：P(0.100.0500.010k2.7063.8416.635A.若α=0.100，則認為“毛色”和“角”無關

B.若α=0.100，則認為“毛色”和“角”有關，此推斷犯錯誤的概率不超過10%C.若α=0.010，則認為“毛色”和“角”無關

D.若α=0.010，則認為“毛色”和“角”有關，此推斷犯錯誤的概率不超過1%10.已知F1，F2分別是橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點，O為坐標原點，PA.|OH|+|HF2|=2 B.|OH|>1

C.△OHF2內切圓半徑的最大值為11.已知遞增數列{an}的各項均為正整數，且滿足aaA.aa1=3 B.an>n 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.將兩個1，兩個3，一個5排成一行，則不同的排法種數為______.(用數字作答)13.函數f(x)=|sinx|+cosx的最小值為______．14.已知正四面體ABCD的棱長為22，動點P滿足PA2+P四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某公司升級了智能客服系統，在測試時，當輸入的問題表達清晰時，智能客服的回答被采納的概率為78，當輸入的問題表達不清晰時，智能客服的回答被采納的概率為12.已知輸入的問題表達不清晰的概率為15．

(1)求智能客服的回答被采納的概率；

(2)在某次測試中輸入了3個問題，設X表示智能客服的回答被采納的次數.16.(本小題15分)

如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2，點P在線段BE上．

(1)求證：平面ACP⊥平面ABF；

(2)當直線AP與平面BCE所成角的正弦值為32114時，求17.(本小題15分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，O為坐標原點，過C的右焦點的直線l交C的右支于P，Q兩點，當l⊥x軸時，|PQ|=22．

(1)求C的方程；

(2)過P作直線x=1的垂線，垂足為N18.(本小題17分)

已知a，b∈R，函數f(x)=ex?ax?bx，x∈[0,+∞)．

(1)當a=0時，求f(x)的極值；

(2)若f(x)存在零點．

(i)當b=0時，求a的取值范圍；

19.(本小題17分)

如圖，已知給定線段B1C1長為2，以B1C1為底邊作頂角為θ(0°<θ≤90°)的等腰三角形A1B1C1，取△A1B1C1的腰A1B1的三等分點B2，C2(B2靠近A1)，以B2C2為底邊向△A1B1C1外部作頂角為θ的等腰三角形A2B2C2?依次類推，取△An?1B

