第18頁（共18頁）2024-2025學年上學期高二數學北師大版（2019）期中必刷?？碱}之導數的計算一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?安陽期末）已知函數f(x)=xex+2kA．e B．e2 C．1 D．﹣2．（2024秋?諸暨市期末）下列選項正確的是（）A．（sin10°）′＝cos10° B．(lgC．[（2x+1）（2x﹣1）]′＝8x D．（e﹣x）′＝e﹣x3．（2024秋?保定期末）函數y=logA．1xln2 B．xlnC．1xln2-sin4．（2025?徐州模擬）設定義域為（0，+∞）的單調函數f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]＝3，若x0是方程f（x）﹣f′（x）＝2的一個解，則x0可能存在的區間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．（2024秋?德州期末）已知函數f（x）＝lnx﹣xf'（1），則f（2）＝（）A．ln2﹣1 B．ln2-12 C．12二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?阜寧縣校級期末）下列命題正確的有（）A．已知函數f（x）在R上可導，若f′（1）＝2，則lim△B．(cosxC．已知函數f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，則x0D．設函數f（x）的導函數為f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，則f（多選）7．（2025?鎮江模擬）下列求導運算正確的是（）A．若f（x）＝cos（2x+3），則f′（x）＝2sin（2x+3） B．若f（x）＝e﹣2x+1，則f′（x）＝e﹣2x+1 C．若f(x)=D．若f（x）＝xlnx，則f′（x）＝lnx+1（多選）8．（2024秋?周口期末）下列求導運算正確的是（）A．（eπ）′＝eπ B．（2x3）′＝6x2 C．[sin（cosx）]′＝﹣sinx?cos（cosx） D．(三．填空題（共4小題）9．（2024秋?宿遷校級期末）已知函數f（x）＝ln（2x+1），則f'（1）＝．10．（2024秋?錫山區校級期末）已知函數f(x)=(2x+3)4(x-1x)，11．（2024秋?閔行區校級期末）已知函數y＝f（x），其中f（x）＝ax+4，若f′（1）＝2，則實數a的值為．12．（2024秋?金安區校級期末）已知函數f（x）的導函數為f'（x），若f（x）＝2x+3f′（0）?ex，則f'（2）＝．四．解答題（共3小題）13．（2024春?瓊山區校級期中）求下列函數的導數（1）y=（2）y＝x﹣log2x；（3）y=14．（2024春?西湖區校級期中）已知函數f(（1）計算函數f（x）的導數f′（x）的表達式；（2）求函數f（x）的值域．15．（2024春?龍巖期末）已知函數f（x）的定義域為（1，+∞），其導函數為f′（x）．若存在實數a和函數h（x），其中h（x）對任意x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）＝h（x）（x2﹣ax+1），則稱函數f（x）具有優化特質M（a）．（參考數值：e-1e（1）設函數F（x）＝x-1x-blnx（x＞1①證明：函數F（x）具有優化特質M（b）；②若b＞0，對任意x∈（1，e），F（x）＜0都成立，求實數b的取值范圍；（2）已知函數g（x）具有優化特質M（2），給定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，對于兩個大于1的實數α，β，且α＝λx1+（1﹣λ）x2，β＝（1﹣λ）x1+λx2，使得不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求實數λ的取值范圍．

2024-2025學年上學期高二數學北師大版（2019）期中必刷常考題之導數的計算參考答案與試題解析題號12345答案ACABA一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?安陽期末）已知函數f(x)=xex+2kA．e B．e2 C．1 D．﹣【考點】基本初等函數的導數．【專題】整體思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】A【分析】求出f′（x），再由f′（1）＝0可得答案．【解答】解：因為f(所以f'則f′（1）＝（1+1）e﹣2k＝0，解得k＝e．故選：A．【點評】本題主要考查了基本初等函數求導，屬于基礎題．2．（2024秋?諸暨市期末）下列選項正確的是（）A．（sin10°）′＝cos10° B．(lgC．[（2x+1）（2x﹣1）]′＝8x D．（e﹣x）′＝e﹣x【考點】基本初等函數的導數．【專題】整體思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】C【分析】利用導數的運算法則逐項求導判斷．【解答】解：根據基本初等函數的求導公式：對于A，（sin10°）′＝0，A錯誤；對于B，(lgx)'=對于C，[（2x+1）（2x﹣1）]′＝（4x2﹣1）′＝8x，C正確；對于D，（e﹣x）′＝（1ex）′＝﹣e﹣x，故選：C．【點評】本題主要考查了基本初等函數的求導，屬于基礎題．3．（2024秋?保定期末）函數y=logA．1xln2 B．xlnC．1xln2-sin【考點】基本初等函數的導數．【專題】計算題；對應思想；定義法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】A【分析】根據導數的公式即可得到結論．【解答】解：∵y=∴y′=1故選：A．【點評】本題主要考查導數的基本運算，比較基礎．4．