第21頁（共21頁）2024-2025學年上學期高一數學北師大版（2019）期中必刷常考題之從位移、速度、力到向量一．選擇題（共5小題）1．（2025?安康模擬）已知向量a→=（﹣1，2），b→=（3，x），若a→A．-32 B．32 C．﹣6 2．（2025?湖南模擬）已知a→，b→均為非零向量，其夾角為θ，則“sinθ＝0”是“|a→+b→|＝|aA．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．（2025?魏縣校級開學）已知不共線的兩個非零向量a→、b→滿足A．|a→|＜2|b→| B．|4．（2025?泉州模擬）已知向量a→=（-13，23），b→=（x，x+1A．﹣2 B．-23 C．-135．（2025?蘇州模擬）若△ABC的三個內角均小于120°，點M滿足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，則點M到三角形三個頂點的距離之和最小，點M被人們稱為費馬點．根據以上性質，已知a→是平面內的任意一個向量，向量b→，c→滿足b→⊥c→A．9 B．43 C．6 D．二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024秋?朝陽期末）下列關于平面向量的說法錯誤的是（）A．若a→，bB．若a→=bC．若a→≠b→D．若a→∥b→（多選）7．（2024秋?遼寧校級期末）下列命題正確的是（）A．若向量AB→，CD→共線，則A，B，CB．若A，B，C為平面內任意三點，則AB→C．若點G為△ABC的重心，則GA→D．已知向量a→=(4+x，y-2)，b→=(（多選）8．（2024秋?岳陽縣校級期末）下列關于向量的說法錯誤的是（）A．若a→∥b→，B．若單位向量a→，b→夾角為π6，則向量a→在向量C．若a→與b→不共線，且sa→+tbD．若a→?c→（多選）9．（2024秋?大連期末）下列關于向量說法，正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥c→，則B．在△ABC中，若OA→+OB→+OC→=0C．兩個非零向量a→，b→，若|a→-b→|＝|a→|+|bD．若a→∥b→，則存在唯一實數λ使得a三．填空題（共3小題）10．（2024秋?唐縣校級期末）在平面斜坐標系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一點P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若OP→=xe1→+ye2→（其中e1→，e2→分別為x，y軸方向相同的單位向量），則P的坐標為（x11．（2024秋?河南期末）已知向量a→，b→不共線，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，其中12．（2024秋?撫順期末）若非零向量a→與單位向量e→共線，且|a→+e→|＝|e→|，則|a四．解答題（共3小題）13．（2024秋?葫蘆島期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直線EF過點G，交BA于點E，交BC于點F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ14．（2024秋?淮安月考）設A，B，C，D為平面內的四點，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．（1）若四邊形ABCD為平行四邊形，求D點的坐標；（2）若A，C，D三點共線，BD→?AC15．（2024?民勤縣校級開學）已知非零向量a→，b→滿足|a（1）若向量a→+2b→與（2）若向量a→+2b→與

2024-2025學年上學期高一數學北師大版（2019）期中必刷常考題之從位移、速度、力到向量參考答案與試題解析題號12345答案CCACC一．選擇題（共5小題）1．（2025?安康模擬）已知向量a→=（﹣1，2），b→=（3，x），若a→A．-32 B．32 C．﹣6 【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】C【分析】根據給定條件，利用向量的坐標運算及向量共線的坐標表示列式計算得解．【解答】解：由題可得：a→由a→∥（a→+b→），可得2×2＝﹣1×（2+x故選：C．【點評】本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題．2．（2025?湖南模擬）已知a→，b→均為非零向量，其夾角為θ，則“sinθ＝0”是“|a→+b→|＝|aA．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【考點】平面向量的模；充要條件的判斷．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；簡易邏輯；運算求解．【答案】C【分析】根據兩個向量夾角的取值范圍，結合共線向量的加法法則、充要條件的概念加以分析，即可得到本題的答案．【解答】解：若sinθ＝0，結合a→，b→夾角的取值范圍是[0，π]，可得θ＝當θ＝0時，則a→，b→同向共線，則若非零向量a→，b→滿足|a此時θ＝π，必有sinθ＝0，可知必要性成立．綜上所述，“sinθ＝0”是“|a故選：C．【點評】本題主要考查共線向量的加法法則、充要條件的判斷等知識，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．3．（2025?魏縣校級開學）已知不共線的兩個非零向量a→、b→滿足A．|a→|＜2|b→| B．|【考點】平面向量的模．