答案解析1.【答案】B

【解析】解：因為集合A={x|log2x<1}={x|0<x<2}，

所以A∩B=(0,1)．

故選：B．

2.【答案】A

【解析】解：復數z滿足1+z2?i=i，

則1+z=(2?i)i=1+2i，

故z=2i．

故選：A．

根據已知條件，結合復數的四則運算，即可求解．3.【答案】D

【解析】解：若直線l1：(m?2)x+3y+3=0與直線l2：2x+(m?1)y+2=0平行，

則(m?2)(m?1)=3×2=6，整理可得m2?3m?4=0，解得m=4或m=?1，

若m=?1，直線l1：x?y?1=0與直線l2：x?y+1=0平行，符合題意；

若m=4，直線l1：2x+3y+3=0與直線l2：2x+3y+2=0平行，符合題意；

綜上所述：m=4或m=?1．

故選：4.【答案】C

【解析】解：數列{an}中，an>0，

{lnan}為等差數列，令其公差為d，則lnan+1?lnan=d，即an+1an=ed為常數，

因此數列{an}為等比數列，必要性成立，

反之，數列{an}為等比數列，令其公比為q(q>0)，5.【答案】B

【解析】解：因為拋物線的方程為y=x2+2x+2，

所以(x+1)2=y?1，

令x+1=X，y?1=Y，

所以X2=Y，

該拋物線的焦點為(0,14)，

所以x+1=0y?1=14，

解得x=?16.【答案】A

【解析】解：當x>0時，f(x)=1?ex，?x<0，f(?x)=e?(?x)?1=ex?1=?f(x)；

當x<0時，f(x)=e?x?1，?x>0，f(?x)=1?e?x=?f(x)；

且當x=0時，f(x)=0，

故f(?x)=?f(x)恒成立，

所以f(x)為奇函數，

易知f(x)為R上的遞減函數，

則f(2x)+f(x?3)>0可轉化為f(2x)>?f(x?3)=f(3?x)，

所以2x<3?x，解得7.【答案】B

【解析】解：圓臺的側面展開圖是半個圓環，側面積為4π，

如圖：

設展開圖小圓半徑和大圓半徑分別為r，R，則圓臺側面積S=π2(R2?r2)=4π，即R2?r2=8，

下底面半徑R2=8.【答案】D

【解析】解：根據題意，依次分析選項：

對于A，設f(x)=sinx?x，x∈(0,π2)，

其導數f′(x)=cosx?1≤0，f(x)在(0,π2)上為減函數，

又由0<α<β<π2，則f(α)>f(β)，即sinα?α>sinβ?β，

變形可得sinα?sinβ>α?β，A錯誤；

對于B，設g(x)=x?tanx，x∈(0,π2)，

其導數g′(x)=1?1cos2x=cos2x?1cos2x≤0，g(x)在(0,π2)上減函數，

又由0<α<β<π2，則g(α)>g(β)，即α?tanα>β?tanβ，

變形可得α?β>tanα?tanβ，B錯誤；

對于C，當α=π3，β=5π12時，

αsinβ=π3×sin5π12=6+212π=2(6+2)24π，βcosα=5π12×12=5π24，

αsinβ?βcosα=π24(26+22?5)>0，

故αsinβ>βcosα，C錯誤；

對于D，設?(x)=tanx?x2，x∈[0,π2)，

?′(x)=1cos2x?2x，當x∈[π3,π2)時，1cos2x9.【答案】BC

【解析】解：已知根據形成的2×2列聯表，計算得到χ2≈2.727，

則6.635>χ2≈2.727>2.706，

則若α=0.100，則認為“毛色”和“角”有關，此推斷犯錯誤的概率不超過10%，故A錯誤，B正確；

若α=0.010，則認為“毛色”和“角”無關，故C正確，D錯誤．

故選：BC10.【答案】ACD

【解析】解：如圖，

對于A，|OH|+|HF2|=12(|PF1|+|PF2|)=12×2a=a=2，故A正確；

對于B，由三角形中位線得|OH|=12|PF1|，因為當點P在第二三象限時，|PF1|<2，

此時|OH|<1，故B錯誤；

對于C，因為|OH|+|HF2|+|OF2|=3，S△PF1F2=b2tanθ2=3tanθ2，

當點P在上頂點時，θ最大，所以0<θ≤π3，所以0<tanθ2≤33，

所以0<SΔPF1F11.【答案】ABD

【解析】解：對A，在原式中令n=1，則aa1=3，故A正確；

對B，若an≤n，∵{an}單調遞增，則aan≤an，

則an≥3n，即3n≤an≤n矛盾，舍去，故an>n，故B正確；

對C，由an>n，得aan>an，則n<an<3n，則1<a1<3，

∵a1∈N?，∴a1=2，原式中令n=1?a2=3，

令n=2?a3=6，∵遞增數列{an}，∴a5>6，∴C錯；

對D，由a1=2，a2=3，a3=6，令n=3?a6=9，由{an}單調遞增，

∴a4=7，a5=8，令n=6?a9=18，令n=9，則a18=27，

則9≤n≤18時，an=n+912.【答案】30

【解析】解：由題意將兩個1，兩個3，一個5排成一行，可分兩步進行：

第一步選2個空給兩個1有C52種選法，

第二步選剩下的3個空給兩個3有C32種選法，

