專題07一元二次方程的應用

閱讀與思考

一元二次方程是解數(shù)學問題的有力工具，許多數(shù)學問題都可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次

方程根的性質(zhì)等而獲解.現(xiàn)階段，一元二次方程的應用主要有以下兩方面：

1.求代數(shù)式的值；

2.列二次方程解應用題.

從本質(zhì)上講，列二次方程解應用題與前面我們已經(jīng)學過的列一元二次方程解應用題沒有區(qū)別，通常

都要經(jīng)過設(shè)、列、解、答等四個步驟，解題的關(guān)鍵是尋找實際問題中的等量關(guān)系.特別需要注意的是，

列出的一元二次方程一般會有兩個不同的實數(shù)根，所以在檢驗時應特別注意，很可能其中有不符合實際

問題的根，必須舍去.

例題與求解

【例1】甲、乙兩地分別在河的上、下游，每天各有一班船準點以勻速從兩地對開，通常它們總在11

時于途中相遇，一天乙地的船因故晚發(fā)了40分鐘，結(jié)果兩船在上午11時15分在途中相遇，已知甲地

開出的船在靜水中的速度數(shù)值為44千米/時，而乙地開出的船在靜水中的速度為水流速度千米/時數(shù)值

的平方，則的值為___________.（安徽省競賽試題）

解題思路：利用甲船15分鐘所行路程是乙船（40-15）分鐘所行路程建立方程.

n24716n16

【例2】自然數(shù)n滿足n22n2n22n2，這樣的n的個數(shù)是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個（江蘇省競賽試題）

解題思路：運用冪的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為解方程.

3

【例3】如圖，在平面直角坐標系中，直線yx1與yx3交于點A，分別交x軸于點B和

4

點C，點D是直線AC上的一個動點.

（1）求點A，B，C的坐標；

（2）當△CBD為等腰三角形時，求點D的坐標.（太原市中考試題）

解題思路：對于（2），利用“腰相等”建立方程，解題的關(guān)鍵是分類討論.

【例4】如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點E在直角邊AC上（點E與A，

C兩點均不重合）.

（）若點在斜邊上，且平分△的周長，設(shè)＝，試用的代數(shù)式表示；

1FABEFRtABCAExxSAEF

（2）若點F在折線ABC上移動，試問：是否存在直線EF將Rt△ABC的周長和面積同時平分？若存在

直線EF，則求出AE的長；若不存在直線EF，請說明理由.（常州市中考試題）

解題思路：幾何計算問題代數(shù)化，通過定量分析回答是否存在這樣的直線EF，將線段的計算轉(zhuǎn)化

為解方程.

【例5】某公司投資新建了一商場，共有商鋪30間，據(jù)預測，當每間的年租金定為10萬元時，可全

部租出.每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間，該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費用1

萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費用5000元.

（1）當每間商鋪的年租金定為13萬元時，能租出多少間？

（2）當每間商鋪的年租金定為多少萬元時，該公司的年收益（收益＝租金－各種費用）為275萬元？

（紹興市中考試題）

解題思路：解題的關(guān)鍵是把復雜的數(shù)量關(guān)系分解成若干個小問題，再尋找各個小問題間量與量的關(guān)

系.

【例6】已知：如圖1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，點P由點B出發(fā)沿BA方

向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s.連

結(jié)PQ.若設(shè)運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：

（1）當t為何值時，PQ∥BC？

（2）設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的

值；若不存在，說明理由；

（4）如圖2，連結(jié)PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時刻t，使四

邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由.（青島市中考試題）

解題思路：對于（3），先求出PQ平分Rt△ACB周長時t的值，再看求出t的值是否滿足由面積關(guān)

系建立的方程.

能力訓練

A級

1.某工廠把500萬元資金投入新產(chǎn)品生產(chǎn)，第一年獲得了一定的利潤，在不抽調(diào)資金和利潤（即將第

一年獲得的利潤也作為生產(chǎn)資金）的前提下，繼續(xù)生產(chǎn)，第二年的利潤率（即所獲利潤與投入生產(chǎn)資金

的比）比第一年的利潤率增加了8%.如果第二年的利潤為112萬元，為求第一年的利潤率，可設(shè)它為x，

那么所列方程為_______________.（濟南市中考試題）

2.如圖，在長為10cm、寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的小正方形，使得留下陰影部分面積

是原矩形面積的80%，則所截去的小正方形的邊長是_________.（廣東省中考試題）

3.有一旅客攜帶了30千克行李從南京祿口國際機場乘飛機去天津.按民航規(guī)定，旅客最多可免費攜帶

20千克行李，超重部分每千克按飛機票價的1.5%購買行李票，現(xiàn)該旅客買了120元的行李票，則他的

飛機票價格應是________.