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】A【分析】將條件式兩邊運算平方，結合平面向量數量積的運算可得|a【解答】解：設向量a→、b→的夾角為θ，則cosθ＜因為|a所以兩邊同時平方可得：a→整理得：a→2-所以|a故選：A．【點評】本題考查平面向量模的相關命題的判斷，考查計算能力，屬于中檔題．4．（2025?泉州模擬）已知向量a→=（-13，23），b→=（x，x+1A．﹣2 B．-23 C．-13【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】對應思想；定義法；平面向量及應用；運算求解．【答案】C【分析】根據平面向量共線的坐標表示可求出實數x的值．【解答】解：由a→=(-13，23得-13(x+1)=2x3，即﹣x故選：C．【點評】本題考查向量共線的坐標運算，是基礎題．5．（2025?蘇州模擬）若△ABC的三個內角均小于120°，點M滿足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，則點M到三角形三個頂點的距離之和最小，點M被人們稱為費馬點．根據以上性質，已知a→是平面內的任意一個向量，向量b→，c→滿足b→⊥c→A．9 B．43 C．6 D．【考點】平面向量的模．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】C【分析】設OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，A（x，y），B（3，0），C(0，3)，D(0，-3)，則|a→-b→|+|a→-c→|+|【解答】解：△ABC的三個內角均小于120°，點M滿足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，則點M到三角形三個頂點的距離之和最小，點M被人們稱為費馬點．根據以上性質，已知a→是平面內的任意一個向量，向量b→，c→滿足b設OA→=a→，以AB所在的直線為x軸，以過C與x軸垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，由題意設A（x，y），B（3，0），C(0，3則a→-b→=所以|a|a因為△BCD為等邊三角形，由題意，等邊△BCD的費馬點為△BCD的中心，此時|AB|+|AC|+|AD|取最小值，所以(|AB故選：C．【點評】本題考查的知識點：向量的數量積運算，向量的模的運算，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024秋?朝陽期末）下列關于平面向量的說法錯誤的是（）A．若a→，bB．若a→=bC．若a→≠b→D．若a→∥b→【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】對應思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】ACD【分析】根據相等向量與共線向量的概念可判定A、B、C；由向量共線定理可判定D．【解答】解：若a→，b→是共線的單位向量，則a→兩向量相等，即大小相等，方向相同，故B正確；若a→≠b此時a→，b若a→∥b→，如則不存在實數λ，使得a→=λ故選：ACD．【點評】本題考查平行向量與相等向量的概念，屬基礎題．（多選）7．（2024秋?遼寧校級期末）下列命題正確的是（）A．若向量AB→，CD→共線，則A，B，CB．若A，B，C為平面內任意三點，則AB→C．若點G為△ABC的重心，則GA→D．已知向量a→=(4+x，y-2)，b→=(【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】BC【分析】根據向量共線的定義判斷出A項的正誤；平面向量的線性運算法則判斷出B項的正誤；根據平面向量的線性運算性質與三角形重心的性質，可判斷出C項的正誤；根據平面向量共線的坐標表示，判斷出D項的正誤．【解答】解：對于A，若向量AB→，CD不一定A、B、C、D在同一直線上，故A項錯誤；對于B，根據平面向量線的性運算法則，可知AB→+BC對于C，若點G為△ABC的重心，設AB中點為M，則GA→由三角形重心的性質，得CG→=2GM→，可得2GM對于D，因為向量a→=(4+x，y所以（4+x）?y＝x?（y﹣2），化簡得x+2y＝0，故D項錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查平面向量的線性運算法則、三角形重心的性質、兩個向量平行的條件等知識，考查概念的理解能力，屬于基礎題．（多選）8．（2024秋?岳陽縣校級期末）下列關于向量的說法錯誤的是（）A．若a→∥b→，B．若單位向量a→，b→夾角為π6，則向量a→在向量C．若a→與b→不共線，且sa→+tbD．若a→?c→【考點】平面向量的平行向量（共線向量）；平面向量的數量積運算；平面向量的投影向量．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】AD【分析】對于A：舉反例說明即可；對于B：根據投影向量的定義分析判斷；對于C：根據向量共線的判定定理分析判斷；對于D：根據數量積的定義分析判斷．【解答】解：A：當b→=0→時，滿足a→∥b→，b→∥c→，但a→與c→不一定平行，A錯誤；B：單位向量C：不妨假設s≠0，則a→=-tsb→，可知所以s＝t＝0，C正確；D：因為a→?c又c→≠0→，則|a故選：AD．【點評】本題主要考查向量的相關知識，考查計算能力，屬于中檔題也是易錯題．（多選）9．（2024秋?大連期末）下列關于向量說法，正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥c→，則B．在△ABC中，若OA→+OB→+OC→=0C．兩個非零向量a→，b→，若|a→-b→|＝|a→|+|bD．