（2025?徐州模擬）設定義域為（0，+∞）的單調函數f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]＝3，若x0是方程f（x）﹣f′（x）＝2的一個解，則x0可能存在的區間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考點】基本初等函數的導數；函數解析式的求解及常用方法．【專題】函數的性質及應用；數學抽象；運算求解．【答案】B【分析】根據條件設f（x）﹣log2x＝t，然后求出t的值，進而求出函數f（x）的表達式，根據函數零點的判定條件即可得到結論．【解答】解：設f（x）﹣log2x＝t，則f（x）＝log2x+t，且f（t）＝3，當x＝t時，f（t）＝log2t+t＝3，解得t＝2，∴f（x）＝log2x+2，f′（x）=1則由f（x）﹣f′（x）＝2得log2x+2-1xln即log2x-1xln設g（x）＝log2x-1xln2，則g（1）=-1ln2＜∴根據根的存在性定理可知在（1，2）內g（x）存在零點，即x0∈（1，2），故選：B．【點評】本題主要考查函數零點區間的判斷，根據函數的性質求出函數f（x）的表達式是解決本題的關鍵，綜合性較強．5．（2024秋?德州期末）已知函數f（x）＝lnx﹣xf'（1），則f（2）＝（）A．ln2﹣1 B．ln2-12 C．12【考點】基本初等函數的導數．【專題】計算題；函數思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】A【分析】可求導得出：f'(x)=1x-f'(1)，從而可求出f′（1【解答】解：f'∴f′（1）＝1﹣f′（1），解得f'∴f(∴f（2）＝ln2﹣1．故選：A．【點評】本題考查了基本初等函數的求導公式，考查了計算能力，屬于基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?阜寧縣校級期末）下列命題正確的有（）A．已知函數f（x）在R上可導，若f′（1）＝2，則lim△B．(cosxC．已知函數f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，則x0D．設函數f（x）的導函數為f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，則f【考點】基本初等函數的導數．【專題】整體思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】CD【分析】根據導數的定義可判斷A的正誤，根據導數的四則運算可判斷BD的正誤，根據復合函數的導數的運算規則可判斷C的正誤．【解答】解：對于A，limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx=2對于B，(cosxx)'=對于C，f'(x)=12x+1(2x+1)'=22x對于D，f'(x)=2x+3f故選：CD．【點評】本題主要考查了導數的定義及函數的求導公式的應用，屬于中檔題．（多選）7．（2025?鎮江模擬）下列求導運算正確的是（）A．若f（x）＝cos（2x+3），則f′（x）＝2sin（2x+3） B．若f（x）＝e﹣2x+1，則f′（x）＝e﹣2x+1 C．若f(x)=D．若f（x）＝xlnx，則f′（x）＝lnx+1【考點】基本初等函數的導數．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】CD【分析】根據已知條件，結合導數的求導法則，即可求解．【解答】解：f（x）＝cos（2x+3），則f'（x）＝﹣2sin（2x+3），故A錯誤；f（x）＝e﹣2x+1，則f′（x）＝﹣2e﹣2x+1，故B錯誤；f(則f'（x）=x'?e若f（x）＝xlnx，則f'（x）=x'lnx故選：CD．【點評】本題主要考查導數的運算法則，屬于基礎題．（多選）8．（2024秋?周口期末）下列求導運算正確的是（）A．（eπ）′＝eπ B．（2x3）′＝6x2 C．[sin（cosx）]′＝﹣sinx?cos（cosx） D．(【考點】基本初等函數的導數．【專題】函數思想；綜合法；函數的性質及應用；運算求解．【答案】BCD【分析】根據導數的運算對選項進行分析，從而確定正確答案．【解答】解：對于A，因為eπ為常數，所以（eπ）′＝0，故A錯誤；對于B，因為（2x3）′＝6x2，故B正確；對于C，因為[sin（cosx）]′＝cos（cosx）?（cosx）′＝﹣sinx?cos（cosx），故C正確；對于D，因為(lnx+1故選：BCD．【點評】本題主要考查了導數的計算，屬于基礎題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?宿遷校級期末）已知函數f（x）＝ln（2x+1），則f'（1）＝23【考點】基本初等函數的導數．【專題】計算題；函數思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】23【分析】根據對數函數和復合函數的求導公式求出f'(x)=22x+1，然后將x【解答】解：∵f（x）＝ln（2x+1），∴f'∴f'故答案為：23【點評】本題考查了對數函數和復合函數的求導公式，已知函數求值的方法，考查了計算能力，屬于基礎題．10．（2024秋?錫山區校級期末）已知函數f(x)=(2x+3)4(x-1x)，【考點】基本初等函數的導數；二項式定理的應用．【專題】對應思想；綜合法；導數的綜合應用；二項式定理；運算求解．【答案】369．【分析】利用導數的運算法則變形，再由二項式系數的性質求解．【解答】解：由f(得f′（x）=8(2x∴f′（x）的展開式中的常數項為：8（C33＝8（27﹣18）+81+24×9＝72+81+216＝369．故答案為：369．【點評】本題考查導數的運算法則及二項式定理的應用，考查運算求解能力，是中檔題．11．（2024秋?