專題30運動與變化------函數思想

閱讀與思考

所謂函數思想，就是用運動、變化的觀點來分析問題中的數量關系，通過函數的形式，把這種關系

表示出來，運用函數的概念和性質去分析問題、解決問題.

函數思想在解決問題中有以下幾個方面的應用：

1．利用函數圖象解決問題；

2．用函數的觀點研究方程（組）、不等式（組）的解；

3．建立目標函數，運用函數的性質去解決問題.

方程與函數有著深刻的內在聯系，這種聯系體現在：方程的解是對應的函數圖象交點的橫坐標．函

數圖象的直觀性，使得我們對方程的理解有了一種新的途徑，

函數是初中數學的主要內容，有正比例函數、反比例函數、一次函次和二次函數，要研究它們的性

質和圖象．函數的思想方法就是用變化運動的觀點來觀察、分析問題．

應熟悉以下基本問題：

①常見函數的性質、圖象、畫法；

②常見函數的圖象與該函數的解析式中各個系數的符號的關系；

③確定常見函數解析式的方法；函數與方程（組）的聯系.

例題與求解

【例1】同學們都知道，一次函數ykxbk0的圖象是一條直線，它可以表示許多實際意義，

比如在圖1中，x表示時間（小時），y表示路程（千米）．那么從圖象上可以看出，某人出發時（x＝0），

離某地（原點）2千米，出發1小時，由x＝1，得y＝5，即某人離某地5千米，他走了3千米．

在圖2中，OA，BA分別表示甲、乙兩人的運動圖象，請根據圖象回答下列問題：

(1)如果用t表示時間，y表示路程，那么甲、乙兩人各自的路程與時間的函數關系式：甲_________，

乙________________;

(2)甲的運動速度是______千米/時；

(3)甲、乙同時出發，相遇時，甲比乙多走______千米．（常州市中考試題）

圖1圖2

解題思路：本例采用新視角將行程問題用圖示法表示，解題的關鍵是領會“一次函數”表示行程問

題的意義，從圖象獲得與行程問題相關量的信息.

對于某些從正面直接求解比較困難的數學問題，通過對題設與結論的觀察與分析，構造輔助元素，

使問題結構更加清晰，解題過程更加簡化，目標結論更為明確，這種解題方法稱為構造法．

構造法的基本形式是以已知條件為“原料”，以所求結論為“方向”，構造出一種新的數學形式，常

用的構造方法有：

①構造實例；②構造反例；③構造方程；④構造函數；⑤構造圖形.

【例2】對于方程x22x2m，如果方程實根的個數恰為3個，則m值等于()

A.1B．3C．2D．2.5

解題思路：可將m值一一代入原方程，逐一驗證，直至篩選出符合條件的m的值．本例的另一解

法是把討論方程解的個數轉化為討論函數yx22x2與函數ym圖象交點，利用函數圖象解題．

【例3】已知b，c為整數，方程5x2bxc0的兩根都大于－1且小于0，求b和c的值．

（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：解本例的基本思路是利用求根公式，通過解不等式組求出b，c的值，顯然較繁．可以

構造二次函數，討論二次函數y5x2bxc與x軸交點在－1與0之間時所滿足的約束條件入手．

【例4】在直角坐標系中．有以A（－1，－1），B(1，一1),C(1，1），D(－1，1)為頂點的正方

形，設它在折線yxaa上側部分的面積為S．試求S關于a的函數關系式，并畫出它們的圖象．

（河北省競賽試題）

解題思路：CD，AB平行于x軸且與x軸的距離為1，就a≥1，0≤a≤1，－1≤a＜0，a＜－1四種

情況討論.

【例5】如圖，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O恰在水面

中心，OA＝1.25米．由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流沿形狀相同的各條拋物線落下，為使水流

形狀較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1米處時距水面最大高度為2.25米．

(1)如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至落到池外？

(2)若水流噴出的拋物線形狀與(1)相同，水池的半徑為3.5米，要使水流不落到池外，此時水流的

最大高度應達多少米？（精確到0.1米）（山西省中考試題）

解題思路：以OA所在的直線為y軸，過點O垂直于OA的直線為x軸，點O為原點，建立直角坐

標系，解題的關鍵是求出拋物線的解析式.

