2024-2025學年安徽省懷寧縣高二下學期3月月考數學階段檢測試卷試題范圍：導數及其應用、計數原理一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.1080不同的正因數個數為（）A.32 B.36 C.48 D.50【正確答案】A【分析】根據質因數分解，結合分步計數原理即可求解.【詳解】由題意可知，則1080的正因數，因為可取，可取，可取，所以1080不同的正因數個數為.故選：A.2.五個人站隊排成一行，若甲不站排頭，乙不站排尾，則不同排法的種數為（）A.36 B.72 C.78 D.120【正確答案】C【分析】首先對甲的站位進行分類，再按照分步原理進行計算.【詳解】由題意，分成2種情況，一種情況是甲站排尾，則其余4人全排列，有種方法，另一種情況是甲不占排尾，則甲有3種方法，乙有3種方法，其余3人全排列，有種方法，綜上可知，共有種方法.故選：C3.數學中“凸數”是一個位數不低于3的奇位數，是最中間的數位上的數字比兩邊的數字都大的數，則沒有重復數字且大于564的三位數中“凸數”的個數為（）A.147 B.112 C.65 D.50【正確答案】C【分析】根據給定條件，結合“凸數”的意義，利用分類加法計數原理求解即得.【詳解】最高位是5的“凸數”，中間數分別為7，8，9，分別有6，7，8個，共有21個；最高位是6的“凸數”，中間數分別為7，8，9，分別有6，7，8個，共有21個；最高位是7的“凸數”，中間數分別為8，9，分別有7，8個，共有15個；最高位是8的“凸數”，中間數為9，有8個，所以沒有重復數字且大于564的三位數中“凸數”的個數為.故選：C4.如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區域分開，若相鄰區域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）A.400種 B.460種 C.480種 D.496種【正確答案】C【分析】完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色，當使用3種顏色時，和涂一種顏色，利用分類加法、分步乘法計數原理即可求解.【詳解】完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色，當使用4種顏色時，有6種涂法，有5種涂法，有4種涂法，有3種涂法，所以共有種方法；當使用3種顏色時，和涂一種顏色，共有6種涂法，有5種涂法，有4種涂法，所以共有種方法；所以不同的涂法共有種.故選.5.圖中的矩形的個數為（）A.12 B.30 C.60 D.120【正確答案】C【分析】根據題意先確定“橫邊”，再確定“豎邊”，結合分步計數原理，即可求解.【詳解】由題意，矩形的兩條鄰邊確定，矩形就確定，第一步先確定“橫邊”，從5個點任選2個點可以組成一條“橫邊”，共有種情況；第二步再確定“豎邊”，共有種情況，所以圖中矩形共有.故選：C.6.已知函數是定義域為的奇函數，是的導函數，，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】當時，，可得在上單調遞增，結合函數是定義域為的奇函數，，從而得到不等式，求出答案.【詳解】令，則，由題意知當時，，故在上單調遞增，因為函數是定義域為的奇函數，所以，所以，所以是定義域為的偶函數，所以在上單調遞減，又因為，所以，所以，所以當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則.則不等式的解集為.故選：D.7.設實數，若對任意的，不等式恒成立，則實數m的最小值為（

）A. B.1 C. D.【正確答案】C【分析】根據對數的運算性質將不等式等價為恒成立，構造函數，，利用導數求解函數單調性進而得最值即可求解.【詳解】因為，不等式成立，即，又，則恒成立，令，可得，當，，單調遞增，則不等式恒成立等價于恒成立，即恒成立，即恒成立，設，可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當，函數取得最大值，最大值為，所以，即，則實數m的最小值為．故選：C．8.已知函數，若在有實數解，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先分析題意，由于，設出進一步分析，則，分析單調性解出實數的取值范圍.【詳解】根據題意，，所以，令，則函數在上存在零點等價于與的圖象有交點.，令，則，故在上單調遞增，因為，，所以存在唯一的，使得，即，即，，所以當時單調遞減，當時，單調遞增，所以，又時，，故，所以，故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.（多選題）有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法正確的是（）A.每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種B.每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種C.每位同學限報其中一個社團，每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種D.每位同學限報其中一個社團，每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有種【正確答案】AC【分析】根據題意，利用分步計數原理分析選項即可.【詳解】對于A選項，第1個同學有3種報法，第2個同學有3種報法，后面的2個同學也有3種報法，根據分步計數原理共有種結果，A正確，B錯誤；對于C選項，每個社團限報一個人，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有3種選擇，第3個社團有2種選擇，根據分步計數原理共有種結果，C正確，D錯誤.故選：AC.10.若對一切恒成立，則的值可能為（）A. B. C. D.【正確答案】AB【分析】構造函數，借助導數可研究其單調性即可得，再構造函數，借助導數可研究其單調性即可得，即可得解.【詳解】由題意可得對一切恒成立，令，則，當時，，故在上單調遞減，此時在上無最小值，不符合題意，當時，令，有，令，有，故在上單調遞減，在上單調遞增，故，即，則，令，則，故當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，故，即，當，滿足題意.故選：AB.11.靈活生動的曲線和簡潔干練的直線，在生活中處處體現了幾何藝術美感，我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關系，如由在點處的切線寫出不等式，進而用替換得到一系列不等式，疊加后有這些不等式同樣體現數學之美．運用類似方法推導，下面的不等式正確的有（）A.， B.C. D.