最后剩一個空排5即可，

根據分步乘法計數原理有C52C32=30種排法，

故答案為：30．13.【答案】?1

【解析】解：∵f(x)=|sinx|+cosx的定義域為R，且f(?x)=|sin(?x)|+cos(?x)=|sinx|+cosx=f(x)，

∴f(x)是偶函數，

又f(x+2π)=|sin(x+2π)|+cos(x+2π)=|sinx|+cosx=f(x)，

∴f(x)是以2π為周期的偶函數，

∴要求f(x)的最小值，只需求f(x)在區間[0,π]上的值域即可．

又當0≤x≤π時，x+π4∈[π4,5π4]，

此時f(x)=sinx+cosx=2sin(x+14.【答案】2

【解析】解：建立正四面體的頂點坐標，

設四個頂點為A(1,1,1)，B(?1,?1,1)，C(?1,1,?1)，D(1,?1,?1)，

每條棱長均為22，設動點P(x,y,z)，

則PA2=(x?1)2+(y?1)2+(z?1)2，

PB2=(x+1)2+(y+1)2+(z?1)2，

PC2=(x+1)2+(y?1)2+(z+1)2，

PD2=(x?1)2+(y+1)2+(z+1)2，

PA2+PB2=2x2+2y2+2z2?4z+6，

PC2+PD2=2x2+2y2+2z2+4z+6，

因為PA2+PB2=P15.【答案】45；

分布列見解析．【解析】解：(1)根據題意，設A=“輸入的問題表達清晰”，事件B=“智能客服的回答被采納”，

則P(A?)=15，則P(A)=1?15=45，

P(B|A)=78，P(B|A?)=12，

故P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)=45×78+15×1X

0

12

3

P

1

12

4864

(1)根據題意，設A=“輸入的問題表達清晰”，事件B=“智能客服的回答被采納”，求出P(A)、P(A?)以及P(B|A)、P(B|A?)的值，由全概率公式計算可得答案；

16.【答案】證明見解析；

BPPE=12【解析】解：(1)證明：由正方形ADEF有AF⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，

所以AF⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，

所以AF⊥AC，

過點A作AH⊥BC，則BH=1，AH=3，CH=3，

所以AC=23，

所以AB2+AC2=BC2，即AC⊥AB，

又AB∩AF=A，所以AC⊥平面ABF，又AC?平面ACP，

所以平面ACP⊥平面ABF；

(2)由(1)知AF，AB，AC兩兩互相垂直，

分別以AB，AC，AF所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖：

則有A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,23,0)，E(?1,3,2)，

設BPPE=λ(0≤λ≤1)，則BP=λPE，

設P(a,b,c)，則有(a?2,b,c)=λ(?1?a,3?b,2?c)，

解得a=2?λ1+λ，b=3λ1+λ，c=2λ1+λ，

得P(2?λ1+λ,3λ1+λ,2λ1+λ)；

所以BC=(?2,23,0)，BE=(?3,3,2)，AP=(2?λ1+λ,17.【答案】x22?y22=1；

【解析】解：(1)由題設ca=2且a2+b2=c2，則a=b,c=2a，

由l⊥x軸時，|PQ|=22，不妨令P(2a,2)，代入雙曲線得2a2a2?2b2=1，

所以a2=b2=2，則所求方程為x22?y22=1；

(2)(i)證明：設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則N(1,y1)，由l斜率不為0，設l：x=my+2，

聯立雙曲線并整理得(m2?1)y2+4my+2=0，則m2?1≠0，Δ=8m2+8>0，

所以y1+y2=?4mm2?1，y1y2=2m2?1，

由x2≠1，直線NQ：y=y2?y1x18.【答案】當b≤1時，函數f(x)既無極大值也無極小值．

當b>1時，函數f(x)的極小值是b?blnb，無極大值．

(i)[2e【解析】解：(1)a=0時，f′(x)=ex?b，

當b≤1時，f′(x)≥0，函數f(x)單調遞增，既無極大值也無極小值．

當b>1時，x∈[0,lnb)，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減，x∈(lnb,+∞)，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增，

函數f(x)的極小值是b?blnb，無極大值．

(2)(i)當b=0時，因為函數f(x)存在零點，故ex=ax有解，

若x=0，此時無解，所以x>0，g(x)=ex?ax有解，g′(x)=ex?a2x=2exx?