隨著近年中考和競賽試題改革的不斷深入，數學應用題已不再停留在“列方程解應用”的層次上，

其內容繁多，題型多變，解法靈活，函數應用題的廣泛出現是近年中考的一個顯著特點.

函數應用題的數量關系是以函數的形式出現，解題的關鍵是建立量與量之間的函數關系式，運用相

關函數的性質解題.

【例6】某商場促銷方案規定：商場內所有商品按標價的80%出售，同時，當顧客在商場內消費滿

一定金額后，按下表獲得相應的返還金額．

消費金額（元）300~400400~500500~600600~700700~900…

返還金額（元）3060100130150…

注：“300～400”表示消費金額大于300元且小于或等于400元，其他類同.

根據上述促銷方案，顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠．例如，若購買標價為400元的商品，則

消費金額為320元，獲得的優惠額為400×(1－80%)＋30＝110(元)．

(1)購買一件標價為1000元的商品，顧客獲得的優惠額是多少？

(2)如果顧客購買標價不超過800元的商品，要使獲得的優惠額不少于226元，那么該商品的標價

至少為多少元？（南京市中考試題）

解題思路：本題考查的是分段函數的應用問題，在解答過程中要體現分類討論的思想．

能力訓練

1．如圖，是蘭州市市內電話費y（元）與通話時間t（分鐘）之間的函數關系的圖象，則通話7分

鐘需付電話費_________（元）．

（甘肅省中考試題）

第1題圖第2題圖第4題圖

2．如圖，某航空公司托運行李的費用與托運行李重量的關系的函數圖象，由圖中可知行李的重量

只要不超過_________公斤，就可免費托運．

3．已知a，b為拋物線y＝(x－c)(x－c－d)－2與x軸交點的橫坐標，a＜b，則|a－c|＋|c－b|

的值為_________．

（全國初中數學競賽試題）

4．為了增強居民節水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計費的方法收費，每

月收取水費y（元）與用水量x（噸）之間的函數關系如圖．按上述分段收費標準，小明家三、四月份

分別交水費26元和18元，則四月份比三月份節約用水__________噸．

（武漢5月調考試題）

5．某校組織學生到距離學校6千米的光明科技館去參觀．學生王紅因事沒能乘上學校的包車，于

是準備在學校門口改乘出租車去光明科技館，出租車的收費標準如下：

里程收費（元）

3千米以下（含3千米）8.00

3千米以上，每增加1千米1.80

(1)寫出出租車行駛的里程數x≥3（千米）與費用y（元）之間的函數關系式：___________.

(2)王紅同學身上僅有14元錢，乘出租車到科技館的車費夠不夠？請說明理由．_______________

（常州市中考試題）

6．已知邊長為1的正方形ABCD，E為邊CD的中點，動點P在正方形ABCD邊上沿A→B→C→E

運動．設點P經過的路程為x，△APE的面積為y，則y關于x的函數圖象大致為()

ABCD

（天津市競賽試題）

7．向高為h的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量v與水深h的函數關系如圖所示，那么水瓶的

形態是()

v

h

OH

ABCD

（黃岡市調考試題）

．方程2的兩根滿足＜＜＜＜，則的取值范圍是()

84x4k1x4k100x11x22k

7171

A．0＜k＜2B．0＜k＜C．＜k＜D．＜k＜2

4444

9．某旅社有100張床位，每床每晚收費10元時，客床可全部租出，若每床每晚收費提高2元，則

減少10張床位租出；若每床每晚收費再提高2元，則再減少10張床位租出．以每次提高2元的這種方

法變化下去，為了投資少而獲利大，每床每晚應提高()

A．4元或6元B．4元C．6元D．8元

（無錫市競賽試題）

b

10．如圖所示，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，≤a≤3b.在AB，BC，CD和DA上分別取E，