閔行區校級期末）已知函數y＝f（x），其中f（x）＝ax+4，若f′（1）＝2，則實數a的值為2．【考點】基本初等函數的導數．【專題】函數思想；轉化法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】2．【分析】求出f′（x）代入x＝1可得答案．【解答】解：因為f′（x）＝a，所以f′（1）＝a＝2．故答案為：2．【點評】本題考查基本初等函數的導數，屬于基礎題．12．（2024秋?金安區校級期末）已知函數f（x）的導函數為f'（x），若f（x）＝2x+3f′（0）?ex，則f'（2）＝2﹣3e2．【考點】基本初等函數的導數．【專題】整體思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】2﹣3e2．【分析】先對函數求導，然后把x＝0代入求出f′（0），進而可求．【解答】解：因為f（x）＝2x+3f′（0）?ex，所以f′（x）＝2+3f′（0）?ex，則f′（0）＝2+3f′（0），即f′（0）＝﹣1，f′（x）＝2﹣3ex，則f'（2）＝2﹣3e2．故答案為：2﹣3e2．【點評】本題主要考查了函數求導公式的應用，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024春?瓊山區校級期中）求下列函數的導數（1）y=（2）y＝x﹣log2x；（3）y=【考點】基本初等函數的導數．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】（1）y′＝2xln2+12cos（2）y′＝1-1（3）y′=-【分析】根據導數運算性質運算即可．【解答】解：（1）∵y=2x+sinx2cosx2，∴y′＝2xln2+12cos2（2）∵y＝x﹣log2x，∴y′＝1-1（3）∵y=cosxx，∴y【點評】本題考查導數運算的性質，考查數學運算能力，屬于基礎題．14．（2024春?西湖區校級期中）已知函數f(（1）計算函數f（x）的導數f′（x）的表達式；（2）求函數f（x）的值域．【考點】基本初等函數的導數；函數的值域．【專題】計算題；函數思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】（1）f′（x）＝excosx；（2）[1【分析】（1）根據基本初等函數和積的導數的求導公式求導即可得出f′（x）＝excosx；（2）0≤x≤π2時，可得出f′（x）≥0，從而得出f（x）在[0，π2]【解答】解：（1）∵f(∴f'（2）∵0≤x≤π2，∴f′（x）＝ex∴函數f（x）在[0∴f(x)∴函數f（x）的值域為[1【點評】本題考查了基本初等函數和積的導數的求導公式，根據導數符號判斷函數單調性的方法，根據函數的單調性求函數在閉區間上的最值的方法，考查了計算能力，屬于基礎題．15．（2024春?龍巖期末）已知函數f（x）的定義域為（1，+∞），其導函數為f′（x）．若存在實數a和函數h（x），其中h（x）對任意x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）＝h（x）（x2﹣ax+1），則稱函數f（x）具有優化特質M（a）．（參考數值：e-1e（1）設函數F（x）＝x-1x-blnx（x＞1①證明：函數F（x）具有優化特質M（b）；②若b＞0，對任意x∈（1，e），F（x）＜0都成立，求實數b的取值范圍；（2）已知函數g（x）具有優化特質M（2），給定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，對于兩個大于1的實數α，β，且α＝λx1+（1﹣λ）x2，β＝（1﹣λ）x1+λx2，使得不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求實數λ的取值范圍．【考點】基本初等函數的導數；利用導數研究函數的最值．【專題】分類討論；轉化思想；導數的綜合應用；運算求解．【答案】（1）①證明見解答；②（e-1e，（2）（0，1）．【分析】（1）①先求出函數F（x）的導函數F′（x），然后說明h（x）=1x2對任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，將其配湊成F′（x）＝h（x）（x2﹣bx+1）形式，即可證明函數F（x）具有性質M②根據第一問令φ（x）＝x2﹣bx+1，討論判別式Δ與0的大小，結合導數研究函數恒成立得解；（2）先求函數g（x）的導數，再分0＜λ＜1，λ≤0，λ≥1進行討論，結合函數的單調性即可求解．【解答】解：（1）①證明：F′（x）＝1+1當x∈（1，+∞）時，恒有h(使得F′（x）＝h（x）（x2﹣bx+1）=x根據定義可得函數F（x）具有優化特質M（b）．②F'令F'（x）＝0，則x2﹣bx+1＝0，Δ＝b2﹣4，當Δ≤0時，0＜b≤2，此時F'（x）≥0，函數F（x）在（1，e）上單調遞增，又F（1）＝0，所以F（x）＜0不成立，舍去；當Δ＞0時，b＞2，設φ（x）＝x2﹣bx+1，其對稱軸大于1，φ（1）＝2﹣b＜0，若φ（e）＝e2﹣be+1≤0，即b≥e+1e，則函數F（x又F（1）＝0，所以F（x）＜0恒成立，符合題意；若φ（e）＝e2﹣be+1＞0，即b＜則φ（x）＝0在（1，e）上存在唯一零點x0，函數F（x）在（1，x0）上單調遞減，在（x0，e）上單調遞增，又F（1）＝0，則只需滿足F（e）≤0，所以b≥e-1e，從而得綜上，實數b的取值范圍為（e-1e，（2）由函數g（x）具有優化特質M（2）可得g′（x）＝h（x）（x2﹣2x+1）＝h（x）（x﹣1）2，則函數g（x）在（1，+∞）上單調遞增，當0＜λ＜1時，α＝λx1+（1﹣λ）x2＞λx1+（1﹣λ）x1＝x1，α＝λx1+（1﹣λ）x2＜λx2+（1﹣λ）x2＝x2，即x1＜α＜x2，同理：x1＜β＜x2，由函數g（x）單調性可知：g（x1）＜g（α）＜g（x2），g（x1）＜g（β）＜g（x2），從而不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立；當λ≤0時，α＝λx1+（1﹣λ）x2≥λx2+（1﹣λ）x2＝x2，β＝（1﹣λ）x1+λx2≤λx1+（1﹣λ）x1＝x1，即β≤x1＜x2≤α，由函數g（x）單調性可知：g（β）≤g（x1）＜g（x2）≤g（α），得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，與題設不符；當λ≥1時，同理可得α≤x1＜x2≤β，由函數g（x）單調性可知：g（α）≤g（x1）＜g（x2）≤g（β），得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，與題設不符；綜上，實數λ的取值范圍是（0，1）．