424

4.已知實數(shù)x、y滿足3,y4y33，則y4的值為（）

x4x2x4

113713

A.7B.C.D.5

22

5.一個跳水運動員從10米高臺上跳水，他每一時刻所在的高度（單位：米）與所用時間（單位：秒）

的關(guān)系式是h5t2t1，則運動員起跳到入水所用的時間是（）

A.－5秒B.1秒C.－1秒D.2秒

6.某種出租車的收費標準時：起步價7元（即行駛距離不超過3千米都需付7元車費），超過3千米以

后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米計），某人乘這種出租車從甲地到乙地共支付車費

19元，設(shè)此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程是x千米，那么x的最大值是（）

A.11B.8C.7D.5

7.如圖，菱形ABCD的邊長為a，O是對角線AC上的一點，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，則a＝（）

5151

A.B.C.1D.2

22

第2題圖第7題圖

8.我市向民族地區(qū)的某縣贈送一批計算機，首批270臺將于近期起運.經(jīng)與某物流公司聯(lián)系，得知用A

型汽車若干輛剛好裝完；用B型汽車不僅可少用1輛，而且有一輛車差30臺計算機才裝滿.

（1）已知B型汽車比A型汽車每輛車可多裝15臺，則A，B兩種型號的汽車各能裝計算機多少臺？

（2）已知A型汽車的運費是每輛350元，B型汽車的運費是每輛400元。若運送這批計算機用這兩種

型號的汽車，其中B型汽車比A型汽車多用1輛，所用運費比單獨用任何一種型號的汽車都要節(jié)省，按

這種方案需A，B兩種型號的汽車各多少輛？運費多少元？（四川省中考試題）

9.某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月的用電量不超過A度，那么這個月這戶只需交10元

A

用電費；如果超過A度，則這個月除了仍需交10元用電費外，超過部分還需按每度元交費.

100

下表是一戶居民3月、4月的用電情況和交費情況：

月份用電量（度）交電費（元）

3月8025

4月4510

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，電廠規(guī)定的A（度）為多少？（蘇州市中考試題）

10.某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染.請你用學

過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，三輪感染后，被感

染的電腦會不會超過700臺？（廣東省中考試題）

11.某批發(fā)商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個

月如果單價不變，預計仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價銷售，根據(jù)市場調(diào)查，單價每

降低1元，可多售出10件，但最低單價應高于購進的價格，第二個月結(jié)束后，批發(fā)商將對剩余的T恤

一次性清倉銷售，清倉時單價為40元.設(shè)第二個月單價降低x元.

（1）填表（不需化簡）：

時間第一個月第二個月清倉時

單價（元）8040

銷售量（件）200

（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元？

（南京市中考試題）

B級

1.如圖，梯子AB斜靠在墻上，∠ACB＝90°，AB＝5m，BC＝4m，當點B下滑到點B′時點A向左平

移到點A′，設(shè)BB′＝x，當x＝_______時，點B下滑的距離與點A向左平移的距離相等.

（徐州市中考試題）

2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，CA＝8cm，動點P從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿

1

CA，AB移到點B，則C點出發(fā)________秒時，可使SS.

BCP4ABC

3.甲、乙兩同學玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過P點回到起跑線

（如圖所示）；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑；用時少者勝.結(jié)果，甲同學由于心急，

掉了球，浪費了6秒鐘，乙同學則順利跑完。事后，乙同學說：“我倆所用的全部時間的和為50秒，撿

球過程不算在內(nèi)時，甲的速度是我的1.2倍。”根據(jù)圖文信息，請問哪位同學獲勝？（江西省中考試題）

4.一個批發(fā)與零售兼營的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆301支以上（包括301支），可以按批發(fā)價付款；

購買300支以下（包括300支）只能按零售價付款.現(xiàn)有學生小王來購買鉛筆，如果給學校初三年級每

人買1支，則只能按零售價付款，需用（m21）元（m為正整數(shù)，且m21＞100）；如果多買60

支，則可以按批發(fā)價付款，同樣需用（m21）元.

（1）設(shè)這個學校初三年級共有x名學生，則①x的取值范圍是____________；②鉛筆的零售價每支應

為____________元，批發(fā)價每支應為__________元.（用含x，m，n的代數(shù)式表示）

（2）若按批發(fā)價每購買15支，比按零售價每購15支少付款1元，試求這個學校初三年級共有多少名

學生，并確定m的值.

5.在一次汽車比賽中，有三輛汽車在起點同時同向出發(fā)，其中第二輛車每小時輛車比第一輛車少走5

公里，而比第三輛車多走7.5公里；第二輛車到達終點比第一輛車遲3分鐘，而比第三輛車早到5分鐘.

假設(shè)它們在路上都沒停過.

（1）比賽的路程是多少公里？

（2）第二輛車的速度是每小時多少公里？（荊州市競賽試題）

6.象棋比賽共有奇數(shù)個選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤.記分辦法是勝一盤得1分，和一盤

各得0.5分，負一盤得0分.已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，參加此次比賽的選

手共有多少人？（天津市競賽試題）

7.如圖，有矩形地ABCD一塊，要在中央修建一矩形EFGH花圃，使其面積為這塊地面積地一半，且

花圃四周的道路寬相等.今無測量工具，只有無刻度的尺和夠長的繩子一條，如何量出道路的寬度？

8.小明有5張人民幣，面值合計20元.

（1）小明的5張人民幣的面值分別是______元、______元、______元、______元、______元.

（2）小明來到水果店，稱了x公斤蘋果（x是整數(shù)），按標價應付y元，正好等于小明那5張人民