3

F，G，H，使得AE＝AH＝CF＝CG，則四邊形EFGH面積的最大值為()

(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2

A．B．C.D．

24816

11．某公司生產一種產品，每件成本為2元，售價為3元．年銷售量為100萬件．為獲取更好的效

益，公司準備拿出一定資金做廣告．通過市場調查發現：每年投入的廣告費用為x（10萬元）時，產品

的年銷量將是原售量的y倍；同時y又是x的二次函數，相互關系如下表：

x012…

y11.51.8…

(1)求y與x的函數關系式；

(2)如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費，試寫出年利潤S（10萬元）與廣告費x(10

萬元)的函數關系式；

(3)如果一年投入的廣告費為10～30萬元，問廣告費在什么范圍內時，公司獲得的年利潤隨廣告

費的增大而增大？

（廣西賽區選拔賽試題）

12.如圖，這是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標系中的示意圖，橫斷面的地平線

為x軸，橫斷面的對稱軸為y軸．橋拱的DGD部分為一段拋物線，頂點G的高度為8米，AD和A'D'

是兩側高為5.5米的支柱．OA和OA'為兩個方向的汽車通行區，寬都為15米，線段CD和CD為兩段

對稱的上橋斜坡，其坡度比為1：4.

(1)求橋拱DGD'所在拋物線的解析式及CC'的長；

(2)BE和B'E'為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應的AB和A'B'為兩個方向的行人及非機動

車通行區，試求AB和A'B'的寬；

(3)按規定，汽車通過該橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米．今有一大型運

貨汽車，裝載某大型設備后，其寬為4米，車載大型設備的頂部與地面的距離均為7米；它能否從OA

（或OA'）區域安全通過？請說明理由.（河北省中考試題）

13．有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm.點B，C，Q，R

在同一條直線l上.當C，Q兩點重合時，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直線l按箭頭所示方向開始勻

速運動，t秒后正方形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積為scm2.解答下列問題：

(1)當t＝3秒時，求s的值；

(2)當t＝5秒時，求s的值；

(3)當5秒≤t≤8秒時，求s與t的函數關系式，并求出s的最大值．（吉林省中考試題）

14.是否存在這樣的實數k，使得二次方程x22k1x3k20有兩個實數根，且兩根都在

2與4之間？如果有，試確定k的取值范圍；如果沒有，試述理由.

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

2

15.實數a，b，c滿足acabc0．證明：bc4aabc．

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

16.如圖，已知點A(－1，0)，B(3，0)，C(0，t)，且t0，tan∠BAC＝3，拋物線經過A，B，C

三點.點P(2，m)是拋物線與直線l：ykx1的一個交點．

(1)求拋物線的解析式；

(2)對于動點Q(1，n），求PQ＋QB的最小值；

(3)若動點M在直線l上方的拋物線上運動，求△AMP的邊AP上的高h的最大值.

（內江市中考試題）

17.點A(4，0)，B(0，3)與點C構成邊長分別是3，4，5的直角三角形，如果點C在反比例函數

k

y的圖象上，求k可能取的一切值．

x

（“希望杯”邀請賽試題）

18.已知函數yx12x1x2．

(1)在直角坐標系中作出函數圖象；

(2)已知關于x的方程kx3x12x1x2（k0）有三個解，求k的取值范圍．

（“創新杯”競賽試題）

19.當－1≤x≤2時，函數y2x24axa22a2有最小值2，求a所有可能取的值．

（太原市競賽試題）

專題30運動與變化

——函數思想

例l（l）y=4t(t≥0)y=3t+5(t≥0)(2)4(3)5

2

例2C提示：如圖所示，當m=2時，yx2x2與y=m有三個不同的交點。

例3根據函數y=5x2+bx+c的圖象和題設條件知：當x=0時，5x2+bx+c＞0，∴c＞0．當x=-1時，

bb

5x2+bx+c>0，∴b<5+c．拋物線頂點的橫坐標滿足-1<<0，∴0<b<10，∵△≥0，即b2-20c

2525

≥0，∴b2≥20c.由上面條件得l00>b2≥20c，c<5.分別就c=l，2，3，4，討論得b=5，c=l．

1

例4①當a≥1時,s=0；②當0≤a≤1時，s(1a)2(1a)(1a)2；③當-1≤a<0時，

2

2(1a)(1a)