若a→∥b→，則存在唯一實數λ使得a【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】BC【分析】b→=0根據條件得出O為△ABC的重心，然后即可判斷B的正誤；根據向量減法的三角形法則即可判斷C的正誤；根據共線向量基本定理即可判斷D的正誤．【解答】解：b→=0→，滿足a→若OA→+OB→+OC→根據重心到頂點距離是它到對邊中點距離的2倍即可得出：S△AOC=a→，b→都為非零向量，滿足|aa→∥b→，只有b→≠0故選：BC．【點評】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，重心的定義，共線向量基本定理，是基礎題．三．填空題（共3小題）10．（2024秋?唐縣校級期末）在平面斜坐標系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一點P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若OP→=xe1→+ye2→（其中e1→，e2→分別為x，y軸方向相同的單位向量），則P的坐標為（x【考點】平面向量的概念與平面向量的模．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】3．【分析】由斜坐標定義用e1→，e2【解答】解：由題意OP→所以|OP故答案為：3．【點評】本題主要考查了向量的數量積運算，屬于基礎題．11．（2024秋?河南期末）已知向量a→，b→不共線，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，其中【考點】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】4．【分析】結合三點共線的向量形式，利用向量基本定理得λμ＝1，然后利用基本不等式求解最小值即可．【解答】解：向量a→，b→因為A，B，C三點共線，所以存在實數k，使AB→=k又向量a→，b→不共線，所以λ=k1=μk?λμ=1當且僅當λ＝4μ＝2時，取等號，即λ+4μ的最小值為4．故答案為：4．【點評】本題考查的知識點：向量的線性運算，共線向量基本定理，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．12．（2024秋?撫順期末）若非零向量a→與單位向量e→共線，且|a→+e→|＝|e→|，則|a【考點】平面向量的模．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】先判斷非零向量a→與單位向量e【解答】解：|a→+e→|＝|e→|則非零向量a→與單位向量e則|a故|a→|＝2故答案為：2．【點評】本題主要考查平面向量的模，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?葫蘆島期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直線EF過點G，交BA于點E，交BC于點F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ【考點】平面向量的概念與平面向量的模；運用基本不等式求最值．【專題】轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）203（2）6．【分析】（1）由重心性質可得BG→（2）由平面向量基本定理的推論得13【解答】解：（1）根據題意：BA→=(-4，由G是△ABC的重心，可得BG→所以|BG（2）由BE→可得BA→=1所以BG→因為E，F，G三點共線，所以13則2λ當且僅當8μ3λ=2λ3所以2λ+8μ的最小值為6．【點評】本題考查平面向量的模長公式及平面向量基本定理，考查基本不等式求最值，屬中檔題．14．（2024秋?淮安月考）設A，B，C，D為平面內的四點，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．（1）若四邊形ABCD為平行四邊形，求D點的坐標；（2）若A，C，D三點共線，BD→?AC【考點】平面向量的平行向量（共線向量）；平面向量數量積的坐標運算．【專題】方程思想；數形結合法；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】（1）D（4，3）；（2）D(【分析】（1）設D（x，y），利用BC→=AD（2）利用三點共線，可得AD→=λAC→，可得D（3﹣4λ，【解答】解：（1）∵A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），∴BC→=（1，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC→設D（x，y），則AD→=（x﹣3，y﹣∴x-3=1y-1=2，解得x=4y（2）由A，C，D三點共線，且AC→可設AD→又A（3，1），∴D（3﹣4λ，1+3λ），∴BD→又BD→?AC→=-4（5﹣4λ）+3（3λ﹣1）＝﹣18，解得∴D(【點評】本題考查了平面向量的坐標表示與運算問題，是基礎題．15．（2024?民勤縣校級開學）已知非零向量a→，b→滿足|a（1）若向量a→+2b→與（2）若向量a→+2b→與【考點】平面向量的平行向量（共線向量）；數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）k=（2）k=【分析】（1）根據給定條件，利用共線向量定理，結合平面向量基本定理求出k值．（2）利用數量積的定義及運算律，列式計算即得．【解答】解：（1）由向量a→+2b得存在實數μ，使得ka→+所以k=（2）由|a→|=|b→由向量a→+2b→與整理得ka→2+(2k所以k=【點評】本題主要考查向量平行、垂直的性質，屬于基礎題．

