2024-2025學(xué)年廣東省江門市江海區(qū)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列1，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為A. B. C. D.【正確答案】A【分析】把數(shù)列化為，根據(jù)各項(xiàng)特點(diǎn)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式.【詳解】數(shù)列…可以化為，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故選：A本題考查了根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)特點(diǎn)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的公差為（）A. B.C. D.【正確答案】B分析】本題可直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前和公式聯(lián)立方程組求解即可得出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為和,則由題意可得,聯(lián)立解得.故選:B.本題著重考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前和公式運(yùn)算應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A.2n–1 B.2–21–n C.2–2n–1 D.21–n–1【正確答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4.已知，的值是（）A.3 B.2 C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義與極限的運(yùn)算可得．【詳解】．故選：B．5.下列各式正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式直接求導(dǎo).【詳解】A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.6.已知函數(shù)，則（）A. B. C.3 D.15【正確答案】A【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【詳解】，，，解得，.故選：A.7.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了高階等差數(shù)列的概念.如數(shù)列1，3，6，10，后前兩項(xiàng)之差得到新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第19項(xiàng)為（）A.174 B.184 C.188 D.190【正確答案】A【分析】先列出數(shù)列的遞推公式，用“累加法”求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的指定項(xiàng).【詳解】設(shè)此數(shù)列為，則，，，…，，所以，所以.故選：A8.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，若方程在區(qū)間(其中為自然對數(shù)的底)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，得出，由，得出，將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，然后作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】，，導(dǎo)函數(shù)的對稱軸為直線，由于該函數(shù)為偶函數(shù)，則，，令，即，得.問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．，令，得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，，又，，顯然，，如下圖所示：結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選B．本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，本題的關(guān)鍵在于利用參變量分離的方法，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在畫函數(shù)的圖象中，需要用到導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及端點(diǎn)值，通過這些來確定函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.關(guān)于函數(shù)，以下說法正確的有（）A. B.在單調(diào)遞減C.單調(diào)遞減 D.在單調(diào)遞增【正確答案】AD【分析】求導(dǎo)得，代值計(jì)算可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間，可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋摵瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t，對于A選項(xiàng)，，A對；對于BCD選項(xiàng)，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，BC都錯(cuò)，D對.故選：AD.10.若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的可能取值是（）A. B. C. D.【正確答案】CD【分析】求出函數(shù)的極值點(diǎn)，分析可知，函數(shù)區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋瑒t，由可得，由可得或，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)，即或，解得或，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：CD.11.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.若，則B.若，則的值有3種情況C.若數(shù)列滿足，則D.若為奇數(shù)，則（）【正確答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，求出前幾項(xiàng)探討周期性計(jì)算判斷A；按的奇偶性求出的值判斷B；由的奇偶性，結(jié)合周期求出判斷C；借助反證法的思想推理判斷D.【詳解】對于A，，則該數(shù)列為，則，，而，因此，A錯(cuò)誤；對于B，，若為偶數(shù)，則，于是或；若為奇數(shù)，則，于是，因此的值會出現(xiàn)3種情況，B正確；對于C，由數(shù)列滿足，得數(shù)列是周期為2的數(shù)列，有當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，解得，或，無正數(shù)解；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，解得，因此或都滿足，C錯(cuò)誤；對于D，若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，與為奇數(shù)矛盾，因此為偶數(shù)，即，則，D正確.故選：BD關(guān)鍵點(diǎn)睛：由數(shù)列遞推公式探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)的問題，關(guān)鍵是正確理解給出的關(guān)系式，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數(shù)列中，是方程的根，則的值為________．【正確答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的性質(zhì)，等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】等比數(shù)列中，是方程的根，則，，則，由等比數(shù)列性質(zhì)可知，所以，而，所以，故答案為.本題考查了等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的應(yīng)用，注意項(xiàng)的符號判斷，屬于基礎(chǔ)題.13.已知數(shù)列滿足，且，則_______．【正確答案】【分析】對兩邊同時(shí)取倒數(shù)，得到，求出通項(xiàng)公式.【詳解】對兩邊同時(shí)取倒數(shù)，所以，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，所以．故14.已知定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，恒有，令，則滿足的實(shí)數(shù)的取值集合是__________．【正確答案】【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，由于，因此化為，即，也即，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)；又，故函數(shù)是偶函數(shù)，依據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，故不等式可化為，應(yīng)填答案．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后再研究并求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定其單調(diào)性，進(jìn)而運(yùn)用定義斷定其奇偶性是偶函數(shù)，最后再借助單調(diào)性將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為，從而使得問題獲解．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求曲線在點(diǎn)處切線方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意得出，由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.【小問1詳解】因?yàn)椋瑪?shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，.滿足，故對任意的，.【小問2詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.16.已知等比數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，求正整數(shù)的值．【正確答案】（1）（2）10【分析】（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比，結(jié)合已知列出方程組，即可求出通項(xiàng)公式.（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可得解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，解得，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】由（1）知，所以．由，得，解得，所以滿足的正整數(shù)的值為10．17.已知函數(shù)，其中．（1）若，求的值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍．【正確答案】（1）2（2）【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，令，即可求得的值；（2）由題可知，上恒成立，參變分離，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.【小問1詳解】已知函數(shù)，則，因?yàn)椋瑒t，解得．【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以對恒成立，所以，令，則由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故只需故的取值范圍是．18.已知數(shù)列滿足：，且對于任意正整數(shù)，均有．（1）設(shè)，證明：為等差數(shù)列；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意的恒成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由已知等式變形得出，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）利用等差數(shù)列的求和公式可求出，利用錯(cuò)位相減法可求出，由結(jié)合參變分離得出，令，分析數(shù)列的單調(diào)性，確定數(shù)列的最大項(xiàng)的值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】數(shù)列滿足：，且對于任意正整數(shù)，均有．等式兩邊同時(shí)除以可得，因?yàn)椋瑒t，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可得，所以，，，，則，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，，因?yàn)閷θ我獾暮愠闪ⅲ矗瑓⒆兎蛛x可得，令，則，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且時(shí)，，即數(shù)列從第二項(xiàng)開始單調(diào)遞減，所以，數(shù)列的最大項(xiàng)的值為，故，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.設(shè)函數(shù)（a為非零常數(shù)）（1）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.【正確答案】（1）1；（2）分類討論，答案見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，再代入計(jì)算作答.（2）求出函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論求解單調(diào)區(qū)