【正確答案】ABC【分析】選項A，將中的替換為，用賦值法可得，選項B，然后根據同向不等式相加可判斷B選項的正誤；選項C，將中的替換為，可得，同樣根據同向不等式相加與指對互化即可證明；選項D，將中的替換為，可得，然后再根據同向不等式相加可判斷D的正誤，另外，也可用特殊值法即由即可說明選項D的正誤．【詳解】令，則，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，故，當且僅當時等號成立，將中的替換為，可得，當且僅當時等號成立，令，可得，所以，故正確；所以，其中，所以，故B正確；C選項：將中的替換為，顯然，則，故，當時，，故成立；當時，顯然成立，故，故C正確；選項：將中的替換為，其中，且，則，則，故，則，又，故D錯誤.故選：ABC．三?填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數，其中，若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為_______.【正確答案】【分析】設切點求出兩個函數的切線方程，根據這個兩個方程表示同一直線，可得方程組，化簡方程組，可以得到變量關于其中一個切點橫坐標的函數形式，求導，求出函數的單調性，結合該函數的正負性，畫出圖象圖形，最后利用數形結合求出的取值范圍.【詳解】設曲線的切點為：，，所以過該切點的切線斜率為，因此過該切點的切線方程為：；設曲線的切點為：，，所以過該切點的切線斜率為，因此過該切點的切線方程為：，則兩曲線的公切線應該滿足：，構造函數,當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以函數有最大值為：，當時，，當，，函數的圖象大致如下圖所示：要想有若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為.故答案為.13.已知恒成立，則正數的取值范圍為______．【正確答案】【分析】將原不等式同構為，即，令，分析單調性可得，令利用導數求出最值得解.【詳解】由，可得．令，易知在上單調遞增，由，可得，故，即令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則，所以，即，故正數的取值范圍是.故答案為.14.將3個1，3個2，3個3共9個數分別填入如圖方格中，使得每行、每列的和都是3的倍數的不同填法種數為__________.【正確答案】24【分析】每行，每列的和為3的倍數有兩種可能，即每行每列數字相同或1，2，3各一個，利用排列組合知識求出種類數即可.【詳解】每行，每列的和為3的倍數有兩種可能：①每行或每列的數字相同，有種方法，②每行或每列的數字1，2，3各一個，有種方法.所以每行，每列和都是3的倍數的不同填法種數為故24.四?解答題：（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.從包含甲、乙2人的7人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結果用數字作答，否則無分）（1）甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；（2）甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；（3）甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．【正確答案】（1）120（2）120（3）140【分析】（1）元素相鄰用捆綁法；（2）元素不相鄰用插空法；（3）由間接法求解即可.【小問1詳解】第一步：甲乙捆綁看做一個整體，從3個位置安排一個位置有，第二步：從剩下5人中，需兩人排在兩個位置，有,所有共有：；【小問2詳解】第一步，先從剩下5人中選2人排序，有，第二步，甲乙兩人從3個空中選2個空排序，有，所以共有：；【小問3詳解】從5人中選2人加上甲乙4人的全排列有：，其中甲跑第一棒的有：，乙跑第四棒的有：，甲跑第一棒，乙跑第四棒有：，所以共有：16.已知函數．（1）當時，求的單調區間；（2）若對任意都有，求實數的取值范圍．【正確答案】（1）減區間為，增區間為（2）【分析】（1）先求出導函數，再根據導函數正負得出函數單調性；（2）先求出導函數再構造函數，再分和分別求出函數單調性即可求參.【小問1詳解】當時，，的定義域為．因為，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．所以的減區間為，增區間為．【小問2詳解】因，設，，則，所以在上單調遞增．當時，，即，所以在上單調遞增．所以恒成立，故滿足題意．當時，，又，因為在上單調遞增，所以，所以當時，，即．所以在上單調遞減，此時，故不合題意．綜上所述，實數的取值范圍是．17.已知函數（1）當時，討論的單調性；（2）若恒成立，求a的取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析.（2）【分析】（1）求導,然后令,討論導數的符號即可;（2）構造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【小問1詳解】令,則則當當,即.當,即.所以在上單調遞增,在上單調遞減【小問2詳解】設設所以.若,即在上單調遞減,所以.所以當,符合題意.若當,所以..所以,使得,即,使得.當,即當單調遞增.所以當,不合題意.綜上,的取值范圍為.關鍵點點睛:本題采取了換元,注意復合函數的單調性在定義域內是減函數,若,當,對應當.18.已知函數，．（1）討論函數的單調性；（2），求的值；（3）對于任意的，求證：．【正確答案】（1）答案見解析；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）對函數求導，討論、研究導數的符號，即可確定單調性；（2）根據題設得且，利用導數研究左側的最值，即可得參數值；（3）根據（2）的結論有，則，應用累加即可證結論.【小問1詳解】由題設且，當時，，即在上單調遞增；當時，令，則，若，則，即在上單調遞減，若，則，即在上單調遞增；【小問2詳解】由且的定義域為，由（1）知，在上單調遞增，即上有，不符合；所以，結合此時的性質，只需，令，故，當時，即上單調遞增，當時，即在上單調遞減，所以，即，所以，只需，滿足.【小問3詳解】由（2）知，在上，則，令，則，所以，得證.19.已知函數，，．（1）若的極值點為1，求實數的值；（2）在（1）的前提下，若對，總存在，使得成立，求實數的取值范圍；（3）證明不等式（其中是自然對數的底數）．【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）先求出導函數再應用1是極值點代入求參即可；（2）把存在及恒成立轉化為最值問題，先求出，再分類討論求出計算求參即可；（3）應用，再結合（2）得出，應用不等式的性