考點卡片1．充要條件的判斷【知識點的認識】充要條件是指條件P和條件Q之間互為充分必要條件．即若P成立，則Q成立，若Q成立，則P也成立．用符號表示為P?Q．充要條件在數學中非常重要，因為它們表示兩個條件是等價的．【解題方法點撥】要判斷一個條件是否為充要條件，需要分別驗證P?Q和Q?P．如果兩者都成立，則P和Q互為充要條件．通常可以通過邏輯推理和實例驗證來進行判斷．對于復雜問題，可以分步驟進行驗證，確保每一步推理的正確性．【命題方向】充要條件的命題方向包括幾何圖形的判定條件、函數的性質等．例如，矩形的對角線相等且互相平分是矩形的充要條件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個實數解”的一個充要條件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個實數解”的充要條件為“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故選：A．2．運用基本不等式求最值【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2【解題方法點撥】在運用均值不等式求最值時，可以將代數式分解成可以應用均值不等式的形式．例如，要求代數式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數表達式的最值求解、幾何圖形的最優設計等．例如，求解一個代數式的最小值，或設計一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學生能夠靈活運用均值不等式進行最值求解，并能正確代入和計算．已知正數a，b滿足a+b＝1，則a+1+b解：因為正數a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1當且僅當a＝b=1故答案為：6．3．平面向量的概念與平面向量的模【知識點的認識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數量（物理中的標量：身高、體重、年齡）．在數學中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點、終點的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小寫字母a→、b→，…表示．有向向量的長度為模，表示為|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB零向量長度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長度為0單位向量長度為一個單位長度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是相等向量長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．4．平面向量的模【知識點的認識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數量（物理中的標量：身高、體重、年齡）．在數學中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標量．向量的模AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB【解題方法點撥】﹣計算模：也就是AB→﹣實際應用：用于求解平面幾何中的距離問題，如兩點間的距離等．【命題方向】﹣向量模的計算：考查如何計算向量的模，并應用于幾何問題．﹣向量長度的應用：在問題中如何利用向量的長度解決實際問題，如物體的位移和距離計算．如圖，在2×4的矩形中，起點和終點都在小方格頂點，且模與AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有39解：如圖，設小正方形的邊長為1，則|AB→|=則長度為5的對角線有20個，分別為AB，DE，FG，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，FQ，∴模與AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有20×2﹣1＝故答案為：39．5．平面向量的平行向量（共線向量）【知識點的認識】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點撥】平行向量與相等向量的關系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個向量均為非零向量，規定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現，難度不大，有時候會與向量的坐標運算等其它知識結合考察．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別是AB，CD的中點，圖中與AE→解：平行四邊形ABCD中，點E，F分別是AB，CD的中點，所以圖中與AE→平行的向量有EB→，DF→，FC6．平面向量的數量積運算平面向量的數量積運算7．平面向量的投影向量【知識點的認識】投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影．投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．設a→，b→是兩個非零向量，AB=a→，CD=b→，考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量a→向向量b→向量a→在