S22(1a)2;；④當a<-1時，s=2．

2

例5(1)2.5米(2)3.7米

例6(1)購買一件標價為l000元的商品，消費金額為800元，顧客獲得的優惠額為1000×

(1-80%)+150=350（元）．(2)設該商品的標價為x元．當80%x≤500，即x≤625時，顧客獲得的優惠

額不超過625×(1-80%)+60=185<226;當500<80%x≤600，即625≤x≤750時，(1-80%)x+100≥226，解

得x≥630.∴630≤x≤750;當600<80%x≤800×80%，即750<x≤800時，顧客獲得的優惠額大于750×

(1-80%)+130=280>226.綜上，顧客購買標價不超過800元的商品，要使獲得的優惠額不少于226元，那

么該商品的標價至少為630元．

能力訓練1.12.193.b-a提示：當x=c時，y=-2，即點（c，-2）在拋物線上，且位于x軸下方，

又因y=(x-c)（xcd)2的開口向上，則acb

4.3

5.(1)y1.8x2.6

(2)夠

113515

6.A提示:當0x1時,yx;當1x2時,yx;當2x時,yx

244224

7.A提示:由圖象知,隨高度增加,注水量增大.

8.C提示:含yf(x)4x24(k1)x4k1,則f(0)0,f(1)1,f(2)0

9.A

提示設則2

10.C:AEAHCFCGx,BEax,BFDHbx,SEFGH2x(ab)x

13

11.(1)yx2x1(x0)

105

(2)S10(32)yxx25x10(x0)

565

(3)S(x)2,又1x3,當1x2.5時,S隨x增大而增大

24

1

12.(1)yx28CC'2OC2(OAAC)74(米)

90

(2)ABA'B'6(米)

137

(3)yx28中,當x4時,y7(70.4),故該大型貨車可從OA(或OA')區域安全通過

9045

27

13.(1)S(cm2)

8

69

(2)S(cm2)

8

33917113165

(3)St2t,當t時,S(cm2)

4482max16

(2k1)24(3k2)0

f(2)42(2k1)(3k2)0

2

14.設yf(x)x(2k1)x(3k2),如圖,由題意得f(4)164(2k1)(3k2)0

b1

2k4

2a2

此不等式組無解,所以滿足要求的k值不存在

15.令yf(x)ax2(bc)xabc,

f(0)abc,f(1)2(bc),f(0)f(1)2(ac)(abc)0,從而二次函數的圖象必與

x軸相交,且一交點在-1與0之間,于是方程ax2(bc)x(abc)0必有兩個不相等的解,故

(bc)24a(abc)0,即(bc)24a(abc)

16.(1)yx22x3

(2)P(2,3),拋物線的對稱軸為x1,故Q(1,n)在對稱軸上,點P關于對稱軸x1的對稱點是C,CB即

為所求PQQB的最小值,此時CB32,故PQQB的最小值為32

111339

(3)設M(p,q),S(p1)q(3q)(2p)31pq

AMPB222222

3393175

p(p22p3)(p)2

222228

1757527127

當p時,S最大值為,S最大值為6,此時有32h,解得

2AMPB8AMP8828

9

h2

8

17.點A與點B之間的距離是5,所以它們之間的連線是直角三角形的斜邊,設點C的坐標是(a,b),則

(a4)2b29(a4)2b216

①或②,

a2(b4)216a2(b4)29

a2b28a1691

對于①,有,兩式相減,得8a6b140,因此b(4a7),將它代入①的第二

a2b26a9163

12821

個式子,得(a4)(25a28)0,解