【點評】本題主要考查新定義的應用，考查函數的概念、性質及導數的應用等知識，屬于中檔題．

考點卡片1．函數的值域【知識點的認識】函數值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數的值域．A是函數的定義域．【解題方法點撥】（1）求函數的值域此類問題主要利用求函數值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等．無論用什么方法求函數的值域，都必須考慮函數的定義域．（2）函數的綜合性題目此類問題主要考查函數值域、單調性、奇偶性、反函數等一些基本知識相結合的題目．此類問題要求考生具備較高的數學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力．在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強．（3）運用函數的值域解決實際問題此類問題關鍵是把實際問題轉化為函數問題，從而利用所學知識去解決．此類題要求考生具有較強的分析能力和數學建模能力．【命題方向】函數的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一，有時在函數與導數的壓軸題中出現，是?？碱}型．2．函數解析式的求解及常用方法【知識點的認識】通過求解函數的解析式中字母的值，得到函數的解析式的過程就是函數的解析式的求解．求解函數解析式的幾種常用方法主要有1、換元法；2、待定系數法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等等．【解題方法點撥】常常利用函數的基本性質，函數的圖象特征，例如二次函數的對稱軸，函數與坐標軸的交點等；利用函數的解析式的求解方法求解函數的解析式，有時利用待定系數法．【命題方向】求解函數解析式是高考重點考查內容之一，在三角函數的解析式中?？迹腔A題．3．基本初等函數的導數【知識點的認識】1、基本函數的導函數①C′＝0（C為常數）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差積商的導數①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、復合函數的導數設y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解題方法點撥】1．由常數函數、冪函數及正、余弦函數經加、減、乘運算得到的簡單的函數均可利用求導法則與導數公式求導，而不需要回到導數的定義去求此類簡單函數的導數．2．對于函數求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用．在實施化簡時，首先要注意化簡的等價性，避免不必要的運算失誤．【命題方向】題型一：和差積商的導數典例1：已知函數f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導函數，則f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）為偶函數；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b?20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故選D．題型二：復合函數的導數典例2：下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由復合函數的求導法則對于選項A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確；對于選項B，(lnx-2對于選項C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確；對于選項D，(sinxx)'=故選C．4．利用導數研究函數的最值【知識點的認識】1、函數的最大值和最小值觀察圖中一個定義在閉區間[a，b]上的函數f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區間[a，b]上連續的函數f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區間（a，b）內連續的函數f（x）不一定有最大值與最小值．如函數f（x）=1x在（0，（2）函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的；函數的極值是比較極值點附近函數值得出的．（3）函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，是f（x）在閉區間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數在其定義區間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個2、